09-第六章-彎曲變形-1

§6-1引言

§6-2撓曲軸近似微分方程

§6-3計算梁位移的積分法第六章彎曲變形

§6-4計算梁位移的疊加法

§6-5簡單靜不定梁

§6-6梁的剛度條件與合理剛度設(shè)計目的:

1、解決梁的剛度問題

2、求解靜不定梁3、為研究壓桿穩(wěn)定問題打基礎(chǔ)§6-1引言拉壓桿的變形：伸長或縮短(Dl)圓軸扭轉(zhuǎn)的變形：相對轉(zhuǎn)動(扭轉(zhuǎn)角j)彎曲變形：怎樣描述？回顧：

對稱彎曲時，撓曲軸為位于縱向?qū)ΨQ面的平面曲線

對于細(xì)長梁，剪力對彎曲變形影響一般可忽略不計因而可以認(rèn)為橫截面仍保持平面，并與撓曲軸正交撓曲軸

軸線由直線變?yōu)橐粭l連續(xù)、光滑的曲線－撓曲軸彎曲變形的特點(diǎn)

梁變形的描述：F忽略軸向位移和截面翹曲的條件下，描述截面上任一點(diǎn)的位移：ABl1、形心軸的線位移

——撓度w2、截面繞中性軸的角位移

——轉(zhuǎn)角qF

撓度隨坐標(biāo)變化的方程——撓曲軸方程w=w(x)F

忽略剪切變形

+

梁的轉(zhuǎn)角一般很小——q=q`?

tan`=dw/dx§6-2撓曲軸近似微分方程Q

中性層曲率表示的彎曲變形公式Q

由高等數(shù)學(xué)知識

Q

撓曲軸微分方程

——二階非線性常微分方程（純彎、等截面）（推廣到非純彎）方程推導(dǎo)Q方程簡化

正負(fù)號確定:彎矩:

坐標(biāo)系：w

向上為正小變形時：正彎矩負(fù)彎矩xwoxo曲線下凹曲線上凸撓曲線下凹,彎矩M為正,與w″同號撓曲線上凸,彎矩M為負(fù),與w″同號方程取正號

??

小變形Q應(yīng)用條件：Q撓曲軸的近似微分方程正彎矩xo

坐標(biāo)軸w

向上，彎矩使梁軸下凹為正

小結(jié)F

C、D為積分常數(shù)，它們由位移邊界與連續(xù)條件確定。一、梁的撓曲軸方程§6-3計算梁位移的積分法近似曲率：近似轉(zhuǎn)角：撓度：位移邊界條件：梁截面的已知位移條件或位移約束條件w=0w=0w=0q=0二、位移邊界條件與連續(xù)條件自由端：無位移邊界條件。位移連續(xù)條件：梁分段處撓曲軸所應(yīng)滿足的連續(xù)、光滑條件ACDMFB撓曲軸在B、C點(diǎn)連續(xù)且光滑連續(xù)：wB左=wB右光滑：qB左

=qB右

自由端：無位移邊界條件固定端：

連續(xù)條件：寫出梁的撓曲軸方程的邊界條件和連續(xù)條件邊界條件：例：中間支撐C：E點(diǎn)：中間鉸B：ABCDFE

例：已知如圖懸臂梁，彎曲剛度為EI,建立該梁的撓曲軸方程AB解:2、撓曲軸近似微分方程1、彎矩方程:AB3、積分常數(shù)的確定w(0)=0D=0w'(0)=0C=0例：已知如圖簡支梁，彎曲剛度為EI

,建立該梁的撓曲軸方程。

AB解:計算約束反力，建立坐標(biāo)系。AC段BC段x12C邊界和連續(xù)條件:

四個方程定4個常數(shù)，得到撓曲軸方程ABx一、載荷疊加法——M(x)為載荷(F,q,Me)的線性齊次函數(shù)2、梁的變形很??；(不影響其它載荷的作用效果)1、應(yīng)力不超過比例極限；(線彈性)§6-4計算梁位移的疊加法——線性微分方程思考：

F,q,Me分別作用產(chǎn)生的梁變形與同時作用產(chǎn)生的總的梁變形是什么關(guān)系？w

與載荷成線性關(guān)系積分后，w和w'仍然是載荷(F,q,Me)的線性齊次函數(shù)M(x)為載荷(F,q,Me)的線性齊次函數(shù)梁在上述載荷同時作用下的變形，等于各個載荷單獨(dú)作用下的變形的代數(shù)和:w=wF+wq+wMe線性微分方程載荷疊加法的應(yīng)用例：如圖懸臂梁，彎曲剛度EI是常數(shù)。求截面A的撓度wA和轉(zhuǎn)角

