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中南大學(xué)土木工程學(xué)院橋梁工程系主講教師：韓建平石巖E-mail：syky86@163.com個人主頁：蘭州理工大學(xué)土木工程學(xué)院結(jié)構(gòu)動力學(xué)DynamicsofStructures總結(jié)復(fù)習(xí)

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Summary結(jié)構(gòu)動力學(xué)考試情況一、問答題5~6道；二、計算證明題5~6道；三、翻譯題2道；注意：(1)攜帶計算器;(2)題量較大，須熟練。3提要第一章概述第二章運動方程的建立第三章單自由度體系第四章多自由度體系第五章直接積分法第六章實用振動分析(動力自由度選擇)第七章分析參數(shù)體系4第一章概述動力荷載：根據(jù)預(yù)先是否確定：?確定性；?非確定（隨機）。根據(jù)隨時間變化規(guī)律：?簡諧荷載；?非簡諧周期荷載；?沖擊荷載；?任意非周期荷載。第一章概述(續(xù))結(jié)構(gòu)動力分析的目的：?確定動力荷載作用下結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和變形；?通過動力分析確定結(jié)構(gòu)的動力特性。動力學(xué)特點（與靜力荷載不同處）?外因：荷載是隨時間變化的；?內(nèi)因：慣性力。第一章概述(續(xù))動力自由度動力計算中為確定運動過程中任意時刻全部質(zhì)量的位置所需的獨立幾何參數(shù)的個數(shù)。結(jié)構(gòu)離散化方法?集中質(zhì)量法；?廣義坐標法；?有限元法。實質(zhì)？手法？第一章概述(續(xù))第四類問題：控制問題輸入（動力荷載）結(jié)構(gòu)（系統(tǒng)）輸出（動力反應(yīng)）控制系統(tǒng)（裝置、能量）-----控制問題輸入（動力荷載）結(jié)構(gòu)（系統(tǒng)）輸出（動力反應(yīng)）第一類問題：反應(yīng)分析（結(jié)構(gòu)動力計算）第二類問題：參數(shù)（或稱系統(tǒng)）識別輸入（動力荷載）結(jié)構(gòu)（系統(tǒng)）輸出（動力反應(yīng)）第三類問題：荷載識別。輸入（動力荷載）結(jié)構(gòu)（系統(tǒng)）輸出（動力反應(yīng)）-----正問題-----反問題-----反問題8第二章運動方程的建立動力學(xué)的新物理量：慣性力、阻尼力。慣性力：大小等于物體的質(zhì)量與加速度的乘積，方向與加速度的方向相反。阻尼：引起結(jié)構(gòu)能量的耗散，使結(jié)構(gòu)振幅逐漸變小的一種作用阻尼來源（物理機制）：(1)固體材料變形時的內(nèi)摩擦，或材料快速應(yīng)變引起的熱耗散；(2)結(jié)構(gòu)連接部位的摩擦，結(jié)構(gòu)構(gòu)件與非結(jié)構(gòu)構(gòu)件之間的摩擦；(3)結(jié)構(gòu)周圍外部介質(zhì)引起的阻尼。例如，空氣、流體等。粘性阻尼力：大小與體系的加速度成正比，方向與加速度的方向相反。第二章運動方程的建立(續(xù))

建立運動方程的方法：?牛頓第二定律直接應(yīng)用；?D’Alembert原理：動平衡概念；?虛位移原理；?Hamilton原理；

?運動的Lagrange方程。第16章變分形式第二章運動方程的建立(續(xù))

運動方程：自重的影響如果重力的影響預(yù)先被平衡，則在研究結(jié)構(gòu)的動力反應(yīng)時，可以完全不考慮重力的影響，建立體系的運動方程，直接求得結(jié)構(gòu)體系的動力解。結(jié)構(gòu)地基運動的影響通過將體系的運動分解為由地基運動引起的等效靜位移(是已知的或通過結(jié)構(gòu)靜力分析可預(yù)先求得的)和未知的動位移，將結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)運動化為等效的動力荷載。第三章單自由度體系

