模型41 單中點、雙中點模型（教師版）

模型介紹模型介紹有關中點的知識點歸納：①三角形中線平分三角形面積；②直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；③等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)；④三角形中位線平行且等于第三邊的一半.在題干中，出現(xiàn)一個中點時，我們通常想到中線；兩個中點時，想到中位線。模型一、雙中點-中位線模型如圖，D、E、F分別為△ABC三邊中點，連接DE、DF、EF，則，，.模型二、單中點-倍長中線模型模型二、單中點-“三線合一”模型如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為BC的中點，連接AD，則AD平分∠BAC，AD是邊BC上的高，AD是BC邊上的中線（AD是角平分線、中線、垂線）.例題精講例題精講考點一：單中點-倍長中線模型【例1】．如圖，已知AB＝12，AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD＝5，BC＝10．點E是CD的中點，則AE的長為（）A．6 B． C．5 D．解：延長AE交BC于F，如圖所示：∵AB⊥BC，AB⊥AD，∴AD∥BC，∴∠D＝∠C，∵點E是CD的中點，∴DE＝CE，在△ADE和△FCE中，，∴△ADE≌△FCE（ASA），∴AE＝FE，AD＝CF＝5，∴BF＝BC﹣CF＝5，在Rt△ABF中，AF＝＝＝13，∴AE＝AF＝．故選：B．變式訓練【變式1-1】．如圖，在菱形ABCD中，∠A＝110°，E，F(xiàn)分別是邊AB和BC的中點，EP⊥CD于點P，則∠FPC＝（）A．35° B．45° C．50° D．55°解：延長PF交AB的延長線于點G．在△BGF與△CPF中，，∴△BGF≌△CPF（ASA），∴GF＝PF，∴F為PG中點．又∵由題可知，∠BEP＝90°，∴EF＝PG（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半），∵PF＝PG（中點定義），∴EF＝PF，∴∠FEP＝∠EPF，∵∠BEP＝∠EPC＝90°，∴∠BEP﹣∠FEP＝∠EPC﹣∠EPF，即∠BEF＝∠FPC，∵四邊形ABCD為菱形，∴AB＝BC，∠ABC＝180°﹣∠A＝70°，∵E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，∴BE＝BF，∠BEF＝∠BFE＝（180°﹣70°）＝55°，易證FE＝FG，∴∠FGE＝∠FEG＝55°，∵AG∥CD，∴∠FPC＝∠EGF＝55°故選：D．【變式1-2】．如圖，在△ABC中，AB＝12，AC＝20，求BC邊上中線AD的范圍為4＜AD＜16．解：延長AD到E，使得DE＝AD，連接BE，如圖，在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴BE＝AC＝20．∵BE﹣AB＜AE＜AB+BE，∴20﹣12＜2AD＜12+20，∴4＜AD＜16．故答案為：4＜AD＜16．考點二：雙中點中位線模型【例2】．如圖，在△ABC中，D是AB上一點，AD＝AC，AE⊥CD，垂足為點E，F(xiàn)是BC的中點，若BD＝16，則EF的長為8．解：∵AD＝AC，AE⊥CD，∴E為CD的中點，又∵F是CB的中點，∴EF為△BCD的中位線，∴EF∥BD，EF＝BD，∵BD＝16，∴EF＝8，故答案為：8．變式訓練【變式2-1】．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝3，D、E分別是AB、AC的中點，延長BC至點F，使CF＝BC，連接DF、EF，則EF的長為．解：連接DE，CD，∵D、E分別是AB、AC的中點，∴DE∥BC，DE＝BC，∴DE∥CF，∵CF＝BC，∴DE＝CF，∴四邊形DCFE是平行四邊形，∴EF＝CD，∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝3，∴CD＝＝＝，∴EF＝CD＝，故答案為：．