A。載荷由集中力F，均布力q和力偶M0構(gòu)成，分別查表（附錄E

），然后將各個載荷在A端引起的位移疊加。AFqQ分析方法：注意：請熟記附錄E中1，3，4，6，8，9各梁的撓度和轉(zhuǎn)角查表（附錄E）AAFAFq()Fq疊加：Aq逐段變形效應(yīng)疊加法：靜定梁或剛架的任一橫截面的總位移，等于各梁段單獨(dú)變形(其余梁段剛化)在該截面引起的位移的代數(shù)和或矢量和。ABCABCABCqaqa2/2二、逐段變形效應(yīng)疊加法(逐段剛化法)：思考：如圖外伸梁，求截面C撓度和轉(zhuǎn)角。如何采用疊加法進(jìn)行求解？蔣持平,嚴(yán)鵬.計算梁與剛架位移兩類疊加法的適用范圍.力學(xué)與實(shí)踐,2003,25(6):62-64蔣持平,嚴(yán)鵬.逐段變形效應(yīng)疊加法的能量法證明及其推廣.力學(xué)與實(shí)踐,2004,26(4):66-67ABC例:

求圖示外伸梁截面C的撓度和轉(zhuǎn)角。ABCABCqaqa2/2僅考慮BC段變形(剛化AB,可視BC為懸臂梁)僅考慮AB段變形(剛化BC，將均布力向B點(diǎn)簡化)總撓度和轉(zhuǎn)角：解:例：如圖階梯懸臂梁，彈性模量E為

常數(shù)，慣性矩I2=2I1，求截面C撓度wC和轉(zhuǎn)角

C。剛化AB段：1.BC段變形效應(yīng)（剛化AB段）2.AB段變形效應(yīng)（剛化BC段）ABCF解：B截面轉(zhuǎn)角和撓度

FABCABCBC段剛化：ABC3.C截面總轉(zhuǎn)角和撓度2.AB段變形效應(yīng)（剛化BC段）引起的C截面轉(zhuǎn)角和撓度

FABC§6-5簡單靜不定梁

靜不定度與多余約束多余約束多于維持平衡所必須的約束多余支反力與多余約束相應(yīng)的支反力或支力偶矩靜不定度＝支反力（力偶）數(shù)－有效平衡方程數(shù)靜不定度＝多余約束數(shù)5-3=2度靜不定6-3=3度靜不定未知支反力（偶）數(shù)：有效平衡方程個數(shù)：53相當(dāng)系統(tǒng)：受力與原靜不定梁相同的靜定梁相當(dāng)系統(tǒng)1：相當(dāng)系統(tǒng)2：

相當(dāng)系統(tǒng)qABABFBq注意：相當(dāng)系統(tǒng)的選擇不是唯一的ABqMA思考：如何確定未知約束反力（偶）FB或MA的大小呢？變形協(xié)調(diào)條件：wB=0

FB或

A=0

MA梁彎曲靜不定問題的分析步驟

步驟：

1、判斷靜不定度（確定多余約束數(shù)）；

2、選取與解除多余約束，建立相當(dāng)系統(tǒng)；

3、列出多余約束處的變形協(xié)調(diào)條件；

4、結(jié)合平衡方程，求多余支反力。相當(dāng)系統(tǒng)選取不唯一，一般選擇求解最簡單的一種例：如圖兩端固支梁，求支反力1.

靜不定度：6-3=32.選取相當(dāng)系統(tǒng)：右中、下圖都合適，選右中圖小變形，軸向變形和軸向力FAx，F(xiàn)Bx可忽略，只有兩個多余未知約束力FAxFBxFByFAyMBMAqABABMAMBqABFBMB3.建立變形協(xié)調(diào)條件解：4.聯(lián)立求解qABFBMB對稱性的應(yīng)用：利用對稱性直接求出FA=FB=ql/2，它可取代方程（1）、（2）之一。解得：§6-6梁的剛度條件與合理剛度設(shè)計一、梁的剛度條件[d]——許用撓度，[q

]——許用轉(zhuǎn)角一般用途軸：

[d

]=(5/10000~3/10000)l重要軸：

[d

]=(2/10000~1/10000)l起重機(jī)大梁：

[d

]=(1/700~1/1000)l土建工程中的梁：

[d

]=(2/10000~1/10000)l安裝齒輪或滑動軸承處：

[q

]=0.001rad

由設(shè)計規(guī)范或手冊查得的許用值為：對比強(qiáng)度問題：或二、梁的合理剛度設(shè)計與梁的合理強(qiáng)度設(shè)計相似點(diǎn)：讓材料遠(yuǎn)離截面中性軸，例如采用工字形與盒形薄壁截面梁變形（撓度或轉(zhuǎn)角）計算公式：同樣依賴于彎矩M與截面性質(zhì)I合理選擇截面形狀(增加慣性矩)決定梁變形的因素：受力和支持條件、材料性質(zhì)以及截面性質(zhì)I合理選取材料－選擇彈性模量E大的材料采用E大的材料，梁剛度大，但是強(qiáng)度未必高適當(dāng)減小梁的跨度減小跨度更有利于剛度的合理設(shè)計合理安排約束和加載方式(調(diào)整、減少M(fèi)(x))增加約束，制作成靜不定梁強(qiáng)度是局部量，剛度是整體量（積分）梁的合理剛度設(shè)計與梁的合理強(qiáng)度設(shè)計的不同點(diǎn)等強(qiáng)度梁是合理強(qiáng)度設(shè)計的有效手段，但減弱了梁的剛度小孔顯著影響強(qiáng)度，但對剛度影響甚