專題17 圓錐曲線常考壓軸小題全歸類（16大題型）（練習(xí)）（原卷版）-2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講練測（新教材新高考）

專題17圓錐曲線常考壓軸小題全歸類目錄01阿波羅尼斯圓與圓錐曲線 202蒙日圓 303阿基米德三角形 304仿射變換問題 405圓錐曲線第二定義 506焦半徑問題 507圓錐曲線第三定義 608定比點差法與點差法 609切線問題 710焦點三角形問題 811焦點弦問題 812圓錐曲線與張角問題 913圓錐曲線與角平分線問題 914圓錐曲線與通徑問題 1015圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)問題 1016圓錐曲線與四心問題 1101阿波羅尼斯圓與圓錐曲線1．（2024·江西贛州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德并稱為亞歷山大時期數(shù)學(xué)三巨匠，他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知動點M與兩定點A，B的距離之比為，那么點M的軌跡就是阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．已知在平面直角坐標(biāo)系中，圓、點和點，M為圓O上的動點，則的最大值為（

）A． B． C． D．2．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知平面內(nèi)兩個定點，及動點，若（且），則點的軌跡是圓.后世把這種圓稱為阿波羅尼斯圓.已知，，直線，直線，若為，的交點，則的最小值為（

）A．3 B． C． D．3．（2024·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得?阿基米德被稱為亞歷山大時期數(shù)學(xué)三巨匠，阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點的距離之比為定值，且的點的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”.在平面直角坐標(biāo)系中，，點滿足.設(shè)點的軌跡為曲線，則下列說法錯誤的是（

）A．的方程為B．當(dāng)三點不共線時，則C．在C上存在點M，使得D．若，則的最小值為02蒙日圓4．（2024·青海西寧·統(tǒng)考）法國數(shù)學(xué)家加斯帕·蒙日被稱為“畫法幾何創(chuàng)始人”“微分幾何之父”．他發(fā)現(xiàn)與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個圓被稱為該橢圓的蒙日圓．若橢圓：（）的蒙日圓為，則橢圓Γ的離心率為（

）A． B． C． D．5．（2024·陜西西安·長安一中?？迹懊扇請A”涉及幾何學(xué)中的一個著名定理，該定理的內(nèi)容為：橢圓上兩條互相輸出垂直的切線的交點必在一個與橢圓同心的圓上，該圓稱為橢圓的蒙日圓．若橢圓C：的離心率為，則橢圓C的蒙日圓的方程為（

）A． B． C． D．6．（2024·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）定義：圓錐曲線的兩條相互垂直的切線的交點的軌跡是以坐標(biāo)原點為圓心，為半徑的圓，這個圓稱為蒙日圓.已知橢圓的方程為，是直線上的一點，過點作橢圓的兩條切線與橢圓相切于、兩點，是坐標(biāo)原點，連接，當(dāng)為直角時，則（

）A．或 B．或 C．或 D．或03阿基米德三角形7．（2024·陜西銅川·統(tǒng)考）古希臘哲學(xué)家、百科式科學(xué)家阿基米德最早采用分割法求得橢圓的面積為橢圓的長半軸長和短半軸長乘積的倍，這種方法已具有積分計算的雛形.已知橢圓的面積為，離心率為，，是橢圓的兩個焦點，為橢圓上的動點，則下列結(jié)論正確的是（

）①橢圓的標(biāo)準方程可以為

②若，則③存在點，使得

④的最小值為A．①③ B．②④ C．②③ D．①④8．（2024·河北·校聯(lián)考）拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形稱為阿基米德三角形，在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史長河中，它不斷地閃煉出真理的光輝，這個兩千多年的古老圖形，蘊藏著很多性質(zhì)．已知拋物線，過焦點的弦的兩個端點的切線相交于點，則下列說法正確的是（

）A．點必在直線上，且以為直徑的圓過點B．點必在直線上，但以為直徑的圓不過點C．點必在直線上，但以為直徑的圓不過點D．點必在直線上，且以為直徑的圓過點9．（2024·青海西寧·統(tǒng)考）拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形常被稱為阿基米德三角形．阿基米德三角形有一些有趣的性質(zhì)，如：若拋物線的弦過焦點，則過弦的端點的兩條切線的斜率之積為定值．設(shè)拋物線，弦AB過焦點，△ABQ為阿基米德三角形，則△ABQ的面積的最小值為（