單自由度體系第三章單自由度體系(續(xù))

無阻尼體系自由振動的解：

無阻尼自由振動是一個簡諧運動(Simpleharmonicmotion)

有阻尼體系自由振動的解：有阻尼自由振動是一個振幅衰減的簡諧運動。第三章單自由度體系(續(xù))

無阻尼自振頻率：

(單位：弧度/秒,rad/s)無阻尼自振周期：(單位：秒,sec)自振周期Tn（或ωn）是結(jié)構(gòu)的固有特性，與振幅大小無關(guān)（線彈性范圍內(nèi)）。工程頻率：

(單位：周/秒,赫茲,Hz)第三章單自由度體系(續(xù))

有阻尼自振頻率：

有阻尼自振周期：

當阻尼比ζ較小時，ωD≈ωn，TD≈Tn。第三章單自由度體系(續(xù))

臨界阻尼定義：ccr＝2mωn＝2√(km)

阻尼比：ζ＝c/ccr，阻尼系數(shù)：c＝ζccr＝2mωnζ

臨界阻尼的物理意義是：在自由振動反應(yīng)中不出現(xiàn)震蕩所需要的最小阻尼值。第三章單自由度體系(續(xù))

自由振動試驗確定結(jié)構(gòu)的阻尼比ζ：對數(shù)衰減率法對數(shù)衰減率:

阻尼比計算公式：小阻尼時計算公式：第三章單自由度體系(續(xù))振動中的能量：無阻尼體系：無阻尼體系自由振動過程中的總能量守恒，不隨時間變化，等于初始時刻輸入的能量。有阻尼體系：有阻尼體系自由振動過程中的能量被阻尼消耗，而在整個振動過程中，阻尼始終在耗能。第三章單自由度體系

強迫振動運動方程的解法：強迫振動方程全解＝齊次的通解(瞬態(tài)反應(yīng))＋特解(穩(wěn)態(tài)反應(yīng))通解對應(yīng)的方程是一個自由振動方程，其解為自由振動。特解由動荷載p0sinωt直接引起的振動解。有阻尼體系簡諧振動方程的通解：第一項按自振頻率wd

振動，由初始條件確定的自由振動反應(yīng)。由于阻尼，這一項很快會衰減為零，即瞬態(tài)反應(yīng)；第二項按荷載頻率

振動，即穩(wěn)態(tài)反應(yīng)；有些場合，如沖擊荷載、地震等，應(yīng)分析瞬態(tài)反應(yīng)；一般情況下，瞬態(tài)反應(yīng)對結(jié)構(gòu)強迫振動分析的意義不大，這里主要討論穩(wěn)態(tài)反應(yīng)的特性。20第三章單自由度體系(續(xù))共振的概念：無阻尼：ω→ωn時，位移→∞。有阻尼：接近最大值

21第三章單自由度體系(續(xù))

動力放大系數(shù)Rd=u0/ust

位移反應(yīng)滯后相角

22第三章單自由度體系(續(xù))振動測量儀器：

加速度計：測量加速時程（強震儀）位移計：測量位移時程（地震儀）速度計：測量速度

了解原理即可。23第三章單自由度體系(續(xù))隔振（震）：

傳遞率：24Duhamel積分的物理意義整個荷載時程可以看作是由一系列連續(xù)的短脈沖所組成所有的脈沖反應(yīng)均按同樣的圓頻率、同樣的衰減規(guī)律振動體系的動力反應(yīng)可以將0<t<τ

時段內(nèi)所有荷載時程FP(t)所激勵的在時刻t的全部微分反應(yīng)相加獲得每個短脈沖都激起結(jié)構(gòu)的振動每個短脈沖的幅值是不同的問題：Duhamel

