第一章高等數(shù)學(xué)（十）

朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。第頁/共頁第5章一元函數(shù)積分學(xué)

第一節(jié)：不定積分1.不定積分的概念與性質(zhì)（1）定義：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，倘若存在函數(shù)，使對(duì)任，有或(），則稱為在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)。函數(shù)的原函數(shù)全體叫的不定積分，記作，且有（C為隨意常數(shù)）（2）不定積分性質(zhì)【例題5-1】的一個(gè)原函數(shù)為，則等于：（A） （B） （C） （D）解析：，答案：A【例題5-2】倘若，則函數(shù)等于（A）；（B）；（C）；（D）解：兩邊對(duì)求導(dǎo)，得，所以，應(yīng)選B。2.不定積分的計(jì)算（1）基本積分公式（2）直接積分法直接積分法就是利用不定積分的性質(zhì)和基本積分公式求不定積分的主意。偶爾還要用到代數(shù)和三角函數(shù)的恒等式對(duì)被積函數(shù)舉行恒等變形,然后再使用積分公式?！纠}5-3】等于：（A） （B） （C） （D）解：=故應(yīng)選（C）。（3）第一類換元積分法（湊微分法）倘若被積函數(shù)的主要部分是復(fù)合函數(shù)，例如，而余下部分正巧是內(nèi)層函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，既，則可將湊成，再利用積分公式得結(jié)果。這種主意最關(guān)鍵的一步是湊微分，為方便大家做題，這里列出幾種常用湊微分形式：1）2）3）4）5）6）【例題5-4】下列各式中準(zhǔn)確的是（為隨意常數(shù)）：（A）；（B）；（C）；（D）解：因?yàn)?，，有故?yīng)選（A）。【例題5-5】不定積分等于:(A)(B)(C)(D)解:，答案：D【例題5-6】若,則等于:(式中為隨意常數(shù))(A)(B)(C)(D)解:利用第一類換元,故應(yīng)選(A).【例5-7】設(shè)是的一個(gè)原函數(shù)，則（A）（B）（C）（D）解：，故應(yīng)選（C）。（4）分部積分法這種主意是利用分部積分公式將無法直接求出原函數(shù)的積分化為能求出原函數(shù)的積分，從而得到結(jié)果。分部積分法主要用于以下兩種情形：1）當(dāng)被積函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)時(shí),必須用分部積分法。這是取被積函數(shù)為，就是，直接套公式則可?！纠}5-8】不定積分等于:(式中為隨意常數(shù))(A)(B)(C)(D)解:用分部積分法，有故應(yīng)選(A).2）當(dāng)被積函數(shù)是兩種不同類型函數(shù)的乘積時(shí)，可考慮用分部積分法。這時(shí)，按“反、對(duì)、冪、指、三”的順序，位于前面的取為，余下部分為。【例題5-9】若等于:(式中為隨意常數(shù))(A)(B)(C)(D)解:被積函數(shù)是冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積，取，有=故應(yīng)選(A).【例題5-10】若是的一個(gè)原函數(shù)，則等于：A.B.C.D.解析：因是的一個(gè)原函數(shù)，故有，利用分部積分公式，。答案：D第二節(jié)：定積分1.定積分的概念及性質(zhì)（1）定積分的定義說明：1）是一個(gè)數(shù)值，它只與積分區(qū)間及被積函數(shù)有關(guān)，而與積分變量的記號(hào)無關(guān)。2）規(guī)定：（2）定積分的幾何意義當(dāng)