模型44 三角板拼接模型（教師版）

PAGE1模型介紹模型介紹1.如圖所示為一塊含有30°角的三角板，則∠A=______°，∠B=_______°，∠C＝_____°。2.如圖所示為一塊含有45°角的三角板，則∠A=______°，∠B=_______°，∠C＝_____°。方法點(diǎn)睛我們知道一副三角板是由一塊含有銳角分別為30°，60°的直角三角板和另一塊含有兩個(gè)銳角45°的等腰直角三角板組成,它們提供了較為直觀的30°，45°，60°以及90°,此外這些角度還可以進(jìn)行一些拼湊。依據(jù)平行線的性質(zhì)，我們可以得到同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角之間的關(guān)系，今天我們就來學(xué)習(xí)下由平行線與三角板構(gòu)成的些位置角的計(jì)算或證明問題.例題精講例題精講【例1】．將一副三角尺按如圖所示的方式擺放（兩條直角邊在同一條直線上），連接另外兩個(gè)銳角頂點(diǎn)，并測(cè)得∠1＝45°，則∠2的度數(shù)為______解：如圖所示：∠3＝180°﹣60°﹣45°＝75°，因?yàn)椤?＝45°，所以∠2＝180°﹣∠1﹣∠3＝180°﹣45°﹣75°＝60°．變式訓(xùn)練【變式1-1】．如圖，一副三角尺△ABC與△ADE的兩條斜邊在一條直線上，直尺的一邊GF∥AC，則∠DFG的度數(shù)為105°．解法一：∵GF∥AC，∠C＝90°，∴∠CFG＝180°﹣90°＝90°，又∵AD，CF交于一點(diǎn)，∠C＝∠D，∴∠CAD＝∠CFD＝60°﹣45°＝15°，∴∠DFG＝∠CFD+∠CFG＝15°+90°＝105°．解法二：∵GF∥AC，∠CAB＝60°，∴∠FGE＝60°，又∵∠DFG是△EFG的外角，∠FEG＝45°，∴∠DFG＝∠FGE+∠FEG＝60°+45°＝105°，故答案為：105°．【變式1-2】．一副三角尺按如圖的位置擺放（頂點(diǎn)C與F重合，邊CA與邊FE疊合，頂點(diǎn)B、C、D在一條直線上）．將三角尺DEF繞著點(diǎn)F按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)n°后（0＜n＜180），如果DE∥AB，那么n的值是75°．解：如圖：∵順時(shí)針旋轉(zhuǎn)n°后，DE∥AB，∴D'E'∥AB，延長(zhǎng)AC、E'D'交于點(diǎn)G，∴∠CGD'＝∠CAB＝45°，∵∠CD'E'＝60°，∴∠GCD'＝15°，∵∠GCD'+∠D'CE'+∠ACE'＝180°，∠D'CE'＝90°，∴∠ACE'＝75°，∴n的值為75．故答案為：75°．【例2】．將一副直角三角尺按如圖所示的方式擺放，若直線a∥b，則∠1的度數(shù)為75°．解：如圖，∠2＝45°，∠3＝60°，∴∠2+∠3＝45°+60°＝105°，∵a∥b，∴∠1＝180°﹣105°＝75°．故答案為：75°．變式訓(xùn)練【變式2-1】．一把直尺與一塊直角三角板按如圖方式擺放，若∠1＝43°，則∠2＝（）A．40° B．43° C．45° D．47°解：如圖，∵∠1＝43°，∠4＝45°，∴∠3＝∠1+∠4＝88°，∵直尺對(duì)邊平行，∴∠5＝∠3＝88°，∵∠6＝45°，∴∠2＝180°﹣45°﹣88°＝47°，故選：D．【變式2-2】．在一副三角尺中∠BPA＝45°，∠CPD＝60°，∠B＝∠C＝90°，將它們按如圖所示擺放在量角器上，邊PD與量角器的0°刻度線重合，邊AP與量角器的180°刻度線重合．將三角尺PCD繞點(diǎn)P以每秒3°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，同時(shí)三角尺ABP繞點(diǎn)P以每秒2°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)三角尺PCD的PC邊與180°刻度線重合時(shí)兩塊三角尺都停止運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t＝6、9、15、33秒時(shí)，兩塊三角尺有一組邊平行．