中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《角形中位線綜合》專題訓(xùn)練（附答案）

第第頁(yè)中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《角形中位線綜合》專題訓(xùn)練（附答案）學(xué)校:___________班級(jí)：___________姓名：___________考號(hào)：___________1．在中，，將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，其中點(diǎn)A，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)，．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)落在的延長(zhǎng)線上時(shí)，求的長(zhǎng)；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)落在的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接，交于點(diǎn)M，求的長(zhǎng)；（3）如圖3，連接，直線交于點(diǎn)D，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，連接．在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．2．如圖1，中，點(diǎn)分別在邊上，，點(diǎn)G在線段上，，．

（1）填空：與相等的角是_____；（2）用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）若（如圖2），求的值．3．如圖，菱形的邊長(zhǎng)為1，，點(diǎn)E是邊上任意一點(diǎn)（端點(diǎn)除外），線段的垂直平分線交，分別于點(diǎn)F，G，，的中點(diǎn)分別為M，N．（1）求證：；（2）求的最小值；（3）當(dāng)點(diǎn)E在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的大小是否變化？為什么？4．已知：△ABC和△ADE均為等邊三角形，連接BE，CD，點(diǎn)F，G，H分別為DE，BE，CD中點(diǎn)．(1)當(dāng)△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)時(shí)，如圖1，則△FGH的形狀為，說(shuō)明理由；(2)在△ADE旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)B，D，E三點(diǎn)共線時(shí)，如圖2，若AB=3，AD=2，求線段FH的長(zhǎng)；(3)在△ADE旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，若AB=a，AD=b（a＞b＞0），則△FGH的周長(zhǎng)是否存在最大值和最小值，若存在，直接寫(xiě)出最大值和最小值；若不存在，說(shuō)明理由．5．已知E，F(xiàn)分別為正方形ABCD的邊BC，CD上的點(diǎn)，AF，DE相交于點(diǎn)G，當(dāng)E，F(xiàn)分別為邊BC，CD的中點(diǎn)時(shí)，有：①AF=DE；②AF⊥DE成立．試探究下列問(wèn)題：（1）如圖1，若點(diǎn)E不是邊BC的中點(diǎn)，F(xiàn)不是邊CD的中點(diǎn)，且CE=DF，上述結(jié)論①，②是否仍然成立？（請(qǐng)直接回答“成立”或“不成立”，不需要證明）（2）如圖2，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別在CB的延長(zhǎng)線和DC的延長(zhǎng)線上，且CE=DF，此時(shí)，上述結(jié)論①，②是否仍然成立？若成立，請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖3，在（2）的基礎(chǔ)上，連接AE和BF，若點(diǎn)M，N，P，Q分別為AE，EF，F(xiàn)D，AD的中點(diǎn)，請(qǐng)判斷四邊形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一種，并證明你的結(jié)論．6．如圖1，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=1，D為△ABC內(nèi)部的一動(dòng)點(diǎn)（不在邊上），連接BD，將線段BD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，使點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)F的位置；將線段AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)E的位置，連接AD，CD，AE，AF，BF，EF．（1）求證：△BDA≌△BFE；（2）①CD+DF+FE的最小值為；②當(dāng)CD+DF+FE取得最小值時(shí)，求證：AD∥BF．（3）如圖2，M，N，P分別是DF，AF，AE的中點(diǎn)，連接MP，NP，在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，請(qǐng)判斷∠MPN的大小是否為定值．若是，求出其度數(shù)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．7．（1）用數(shù)學(xué)的眼光觀察．如圖，在四邊形中，，是對(duì)角線的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，求證：．（2）用數(shù)學(xué)的思維思考．如圖，延長(zhǎng)圖中的線段交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，延長(zhǎng)線段交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，求證：．（3）用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)．如圖，在中，，點(diǎn)在上，，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接，若，試判斷的形狀，并進(jìn)行證明．8．如圖①，和是等邊三角形，連接，點(diǎn)F，G，H分別是和的中點(diǎn)，連接．易證：．若和都是等腰直角三角形，且，如圖②：若和都是等腰三角形，且，如圖③：其他條件不變，判斷和之間的數(shù)量關(guān)系，寫(xiě)出你的猜想，并利用圖②或圖③進(jìn)行證明．

