模型43 幾何中等分面積問題（學生用）

PAGE1模型介紹模型介紹線段分三角形面積問題.當三角形具有公共頂點，并且底邊共線時，三角形面積比等于底邊邊長比.如圖當S△ABD∶S△ADC＝m∶n時，則eq\f(BD,CD)＝eq\f(m,n).例題精講例題精講【例1】．如圖，△ABC三邊的中線AD，BE，CF的公共點為G，且AG：GD＝2：1，若S△ABC＝12，則圖中陰影部分的面積是．變式訓練【變式1-1】．如圖，在△ABC中，點D、E、F分別是BC、AD、CE的中點，且S△ABC＝8cm2，則S△BEF的面積是（）A．4cm2 B．3cm2 C．2cm2 D．1cm2【變式1-2】．如圖，在直角坐標系中，平行四邊形OABC的頂點坐標B（17，6），C（5，6），直線y＝x+b恰好將平行四邊形OABC的面積分成相等的兩部分，那么b＝．【例2】．如圖，在平面直角坐標系xOy中，長方形OABC的頂點B的坐標為（6，4），直線y＝﹣x+b恰好將長方形OABC分成面積相等的兩部分，那么b＝．變式訓練【變式2-1】．如圖，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，點E在邊AD上，且AE＝2．若直線l經(jīng)過點E，將該菱形的面積平分，并與菱形的另一邊交于點F，則線段EF的長為．【變式2-2】．如圖，△ABC的面積為1，D、E分別為AB、AC的中點，F(xiàn)、G是BC邊上的三等分點．那么△DEF的面積是多少？△DOE的面積是多少？【變式2-3】．如圖，在平面直角坐標系xOy中，多邊形OABCDE的頂點坐標分別是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直線l經(jīng)過點M（2，3），且將多邊形OABCDE分割成面積相等的兩部分，求直線l的函數(shù)表達式．1．如圖，長方形ABCD的面積為36cm2，E，F(xiàn)，G分別為AB，BC，CD的中點，H為AD上任一點，則圖中陰影部分的面積為（）A．18cm2 B．16cm2 C．20cm2 D．24cm22．已知梯形ABCD的四個頂點的坐標分別為A（﹣1，0），B（5，0），C（2，2），D（0，2），直線y＝kx+2將梯形分成面積相等的兩部分，則k的值為（）A． B． C． D．3．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中線，CF是角平分線，CF交AD于點G，交BE于點H．①△ABE的面積＝△BCE的面積；②AF＝FB；③∠FAG＝2∠ACF．以上說法正確的是（）A．①③ B．①② C．②③ D．①②③4．如圖，在△ABC中，已知點D、E、F分別為BC、AD、CE的中點，若陰影部分的面積為4，則△ABC的面積為．5．如圖，已知在平面直角坐標系中，平行四邊形ABCD頂點A（0，0），C（10，4），直線y＝ax﹣2a﹣1將平行四邊形ABCD分成面積相等的兩部分，求a的值．6．如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABCO是正方形，點B的坐標為（4，4），直線y＝mx﹣2恰好把正方形ABCO的面積分成相等的兩部分，則m＝．7．已知平面上四點A（0，0），B（10，0），C（14，6），D（4，6），若直線y＝mx﹣3m﹣1將四邊形ABCD分成面積相等的兩部分，則m的值為．8．在△ABC中，BC＝5，AC＝12，AB＝13，在AB、AC上分別取點D、E，使線段DE將△ABC分成面積相等的兩部分，則這樣線段的最小值是．9．如圖，在直角坐標系中，矩形OABC的頂點B的坐標為（15，6），直線恰好將矩形OABC分成面積相等的兩部分，那么b＝．10．如圖，△ABC中，AD是中線，延長AD到E，使DE＝AD，DF是△DCE的中線．已知△ABC的面積為2，求：△CDF的面積．11．正方形ABCD的邊長為4，將此正方形置于平面直角坐標系中，使AB邊落在X軸的正半軸上，且A點的坐標是（1，0）．（1）直線y＝x經(jīng)過點C，且與x軸交于點E，求四邊形AECD的面積；（2）若直線l經(jīng)過點E，且將正方形ABCD分成面積相等的兩部分，求直線l的解析式；（3）若直線l1經(jīng)過點F（﹣，0），且與直線y＝3x平行，將（2）中直線l沿著y軸向上平移個單位交軸x于點M，交直線l1于點N，求△NMF的面積．12．