【變式2-2】．如圖，在△ABC中，BE、CF分別為邊AC、AB上的高，D為BC的中點，DM⊥EF于M．求證：FM＝EM．證明：連接DE，DF，∵BE、CF分別為邊AC、AB上的高，D為BC的中點，∴DF＝BC，DE＝BC，∴DF＝DE，即△DEF是等腰三角形．∵DM⊥EF，∴點M時EF的中點，即FM＝EM．考點三：單中點三線合一模型【例3】．如圖，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC，交BC于D，M為BC的中點，AB＝10，求DM的長．解：延長CB到N，使BN＝AB＝10，連接AN，AM，則∠N＝∠NAB，∵∠ABC＝∠N+∠NAB，∠ABC＝2∠C，∴∠N＝∠C，∴AN＝AC，∵AD⊥CN，∴DN＝DC，∴BN+BD＝CD＝DM+CM＝DM+BM＝BD+2DM，∴BN＝2DM，∴2DM＝10，∴DM＝5．變式訓練【變式3-1】．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，M是BC的中點，MN⊥AC于點N，則MN＝（）A． B． C．6 D．11解：連接AM，∵AB＝AC，點M為BC中點，∴AM⊥CM（三線合一），BM＝CM，∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴BM＝CM＝3，在Rt△ABM中，AB＝5，BM＝3，∴根據(jù)勾股定理得：AM＝＝＝4，又S△AMC＝MN?AC＝AM?MC，∴MN＝＝．故選：A．【變式3-2】．如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，D為邊AC的中點，過點D作DE⊥DF，交AB于點E，交BC于點F，連接EF，若AE＝4，F(xiàn)C＝3，求EF的長．解：連接BD．∵D是AC中點，∴∠ABD＝∠CBD＝45°，BD＝AD＝CD，BD⊥AC∵∠EDB+∠FDB＝90°，∠FDB+∠CDF＝90°，∴∠EDB＝∠CDF，在△BED和△CFD中，∵，∴△BED≌△CFD（ASA），∴BE＝CF；∵AB＝BC，BE＝CF＝3，∴AE＝BF＝4，在Rt△BEF中，EF＝＝5．【變式3-3】．已知：如圖，△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于點D．求證：∠BAC＝2∠DCB．解：過A作AE⊥BC于E，∴∠AEB＝90°，∴∠BAE+∠B＝90°，∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠B＝90°，∴∠DCB＝∠BAE，∵AB＝AC，∴∠BAE＝∠BAC，∴∠BAC＝2∠DCB．1．如圖，在平行四邊形ABCD中，CD＝2AD，BE⊥AD于點E，F(xiàn)為DC中點，連接EF、BF，下列結(jié)論：①∠ABC＝2∠ABF；②EF＝BF；③S四邊形DEBC＝2S△EFB；④∠CFE＝3∠DEF，其中正確的有（）A．①② B．②③ C．①②③④ D．①②④解：如圖，延長EF交BC的延長線于G，取AB的中點H，連接FH．∵CD＝2AD，DF＝FC，∴CF＝CB，∴∠CFB＝∠CBF，∵CD∥AB，∴∠CFB＝∠FBH，∴∠CBF＝∠FBH，∴∠ABC＝2∠ABF．故①正確，∵DE∥CG，∴∠D＝∠FCG，∵DF＝FC，∠DFE＝∠CFG，∴△DFE≌△CFG（ASA），∴FE＝FG，∵BE⊥AD，∴∠AEB＝90°，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBG＝90°，∴BF＝EF＝FG，故②正確，∵S△DFE＝S△CFG，∴S四邊形DEBC＝S△EBG＝2S△BEF，故③正確，∵AH＝HB，DF＝CF，AB＝CD，∴CF＝BH，∵CF∥BH，∴四邊形BCFH是平行四邊形，∵CF＝BC，∴四邊形BCFH是菱形，∴∠BFC＝∠BFH，∵FE＝FB，F(xiàn)H∥AD，BE⊥AD，∴FH⊥BE，∴∠BFH＝∠EFH＝∠DEF，∴∠EFC＝3∠DEF，故④正確，故選：C．2．