①當(dāng)AP∥CD時(shí)，∠APD+∠D＝180°．∵∠D＝30°，∴∠APD＝150°．∴180°﹣5t＝150°．t＝6．②當(dāng)AB∥PD時(shí)，∠A+∠APD＝180°．∵∠A＝45°，∴∠APD＝135°，∴180°﹣5t＝135°，t＝9．③當(dāng)AB∥CD時(shí)，∠APD＝105°＝180°﹣5t，∴t＝15．④當(dāng)AB∥CP時(shí)，∠CPB＝90°，∴∠APD＝60°+45°﹣90°＝180°﹣5t，∴t＝33．⑤當(dāng)AP∥CD時(shí)，∠C+∠APC＝180°，∴∠APD＝90°，∴∠APD＝30°＝5t﹣180°，∴t＝42＞40（舍去）．故答案為：6，9，15，33．1．將一副三角板按如圖所示方式疊放在一起，其中直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)O，若AB∥OD，則∠1的度數(shù)為（）A．60° B．65° C．70° D．75°解：由題意可知，∠B＝45°，∠D＝30°，∵AB∥OD，∴∠BOD＝∠B＝45°，∵∠1＝∠BOD+∠D，∴∠1＝45°+30°＝75°，故選：D．2．一把直尺與一塊三角板如圖放，若∠1＝49°，則∠2的度數(shù)為（）A．41° B．49° C．131° D．139°解：如圖，根據(jù)三角形外角性質(zhì)可得：∠3＝90°+∠1＝90°+49°＝139°，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得：∠2＝∠3＝139°．故選：D．3．如圖，直線m∥n，三角尺的直角頂點(diǎn)在直線m上，且三角尺的直角被直線m平分，若∠1＝60°，則下列結(jié)論正確的是（）A．∠2＝65° B．∠3＝45° C．∠4＝125° D．∠5＝130°解：如圖：∵三角尺的直角被直線m平分，∴∠6＝∠7＝45°，∵∠1＝60°，∴∠4＝∠6+∠1＝45°+60°＝105°，∵m∥n，∴∠3＝∠7＝45°，∠2＝180°﹣∠4＝75°，∴∠5＝180°﹣∠3＝180°﹣45°＝135°，∴選項(xiàng)A、C、D不符合題意，選項(xiàng)B符合題意，故選：B．4．將一副三角板按如圖所示的位置擺放AB∥CD，則∠1的度數(shù)為（）A．45° B．60° C．75° D．105°解：如圖，由題意得：∠D＝45°，∠B＝30°，∵AB∥CD，∴∠ANM＝∠D＝45°，∴∠BNE＝∠ANM＝45°，∵∠1是△BEN的外角，∴∠1＝∠B+∠BNE＝75°．故選：C．5．將一副直角三角板按如圖方式擺放，若直線a∥b，則∠1的大小為（）A．105° B．75° C．60° D．45°解：如圖：∠BAC＝45°+60°＝105°，∵a∥b，∴∠1+∠BAC＝180°，∴∠1＝180°﹣105°＝75°．故選：B．6．一副三角板按如圖所示的位置疊放在一起，則圖中∠α的度數(shù)是（）A．5° B．10° C．15° D．20°解：如圖，由題意得：∠A＝45°，∠2＝60°，∵∠2是△ABC的外角，∴∠α＝∠2﹣∠A＝15°．故選：C．7．將一副三角板按如圖所示的位置擺放，∠C＝∠EDF＝90°，∠E＝45°，∠B＝60°，點(diǎn)D在邊BC上，邊DE，AB交于點(diǎn)G．若EF∥AB，則∠CDE的度數(shù)為（）A．105° B．100° C．95° D．75°解：∵EF∥AB，∠E＝45°，∴∠BGD＝∠E＝45°，∵∠CDE是△BDG的外角，∠B＝60°，∴∠CDE＝∠B+∠BGD＝105°．故選：A．8．