積分的使用條件？每個脈沖在t時刻都有反應(yīng)Itisimportanttonotethatthisapproachmaybeappliedonlytolinearsystemsbecausetheresponseisobtainedbysuperpositionofindividualimpulseresponses.25頻域反應(yīng)分析的物理意義整個荷載時程可以看作是由一系列連續(xù)的頻率分量所組成每個頻率分量按照各自的衰減規(guī)律振動體系的動力反應(yīng)可以將所有荷載分量所激勵的在時刻t的全部反應(yīng)相加獲得每個頻率都激起結(jié)構(gòu)的振動每個頻率荷載分量的幅值是不同的每個頻率分量在t時刻都有反應(yīng)26與Duhamel積分的對比27第三章單自由度體系(續(xù))

簡諧振動試驗確定結(jié)構(gòu)的阻尼比ζ

共振放大法：

半功率點法：

基礎(chǔ)：動力放大系數(shù)Rd

的性質(zhì)。

28第三章單自由度體系(續(xù))

粘性阻尼的能量耗散和等效粘性阻尼阻尼引起的能量耗散等效粘性阻尼29第三章單自由度體系(續(xù))

滯變阻尼理論（復(fù)阻尼理論）滯變阻尼：阻尼力大小與位移幅值成正比而與速度同相。滯變阻尼能量耗散與頻率ω無關(guān)，符合結(jié)構(gòu)試驗。滯變阻尼參數(shù)η與粘性阻尼比ζ的關(guān)系：30地震反應(yīng)譜：單自由度體系在給定地震動作用下某種反應(yīng)量的最大值與體系自振周期之間的關(guān)系曲線。（1）單自由度體系（SDOF）（2）給定地震動（3）非一個結(jié)構(gòu)，一系列SDOF（4）某個地震反應(yīng)（a,v,d）（5）SDOF的最大反應(yīng)（6）給定的阻尼比（7）彈性結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)譜：反應(yīng)譜類型：彈性譜和彈塑性譜歸一化反應(yīng)譜——放大系數(shù)譜三聯(lián)譜雙向譜損傷譜保險絲譜第四章多自由度體系33第四章多自由度體系34設(shè)多自由度體系在進行自由振動時也是在作簡諧振動，多自由度體系的振動形式可寫為：{φ}—表示體系位移形狀向量，它僅與坐標位置有關(guān)，不隨時間變化，稱為振型。

ω

—簡諧振動的頻率，

θ

—相位角。上式對時間求兩次導(dǎo)數(shù)可得：35將位移向量{u}和加速度向量{ü}代入無阻尼自由振動方程：因為sin(ωt+θ)為任意的，可以消去，因此，上式是關(guān)于{φ}的N階齊次線性方程組，表征了振型和自振頻率的關(guān)系，稱為運動方程廣義特征值問題。由廣義特征值可解得ω和{φ}。

36方程存在非零解的充分必要條件是系數(shù)行列式等于零：是一關(guān)于ω的多項式，稱為頻率方程。將剛度陣和質(zhì)量陣代入得頻率方程的具體形式：37對于N個自由度的穩(wěn)定結(jié)構(gòu)體系，頻率方程是關(guān)于ω2的N次方程，由此可以解得N個正實根（ω12<ω22<ω32…<ωN2）。ωn(n=1,2,…,N)即為體系的自振頻率。其中量值最小的頻率ω1叫基本頻率(相應(yīng)的周期T1=2π/ω1叫基本周期)。從以上分析可知，多自由度體系只能按一些特定的頻率即按自振頻率做自由振動。按某一自振頻率振動時，結(jié)構(gòu)將保持一固定的形狀，稱為自振振型，或簡稱振型。38把相應(yīng)的自振頻率ωn代入運動方程的特征方程得到振型{φ}n={φ1n,φ2n