如圖，已知E，F(xiàn)分別為正方形ABCD的邊AB，BC的中點，AF與DE交于點M，O為BD的中點，則下列結(jié)論：①∠AME＝90°；②∠BAF＝∠EDB；③∠BMO＝90°；④MD＝2AM＝4EM；⑤AM＝MF．其中正確結(jié)論的是（）A．①③④ B．②④⑤ C．①③④⑤ D．①③⑤解：在正方形ABCD中，AB＝BC＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°，∵E、F分別為邊AB，BC的中點，∴AE＝BF＝BC，在△ABF和△DAE中，，∴△ABF≌△DAE（SAS），∴∠BAF＝∠ADE，∵∠BAF+∠DAF＝∠BAD＝90°，∴∠ADE+∠DAF＝∠BAD＝90°，∴∠AMD＝180°﹣（∠ADE+∠DAF）＝180°﹣90°＝90°，∴∠AME＝180°﹣∠AMD＝180°﹣90°＝90°，故①正確；∵DE是△ABD的中線，∴∠ADE≠∠EDB，∴∠BAF≠∠EDB，故②錯誤；∵∠BAD＝90°，AM⊥DE，∴△AED∽△MAD∽△MEA，∴＝＝＝2，∴AM＝2EM，MD＝2AM，∴MD＝2AM＝4EM，故④正確；設正方形ABCD的邊長為2a，則BF＝a，在Rt△ABF中，AF＝＝a，∵∠BAF＝∠MAE，∠ABC＝∠AME＝90°，∴△AME∽△ABF，∴＝，即＝，解得AM＝a，∴MF＝AF﹣AM＝a﹣a＝a，∴AM＝MF，故⑤正確；如圖，過點M作MN⊥AB于N，則＝＝，即＝＝，解得MN＝a，AN＝a，∴NB＝AB﹣AN＝2a﹣a＝a，根據(jù)勾股定理，BM＝＝a，過點M作GH∥AB，過點O作OK⊥GH于K，則OK＝a﹣a＝a，MK＝a﹣a＝a，在Rt△MKO中，MO＝＝a，根據(jù)正方形的性質(zhì)，BO＝2a×＝a，∵BM2+MO2＝（a）2+（a）2＝2a2，BO2＝（a）2＝2a2，∴BM2+MO2＝BO2，∴△BMO是直角三角形，∠BMO＝90°，故③正確；綜上所述，正確的結(jié)論有①③④⑤共4個．故選：C．3．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AB的垂直平分線交AB于D，交AC于E，若CD＝5，則AE＝．解：如圖，連接BE，∵AB的垂直平分線交AB于D，交AC于E，∴AE＝BE，∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中點，∴AB＝2CD＝10，又∵BC＝6，∴AC＝8，設AE＝BE＝x，則CE＝8﹣x，∵∠BCE＝90°，∴Rt△BCE中，CE2+BC2＝BE2，即（8﹣x）2+62＝x2，解得x＝，∴AE＝，故答案為：．4．如圖在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，點D是AB的中點，過點D作DE垂直AB交BC的延長線于點E，則CE的長是．解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB＝＝5，∵點D是AB的中點，∴BD＝AB＝，∵DE⊥AB，∴∠BDE＝∠ACB＝90°，∵∠B＝∠B，∴△BDE∽△BCA，∴，∴，∴BE＝，∴CE＝BE﹣BC＝﹣3＝，故答案為：．5．如圖．AB是半圓O的直徑．點C、D在上．且AD平分∠CAB．已知AB＝10，AC＝6，則AD＝4．解：如圖，連接OD交BC于E點，∵AB為直徑，∴AC⊥BC，又∵AB＝10，AC＝6，∴BC＝＝8，∵AD平分∠CAB，∴＝，∴OD垂直平分BC，由此可得：OE＝AC＝3，DE＝OD﹣OE＝5﹣3＝2，又∵BE＝BC＝4，在Rt△BDE中，由勾股定理，得BD2＝BE2+DE2＝20，在Rt△ABD中，AD＝＝＝4．故答案為：4．6．如圖，四邊形ABCD中，AB＝8，CD＝6，∠ADB＝∠BCA＝90°，以AD，AC為邊作平行四邊形DACE，連接BE，則BE的長為2．解：連接AE交CD于O，連接DM、CM，取AB的中點M，連接OM，如圖所示：∵AB＝8，∠ADB＝∠BCA＝90°，∴DM＝CM＝AB＝4，∵四邊形DACE是平行四邊形，∴OA＝OE，OC＝OD＝CD＝3，∴OM是△ABE的中位線，∴BE＝2OM，∵DM＝CM，OC＝OD，∴OM⊥CD，∴∠MOC＝90°，由勾股定理得：OM＝＝＝，∴BE＝2OM＝2；故答案為：2．