2023-2024學年山東省濟寧市泗水縣八年級（上）期中數(shù)學試卷（含解析）

2023-2024學年山東省濟寧市泗水縣八年級（上）期中數(shù)學試卷一、選擇題：本題共12小題，每小題2分，共24分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.若干條直線(或線段)按一定的方式排列可以“圍”出各種美麗的圖形，我們形象的把它們稱為“數(shù)學刺繡”，下列“數(shù)學刺繡”圖案中，不是軸對稱圖形的是(

)A. B. C. D.2.如圖所示，為估計池塘兩岸A、B間的距離，一位同學在池塘一側選取一點P，測得PA=18m，PB=16m，那么A、B之間的距離不可能是(

)

A.18m B.26m C.30m D.34m3.如圖，等腰△ABC中，點D，E分別在腰AB，AC上，添加下列條件，不能判定△ABE≌△ACD的是(

)A.AD=AE

B.BE=CD

C.∠ADC=∠AEB

D.∠DCB=∠EBC4.如圖，五邊形ABCDE中，AB/?/CD，∠1，∠2，∠3分別是∠BAE，∠AED，∠EDC的外角，則∠1+∠2+∠3=(

)

A.90°

B.180°

C.120°

D.270°5.生活中，我們所見到的地面、墻面、服裝面料等，常常是由一種或幾種性質(zhì)相同的圖形拼接而成的.像這樣的用形狀、大小完全相同的一種或幾種平面圖形進行拼接，彼此之間不留空隙，不重疊地鋪成一片，就是平面圖形的鑲嵌.如果選用兩種幾何圖形鑲嵌整個地面，下列哪種組合能鑲嵌成一個平面圖形.(

)A.正三角形和正五邊形 B.正方形和正六邊形

C.正方形和正八邊形 D.正五邊形和正九邊形6.如圖，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D是AC的中點，EC⊥BD于點E，交BA的延長線于點F，若BF=12，則△AFC的面積為(

)A.16

B.20

C.48

D.327.如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，要求用圓規(guī)和直尺作圖，把它分成兩個三角形，其中一個三角形是等腰三角形．其作法錯誤的是(

)A. B.

C. D.8.如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=2AC，點D是線段AB的中點，將一塊銳角為45°的直角三角板△ADE按如圖放置，使直角三角板斜邊的兩個端點分別與A，D重合，連接BE，CE與AB交于點F.下列判斷正確的有(

)

①△ACE≌△DBE；

②BE⊥CE；

③△ADE與△ACE的面積相等．A.①② B.①③ C.②③ D.①②③9.如圖，在△ABC中，∠BAC=80°，AB邊的垂直平分線交AB于點D，交BC于點E，AC邊的垂直平分線交AC于點F，交BC于點G，連接AE，AG.則∠EAG的度數(shù)為(

)

A.15° B.20° C.25° D.30°10.如圖，甲、乙兩位同學用n個完全相同的正六邊形按如下方式拼成一圈后，使相鄰的兩個正六邊形有公共頂點，設相鄰兩個正六邊形外圈的夾角為x°，內(nèi)圈的夾角為y°，中間會圍成一個正n邊形，關于n的值，甲的結果是n=5，乙的結果是n=3或4，則(

)

A.甲的結果正確 B.乙的結果正確

C.甲、乙的結果合在一起才正確 D.甲、乙的結果合在一起也不正確11.如圖1，已知AB=AC，D為∠BAC的平分線上一點，連接BD、CD；如圖2，已知AB=AC，D、E為∠BAC的平分線上兩點，連接BD、CD、BE、CE；如圖3，已知AB=AC，D、E、F為∠BAC的平分線上三點，連接BD、CD、BE、CE、BF、CF；…，依次規(guī)律，第n個圖形中全等三角形的對數(shù)是(

)

A.n B.2n?1 C.n(n+1)2 D.12.如圖，AC平分∠DAB，CE⊥AB于E，且AB?AD=2BE，下列結論正確的有個．(

)

①AD=AE；

②∠DAB+∠DCB=180°；

③CD=CB；

④S△ACE?S△BCE=A.2個 B.3個 C.4個 D.5個二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。13.如圖，∠B=40°，∠ACD=3∠B，那么∠A=______度.

