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商丘名校2024屆高三最后一卷數(shù)學試卷請考生注意:1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上,請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2.答題前,認真閱讀答題紙上的《注意事項》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣,每次正反面出現(xiàn)的概率相同,連續(xù)拋擲5次,至少連續(xù)出現(xiàn)3次正面朝上的概率是()A. B. C. D.2.已知向量,,則向量在向量上的投影是()A. B. C. D.3.已知二次函數(shù)的部分圖象如圖所示,則函數(shù)的零點所在區(qū)間為()A. B. C. D.4.已知雙曲線的右焦點為F,過右頂點A且與x軸垂直的直線交雙曲線的一條漸近線于M點,MF的中點恰好在雙曲線C上,則C的離心率為()A. B. C. D.5.在三棱錐中,,,,,點到底面的距離為2,則三棱錐外接球的表面積為()A. B. C. D.6.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),其右焦點F的坐標為(c,0),點A是第一象限內(nèi)雙曲線漸近線上的一點,O為坐標原點,滿足|OA|=A.2 B.2 C.2337.幻方最早起源于我國,由正整數(shù)1,2,3,……,這個數(shù)填入方格中,使得每行、每列、每條對角線上的數(shù)的和相等,這個正方形數(shù)陣就叫階幻方.定義為階幻方對角線上所有數(shù)的和,如,則()A.55 B.500 C.505 D.50508.要得到函數(shù)的導函數(shù)的圖像,只需將的圖像()A.向右平移個單位長度,再把各點的縱坐標伸長到原來的3倍B.向右平移個單位長度,再把各點的縱坐標縮短到原來的倍C.向左平移個單位長度,再把各點的縱坐標縮短到原來的倍D.向左平移個單位長度,再把各點的縱坐標伸長到原來的3倍9.設(shè),是雙曲線的左,右焦點,是坐標原點,過點作的一條漸近線的垂線,垂足為.若,則的離心率為()A. B. C. D.10.已知是雙曲線的左、右焦點,若點關(guān)于雙曲線漸近線的對稱點滿足(為坐標原點),則雙曲線的漸近線方程為()A. B. C. D.11.某三棱錐的三視圖如圖所示,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為,則該三棱錐外接球的表面積為()A. B. C. D.12.若某幾何體的三視圖(單位:cm)如圖所示,則此幾何體的體積是()A.36cm3 B.48cm3 C.60cm3 D.72cm3二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.拋物線的焦點坐標為______.14.下圖是一個算法流程圖,則輸出的S的值是______.15.已知向量,若向量與共線,則________.16.函數(shù)在上的最小值和最大值分別是_____________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)若函數(shù)在處有極值,且,則稱為函數(shù)的“F點”.(1)設(shè)函數(shù)().①當時,求函數(shù)的極值;②若函數(shù)存在“F點”,求k的值;(2)已知函數(shù)(a,b,,)存在兩個不相等的“F點”,,且,求a的取值范圍.18.(12分)選修4-5:不等式選講已知函數(shù)的最大值為3,其中.(1)求的值;(2)若,,,求證:19.(12分)設(shè)函數(shù).(1)當時,解不等式;(2)設(shè),且當時,不等式有解,求實數(shù)的取值范圍.20.(12分)如圖所示,四棱柱中,底面為梯形,,,,,,.(1)求證:;(2)若平面平面,求二面角的余弦值.21.(12分)已知橢圓C的離心率為且經(jīng)過點(1)求橢圓C的方程;(2)過點(0,2)的直線l與橢圓C交于不同兩點A、B,以O(shè)A、OB為鄰邊的平行四邊形OAMB的頂點M在橢圓C上,求直線l的方程.22.(10分)若正數(shù)滿足,求的最小值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】
首先求出樣本空間樣本點為個,再利用分類計數(shù)原理求出三個正面向上為連續(xù)的3個“1”的樣本點個數(shù),再求出重復數(shù)量,可得事件的樣本點數(shù),根據(jù)古典概型的概率計算公式即可求解.【詳解】樣本空間樣本點為個,具體分析如下:記正面向上為1,反面向上為0,三個正面向上為連續(xù)的3個“1”,有以下3種位置1____,__1__,____1.剩下2個空位可是0或1,這三種排列的所有可能分別都是,但合并計算時會有重復,重復數(shù)量為,事件的樣本點數(shù)為:個.故不同的樣本點數(shù)為8個,.故選:A【點睛】本題考查了分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理,古典概型的概率計算公式,屬于基礎(chǔ)題2、A【解析】
