第4講擬合與回歸

擬合與回歸四川師范大學趙凌曲線擬合已知一組（二維）數(shù)據(jù)，即平面上n個點（xi,yi)i=1,…n,尋求一個函數(shù)（曲線）y=f(x),使f(x)在某種準則下與所有數(shù)據(jù)點最為接近，即曲線擬合得最好。

+++++++++xy一、擬合實例：下面數(shù)據(jù)是某次實驗所得，希望得到X和f之間的關(guān)系？問題：給定一批數(shù)據(jù)點，需確定滿足特定要求的曲線或曲面解決方案：若不要求曲線（面）通過所有數(shù)據(jù)點，而是要求它反映對象整體的變化趨勢，這就是數(shù)據(jù)擬合，又稱曲線擬合或曲面擬合。若要求所求曲線（面）通過所給所有數(shù)據(jù)點，是插值問題；根據(jù)散點圖或者經(jīng)驗公式，確定函數(shù)的形式。

函數(shù)的形式分成兩種：線性的（可化為線性的）和非線性的可化為線性的：確定一組函數(shù)r1(x),r2(x),…rm(x),設(shè)y=a1r1(x)+a2r2(x)+…+amrm(x)其中a1,a2,…am

為待定系數(shù)。線性的：y=a1x1+a2x2+…+amxm,要求m<n(樣本容量）

其中a1,a2,…am

為待定系數(shù)。非線性的：y=f(x)通常選擇的六類曲線如下：(7)多項式線性化方法兩端取對數(shù)得：lny

=ln

+

x令：y'=lny，則有y'

=ln

+

x基本形式：圖像

<指數(shù)函數(shù)線性化方法兩端取對數(shù)得：lny

=ln

+/x令：y'

=lny，x'

=1/x，則有y'

=ln

+

x'基本形式：圖像負指數(shù)函數(shù)

<線性化方法兩端取對數(shù)得：lg

y=lg

+

lgx令：y'=lgy，x'=lg

x，則y'

=lg

+x'基本形式：圖像0<<1

1

=1-1<

<0

<-1

=-1冪函數(shù)線性化方法令：y'=1/y，x'=1/x,則有y'

=

+

x'基本形式：圖像

<0

>0雙曲線函數(shù)線性化方法x'=lgx

,則有y'

=

+

x'基本形式：圖像

0

<0對數(shù)函數(shù)線性化方法令：y'=1/y，x'=e-x,則有y'

=

+

x'基本形式：圖像

S

型曲線線性化方法令：y'=y，x1=x,x2=x2,…,xn=xn則有基本形式：圖像多項式曲線polyfit

polyval

對于不能化為線性模型的非線性模型，應(yīng)直接用非線性最小二乘法處理曲線擬合的Matlab實現(xiàn)

b=regress(Y,X)1、確定回歸系數(shù)的點估計值：線性回歸：regress非線性回歸函數(shù)nlinfit1.

利用nlinfit函數(shù)作非線性擬合調(diào)用格式未知參數(shù)事先用m-文件定義的非線性函數(shù)[beta,r,J,COVB,mse]=nlinfit(X,y,fun,b0,options)回歸系數(shù)初值優(yōu)化屬性設(shè)置雅可比矩陣殘差lsqnonlin，lsqcurvefit此處有鏈接案例