將一副直角三角板按如圖所示方式疊放，現(xiàn)將含30°角的三角板固定不動(dòng)，把含45°角的三角板繞O點(diǎn)按每秒15°的速度沿逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)一周，當(dāng)兩塊三角板的斜邊平行時(shí)，則三角板旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為（）秒．A．5 B．7 C．5或17 D．7或19解：如圖，當(dāng)斜邊AB∥DO時(shí)，∠AOD＝∠A＝30°，∵∠DOE＝45°，∴旋轉(zhuǎn)角COE＝180°﹣AOD﹣∠DOE＝105°，105°÷15°＝7（秒）；如圖，將△ABE繼續(xù)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，可得斜邊AB∥OD′，此時(shí)，旋轉(zhuǎn)角為105°+180°＝285°，285°÷15°＝19；故選：D．9．將一副三角尺如圖拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的長(zhǎng)直角邊與含45°角的三角尺（△ACD）的斜邊恰好重合，已知AB＝4，P、Q分別是AC、BC上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)四邊形DPBQ為平行四邊形時(shí)，平行四邊形DPBQ的面積是（）A．9 B． C．6 D．3解：∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，AB＝4，∴AC＝AB?cos30°＝4×＝6，∵四邊形DPBQ為平行四邊形，∴DP∥CB，∴∠DPC＝∠ACB＝90°，∵DA＝DC，∠ADC＝90°，∴點(diǎn)P是AC的中點(diǎn)，∴DP＝PC＝AC＝3，∴平行四邊形DPBQ的面積＝DP?PC＝3×3＝9，故選：A．10．將一副三角板按如圖所示的方式擺放，點(diǎn)D在邊AC上，BC∥EF，則∠ADE的大小為75度．解：如圖，∠C＝30°，∠E＝45°，∵BC∥EF，∴∠1＝∠E＝45°，∴∠ADE＝∠1+∠C＝45°+30°＝75°，故答案為：75．11．已知：如圖，AB∥CD，一副三角板按如圖所示放置，∠AEG＝30°．求∠HFD的度數(shù)．解：過點(diǎn)G作AB平行線交EF于P，由題意易知，AB∥GP∥CD，∴∠EGP＝∠AEG＝30°，∴∠PGF＝60°，∴∠GFC＝∠PGF＝60°，∴∠HFD＝180°﹣∠GFC﹣∠GFP﹣∠EFH＝45°．12．將一副三角板如圖拼接：含30°角的三角板（△ABC）的長(zhǎng)直角邊與含45°角的三角板（△ACD）的斜邊恰好重合．已知AB＝2，P是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接DP．（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到∠ABC的平分線上時(shí)，求DP的長(zhǎng)；（2）當(dāng)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中出現(xiàn)PD＝BC時(shí)，求此時(shí)∠PDA的度數(shù)．解：（1）在Rt△ABC中，AB＝2，∠BAC＝30°∴BC＝，AC＝3．如圖（1），作DF⊥AC∵Rt△ACD中，AD＝CD∴DF＝AF＝CF＝，∵BP平分∠ABC∴∠PBC＝30°∴CP＝BC?tan30°＝1∴PF＝∴DP＝＝．（2）當(dāng)P點(diǎn)位置如圖（2）所示時(shí)，根據(jù)（1）中結(jié)論，DF＝，∠ADF＝45°又PD＝BC＝∴cos∠PDF＝＝∴∠PDF＝30°∴∠PDA＝∠ADF﹣∠PDF＝15°當(dāng)P點(diǎn)位置如圖（3）所示時(shí)，同（2）可得∠PDF＝30°．