14.已知一個多邊形的內(nèi)角和比外角和多180°，則它的邊數(shù)為

．15.如圖，在Rt△ABC與Rt△DCB中，已知∠A=∠D=90°，請你添加一個條件(不添加字母和輔助線)，使Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的條件是______．

16.如圖，在三角形紙片ABC中，AC=BC.把△ABC沿著AC翻折，點B落在點D處，連接BD.如果∠BAC=35°，則∠CBD的度數(shù)是______．

17.如圖，AB=7cm，∠CAB=∠DBA=60°，AC=5cm，點P在線段AB上以2cm/s的速度由點A向點B運動，同時點Q在射線BD上運動，當點P運動結束時，點Q隨之結束運動當點PO運動到某處時有△ACP與△BPQ全等，則Q的運動速度是______cm/s．18.如圖，△ABC中，AC⊥BC，D為BC邊上的任意一點，連接AD，E為線段AD上的一個動點，過點E作EF⊥AB，垂足為F點.如果BC=10，AC=24，AB=26，則CE+EF的最小值為______．

三、解答題：本題共8小題，共58分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。19.(本小題6分)

如圖，點A，E，F(xiàn)，C在同一條直線上，AD//BC，AD=CB，AE=CF，求證：BE=DF．20.(本小題6分)

閱讀小明和小紅的對話，解決下列問題．

(1)這個“多加的銳角”是______°.

(2)小明求的是幾邊形的內(nèi)角和？

(3)若這是個正多邊形，則這個正多邊形的一個外角是多少度？21.(本小題6分)

如圖，在正方形網(wǎng)格上有一個△ABC．

(1)畫出△ABC關于直線l對稱的圖形；

(2)在直線l上找一點P，使PB+PC的長最短．(不寫作法，保留作圖痕跡)22.(本小題7分)

如圖，已知線段AB與直線平行．

(1)作∠CAB的角平分線AE交直線CD于點E(尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法)；

(2)在(1)的條件下，若AE的中點為F，連接BF并延長交直線CD于點G，請用等式表示線段AB，AC，CG之間的數(shù)量關系：______．23.(本小題7分)

如圖，在△ABC中，∠A=80°，∠BDE=35°，BD平分∠ABC交AC于D，DE/?/AB交BC于E，求∠ABC和∠C的度數(shù)．24.(本小題8分)

如圖，△ABC為等邊三角形，AE=CD，AD，BE相交于點P，BQ⊥AD于Q，PQ=5，PE=2．

(1)求證：AD=BE；

(2)求AD的長．25.(本小題8分)

某校八年級(1)班數(shù)學興趣小組在一次活動中進行了試驗探究活動，請你和他們一起活動吧．

【探究與發(fā)現(xiàn)】

(1)如圖1，AD是△ABC的中線，延長AD至點E，使ED=AD，連接BE，△ACD和△EBD全等嗎？為什么？

【理解與運用】

(2)如圖2，EP是△DEF的中線，若EF=5，DE=3，設EP=x，則x的取值范圍是______．

26.(本小題10分)

在直線m上依次取互不重合的三個點D、A、E，在直線m上方有AB=AC，且滿足∠BDA=∠AEC=∠BAC=α．

【積累經(jīng)驗】

(1)如圖1，當α=90°時，猜想線段DE，BD，CE之間的數(shù)量關系是______；請說明理由；

【類比遷移】

(2)如圖2，當0<α<180°時，問題(1)中結論是否仍然成立？如成立，請說明理由；若不成立，也請說明理由；

【拓展應用】

(3)如圖3，在△ABC中，∠BAC是鈍角，AB=AC，∠BAD<∠CAE，∠BDA=∠AEC=∠BAC，直線m與CB的延長線交于點F，若BC=3FB，△ABC的面積是12，直接寫出△FBD與△ACE的面積之和．

答案和解析1.【答案】A

解：B、C、D選項中的圖形都能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形，不符合題意；

A選項中的圖形不能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形，符合題意；

故選：A．

根據(jù)軸對稱圖形的定義(如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，那么這樣的圖形就叫做軸對稱圖形)對四個選項進行分析．