根據(jù)經(jīng)驗，人口增長的預測模型通常采用Logistic函數(shù)其中y(t)為t時刻人口數(shù)，A，B，C為常數(shù)。試根據(jù)1975-2005年的中國人口數(shù)據(jù)（見下頁表），得出中國人口增長預測模型。年份時間人口（萬人）人口（億人）年份時間人口（萬人）人口（億人）19750924209.24219911611582311.582319761937179.371719921711717111.717119772949749.497419931811851711.851719783962599.625919941911985011.98519794975429.754219952012112112.112119805987059.870519962112238912.23891981610007210.007219972212362612.36261982710165410.165419982312476112.47611983810300810.300819992412578612.57861984910435710.435720002512674312.674319851010585110.585120012612762712.762719861110750710.750720022712845312.845319871210930010.9320032812922712.922719881311102611.102620042912998812.998819891411270411.270420053013075613.075619901511433311.4333原始數(shù)據(jù)散點和折線圖year=renkou_data(:,1);t=renkou_data(:,2);y=renkou_data(:,4);fun=@(beta,t)[beta(1)./(1+beta(2)*exp(beta(3)*t))];[beta,resid,J]=nlinfit(t,y,fun,[15,1,1]);beta=16.16340.7712-0.0408部分結(jié)果Logistic函數(shù)表達式為：建模案例酶促反應(yīng)

問題研究酶促反應(yīng)（酶催化反應(yīng)）中嘌呤霉素的反應(yīng)速度與底物（反應(yīng)物）濃度之間關(guān)系的影響

建立數(shù)學模型，反映該酶促反應(yīng)的速度與底物濃度以及經(jīng)嘌呤霉素處理與否之間的關(guān)系

設(shè)計了兩個實驗：酶經(jīng)過嘌呤霉素處理；酶未經(jīng)嘌呤霉素處理。實驗數(shù)據(jù)見下表:

方案底物濃度(ppm)0.020.060.110.220.561.10反應(yīng)速度處理764797107123139159152191201207200未處理6751848698115131124144158160/可選的模型有：Michaelis-Menten模型指數(shù)增長模型線性化模型

經(jīng)嘌呤霉素處理后實驗數(shù)據(jù)的估計結(jié)果

參數(shù)參數(shù)估計值（×10-3）置信區(qū)間（×10-3）

15.107[3.5396.676]

20.247[0.1760.319]R2=0.8557F=59.2975p=0.0000對

1

,2非線性

對

1,

2線性

線性化模型結(jié)果分析

x較大時，y有較大偏差1/x較小時有很好的線性趨勢，1/x較大時出現(xiàn)很大的起落

參數(shù)估計時，x較?。?/x很大）的數(shù)據(jù)控制了回歸參數(shù)的確定

1/y1/xxyx=[0.020.020.060.060.110.110.220.220.560.561.101.10];y=[764797107123139159152191201207200];%建立自定義函數(shù)zl=@(beta,t)[beta(1)*t./(beta(2)+t)];%在命令窗口輸入命令bo=[195.80270.04841];[beta,R,J]=nlinfit(x,y,zl,bo')直接用非線性擬合公式nlinfit求參數(shù)估計混合反應(yīng)模型

在同一模型中考慮嘌呤霉素處理的影響x=[0.02001.00000.02001.00000.06001.00000.06001.00000.11001.00000.11001.00000.22001.00000.22001.00000.56001.00000.56001.00001.10001.00001.100000.020000.020000.060000.060000.110000.110000.220000.220000.560000.560001.100001.10000]y=[7647971071231391591521912012072006751848698115131124144158160162]functionY=zl2(beta,t)Y=(beta(1)*ones(length(t(:,1)),1)...+beta(3)*t(:,2)).*t(:,1)./...((beta(2)*ones(length(t(:,1)),1)+beta(4)*t(:,2))+t(:,1));bo=[1700.05600.01];[beta,R,j]=nlinfit(x,y,@zl2,bo');Nlintool(x,y,@zl2,bo)二、回歸曲線擬合問題的特點是，根據(jù)得到的若干有關(guān)變量的一組數(shù)據(jù)，尋找因變量與自變量之間的一個函數(shù)，使這個函數(shù)對那組數(shù)據(jù)擬合得最好。通常，函數(shù)的形式可以由經(jīng)驗、先驗知識或?qū)?shù)據(jù)的直觀觀察決定，要作的工作是由數(shù)據(jù)用最小二乘法計算函數(shù)中的待定系數(shù)。從計算的角度看，問題似乎已經(jīng)完全解決了，還有進一步研究的必要嗎?回歸的步驟：一、確定函數(shù)形式（散點圖或先驗知識）二、確定待定參數(shù)（曲線擬合）三、擬合優(yōu)度檢驗四、顯著性檢驗回歸分析就是對擬合問題作的統(tǒng)計分析。二、回歸32