先利用向量坐標運算求解,再利用向量在向量上的投影公式即得解【詳解】由于向量,故向量在向量上的投影是.故選:A【點睛】本題考查了向量加法、減法的坐標運算和向量投影的概念,考查了學生概念理解,數(shù)學運算的能力,屬于中檔題.3、B【解析】由函數(shù)f(x)的圖象可知,0<f(0)=a<1,f(1)=1-b+a=0,所以1<b<2.又f′(x)=2x-b,所以g(x)=ex+2x-b,所以g′(x)=ex+2>0,所以g(x)在R上單調(diào)遞增,又g(0)=1-b<0,g(1)=e+2-b>0,根據(jù)函數(shù)的零點存在性定理可知,函數(shù)g(x)的零點所在的區(qū)間是(0,1),故選B.4、A【解析】
設(shè),則MF的中點坐標為,代入雙曲線的方程可得的關(guān)系,再轉(zhuǎn)化成關(guān)于的齊次方程,求出的值,即可得答案.【詳解】雙曲線的右頂點為,右焦點為,M所在直線為,不妨設(shè),∴MF的中點坐標為.代入方程可得,∴,∴,∴(負值舍去).故選:A.【點睛】本題考查雙曲線的離心率,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力和運算求解能力,求解時注意構(gòu)造的齊次方程.5、C【解析】
首先根據(jù)垂直關(guān)系可確定,由此可知為三棱錐外接球的球心,在中,可以算出的一個表達式,在中,可以計算出的一個表達式,根據(jù)長度關(guān)系可構(gòu)造等式求得半徑,進而求出球的表面積.【詳解】取中點,由,可知:,為三棱錐外接球球心,過作平面,交平面于,連接交于,連接,,,,,,為的中點由球的性質(zhì)可知:平面,,且.設(shè),,,,在中,,即,解得:,三棱錐的外接球的半徑為:,三棱錐外接球的表面積為.故選:.【點睛】本題考查三棱錐外接球的表面積的求解問題,求解幾何體外接球相關(guān)問題的關(guān)鍵是能夠利用球的性質(zhì)確定外接球球心的位置.6、C【解析】
計算得到Ac,bca【詳解】雙曲線的一條漸近線方程為y=bax,A故Ac,bca,F(xiàn)c,0,故Mc,故選:C.【點睛】本題考查了雙曲線離心率,意在考查學生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.7、C【解析】
因為幻方的每行、每列、每條對角線上的數(shù)的和相等,可得,即得解.【詳解】因為幻方的每行、每列、每條對角線上的數(shù)的和相等,所以階幻方對角線上數(shù)的和就等于每行(或每列)的數(shù)的和,又階幻方有行(或列),因此,,于是.故選:C【點睛】本題考查了數(shù)陣問題,考查了學生邏輯推理,數(shù)學運算的能力,屬于中檔題.8、D【解析】
先求得,再根據(jù)三角函數(shù)圖像變換的知識,選出正確選項.【詳解】依題意,所以由向左平移個單位長度,再把各點的縱坐標伸長到原來的3倍得到的圖像.故選:D【點睛】本小題主要考查復合函數(shù)導數(shù)的計算,考查誘導公式,考查三角函數(shù)圖像變換,屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】
設(shè)過點作的垂線,其方程為,聯(lián)立方程,求得,,即,由,列出相應(yīng)方程,求出離心率.【詳解】解:不妨設(shè)過點作的垂線,其方程為,由解得,,即,由,所以有,化簡得,所以離心率.故選:B.【點睛】本題主要考查雙曲線的概念、直線與直線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查運算求解、推理論證能力,屬于中檔題.10、B【解析】
先利用對稱得,根據(jù)可得,由幾何性質(zhì)可得,即,從而解得漸近線方程.【詳解】如圖所示:由對稱性可得:為的中點,且,所以,因為,所以,故而由幾何性質(zhì)可得,即,故漸近線方程為,故選B.【點睛】本題考查了點關(guān)于直線對稱點的知識,考查了雙曲線漸近線方程,由題意得出是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.11、C【解析】
作出三棱錐的實物圖,然后補成直四棱錐,且底面為矩形,可得知三棱錐的外接球和直四棱錐的外接球為同一個球,然后計算出矩形的外接圓直徑,利用公式可計算出外接球的直徑,再利用球體的表面積公式即可得出該三棱錐的外接球的表面積.【詳解】三棱錐的實物圖如下圖所示:將其補成直四棱錐,底面,可知四邊形為矩形,且,.矩形的外接圓直徑,且.所以,三棱錐外接球的直徑為,因此,該三棱錐的外接球的表面積為.故選:C.【點睛】本題考查三棱錐外接球的表面積,解題時要結(jié)合三視圖作出三棱錐的實物圖,并分析三棱錐的結(jié)構(gòu),選擇合適的模型進行計算,考查推理能力與計算能力,屬于中等題.12、B【解析】試題分析:該幾何體上面是長方體,下面是四棱柱;長方體的體積,四棱柱的底面是梯形,體積為,因此總的體積.考點:三視圖和幾何體的體積.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
變換得到,計算焦點得到答案.【詳解】拋物線的標準方程為,,所以焦點坐標為.故答案為:【點睛】本題考查了拋物線的焦點坐標,屬于簡單題.14、【解析】