）A． B． C． D．04仿射變換問題10．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓，分別為橢圓左右焦點，過作兩條互相平行的弦，分別與橢圓交于四點，若當(dāng)兩條弦垂直于軸時，點所形成的平行四邊形面積最大，則橢圓離心率的取值范圍為.11．（2024·江蘇·高二專題練習(xí)）已知橢圓左頂點為，為橢圓上兩動點，直線交于，直線交于，直線的斜率分別為且，（是非零實數(shù)），求.12．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，作斜率為的直線與橢圓交于兩點，且在直線的上方，則△內(nèi)切圓的圓心所在的定直線方程為．05圓錐曲線第二定義13．（2024·四川眉山·?？寄M預(yù)測）已知雙曲線的右焦點為，過且斜率為的直線交于、兩點，若，則的離心率為（

）A． B． C． D．14．（2024·江蘇南京·高三南京市第一中學(xué)校考開學(xué)考試）已知以F為焦點的拋物線上的兩點A，B，滿足，則弦AB的中點到C的準線的距離的最大值是（

）A．2 B． C． D．415．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓=1內(nèi)有一點P（1，-1），F(xiàn)為橢圓的右焦點，在橢圓上有一點M，使|MP|+2|MF|取得最小值，則點M坐標(biāo)為（

）A． B．，C． D．，16．（2024·山東濟寧·統(tǒng)考）過拋物線焦點F的直線與該拋物線及其準線都相交，交點從左到右依次為A，B，C.若，則線段BC的中點到準線的距離為（

）A．3 B．4 C．5 D．606焦半徑問題17．（2024·安徽·高二統(tǒng)考期末）過拋物線(a>0)的焦點F作一直線交拋物線于P、Q兩點，若線段PF與FQ的長分別為p、q，則等于（）A．2 B． C． D．18．（2024·全國·高三專題練習(xí)）長為11的線段AB的兩端點都在雙曲線的右支上，則AB中點M的橫坐標(biāo)的最小值為（

）A． B． C． D．19．（2024·全國·高三專題練習(xí)）拋物線的焦點弦被焦點分成長是m和n的兩部分，則m與n的關(guān)系是（

）A．m＋n＝mn B．m＋n＝4 C．mn＝4 D．無法確定20．已知為拋物線的焦點，是該拋物線上的兩點，，則線段的中點到軸的距離為（）A． B． C． D．07圓錐曲線第三定義21．（2024·貴州貴陽·高三統(tǒng)考期末）過拋物線的焦點的直線與拋物線交于A，B兩點，若的中點的縱坐標(biāo)為2，則等于（

）A．4 B．6 C．8 D．1022．（2024·河北石家莊·高三石家莊二中?？奸_學(xué)考試）過橢圓上一點作圓的切線，且切線的斜率小于，切點為，交橢圓另一點，若是線段的中點，則直線的斜率（

）A．為定值 B．為定值 C．為定值 D．隨變化而變化23．（2024·陜西咸陽·統(tǒng)考）已知雙曲線上存在兩點，關(guān)于直線對稱，且線段的中點坐標(biāo)為，則雙曲線的離心率為（

）．A． B． C．2 D．08定比點差法與點差法24．（2024·浙江溫州·高三溫州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，P為橢圓上的一動點，過點P作橢圓的兩條切線PA，PB，斜率分別為，.若為定值，則（

）A． B． C． D．25．（2024·江蘇南京·高二南京市秦淮中學(xué)?？计谀┮阎甭蕿榈闹本€與橢圓交于，兩點，線段的中點為（），那么的取值范圍是（

）A． B． C． D．，或26．（2024·河北衡水·高三河北衡水中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓內(nèi)有一定點，過點P的兩條直線，分別與橢圓交于A、C和B、D兩點，且滿足，，若變化時，直線CD的斜率總為，則橢圓的離心率為A． B． C． D．27．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)、分別為橢圓的左、右焦點，點A、在橢圓上，若，則點A的坐標(biāo)是．09切線問題28．（2024·湖南長沙·高三雅禮中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知O為坐標(biāo)原點，點P在標(biāo)準單位圓上，過點P作圓C：的切線，切點為Q，則的最小值為．29．（2024·四川綿陽·高三四川省綿陽南山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知拋物線的焦點為，直線為：，設(shè)點為上的一個動點，過點作拋物線的兩條切線，其中為切點，則的最小值為．30．（2024·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線：的焦點為，過上一點（異于原點）作的切線，與軸交于點．若，，則．31．（2024·全國·高三專題練習(xí)）過橢圓上一動點分別向圓：和圓：作切線，切點分別為，，則的取值范圍為.10焦點三角形問題32．（2024·河北張家口·高二張家口市第四中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知是雙曲線的一個焦點，點在上，為坐標(biāo)原點，若，則的面積為（）A． B． C． D．33．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知在雙曲線上，其左、右焦點分別為、，三角形的內(nèi)切圓切x軸于點M，則的值為（