9．如圖1，在四邊形中，和相交于點(diǎn)O，．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)如圖2，E，F(xiàn)，G分別是的中點(diǎn)，連接，若，求的周長(zhǎng)．10．在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，順次連接EF、FG、GH、HE．（1）請(qǐng)判斷四邊形EFGH的形狀，并給予證明；（2）試添加一個(gè)條件，使四邊形EFGH是菱形．(寫(xiě)出你添加的條件，不要求證明)11．已知：如圖，在△ABC中，DE、DF是△ABC的中位線，連接EF、AD，其交點(diǎn)為O．求證：（1）△CDE≌△DBF；（2）OA=OD．12．如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，AD的中點(diǎn)．（1）請(qǐng)判斷△OEF的形狀，并證明你的結(jié)論；（2）若AB=13，AC=10，請(qǐng)求出線段EF的長(zhǎng)．答案：1．（1）在中，．根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，即為等腰三角形．∵，即，∴，∴．（2）如圖，作交于點(diǎn)D，作交于點(diǎn)E．由旋轉(zhuǎn)可得，．∵，∴，∴，∴，．∵，即，∴．在中，，∴．∴．∵，∴，即，∴．（3）如圖，作且交延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，連接．∵，∴，∵，即，又∵，∴．∵，∴，∴，∴，∴．∴在和中，∴，∴，即點(diǎn)D為中點(diǎn)．∵點(diǎn)E為AC中點(diǎn)，∴DE為的中位線，∴，即要使DE最小，最小即可．根據(jù)圖可知，即當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)最小，且最小值為．∴此時(shí)，即DE最小值為1．2．解：（1）

故答案為：（2）理由如下：在上取點(diǎn)，使連接，，四邊形是平行四邊形，為的中位線，

（3）如圖，在上取點(diǎn)，使連接，同理可得：四邊形是平行四邊形，為的中位線，設(shè)，設(shè)

3．解：（1）連接CF，∵FG垂直平分CE，∴CF=EF，∵四邊形ABCD為菱形，∴A和C關(guān)于對(duì)角線BD對(duì)稱，∴CF=AF，∴AF=EF；（2）連接AC，∵M(jìn)和N分別是AE和EF的中點(diǎn)，點(diǎn)G為CE中點(diǎn)，∴MN=AF，NG=CF，即MN+NG=（AF+CF），當(dāng)點(diǎn)F與菱形ABCD對(duì)角線交點(diǎn)O重合時(shí)，AF+CF最小，即此時(shí)MN+NG最小，∵菱形ABCD邊長(zhǎng)為1，∠ABC=60°，∴△ABC為等邊三角形，AC=AB=1，即MN+NG的最小值為；（3）不變，理由是：延長(zhǎng)EF，交DC于H，∵∠CFH=∠FCE+∠FEC，∠AFH=∠FAE+∠FEA，∴∠AFC=∠FCE+∠FEC+∠FAE+∠FEA，∵點(diǎn)F在菱形ABCD對(duì)角線BD上，根據(jù)菱形的對(duì)稱性可得：∠AFD=∠CFD=∠AFC，∵AF=CF=EF，∴∠AEF=∠EAF，∠FEC=∠FCE，∴∠AFD=∠FAE+∠ABF=∠FAE+∠CEF，∴∠ABF=∠CEF，∵∠ABC=60°，∴∠ABF=∠CEF=30°，為定值.4．（1）解：結(jié)論：△FGH是等邊三角形．理由如下：如圖1中，連接BD、CE，延長(zhǎng)BD交CE于M，設(shè)BM交FH于點(diǎn)O．∵△ABC和△ADE均為等邊三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD=CE，∠ADB=∠AEC，∵EG=GB，EF=FD，∴FG=BD，GF∥BD，∵DF=EF，DH=HC，∴FH=EC，F(xiàn)H∥EC，∴FG=FH，∵∠ADB+∠ADM=180°，∴∠AEC+∠ADM=180°，∴∠DME+∠DAE=180°，∴∠DME=120°，∴∠BMC=60°∴∠GFH=∠BOH=∠BMC=60°，∴△FGH是等邊三角形，故答案為：等邊三角形．（2）解：如圖2中，連接AF、EC．∵△BAD≌△CAE，∴BD=CE，∵△ADE是等邊三角形，F(xiàn)為DE的中點(diǎn)，∴AF⊥DE，在Rt△AEF中，AE=2，EF=DF=1，∴AF==，在Rt△ABF中，BF==，∴BD=CE=BF﹣DF=，∵F、H分別為DE，CD的中點(diǎn)，∴FH=EC=．（3）解：存在．理由如下．由（1）可知，△FGH是等邊三角形，GF=BD，∴△FGH的周長(zhǎng)=3GF=3FH=，在△ABD中，AB=a，AD=b，∴BD的最小值為a﹣b，最大值為a+b，∴△FGH的周長(zhǎng)最大值為（a+b），最小值為（a﹣b）．5．（1）上述結(jié)論①，②仍然成立，理由是：∵四邊形ABCD為正方形，∴AD=DC，∠BCD=∠ADC=90°．在△ADF和△DCE中，，∴△ADF≌△DCE(SAS)，∴AF=DE，∠DAF=∠CDE．∵∠ADG+∠EDC=90°，∴∠ADG+∠DAF=90°，∴∠AGD=90°，即AF⊥DE；（2）上述結(jié)論①，②仍然成立，理由是：.∵四邊形ABCD為正方形，∴AD=DC，∠BCD=∠ADC=90°．在△ADF和△DCE中，，∴△ADF≌△DCE(SAS)，∴AF=DE，∠DAF=∠EDC．∵∠ADG+∠EDC=90°∴∠ADG+∠DAF=90°∴∠AGD=90°，即AF⊥DE；（3）四邊形MNPQ是正方形．理由是：如圖，設(shè)MQ，DE分別交AF于點(diǎn)G，O，PQ交DE于點(diǎn)H．∵點(diǎn)M，N，P，Q分別為AE，EF，F(xiàn)D，AD的中點(diǎn)，∴MQ=PN=DE，PQ=MN=AF，，∴四邊形OHQG是平行四邊形．∵AF=DE，∴MQ=PQ=PN=MN，∴四邊形MNPQ是菱形．∵AF⊥DE，∴∠AOD=90°∴∠HQG=∠AOD=90°∴四邊形MNPQ是正方形．6．解：（1）證明：∵∠DBF=∠ABE=60°，∴∠DBF-∠ABF=∠ABE-∠ABF，∴∠ABD=∠EBF，在△BDA與△BFE中，，∴△BDA≌△BFE（SAS）；（2）①∵兩點(diǎn)之間，線段最短，即C、D、F、E共線時(shí)CD+DF+FE最小，∴CD+DF+FE最小值為CE，∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1，∴BE=AB=2，BC=，∵∠CBE=∠ABC+∠ABE=90°，∴CE=，故答案為：；②證明：∵BD=BF，∠DBF=60°，∴△BDF為等邊三角形，即∠BFD=60°，∵C、D、F、E共線時(shí)CD+DF+FE最小，∴∠BFE=120°，∵△BDA≌△BFE，∴∠BDA=120°，∴∠ADF=∠ADB-∠BDF=120°-60°=60°，∴∠ADF=∠BFD，∴AD∥BF；（3）∠MPN的大小是為定值，理由如下：如圖，連接MN，∵M(jìn)，N，P分別是DF，AF，AE的中點(diǎn)，∴MN∥AD且PN∥EF，∵AB=BE且∠ABE=60°，∴△ABE為等邊三角形，設(shè)∠BEF=∠BAD=α，∠PAN=β，則∠AEF=∠APN=60°-α，∠EAD=60°+α，∴∠PNF=60°-α+β，∠FNM=∠FAD=60°+α-β，∴∠PNM=∠PNF+∠FNM=60°-α+β+60°+α-β=120°，∵△BDA≌△BFE，∴MN=AD=FE=PN，∴∠MPN=(180°-∠PNM)=30°．7．證明：（1）的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，.同理，.，..（2）的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，，.同理，.由（1）可知，.（3）是直角三角形，證明如下：如圖，取的中點(diǎn)，連接，，是的中點(diǎn)，，.同理，，.，..，，.，.又，是等邊三角形，.又，.，.是直角三角形.故答案為：是直角三角形.8．解：圖②中，圖③中，圖②證明如下：如圖②所示，連接，∵點(diǎn)F，G分別是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，同理可得，∵和都是等腰直角三角形，且，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴；