本題主要考查軸對稱的知識，熟練掌握軸對稱圖形的定義是解題的關鍵．2.【答案】D

解：根據(jù)三角形的三邊關系可得：18?16<AB<16+18，

即2<AB<34，

∴A、B之間的距離不可能是34，

故選：D．

根據(jù)三角形的三邊關系定理：三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊，可得18?16<AB<16+18，再計算即可得AB的范圍．

此題主要考查了三角形的三邊關系，關鍵是掌握第三邊的范圍是：大于已知的兩邊的差，而小于兩邊的和．3.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查了全等三角形的判定：熟練掌握全等三角形的判定方法．選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件．也考查了等腰三角形的性質(zhì)．利用等腰三角形的性質(zhì)得∠ABC=∠ACB，AB=AC，然后根據(jù)全等三角形的判定方法對各選項進行判斷．

【解答】

解：∵△ABC為等腰三角形，

∴∠ABC=∠ACB，AB=AC，

∴當AD=AE時，則根據(jù)“SAS”可判斷△ABE≌△ACD；

當∠AEB=∠ADC，則根據(jù)“AAS”可判斷△ABE≌△ACD；

當∠DCB=∠EBC，則∠ABE=∠ACD，根據(jù)“ASA”可判斷△ABE≌△ACD．

故選：B．4.【答案】B

解：如圖，∵AB/?/CD，

∴∠4+∠5=180°，

∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，

∴∠1+∠2+∠3=180°．

故選：B．

先利用平行線的性質(zhì)得到∠4+∠5=180°，然后根據(jù)多邊形的外角和為360°得到∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，從而得到∠1+∠2+∠3=180°．

本題考查了多邊形內(nèi)角與外角：多邊形內(nèi)角和為(n?2)?180?(n≥3)且n為整數(shù))，外角和永遠為5.【答案】C

解：∵正三角形，正四邊形，正五邊形，正六邊形，正八邊形，正九邊形的內(nèi)角分別為：60°，90°，108°，120°，135°，140°．

而要用邊長相同的兩種正多邊形材料組合鋪設地面，能平整鑲嵌必需這兩個正多邊形的內(nèi)角的整數(shù)倍的和為360°，

∵90°+2×135°=360°，

∴正四邊形和正八邊形可以平整鑲嵌．

故選：C．

先計算出正三角形，正四邊形，正五邊形，正六邊形，正八邊形，正九邊形的內(nèi)角，根據(jù)平整鑲嵌的條件得到90°+2×135°=360°，由此得到正四邊形和正八邊形可以平整鑲嵌．

本題考查了兩個正多邊形平面鑲嵌的條件：這兩個正多邊形的內(nèi)角的整數(shù)倍的和為360°.也考查了正多邊形內(nèi)角的計算方法．6.【答案】A

解：∵CE⊥BD，

∴∠BEF=90°，

∵∠BAC=90°，

∴∠CAF=90°，

∴∠FAC=∠BAD=90°，∠ABD+∠F=90°，∠ACF+∠F=90°，

∴∠ABD=∠ACF，

在△ABD和△ACF中，

∠BAD=∠CAEAB=AC∠ABD=∠ACF，

∴△ABD≌△ACF(ASA)，

∴AD=AF，

∵AB=AC，D為AC中點，

∴AB=AC=2AD=2AF．

∵BF=AB+AF=12，

∴3AF=12，

∴AF=4，

∴AC=2AF=8，

∴△AFC的面積是12×AF×AC=12×4×8=16．

故選：A．

分析題意，可先得出∠ABD=∠ACF，根據(jù)ASA可證△ABD≌△ACF，推出AD=AF；然后可得出AB=AC=2AD=2AF，進而得到AF長，求出AC7.【答案】B

解：A.由作法知AD=AC，

所以△ACD是等腰三角形，故選項A不符合題意；

B.由作法知所作圖形是線段BC的垂直平分線，

所以不能推出△ACD和△ABD是等腰三角形，故選項B符合題意；

C.由作法知，所作圖形是線段AB的垂直平分線，

所以DA=DB，

所以△ABD是等腰三角形，故選項C不符合題意；

D.∠C=90°，∠B=30°，

∠BAC=60°，

由作法知AD是∠BAC的平分線，

所以∠BAD=30°=∠B，

所以DB=DA，

所以△ABD是等腰三角形，故選項D不符合題意；

故選B．

本題主要考查了尺規(guī)作圖?作一條線段的垂直平分線、作一個角的平分線等，熟練掌握尺規(guī)作圖的步驟，并能夠準確識別對應的圖形是解決問題的關鍵．8.【答案】D