如圖，直線y＝2x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點，把△OAB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△OCD．（1）求經(jīng)過A、B、D三點的拋物線的解析式；（2）在所求的拋物線上是否存在一點P，使直線CP把△OCD分成面積相等的兩部分？如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．13．已知菱形OABC在坐標系中的位置如圖所示，O是坐標原點，點C（1，2），點A在x軸上．點M（0，2）．（1）點P是直線OB上的動點，求PM+PC最小值．（2）將直線y＝﹣x﹣1向上平移，得到直線y＝kx+b．①當直線y＝kx+b與線段OC有公共點時，結(jié)合圖象，直接寫出b的取值范圍．②當直線y＝kx+b將四邊形OABC分成面積相等的兩部分時，求k，b．14．已知，y＝ax2+bx﹣3過（2，﹣3），與x軸交于A（﹣1，0），B（x2，0），交y軸于C．（1）求拋物線的解析式；（2）過點C作CD∥x軸，交拋物線于D，是否存在直線y＝kx+1將四邊形ACDB分成面積相等的兩部分，若存在，請求k的值；若不存在，請說明理由；（3）若直線y＝m（﹣3＜m＜0）與線段AC、BC分別交于D、E兩點，則在x軸上是否存在點P，使得△DPE為等腰直角三角形，若存在，請求P點的坐標；若不存在，請說明理由．15．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝50，AC＝30，矩形DEFG的頂點G與△ABC的頂點C重合，邊GD、GF分別與AC，BC重合．GD＝12，GF＝16，矩形DEFG沿射線CB的方向以每秒4個單位長的速度勻速運動，點Q從點B出發(fā)沿BA方向以每秒5個單位長的速度勻速運動，過點Q作射線QK⊥AB，交折線BC﹣CA于點H，矩形DEFG、點Q同時出發(fā)，當點Q到達點A時停止運動，矩形DEFG也隨之停止運動．設矩形DEFG、點Q運動的時間是t秒（t＞0）．（1）求線段DF的長；（2）求運動過程中，矩形DEFG與Rt△ABC重疊部分的面積s與t的函數(shù)關系式（寫出自變量的取值范圍）；（3）射線QK能否把矩形DEFG分成面積相等的兩部分？若能，求出t值；若不能，說明理由；（4）連接DH，當DH∥AB時，請直接寫出t值．16．已知m，n是方程x2﹣6x+5＝0的兩個實數(shù)根，且m＜n．如圖，若拋物線l：y＝﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過點A（m，0），B（0，n）．（1）求拋物線的解析式；（2）設（1）中的拋物線與x軸的另一個交點為C，拋物線的頂點為D，求C，D的坐標和△BCD的面積；（3）已知P是線段OC上一點，過點P作PH⊥x軸，交拋物線于點H，若直線BC把△PCH分成面積相等的兩部分，求P點的坐標．17．【數(shù)學經(jīng)驗】三角形的中線能將三角形分成面積相等的兩部分．【經(jīng)驗發(fā)展】面積比和線段比的聯(lián)系：如果兩個三角形的高相同，則它們的面積比等于對應底邊的比．如圖1，△ABC的邊AB上有一點M，請證明：＝．【結(jié)論應用】如圖2，△CDE的面積為1，＝，＝，求△ABC的面積．【拓展延伸】如圖3，△ABC的邊AB上有一點M，D為CM上任意一點，請利用上述結(jié)論，證明：＝．【遷移應用】如圖4，△ABC中，M是AB的三等分點（AM＝AB），N是BC的中點，若△ABC的面積是1，請直接寫出四邊形BMDN的面積．18．已知拋物線y＝﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過點A（m，0）、B（0，n），其中m、n是方程x2﹣6x+5＝0的兩個實數(shù)根，且m＜n．（1）求拋物線的解析式；（2）設（1）中的拋物線與x軸的另一個交點為C，拋物線的頂點為D，求C、D點的坐標和△BCD的面積；（3）P是線段OC上一點，過點P作PH⊥x軸，交拋物線于點H，若直線BC把△PCH分成面積相等的兩部分，求P點的坐標．19．【背景知識】研究平面直角坐標系，我們可以發(fā)現(xiàn)一條重要的規(guī)律：若平面直角坐標系上有兩個不同的點A（xA，yA）、B（xB，yB），則線段AB的中點坐標可以表示為（，）．【簡單應用】如圖1，直線AB與y軸交于點A（0，3），與x軸交于點B（4，0），過原點O的直線L將△ABO分成面積相等