根據(jù)流程圖,運行程序即得.【詳解】第一次運行,;第二次運行,;第三次運行,;第四次運行;所以輸出的S的值是.故答案為:【點睛】本題考查算法流程圖,是基礎(chǔ)題.15、【解析】
計算得到,根據(jù)向量平行計算得到答案.【詳解】由題意可得,因為與共線,所以有,即,解得.故答案為:.【點睛】本題考查了根據(jù)向量平行求參數(shù),意在考查學生的計算能力.16、【解析】
求導,研究函數(shù)單調(diào)性,分析,即得解【詳解】由題意得,,令,解得,令,解得.在上遞減,在遞增.,而,故在區(qū)間上的最小值和最大值分別是.故答案為:【點睛】本題考查了導數(shù)在函數(shù)最值的求解中的應(yīng)用,考查了學生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學運算的能力,屬于中檔題三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)①極小值為1,無極大值.②實數(shù)k的值為1.(2)【解析】
(1)①將代入可得,求導討論函數(shù)單調(diào)性,即得極值;②設(shè)是函數(shù)的一個“F點”(),即是的零點,那么由導數(shù)可知,且,可得,根據(jù)可得,設(shè),由的單調(diào)性可得,即得.(2)方法一:先求的導數(shù),存在兩個不相等的“F點”,,可以由和韋達定理表示出,的關(guān)系,再由,可得的關(guān)系式,根據(jù)已知解即得.方法二:由函數(shù)存在不相等的兩個“F點”和,可知,是關(guān)于x的方程組的兩個相異實數(shù)根,由得,分兩種情況:是函數(shù)一個“F點”,不是函數(shù)一個“F點”,進行討論即得.【詳解】解:(1)①當時,(),則有(),令得,列表如下:x10極小值故函數(shù)在處取得極小值,極小值為1,無極大值.②設(shè)是函數(shù)的一個“F點”().(),是函數(shù)的零點.,由,得,,由,得,即.設(shè),則,所以函數(shù)在上單調(diào)增,注意到,所以方程存在唯一實根1,所以,得,根據(jù)①知,時,是函數(shù)的極小值點,所以1是函數(shù)的“F點”.綜上,得實數(shù)k的值為1.(2)由(a,b,,),可得().又函數(shù)存在不相等的兩個“F點”和,,是關(guān)于x的方程()的兩個相異實數(shù)根.又,,,即,從而,,即..,,解得.所以,實數(shù)a的取值范圍為.(2)(解法2)因為(a,b,,)所以().又因為函數(shù)存在不相等的兩個“F點”和,所以,是關(guān)于x的方程組的兩個相異實數(shù)根.由得,.(2.1)當是函數(shù)一個“F點”時,且.所以,即.又,所以,所以.又,所以.(2.2)當不是函數(shù)一個“F點”時,則,是關(guān)于x的方程的兩個相異實數(shù)根.又,所以得所以,得.所以,得.綜合(2.1)(2.2),實數(shù)a的取值范圍為.【點睛】本題考查利用導數(shù)求函數(shù)極值,以及由函數(shù)的極值求參數(shù)值等,是一道關(guān)于函數(shù)導數(shù)的綜合性題目,考查學生的分析和數(shù)學運算能力,有一定難度.18、(1)(2)見解析【解析】
(1)分三種情況去絕對值,求出最大值與已知最大值相等列式可解得;(2)將所證不等式轉(zhuǎn)化為2ab≥1,再構(gòu)造函數(shù)利用導數(shù)判斷單調(diào)性求出最小值可證.【詳解】(1)∵,∴.∴當時,取得最大值.∴.(2)由(Ⅰ),得,.∵,當且僅當時等號成立,∴.令,.則在上單調(diào)遞減.∴.∴當時,.∴.【點睛】本題考查了絕對值不等式的解法,屬中檔題.本題主要考查了絕對值不等式的求解,以及不等式的恒成立問題,其中解答中根據(jù)絕對值的定義,合理去掉絕對值號,及合理轉(zhuǎn)化恒成立問題是解答本題的關(guān)鍵,著重考查分析問題和解答問題的能力,以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.19、(1);(2).【解析】
(1)通過分類討論去掉絕對值符號,進而解不等式組求得結(jié)果;(2)將不等式整理為,根據(jù)能成立思想可知,由此構(gòu)造不等式求得結(jié)果.【詳解】(1)當時,可化為,由,解得;由,解得;由,解得.綜上所述:所以原不等式的解集為.(2),,,,有解,,即,又,,實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題考查絕對值不等式的求解、根據(jù)不等式有解求解參數(shù)范圍的問題;關(guān)鍵是明確對于不等式能成立的問題,通過分離變量的方式將問題轉(zhuǎn)化為所求參數(shù)與函數(shù)最值之間的比較問題.20、(1)證明見解析(2)【解析】
(1)取中點為,連接,,,,根據(jù)線段關(guān)系可證明為等邊三角形,即可得;由為等邊三角形,可得,從而由線面垂直判斷定理可證明平面,即可證明.(2)以為原點,,,為,,軸建立空間直角坐標系,寫出各個點的坐標,并求得平面和平面的法向量,即可由法向量法求得二面角的余弦值.【詳解】(1)證明:取中點為,連接,,,如下圖所示:因為
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