解：①∵點D是線段AB的中點，

∴BD=AD=12AB，

∵AB=2AC，

∴AC=12AB，

∴BD=AC，

∵△ADE為等腰直角三角形，

∴DE=AE，∠EDA=∠EAD=45°，

∴∠EDB=180°?45°=135°，

∵∠BAC=90°，

∴∠EAC=∠BAC+∠EAD=135°，

在△ACE和△DBE中，

DE=AE∠EDB=∠EACBD=AC，

∴△ACE≌△DBE(SAS)，故①正確，符合題意；

②∵△ACE≌△DBE(SAS)，

∴∠AEC=∠DEB，

∵∠AED=∠AEC+∠DEF=90°，

∴∠BEC=∠DEB+∠DEF=90°，

即BE⊥CE，故②正確，符合題意；

③∵△ACE≌△DBE(SAS)，

∴S△ACE=S△DBE，

∵BD=AD，

∴S△ADE=S△DBE，

∴S△ADE=S△ACE，故③正確，符合題意；

綜上：正確的有①②③，

故選：D．

①根據(jù)點D是線段AB的中點，得出BD=AD=12AB，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，推出9.【答案】B

解：∵AB邊的垂直平分線交AB于點D，AC邊的垂直平分線交AC于點F，

∴AG=CG，AE=BE，

∴∠C=∠CAG，∠B=∠BAE，

∴∠BAE+∠CAG=∠B+∠C=180°?∠BAC=100°，

∴∠EAG=∠BAE+∠CAG?∠BAC=100°?80°=20°，

故選：B．

根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)即可得到結論．

此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正確的識別圖形是解題的關鍵．10.【答案】D

解：∵正六邊形的一個內(nèi)角為(6?2)×180°6=120°，

∴x+y=360°?2×120°=120°，

∵y°為正n邊形的一個內(nèi)角為度數(shù)，

∴y=(n?2)×180°n，

當n=3時，y=60°，則x=60°，

當n=4時，y=90°，則x=30°，

當n=5時，y=108°，則x=12°，

當n=6時，y=120°，x=0°，

則n的值為3或4或5或6．

故選：D．

正六邊形的一個內(nèi)角為120°，根據(jù)周角的定義有，x+y=360°?2×120°=120°，得y=(n?2)×180°11.【答案】C

解：由題知，第1個圖形中全等三角形的對數(shù)為：1；

第2個圖形中全等三角形的對數(shù)為：1+2=3；

第3個圖形中全等三角形的對數(shù)為：1+2+3=6；

第4個圖形中全等三角形的對數(shù)為：1+2+3+4=10；

...

第n個圖形中全等三角形的對數(shù)為：1+2+3+4+...+n=n(n+1)2；

故選：C．

根據(jù)圖形得出當有1點D時，有1對全等三角形；當有2點D、E時，有3對全等三角形；當有3點D、E、F時，有6對全等三角形；根據(jù)以上結果得出當有n個點時，可求得有1212.【答案】C