,…,φNn}T—體系的第n階振型。由于特征方程的齊次性(線性方程組是線性相關(guān)的)，振型向量是不定的，只有人為給定向量中的某一值，例如令φ1n=1，才能確定其余的值。實際求解時就是令振型向量中的某一分量取定值后才能求解。雖然令不同的分量等于不同的量，得到的振型在量值上會不一樣，但其比例關(guān)系是不變的。所謂振型就是結(jié)構(gòu)不同點(自由度)變化時的比例關(guān)系。39以上分析方法就是代數(shù)方程中的特征值分析，自振頻率相應(yīng)于特征值，而振型即是特征向量。得到體系的N個自振頻率和振型后，可以把振型和自振頻率分別寫成矩陣的形式，其中，ωn—第n階自振頻率，{φ}n—第n階振型。[Φ]和[Ω]也分別稱為振型矩陣和譜矩陣?；?0第四章多自由度體系41第四章多自由度體系42第四章多自由度體系43第四章多自由度體系44振型正交性的物理意義：（1）某一振型的慣性力不會在其他振型上做功，從能量的角度來說，某一振型做簡諧振動的能量不會轉(zhuǎn)移到其他振型上。（2）與某一振型相關(guān)的等效靜力在經(jīng)歷其他階振型位移時所

做的功為零。45第四章多自由度體系46第四章多自由度體系47第四章多自由度體系48第四章多自由度體系時程分析中Rayleigh阻尼計算時周期的取值問題建立比例阻尼矩陣的最簡單方法是使其與質(zhì)量矩陣或者剛度矩陣成比例，因為無阻尼振型對質(zhì)量和剛度都是正交的。因而，阻尼矩陣可以表示為：或其中，比例常數(shù)的單位分別為相應(yīng)的阻尼稱為質(zhì)量比例阻尼或剛度比例阻尼，聯(lián)立求解得出的系數(shù)為：50因為很少能夠得到阻尼比隨頻率變化的詳細信息，因此通常假設(shè)用用于兩個控制頻率的阻尼比相同，即ξm=ξn=ξ，對于這種情況，得出簡化形式給出比例系數(shù)：51結(jié)構(gòu)的振型是關(guān)于質(zhì)量陣和剛度陣正交的，很容易想到，質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的線性組合必定滿足正交條件，因此Rayleigh阻尼是一種正交阻尼。滿足振型正交條件的阻尼也稱為經(jīng)典阻尼。Rayleigh阻尼公式中，a0和a1是待定的兩個常數(shù)，可以用實際測量得到的結(jié)構(gòu)阻尼比來確定，或通過給定的兩個振型阻尼比的值來確定，為此要把Rayleigh阻尼公式化成由阻尼比表示的形式。確定Rayleigh阻尼的原則：選擇的兩個用于確定常數(shù)a0和a1的頻率點ωi和ωj要覆蓋結(jié)構(gòu)分析中感興趣的頻段。感興趣頻段要根據(jù)作用于結(jié)構(gòu)上的外荷載的頻率成份和結(jié)構(gòu)的動力特性綜合考慮。第四章多自由度體系53第四章多自由度體系54第四章多自由度體系55多自由度體系的計算重點：（1）體系運動方程的建立；（2）MDOF體系(2-3DOF)周期（頻率）和振型的求解；（3）振型疊加法求MDOF體系(2-3DOF)的動力反應(yīng)；時域逐步積分法——Step-by-stepmethods結(jié)構(gòu)動力反應(yīng)分析的時域直接數(shù)值計算方法：（1）分段解析法；（2）中心差分法；（3）平均常加速度法；（4）線性加速度法；（5）Newmark-β法；（6）Wilson-θ法????????時域逐步積分法是結(jié)構(gòu)動力分析問題中一個得到廣泛研究的課題，也是得到廣泛應(yīng)用的計算方法。56第五章直接積分法收斂性當Δt→0時，數(shù)值解是否收斂于精確解計算精度截斷誤差與時間步長Δt的關(guān)系，若誤差ε∝0(Δtn)，則稱方法具有n階精度穩(wěn)定性隨時間步數(shù)i的增大，數(shù)值解是否變得無窮大計算效率所花費的計算時間算法評價準則一個好的數(shù)值分析方法必須是收斂的、有足夠的精度、良好的穩(wěn)定性及較高的計算效率。57根據(jù)是否需要聯(lián)立求解耦聯(lián)方程組，逐步積分法可分為兩大類：隱式方法