）A． B． C． D．34．（2024·江西宜春·上高二中?？寄M預(yù)測）已知雙曲線()的左?右焦點分別為為雙曲線上的一點，為的內(nèi)心，且，則的離心率為（）A． B． C． D．11焦點弦問題35．（2024·四川內(nèi)江·高三威遠中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）橢圓的左、右焦點分別為，過點的直線交橢圓于兩點，交軸于點，若，是線段的三等分點，的周長為，則橢圓的標(biāo)準方程為（

）A． B． C． D．36．（2024·浙江金華·高二浙江金華第一中學(xué)?？计谀┰O(shè)雙曲線的左、右焦點分別為，，點P在雙曲線上，下列說法正確的是（

）A．若為直角三角形，則的周長是B．若為直角三角形，則的面積是6C．若為銳角三角形，則的取值范圍是D．若為鈍角三角形，則的取值范圍是12圓錐曲線與張角問題37．（2024·山東棗莊·統(tǒng)考）設(shè)、是橢圓：的兩個焦點，若上存在點滿足，則的取值范圍是A． B．C． D．38．（2024·遼寧朝陽·高二統(tǒng)考期末）設(shè)分別為橢圓的左?右焦點，點是橢圓上異于頂點的兩點，，則，若點還滿足，則的面積為.39．（2024·浙江杭州·高三浙江大學(xué)附屬中學(xué)校考階段練習(xí)）已知O為坐標(biāo)原點，橢圓的左、右焦點分別是，過點且斜率為k的直線與圓交于A，B兩點（點B在x軸上方），線段與橢圓交于點M，延長線與橢圓交于點N，且，則橢圓的離心率為，直線的斜率為．13圓錐曲線與角平分線問題40．（2024·湖北武漢·武漢二中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知拋物線上橫坐標(biāo)為4的點到拋物線焦點的距離為，點是拋物線上的點，為坐標(biāo)原點，的平分線交拋物線于點，且，都在軸的上方，則直線的斜率為.41．（2024·重慶萬州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，，P是C在第一象限上的一點，且直線的斜率為，的平分線交x軸于點A，點B滿足，，則雙曲線C的漸近線方程為．42．（2024·黑龍江·黑龍江實驗中學(xué)?？迹┮阎p曲線的左、右焦點分別為、，離心率為，點是雙曲線上的任意一點，滿足，的平分線與相交于點，則分所得的兩個三角形的面積之比.43．（2024·湖南·高三長郡中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓的左?右焦點分別為，離心率為，點是橢圓上的任意一點，滿足的平分線與相交于點，則分所得的兩個三角形的面積之比.44．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知點是橢圓：上異于頂點的動點，，分別為橢圓的左、右焦點，為坐標(biāo)原點，為的中點，的平分線與直線交于點，則四邊形的面積的最大值為.14圓錐曲線與通徑問題45．已知直線過拋物線的焦點，且與的對稱軸垂直，與交于兩點，為的準線上一點，則的面積為（）A．18 B．24 C．36 D．4846．以軸為對稱軸，拋物線通徑的長為8，頂點在坐標(biāo)原點的拋物線的方程是（

）A． B．C．或 D．或47．（2024·貴州黔東南·統(tǒng)考）過雙曲線的焦點與雙曲線實軸垂直的直線被雙曲線截得的線段的長稱為雙曲線的通徑，其長等于(、分別為雙曲線的實半軸長與虛半軸長).已知雙曲線（）的左、右焦點分別為、，若點是雙曲線上位于第四象限的任意一點，直線是雙曲線的經(jīng)過第二、四象限的漸近線，于點，且的最小值為3，則雙曲線的通徑為.15圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)問題48．（2024·四川巴中·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：過焦點的光線經(jīng)拋物線反射后得到的光線平行于拋物線的對稱軸；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點．已知拋物線的焦點為，一條平行于軸的光線從點射出，經(jīng)過拋物線上的點反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點射出，則．49．（2024·山東青島·統(tǒng)考）已知橢圓的左、右焦點分別為、，過的直線與交于點、，直線為在點處的切線，點關(guān)于的對稱點為.由橢圓的光學(xué)性質(zhì)知，、、三點共線.若，，則.50．（2024·安徽六安·高三六安一中?？茧A段練習(xí)）如圖所示，橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點．已知橢圓的左、右焦點為,，P為橢圓上不與頂點重合的任一點，I為的內(nèi)心，記直線OP，PI（O為坐標(biāo)原點）的斜率分別為，，若，則橢圓