7．如圖，正方形ABCD的邊長為6，點E是BC的中點，連接AE與對角線BD交于點G，連接CG并延長，交AB于點F，連接DE交CF于點H，連接AH．以下結(jié)論：①CF⊥DE；②GH＝；③AD＝AH；④＝，其中正確結(jié)論的序號是①③④．解：∵四邊形ABCD是邊長為6的正方形，點E是BC的中點，∴AB＝AD＝BC＝CD＝6，BE＝CE＝3，∠DCE＝∠ABE＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，∴△ABE≌△DCE（SAS），∴∠CDE＝∠BAE，DE＝AE，∵AB＝BC，∠ABG＝∠CBG，BG＝BG，∴△ABG≌△CBG（SAS），∴∠BAE＝∠BCF，∴∠BCF＝∠CDE，又∵∠CDE+∠CED＝90°，∴∠BCF+∠CED＝90°，∴∠CHE＝90°，∴CF⊥DE，故①正確；∵CD＝6，CE＝3，∴DE＝＝＝3，∵S△DCE＝×CD?CE＝×DE?CH，∴CH＝，∵∠CHE＝∠CBF，∠BCF＝∠ECH，∴△ECH∽△FCB，∴，∴CF＝＝3，∴HF＝CF﹣CH＝，∴＝，故④正確；如圖，過點A作AM⊥DE于點M，∵DC＝6，CH＝，∴DH＝＝＝，∵∠CDH+∠ADM＝90°，∠DAM+∠ADM＝90°，∴∠CDH＝∠DAM，又∵AD＝CD，∠CHD＝∠AMD＝90°，∴△ADM≌△DCH（AAS），∴CH＝DM＝，AM＝DH＝，∴MH＝DM＝，又∵AM⊥DH，∴AD＝AH，故③正確；∵DE＝3，DH＝，∴HE＝，ME＝HE+MH＝，∵AM⊥DE，CF⊥DE，∴AM∥CF，∴，∴＝，∴HG＝，故②錯誤．綜上，正確的有：①③④．故答案為：①③④．8．如圖，BE是△ABC的中線，點F在BE上，延長AF交BC于點D．若BF＝3EF，求的值．解：如圖，∵BE是△ABC的中線，∴BE是△ABC的中線，∴＝，過點E作EG∥DC交AD于G，∴∠AGE＝∠ADC，∠AEG＝∠C，∴△AGE∽△ADC，∴＝＝，∴DC＝2GE，∵BF＝3FE，∴＝，∵GE∥BD，∴∠GEF＝∠FBD，∠EGF＝∠BDF，∴△GFE∽△DFB，∴＝＝，∴＝，∴＝．9．如圖，已知在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點，連接BE并延長交AC于點F，AF＝EF，求證：AC＝BE．證明：延長AD至G，使DG＝AD，連接BG，在△BDG和△CDA中，∵，Ⅳ∴△BDG≌△CDA（SAS），∴BG＝AC，∠CAD＝∠G，又∵AF＝EF，∴∠CAD＝∠AEF，又∠BEG＝∠AEF，∴∠CAD＝∠BEG，∴∠G＝∠BEG，∴BG＝BE，∴AC＝BE．10．已知線段AB＝8（點A在點B的左側(cè)）．（1）若在直線AB上取一點C，使得AC＝3CB，點D是CB的中點，求AD的長；（2）若M是線段AB的中點，點P是線段AB延長線上任意一點，點N是線段BP的中點，求的值．解：（1）①當點C在線段AB上時，如圖1，∵AC＝3BC，設BC＝x，則AC＝3x，∵AB＝AC+BC，∴8＝3x+x，∴x＝2，∴BC＝2，AC＝6，∵點D是CB的中點，∴CD＝BD＝BC＝1，∴AD＝AC+CD＝6+1＝7；②當點C在線段AB的延長線上時，如圖2，設BC＝x，AC＝3BC＝3x，∵AB＝AC﹣BC＝2x＝8，∴x＝4，∴BC＝4，AC＝12，AB＝8，∵點D是CB的中點，∴BD＝CD＝BC＝2，∴AD＝AB+BD＝8+2＝10；③當點C在BA的延長線上時，明顯，此情況不存在；綜上所述，AD的長為7或10；（2）如圖3，∵M是線段AB的中點，點N是線段BP的中點，∴BM＝AB，BN＝PB，∴MN＝BM+BN＝AB+PB＝（AB+PB）＝AP，∴＝＝+1＝2+1＝3．11．如圖所示，在△ABC中，AD是邊BC上的高線，CE是邊AB上的中線，DG⊥CE于點G，CD＝AE（1）證明：CG＝EG；（2）若AD＝6，BD＝8，求CE的長．解：（1）證明：CG＝EG．連接DE，如圖．∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，又E為AB中點，∴DE＝AE＝BE，∵CD＝AE，∴DE＝CD，又DG⊥EC，∴EG＝CG；（2）過E作EM⊥BC于M，如圖．