第一節(jié)多元線性回歸模型

一、多元線性回歸模型

一般形式：對于有K-1個解釋變量的線性回歸模型

33

二、多元線性回歸模型的矩陣表示

多個解釋變量的多元線性回歸模型的n組樣本觀測值，可表示為

用矩陣表示

33

第二節(jié)多元線性回歸模型的估計

一、普通最小二乘法（OLS）原則：尋求剩余平方和最小的參數(shù)估計式

即求偏導，并令其為0其中即3435用矩陣表示的正規(guī)方程偏導數(shù)因為樣本回歸函數(shù)為兩邊左乘根據(jù)最小二乘原則則正規(guī)方程為回歸系數(shù)的區(qū)間估計不含原點，則此變量線性關(guān)性顯著回歸系數(shù)的點估計和區(qū)間估計、并檢驗回歸模型：

[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,alpha)回歸系數(shù)的點估計殘差用于檢驗回歸模型的統(tǒng)計量，有三個數(shù)值：相關(guān)系數(shù)r2、F值、與F對應(yīng)的概率p置信區(qū)間顯著性水平（缺省時為0.05）37第三節(jié)

多元線性回歸模型的檢驗

一、多元回歸的擬合優(yōu)度檢驗

多重可決系數(shù)：在多元回歸模型中，由各個解釋變量聯(lián)合起來解釋了的Y的變差，在Y的總變差中占的比重，用表示

多元回歸中多重可決系數(shù)可表示為

37回歸系數(shù)的區(qū)間估計不含原點，則此變量線性關(guān)性顯著回歸系數(shù)的點估計和區(qū)間估計、并檢驗回歸模型：

[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,alpha)回歸系數(shù)的區(qū)間估計殘差用于檢驗回歸模型的統(tǒng)計量，有三個數(shù)值：相關(guān)系數(shù)r2、F值、與F對應(yīng)的概率p置信區(qū)間顯著性水平（缺省時為0.05）線性關(guān)系檢驗－F檢驗檢驗因變量與所有自變量之間的是否顯著也被稱為總體的顯著性檢驗檢驗方法是將回歸離差平方和(SSR)同剩余離差平方和(SSE)加以比較，應(yīng)用F檢驗來分析二者之間的差別是否顯著如果是顯著的，因變量與自變量之間存在線性關(guān)系如果不顯著，因變量與自變量之間不存在線性關(guān)系線性關(guān)系檢驗提出假設(shè)H0：

1

2

p=0線性關(guān)系不顯著H1：

1，

2，，

p至少有一個不等于02.計算檢驗統(tǒng)計量F3.確定顯著性水平和分子自由度p、分母自由度n-p-1找出臨界值F

4.作出決策：若F>F

，拒絕H0回歸系數(shù)的區(qū)間估計不含原點，則此變量線性關(guān)性顯著回歸系數(shù)的點估計和區(qū)間估計、并檢驗回歸模型：

[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,alpha)回歸系數(shù)的區(qū)間估計殘差用于檢驗回歸模型的統(tǒng)計量，有三個數(shù)值：相關(guān)系數(shù)r2、F值、與F對應(yīng)的概率p置信區(qū)間顯著性水平（缺省時為0.05）回歸系數(shù)的檢驗－t檢驗線性關(guān)系檢驗通過后，對各個回歸系數(shù)有選擇地進行一次或多次檢驗應(yīng)用t檢驗統(tǒng)計量回歸系數(shù)的檢驗