逐步積分計算公式是偶聯(lián)的方程組，需聯(lián)立求解，計算工作量大，通常增加的工作量與自由度的平方成正比，例如Newmark-β法、Wilson-θ法。

顯式方法

逐步積分計算公式是解偶的方程組，無需聯(lián)立求解，計算工作量小，增加的工作量與自由度成線性關(guān)系，如中心差分方法（無阻尼時）。58Newmark–β法與其它積分方法的關(guān)系：通過對Newmark-β法中控制參數(shù)β取不同的值也可以得到其它時域逐步積分方法。下表給出了β取不同值時Newmark-β法所對應(yīng)的逐步積分法。(沖擊加速度法)59第五章直接積分法60Newton—Raphson方法在每一迭代步中，剛度是變化的，而修正的Newton—Raphson法，在不同迭代步中的剛度不變，因此，也常稱Newton—Raphson法為變剛度迭代法，而修正的Newton—Raphson方法為常剛度迭代法。61基本原則：1）內(nèi)力和外荷載的平衡(δ-ε或F-D關(guān)系的追蹤)；2）恢復(fù)力關(guān)系：

a.非線性的

b.提前給定的；3）每次迭代按彈性。（1）第i時刻：作用力為，用ti點切線剛度計算得到

（按彈性），但內(nèi)力增量為，有個不平衡力。（2）以不平衡力為外力荷載，用4點的切線剛度求得（彈性），但內(nèi)

力增量為，有不平衡力：（3）依次類推，直到平衡為止。Rayleigh法評述：Rayleigh法的基本原理是能量守衡定律。對任意的保守系統(tǒng)，其振動頻率可以根據(jù)Rayleigh法由振動過程中的最大應(yīng)變能與最大動能相等而求得。對于具有任意自由度的結(jié)構(gòu)體系的兩種處理方式：一種是把結(jié)構(gòu)看成連續(xù)體系，通過假設(shè)結(jié)構(gòu)在基本模態(tài)中的變形形狀和運動幅值(廣義坐標)變化規(guī)律，將連續(xù)的結(jié)構(gòu)體系化為單自由度體系，利用振動過程中最大應(yīng)變能與最大動能相等的原則求結(jié)構(gòu)基頻；另一種處理方式則是在多自由度離散坐標系中應(yīng)用同樣的方法求解結(jié)構(gòu)基頻。Rayleigh法求得的頻率結(jié)果比精確解偏大，主要是因為假設(shè)某一特定的曲線作為振型曲線，即相當于在體系上增加某些約束，從而增大了體系的剛度，故所得頻率值將偏大。

62第六章實用振動分析(動力自由度選擇)

雖然用Rayleigh法能獲得較為滿意的結(jié)構(gòu)基頻的近似解，但在動力分析中，為得到足夠精確的結(jié)果，常常需要使用一階以上的振型和頻率。Rayleigh法的Ritz擴展可以求得結(jié)構(gòu)前若干階固有頻率的近似值，同時還可以獲得相應(yīng)階數(shù)的振型。Rayleigh-Ritz法首先通過假設(shè)一組振型，要求其Rayleigh熵取極值，從而獲得一低階的特征方程組，由此低階方程組可以獲得體系的一組自振頻率和自振振型。

就像Rayleigh法相當于基本矩陣迭代法的一次循環(huán)一樣，Rayleigh-Ritz法的改進過程可以看做是一種迭代解法的第一次循環(huán)。然而，基本矩陣迭代分析只能產(chǎn)生一個振型和頻率，而連續(xù)使用Ritz改進過程能同時求得一組縮減了的振型和頻率。這個方法稱為“子空間迭代法”。63子空間迭代法＝矩陣迭代法＋Rayleigh-Ritz法用矩陣迭代法通過迭代使計