∵AD⊥BC，EM⊥BC，∴EM∥AD，∵E為AB中點，∴EM是△ABD的中位線，∴EM＝AD＝3．∵AD＝6，BD＝8，∴AB＝＝10，∵DE＝AB＝5，∴DM＝4，∵CD＝AE＝DE＝5，∴CM＝CD+DM＝9，∴CE＝＝3．12．如圖1，直線AB上有一點P，點M、N分別為線段PA、PB的中點，AB＝14．（1）若點P在線段AB上，且AP＝8，求線段MN的長度；（2）若點P在直線AB上運動，試說明線段MN的長度與點P在直線AB上的位置無關；（3）如圖2，若點C為線段AB的中點，點P在線段AB的延長線上，下列結(jié)論：①的值不變；②的值不變，請選擇一個正確的結(jié)論并求其值．解：（1）∵AP＝8，點M是AP中點，∴MP＝AP＝4，∴BP＝AB﹣AP＝6，又∵點N是PB中點，∴PN＝PB＝3，∴MN＝MP+PN＝7．（2）①點P在AB之間；②點P在AB的延長線上；③點P在BA的延長線上，均有MN＝AB＝7．（3）選擇②．設AC＝BC＝x，PB＝y(tǒng)，①＝＝（在變化）；（定值）．13．如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，E是AD的中點，點F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．（1）求證：四邊形OEFG是矩形；（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BO的長．（1）證明：∵四邊形ABCD為菱形，∴OB＝OD，∵點E為AD中點，∴OE為△ABD的中位線，∴OE∥FG，∵OG∥EF，∴四邊形OEFG為平行四邊形，∵EF⊥AB，∴∠EFG＝90°，∴平行四邊形OEFG為矩形；（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝10，由（1）得：OE為△ABD的中位線，∴OE＝AB＝×10＝5，∵點E為AD的中點，∴AE＝AD＝×10＝5，由（1）可知，四邊形OEFG是矩形，∴∠EFG＝∠AFE＝∠OGB＝90°，OG＝EF＝4，F(xiàn)G＝OE＝5，∴AF＝＝＝3，∴BG＝AB﹣AF﹣FG＝10﹣3﹣5＝2，∴BO＝＝＝2．14．在菱形ABCD和等邊△BGF中，∠ABC＝60°，P是DF的中點．（1）如圖1，點G在BC邊上時，①判斷△BDF的形狀，并證明；②請連接PB，若AB＝10，BG＝4，求PB的長；（2）如圖2，當點F在AB的延長線上時，連接PG、PC．試判斷PC、PG有怎樣的關系，并給予證明．解：（1）①如圖1，△BDF是直角三角形，理由是：∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴∠DBC＝30°，∵△BGF是等邊三角形，∴∠GBF＝60°，∴∠DBF＝∠DBC+∠GBF＝90°，∴△BDF是直角三角形；②如圖2，過A作AH⊥BD于H，∵∠BAD＝120°，AB＝AD，∴∠BAH＝60°，∴∠ABH＝30°，Rt△ABH中，AB＝10，∴AH＝5，∴BH＝＝5，∴BD＝2BH＝10，∵△BGF是等邊三角形，∴BF＝BG＝4，由勾股定理得：DF＝＝＝＝2，由①知：△BDF是直角三角形，且P是DF的中點，∴PB＝DF＝；（2）如圖3，PG＝PC，理由是：延長GP交DA于點E，連接EC，GC，∵∠ABC＝60°，△BGF是等邊三角形，∴GF∥BC∥AD，∴∠EDP＝∠GFP，在△DPE和△FPG中，，∴△DPE≌△FPG（ASA），∴PE＝PG，DE＝FG＝BG，∵∠CDE＝∠CBG＝60°，CD＝CB，在△CDE和△CBG中，，∴△CDE≌△CBG（SAS），∴CE＝CG，∠DCE＝∠BCG，∴∠ECG＝∠DCB＝120°，∵PE＝PG，∴CP⊥PG，∠PCG＝×120°＝60°，∴PG＝PC．15．已知Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D為AB邊的中點，∠EDF＝90°，∠EDF繞D點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AC、CB（或它們的延長線）于E、F．