(步驟)提出假設(shè)H0：bi=0(自變量xi與

因變量y沒有線性關(guān)系)H1：bi

0(自變量xi與

因變量y有線性關(guān)系)計算檢驗的統(tǒng)計量t確定顯著性水平，并進行決策

t>t

，拒絕H0；t<t

，不拒絕H0回歸系數(shù)的區(qū)間估計不含原點，則此變量線性關(guān)性顯著2、求回歸系數(shù)的點估計和區(qū)間估計、并檢驗回歸模型：

[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,alpha)回歸系數(shù)的區(qū)間估計殘差用于檢驗回歸模型的統(tǒng)計量，有三個數(shù)值：相關(guān)系數(shù)r2、F值、與F對應(yīng)的概率p置信區(qū)間顯著性水平（缺省時為0.05）

3、案例

考察15名不同程度的煙民的每日抽煙量、飲酒量（啤酒）與其心電圖指標(zb)的對應(yīng)數(shù)據(jù)，試建立心電圖指標關(guān)于日抽煙量和日飲酒量的適合的回歸模型。組別(g)日抽煙量(x)/支日飲酒量(y)/升心電圖指標(zb)130102801251126013513330140144001451441022012170218112102251228022513300223132903401441034515420348164253501845035519470xyz=[。。。。。。];x=xyz(:,1);y=xyz(:,2);z=xyz(:,3);n=size(x,1);xy=[ones(n,1),x,y];[b,bint,r,rint,stats]=regress(z,xy)b= r= rint= 66.0944 -17.7298 -63.672 28.21246.9774 -5.0743 -62.5486 52.40012.2314 -9.3109 -68.5999 49.9781 23.5708 -33.7319 80.8734bint= -1.3161 -56.5055 53.8732-38.5544 170.7431 -62.4187 -98.9014 -25.9364.3205 9.6342 -6.2326 -61.3311 48.866-10.4242 14.8869 12.6943 -45.363 70.7517 30.463 -22.6035 83.5294 34.4177 -15.1129 83.9484 33.5708 -21.5381 88.6797 6.4525 -51.6618 64.5667 -11.7111 -68.6822 45.26 -5.1286 -57.4971 47.2399 -22.2469 -68.6258 24.132結(jié)果stats= 0.924673.57410.0000751.6477回歸方程r2F值p值誤差方差估計rcoplot(r,rint)殘差分析xy=[ones(n,1),x,y,x.^2,x.*y,y.^2];[b,bint,r,rint,stats]=regress(z,xy)調(diào)用regress函數(shù)作回歸分析的Matlab程序2部分結(jié)果b= bint= -283.1555 -744.3545178.043617.7399 -11.037 46.516822.681 -93.3294 138.6914-0.1906 -0.7285 0.34720.0601 -4.1065 4.2267-0.4046 -9.6039 8.7946

stats= 0.954537.75250604.8832一室模型：將整個機體看作一個房室，稱中心室，室內(nèi)血藥濃度是均勻的?？焖凫o脈注射后，濃度立即上升；然后迅速下降。當濃度太低時，達不到預期的治療效果；當濃度太高，又可能導致藥物中毒或副作用太強。臨床上，每種藥物有一個最小有效濃度c1和一個最大有效濃度c2。設(shè)計給藥方案時，要使血藥濃度保持在c1~c2之間。本題設(shè)c1=10，c2=25(ug/ml).擬合問題實例2給藥方案——一種新藥用于臨床之前，必須設(shè)計給藥方案.藥物進入機體后血液輸送到全身，在這個過程中不斷地被吸收、分布、代謝，最終排出體外，藥物在血液中的濃度，即單位體積血液中的藥物含量，稱為血藥濃度。案例

在實驗方面,對某人用快速靜脈注射方式一次注入該藥物300mg后,在一定時刻t(小時)采集血藥,測得血藥濃度c(ug/ml)如下表:

t(h)0.250.511.523468c(g/ml)19.2118.1515.3614.1012.899.327.455.243.01要設(shè)計給藥方案,必須知道給藥后血藥濃度隨時間變化的規(guī)律。從實驗和理論兩方面著手：給藥方案1.在快速靜脈注射的給藥方式下，研究血藥濃度（單位體積血液中的藥物含量）的變化規(guī)律。tc2cc10