解：在AE上取點F，使EF=BE，連接CF，

∵AB=AD+2BE=AF+EF+BE，EF=BE，

∴AB=AD+2BE=AF+2BE，

∴AD=AF，且AF<AE，

∴AD<AE，故①錯誤；

∴AB+AD=AF+EF+BE+AD=2AF+2EF=2(AF+EF)=2AE，故⑤正確；

∵AC平分∠DAB，

∴∠DAC=∠FAC，

∵AD=AF，AC=AC，

∴△ACD≌△ACF(SAS)，

∴∠ADC=∠AFC．

∵CE垂直平分BF，

∴CF=CB，

∴∠CFB=∠B．

又∵∠AFC+∠CFB=180°，

∴∠ADC+∠B=180°，

∴∠DAB+∠DCB=360?(∠ADC+∠B)=180°，故②正確；

由②知，△ACD≌△ACF，

∴CD=CF，

又∵CF=CB，

∴CD=CB，故③正確；

∵CF=CB，CE=CE，

∴Rt△CEF≌Rt△CEB(HL)，

∴S△ACE?S△BCE=S△ACE?S△FCE=S△ACF，

又∵△ACD≌△ACF，

∴S△ACF=S△ADC，

∴S△ACE?S△BCE=S△ADC，故④正確，

∴結論正確的有②③④⑤，共4個，

故選：C．

在AE取點F，使EF=BE，連接CF，利用已知條件AB=AD+2BE，可得AD=AF，進而可以判斷①；證出2AE=AB+AD，進而可以判斷⑤；先由SAS證明△ACD≌△ACF，得出∠ADC=∠AFC；再根據(jù)線段垂直平分線、等腰三角形的性質(zhì)得出∠CFB=∠B；然后由鄰補角定義及四邊形的內(nèi)角和定理得出13.【答案】80

解：∵∠B=40°，∠ACD=3∠B，∠ACD=∠A+∠B

∴∠A=∠ACD?∠B=3∠B?∠B=2∠B=80°，

故答案為：80．

根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)可得∠ACD=∠A+∠B，結合已知條件，即可求解．

本題考查了三角形的外角的性質(zhì)，熟練掌握三角形的外角的性質(zhì)是解題的關鍵．14.【答案】5

解：設這個多邊形是n邊形，

根據(jù)題意得，(n?2)?180°=360°+180°，

解得n=5．

故答案為：5．

根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式(n?2)?180°與外角和定理列出方程，然后求解即可．15.【答案】AB=DC(答案不唯一)

【解析】此題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)的應用，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：①判定定理1：SSS?三條邊分別對應相等的兩個三角形全等．②判定定理2：SAS?兩邊及其夾角分別對應相等的兩個三角形全等．③判定定理3：ASA?兩角及其夾邊分別對應相等的兩個三角形全等．④判定定理4：AAS?兩角及其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等．⑤判定定理5：HL?斜邊與直角邊對應相等的兩個直角三角形全等．

根據(jù)斜邊與直角邊對應相等的兩個直角三角形全等，使Rt△ABC≌Rt△DCB，添加的條件是：AB=DC．

解：∵斜邊與直角邊對應相等的兩個直角三角形全等，

∴在Rt△ABC與Rt△DCB中，已知∠A=∠D=90°，BC=CB，使Rt△ABC≌Rt△DCB，添加的條件是：AB=DC．

故答案為：AB=DC(答案不唯一)．16.【答案】20°

解：∵AC=BC，∠BAC=35°，

∵∠ABC=∠BAC=35°，

由折疊的性質(zhì)可得：∠CAD=∠BAC=35°，AB=AD，

∴∠BAD=∠CAD+∠BAC=70°，

∴∠ABD=12(180°?∠BAD)=55°，

∴∠CBD=∠ABD?∠ABC=20°．

故答案為：20°．

由AC=BC，∠BAC=35°，根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)，即可求得∠ABC的度數(shù)，又由折疊的性質(zhì)，求得∠ABD的度數(shù)，繼而求得∠CBD17.【答案】2或207解：設點Q在射線BD上運動速度為x?cm/s，它們運動的時間為t?s，

①若△ACP≌△BPQ，

則AC=BP，AP=BQ，

∴5=7?2t，2t=xt，

解得：x=2，t=1；

②若△ACP≌△BQP，

則AC=BQ，AP=BP，

∴5=xt，2t=7?2t

解得：x=207，t=74．

綜上，Q的運動速度是2cm/s或207cm/s，

故答案為：2或207．

分兩種情況：①△ACP≌△BPQ時AC=BP，AP=BQ，②△ACP≌△BQP18.【答案】12013解：過C作CF⊥AB于F，交AD于E，

則CE+EF的最小值為CF．

∵BC=0，AC=24，AB=26，

∴12AB?CF=12BC?AC，

∴CF=AC?BCAB=24×1026=12013，

即CE+EF的最小值為：12013．

故答案為：12013．

過C作CF⊥AB于F，交AD于E.19.【答案】證明：∵AD/?/BC，

∴∠A=∠C．

∵AE=FC，

∴AF=CE．

在△ADF和△CBE中，

AD=CB∠A=∠CAF=CE，

∴△ADF≌△CBE(SAS)．

∴BE=DF【解析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠A=∠C.根據(jù)線段的和差得到AF=CE.推出△ADF≌△CBE(SAS).根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結論．