（1）如圖1，當∠EDF繞D點旋轉(zhuǎn)到DE⊥AC于E時，易證S△DEF+S△CEF與S△ABC的數(shù)量關系為S△DEF+S△CEF＝S△ABC；（2）如圖2，當∠EDF繞D點旋轉(zhuǎn)到DE和AC不垂直時，上述結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；（3）如圖3，這種情況下，請猜想S△DEF、S△CEF、S△ABC的數(shù)量關系，不需證明．解：（1）當∠EDF繞D點旋轉(zhuǎn)到DE⊥AC時，四邊形CEDF是正方形．設△ABC的邊長AC＝BC＝a，則正方形CEDF的邊長為a．∴S△ABC＝a2，S正方形DECF＝（a）2＝a2即S△DEF+S△CEF＝S△ABC；故答案為：S△DEF+S△CEF＝S△ABC；（2）（1）中的結(jié)論成立；證明：過點D作DM⊥AC，DN⊥BC，則∠DME＝∠DNF＝∠MDN＝90°，又∵∠C＝90°，∴DM∥BC，DN∥AC，∵D為AB邊的中點，由中位線定理可知：DN＝AC，MD＝BC，∵AC＝BC，∴MD＝ND，∵∠EDF＝90°，∴∠MDE+∠EDN＝90°，∠NDF+∠EDN＝90°，∴∠MDE＝∠NDF，在△DME與△DNF中，，∴△DME≌△DNF（ASA），∴S△DME＝S△DNF，∴S四邊形DMCN＝S四邊形DECF＝S△DEF+S△CEF，由以上可知S四邊形DMCN＝S△ABC，∴S△DEF+S△CEF＝S△ABC．（3）連接DC，證明：同（2）得：△DEC≌△DBF，∠DCE＝∠DBF＝135°，∴S△DEF＝S五邊形DBFEC，＝S△CFE+S△DBC，＝S△CFE+，∴S△DEF﹣S△CFE＝．故S△DEF、S△CEF、S△ABC的關系是：S△DEF﹣S△CEF＝S△ABC．16．【問題情境】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1，△ABC中，若AB＝12，AC＝8，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到E，使DE＝AD，連接BE．請根據(jù)小明的方法思考：（1）由已知和作圖能得到△ADC≌△EDB，依據(jù)是B．A．SSSB．SASC．AASD．HL（2）由“三角形的三邊關系”可求得AD的取值范圍是2＜AD＜10．解后反思：題目中出現(xiàn)“中點”“中線”等條件，可考慮延長中線構造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個三角形中．【初步運用】如圖2，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．若EF＝3，EC＝2，求線段BF的長．【靈活運用】如圖3，在△ABC中，∠A＝90°，D為BC中點，DE⊥DF，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF，試猜想線段BE、CF、EF三者之間的等量關系，并證明你的結(jié)論．解：（1）∵AD是BC邊上的中線，∴CD＝BD，在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），故選：B；（2）∵AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即12﹣8＜AE＜12+8，∴4＜AE＜20，∵AD＝AE，∴2＜AD＜10，故答案為：2＜AD＜10；【初步運用】延長AD到M，使AD＝DM，連接BM，如圖2所示：∵AE＝EF．EF＝3，∴AC＝AE+EC＝3+2＝5，∵AD是△ABC中線，∴CD＝BD，∵在△ADC和△MDB中，，∴△ADC≌△MDB（SAS），∴BM＝AC，∠CAD＝∠M，∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠AFE，∵∠AFE＝∠BFD，∴∠BFD＝∠CAD＝∠M，∴BF＝BM＝AC，即BF＝5；【靈活運用】線段BE、CF、EF之間的等量關系為