問題2.給定藥物的最小有效濃度和最大治療濃度，設(shè)計給藥方案：每次注射劑量多大；間隔時間多長分析理論：用一室模型研究血藥濃度變化規(guī)律

實驗：對血藥濃度數(shù)據(jù)作擬合，符合負指數(shù)變化規(guī)律3.血液容積v,t=0注射劑量d,血藥濃度立即為d/v.2.藥物排除速率與血藥濃度成正比，比例系數(shù)k(>0)模型假設(shè)1.機體看作一個房室，室內(nèi)血藥濃度均勻——一室模型模型建立

在此，d=300mg，t及c（t）在某些點處的值見前表，需經(jīng)擬合求出參數(shù)k、v用線性最小二乘擬合c(t)計算結(jié)果：d=300;t=[0.250.511.523468];c=[19.2118.1515.3614.1012.899.327.455.243.01];y=log(c);a=polyfit(t,y,1)k=-a(1)v=d/exp(a(2))程序：給藥方案設(shè)計cc2c10

t設(shè)每次注射劑量D,間隔時間

血藥濃度c(t)

應(yīng)c1

c(t)

c2初次劑量D0應(yīng)加大給藥方案記為：2、1、計算結(jié)果：給藥方案：c1=10,c2=25k=0.2347v=15.02故可制定給藥方案：即:

首次注射375mg，其余每次注射225mg，注射的間隔時間為4小時。估計水塔的流量2、解題思路3、算法設(shè)計與編程1、問題某居民區(qū)有一供居民用水的園柱形水塔，一般可以通過測量其水位來估計水的流量，但面臨的困難是，當水塔水位下降到設(shè)定的最低水位時，水泵自動啟動向水塔供水，到設(shè)定的最高水位時停止供水，這段時間無法測量水塔的水位和水泵的供水量．通常水泵每天供水一兩次，每次約兩小時.水塔是一個高12.2米，直徑17.4米的正園柱．按照設(shè)計，水塔水位降至約8.2米時，水泵自動啟動，水位升到約10.8米時水泵停止工作．表1是某一天的水位測量記錄，試估計任何時刻（包括水泵正供水時）從水塔流出的水流量，及一天的總用水量．流量估計的解題思路擬合水位~時間函數(shù)確定流量~時間函數(shù)估計一天總用水量擬合水位~時間函數(shù)

測量記錄看，一天有兩個供水時段（以下稱第1供水時段和第2供水時段），和3個水泵不工作時段（以下稱第1時段t=0到t=8.97，第2次時段t=10.95到t=20.84和第3時段t=23以后）．對第1、2時段的測量數(shù)據(jù)直接分別作多項式擬合，得到水位函數(shù)．為使擬合曲線比較光滑，多項式次數(shù)不要太高，一般在3~6．由于第3時段只有3個測量記錄，無法對這一時段的水位作出較好的擬合．

2、確定流量~時間函數(shù)

對于第1、2時段只需將水位函數(shù)求導數(shù)即可，對于兩個供水時段的流量，則用供水時段前后（水泵不工作時段）的流量擬合得到，并且將擬合得到的第2供水時段流量外推，將第3時段流量包含在第2供水時段內(nèi)．3、一天總用水量的估計

總用水量等于兩個水泵不工作時段和兩個供水時段用水量之和，它們都可以由流量對時間的積分得到。算法設(shè)計與編程1、擬合第1、2時段的水位，并導出流量2、擬合供水時段的流量3、估計一天總用水量4、流量及總用水量的檢驗

1、擬合第1時段的水位，并導出流量設(shè)t，h為已輸入的時刻和水位測量記錄（水泵啟動的4個時刻不輸入），第1時段各時刻的流量可如下得：1）c1=polyfit（t（1：10），h（1：10），3）；

%用3次多項式擬合第1時段水位，c1輸出3次多項式的系數(shù)2）a1=polyder（c1）；

%a1輸出多項式（系數(shù)為c1）導數(shù)的系數(shù)