本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)；解題關鍵是找準依據(jù)，從題中篩選條件，利用邊角邊判定進行解答．20.【答案】30

解：(1)12邊形的內(nèi)角和為(12?2)×180°=1800°，而13邊形的內(nèi)角和為(13?2)×180°=1980°，

由于小紅說：“多邊形的內(nèi)角和不可能是1830°，你一定是多加了一個銳角”，所以這個“多加的銳角是1830°?1800°=30°，

故答案為：30；

(2)設這個多邊形為n邊形，由題意得：

(n?2)×180°=1800°，

解得：n=12；

答：小明求的是12邊形的內(nèi)角和；

(3)正12邊形的每一個外角都相等，而多邊形的外角和始終為360°，

所以每一個外角為360°12=30°，

答：這個正多邊形的每一個外角為30°

(1)根據(jù)多邊形的內(nèi)角和的公式進行估算即可；

(2)根據(jù)對話和多邊形的內(nèi)角和公式列方程求解即可；

(3)根據(jù)正多邊形外角和為360°，而每一個外角都相等進行計算即可；21.【答案】解：(1)如圖所示，△AB′C′即為所求作的三角形；

(2)如圖所示，點P即為所求．

【解析】(1)根據(jù)網(wǎng)格結構找出點B、C關于直線l的對稱點B′、C′的位置，然后順次連接即可；

(2)根據(jù)軸對稱確定最短路線，連接B′C，與對稱軸l的交點即為所求點P．

本題考查了利用軸對稱變換作圖，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結合軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點關于某直線的對稱點．22.【答案】CG+AC=AB

解：(1)AE就是∠CAB的角平分線；

(2)∵AE是∠CAB的角平分線，

∴∠CAE=∠EAB．

∵AB/?/CD，

∴∠CEA=∠EAB．

∴∠CAE=∠CEA．

∴AC=CE．

∵AE的中點為F，

∴AF=FE．

在△GFE和△BFA中，

∠GEA=∠EABAF=EF∠AFB=∠GFE，

∴△GFE≌△BFA(ASA)．

∴GE=AB．

∴CG+CE=CG+AC=AB．

(1)利用尺規(guī)作圖作出角的平分線；

(2)利用等腰三角形的判定和性質(zhì)先說明AC=CE，再利用“ASA”說明△GFE≌△BFA，最后利用線段的和差及全等三角形的性質(zhì)得結論．

本題主要考查了平行線的性質(zhì)，掌握等腰三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形的性質(zhì)和判定是解決本題的關鍵．23.【答案】解：∵DE//AB，

∴∠ABD=∠BDE=35°

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABC=2∠ABD=70°，

∵∠A+∠C+∠ABC=180°

∴∠C=180°?∠A?∠ABC

=180°?80°?70°

=30°．

【解析】先利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠ABC，再利用角平分線的定義和平行線的性質(zhì)得結論．

本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，掌握“三角形的內(nèi)角和是180°”、“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”及角平分線的性質(zhì)是解決本題的關鍵．24.【答案】(1)證明：∵△ABC為等邊三角形，

∴∠BAC=∠C=60°，AB=AC，

又∵AE=CD，

∴△ABE≌△CAD(SAS)，

∴BE=AD；

(2)解：∵△ABE≌△CAD，

∴∠ABE=∠CAD，

∵∠BPQ=∠BAP+∠ABE=∠BAP+∠PAE=∠BAC=60°，

又∵BQ⊥PQ，

∴∠PBQ=30°．

∴PB=2PQ=10，

∴BE=PB+PE=12．

∴AD=BE=12．

【解析】(1)根據(jù)SAS證明△ABE與△CAD全等即可；

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠ABE=∠CAD，求出∠PBQ=30°，進而由直角三角形的性質(zhì)解答即可．

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、含30度角的直角三角形，等邊三角形的性質(zhì)，證明△ABE≌△