圖③證明如下：如圖③所示，連接，∵點(diǎn)F，G分別是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，同理可得，∵和都是等腰三角形，且，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，∴．

9．（1）證明：∵，∴BC∥AD，在△AOD和△COB中：，∴△AOD≌△COB(ASA)，∴BC=AD，∴四邊形ABCD為平行四邊形．（2）解：∵點(diǎn)E、F分別為BO和CO的中點(diǎn)，∴EF是△OBC的中位線，∴；∵ABCD為平行四邊形，∴BD=2BO，又已知BD=2BA，∴BO=BA=CD=OD，∴△DOC與△BOA均為等腰三角形，又F為OC的中點(diǎn)，連接DF，∴DF⊥OC，∴∠AFD=90°，又G為AD的中點(diǎn)，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可知：；過(guò)B點(diǎn)作BH⊥AO于H，連接HG，如上圖所示：由等腰三角形的“三線合一”可知：AH=HO=AO=AC=4，∴HC=HO+OC=4+8=12，在Rt△BHC中，由勾股定理可知,∵H為AO中點(diǎn)，G為AD中點(diǎn)，∴HG為△AOD的中位線，∴HG∥BD，即HG∥BE，且，∴四邊形BHGE為平行四邊形，∴GE=BH=9，∴．10．連接A、C∵E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)∴HG∥ACEF∥AC,∴HG∥EF又HG=EF=AC∴四邊形EFGH是平行四邊形．11．試題分析：根據(jù)三角形中位線，可得DF與CE的關(guān)系，DB與DC的關(guān)系，根據(jù)SAS，可得答案；根據(jù)三角形的中位線，可得DF與AE的關(guān)系，根據(jù)平行四邊形的判定與性質(zhì)，可得答案．試題解析：證明：（1）∵DE、DF是△ABC的中位線，∴DF=CE，DF∥CE，DB=DC．∵DF∥CE，∴∠C=∠BDF．在△CDE和△DBF中，∴△CDE≌△DBF（SAS）；（2）∵DE、DF是△ABC的中位線