3）tp1=0：0.1：9；

x1=-polyval（a1，tp1）；

%x1輸出多項式（系數(shù)為a1）在tp1點的函數(shù)值（取負后邊為正值），即tp1時刻的流量

4）流量函數(shù)為：

2、擬合第2時段的水位，并導出流量設(shè)t，h為已輸入的時刻和水位測量記錄（水泵啟動的4個時刻不輸入），第2時段各時刻的流量可如下得：1）c2=polyfit(t(10.9:21),h(10.9:21),3)；

%用3次多項式擬合第2時段水位，c2輸出3次多項式的系數(shù)2）a2=polyder(c2)；

%a2輸出多項式（系數(shù)為c2）導數(shù)的系數(shù)

3）tp2=10.9:0.1:21;x2=-polyval(a2,tp2);%x2輸出多項式（系數(shù)為a2）在tp2點的函數(shù)值（取負后邊為正值），即tp2時刻的流量4）流量函數(shù)為：

3、擬合供水時段的流量在第1供水時段（t=9~11）之前（即第1時段）和之后（即第2時段）各取幾點，其流量已經(jīng)得到，用它們擬合第1供水時段的流量．為使流量函數(shù)在t=9和t=11連續(xù)，我們簡單地只取4個點，擬合3次多項式（即曲線必過這4個點），實現(xiàn)如下：

xx1=-polyval（a1，[89]）；%取第1時段在t=8,9的流量

xx2=-polyval（a2，[1112]）；%取第2時段在t=11,12的流量

xx12=[xx1xx2]；

c12=polyfit（[891112]，xx12，3）；%擬合3次多項式

tp12=9：0.1：11；

x12=polyval（c12，tp12）；%x12輸出第1供水時段各時刻的流量擬合的流量函數(shù)為：在第2供水時段之前取t=20，20.8兩點的流水量，在該時刻之后（第3時段）僅有3個水位記錄，我們用差分得到流量，然后用這4個數(shù)值擬合第2供水時段的流量如下：

dt3=diff（t(22：24)）；%最后3個時刻的兩兩之差

dh3=diff（h(22：24)）；%最后3個水位的兩兩之差

dht3=-dh3./dt3；%t(22)和t(23)的流量

t3=[2020.8t(22)t(23)]；

xx3=[-polyval(a2，t3(1：2)，dht3)]；%取t3各時刻的流量

c3=polyfit（t3，xx3，3）；%擬合3次多項式

t3=20.8：0.1：24；

x3=polyval（c3，tp3）；%x3輸出第2供水時段（外推至t=24）各時刻的流量擬合的流量函數(shù)為：

3、一天總用水量的估計第1、2時段和第1、2供水時段流量的積分之和，就是一天總用水量．雖然諸時段的流量已表為多項式函數(shù)，積分可以解析地算出，這里仍用數(shù)值積分計算如下：

y1=0.1*trapz(x1)；%第1時段用水量（仍按高度計），0.1為積分步長

y2=0.1*trapz(x2)；%第2時段用水量

y12=0.1*trapz(x12)；%第1供水時段用水量

y3=0.1*trapz(x3)；%第2供水時段用水量

y=（y1+y2+y12+y3）*237.8*0.01；%一天總用水量（）計算結(jié)果：y1=146.2,y2=266.8,y12=47.4,y3=77.3，y=1250.4

4、流量及總用水量的檢驗計算出的各時刻的流量可用水位記錄的數(shù)值微分來檢驗．用水量y1可用第1時段水位測量記錄中下降高度968-822=146來檢驗，類似地，y2用1082-822=260檢驗．供水時段流量的一種檢驗方法如下：供水時段的用水量加上水位上升值260是該時段泵入的水量，除以時段長度得到水泵的功率（單位時間泵入的水量），而兩個供水時段水泵的功率應(yīng)大致相等．第1、2時段水泵的功率可計算如下：

p1=(y12+260)/2；%第1供水時段水泵的功率（水量仍以高度計）

tp4=20.8：0.1：23；

xp2=polyval（c3，tp4）；%xp2輸出第2供水時段各時刻的流量

p2=(0.1*trapz(xp2)+260)/2.2；%第2供水時段水泵的功率（水量仍以高度計）計算結(jié)果：p1=154.5，p2=140.1計算結(jié)果流量函數(shù)為：流量曲線見圖n=(3,4)n=(5,6)練習1用給定的多項式，如y=x3-6x2+5x-3，產(chǎn)生一組數(shù)據(jù)(xi,yi，i=1,2,…,n),再在yi上添加隨機干擾(可用rand產(chǎn)生(0,1)均勻分布隨機數(shù),或用rands產(chǎn)生N(0,1)分布隨機數(shù))，然后用xi和添加了隨機干擾的yi作的3次多項式擬合，與原系數(shù)比較。如果作2或4次多項式擬合，結(jié)果如何？

練習2、用電壓V=10伏的電池給電容器充電，電容器上t時刻的電壓為，其中V0是電容器的初始電壓，是充電常數(shù)。試由下面一組t，V數(shù)據(jù)確定V0，。作業(yè)：農(nóng)作物施肥效果分析電力市場的輸電阻塞管理（題目）電力市場的輸電阻塞管理（論文一）電力市場的輸電阻塞管理（論文二）用非線性最小二乘擬合c(t)-用lsqcurvefit2、主程序lihe2.m如下cleartdata=[0.250.511.523468];cdata=[19.2118.1515.3614.1012.899.327.455.243.01];x0=[10,0.5];x=lsqcurvefit('curvefun3',x0,tdata,cdata);f=curvefun3(x,tdata)x1、用M-文件curvefun3.m定義函數(shù)functionf=curvefun3(x,tdata)d=300f=(x(1)\d)*exp(-x(2)*tdata)%x(1)=v;x(2)=k

1.lsqcurvefit已知數(shù)據(jù)點：

xdata=（xdata1，xdata2，…，xdatan），

ydata=（ydata1，ydata2，…，ydatan）

用MATLAB作非線性最小二乘擬合

Matlab的提供了兩個求非線性最小二乘擬合的函數(shù)：lsqcurvefit和lsqnonlin。兩個命令都要先建立M-文件fun.m，在其中定義函數(shù)f(x)，但兩者定義f(x)的方式是不同的,可參考例題.

lsqcurvefit用以求含參量x（向量）的向量值函數(shù)F(x,xdata)=（F（x，xdata1），…，F(xiàn)（x，xdatan））T中的參變量x(向量),使得

輸入格式為:(1)x=lsqcurvefit(‘fun’,x0,xdata,ydata);(2)x=lsqcurvefit(‘fun’,x0,xdata,ydata,options);(3)x=lsqcurvefit(‘fun’,x0,xdata,ydata,options,’grad’);(4)[x,options]=lsqcurvefit(‘fun’,x0,xdata,ydata,…);(5)[x,options,funval]=lsqcurvefit(‘fun’,x0,xdata,ydata,…);(6)[x,options,funval,Jacob]=lsqcurvefit(‘fun’,x0,xdata,ydata,…);fun是一個事先建立的定義函數(shù)F(x,xdata)

的M-文件,自變量為x和xdata說明：x=lsqcurvefit(‘fun’,x0,xdata,ydata,options);迭代初值已知數(shù)據(jù)點選項見無約束優(yōu)化

lsqnonlin用以求含參量x（向量）的向量值函數(shù)

f(x)=(f1(x),f2(x),…,fn(x))T

中的參量x，使得

最小。其中fi（x）=f（x，xdatai，ydatai）

=F(x,xdatai)-ydatai

2.lsqnonlin已知數(shù)據(jù)點：xdata=（xdata1，xdata2，…，xdatan）

ydata=（ydata1，ydata2，…，ydatan）輸入格式為：

1）x=lsq