∴∠PDA＝∠ADF+∠PDF＝75°．13．小聰把一副三角尺ABC，DCE按如圖1的方式擺放，其中邊BC，DC在同一條直線上，過點(diǎn)A向右作射線AP∥DE．（1）如圖2，求∠PAC的度數(shù)；（2）如圖3，點(diǎn)Q是線段BC上一點(diǎn)，若，求∠QAB的度數(shù)．解：（1）∵AP∥DE，∴∠PAB+∠D＝∠ABD，∵∠D＝30°，∠ABD＝90°，∠BAC＝45°，∴∠PAC＝15°．（2）∵AP∥DE，∴∠PAQ+∠D＝∠AQB，∵∠AQB＝∠PAQ，∴設(shè)∠PAQ＝x，則∠AQB＝x，∴x+30°＝x，解得x＝45°，∴∠AQB＝75°，∴∠QAB＝90°﹣75°＝15°．14．將一副三角板中的兩塊直角三角尺的直角頂點(diǎn)C按如圖方式疊放在一起：（1）若∠DCE＝35°，則∠ACB的度數(shù)為145°；（2）若∠ACB＝140°，求∠DCE的度數(shù)；（3）猜想∠ACB與∠DCE的大小關(guān)系，并說明理由；（4）三角尺ACD不動(dòng)，將三角尺BCE的CE邊與CA邊重合，然后繞點(diǎn)C按順時(shí)針或逆時(shí)針．方向任意轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，當(dāng)∠ACE（0°＜∠ACE＜90°）等于多少度時(shí)，這兩塊三角尺各有一條邊互相垂直，直接寫出∠ACE角度所有可能的值，不用說明理由．解：（1）∵∠ACD＝∠ECB＝90°，∴∠ACB＝180°﹣35°＝145°．（2）∵∠ACD＝∠ECB＝90°，∴∠DCE＝180°﹣140°＝40°．（3）∵∠ACE+∠ECD+∠DCB+∠ECD＝180．∵∠ACE+∠ECD+∠DCB＝∠ACB，∴∠ACB+∠DCE＝180°，即∠ACB與∠DCE互補(bǔ)．（4）30°、45°、60°、75°．15．將一副三角尺按如圖①方式拼接：含30°角的三角尺的長(zhǎng)直角邊與含45°角的三角尺的斜邊恰好重合（在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°；在Rt△ACD中，∠ADC＝90°∠DAC＝45°）已知AB＝2P是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）當(dāng)PD＝BC時(shí)，求∠PDA的度數(shù)；（2）如圖②，若E是CD的中點(diǎn)，求△DEP周長(zhǎng)的最小值；（3）如圖③，當(dāng)DP平分∠ADC時(shí)，在△ABC內(nèi)存在一點(diǎn)Q，使得∠DQC＝∠DPC，且CQ＝，求PQ的長(zhǎng)．解：（1）如圖1，過點(diǎn)D作DM⊥AC交于M，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，∴BC：AC：AB＝1：：2，且AB＝2，∴BC＝，AC＝3，在Rt△ADC中，AD：CD：AC＝1：1：，∴AM＝MC＝DM＝1.5；在Rt△PDM中，PD＝BC＝，∴PM＝＝，∴PM＝PD，∴∠PDM＝30°，∴∠PDA＝45°﹣30°＝15°；當(dāng)點(diǎn)P位于DM右側(cè)時(shí)，∠PDA＝45°+30°＝75°．（2）如圖2，作△ADC關(guān)于直線AC對(duì)稱，D的對(duì)稱點(diǎn)為D′，則四邊形AD′CD是正方形，連接D′E，PD，此時(shí)PD+PE＝D′E，∴△PDE的周長(zhǎng)最小，易得CD＝CD′＝，CE＝DE＝，則D′E＝＝，∴△PDE的周長(zhǎng)的最小值為+；（3）如圖3，作∠QPN＝90°，交DQ于點(diǎn)N，由∠DQC＝∠DPC＝90°知∠PDN＝∠PCQ，由∠DPQ＝∠DPN+90°＝∠CPQ+90°知∠DPN＝∠CPQ，又DP＝CP，∴△DPN≌△CPQ（ASA），∴PN＝PQ，∴△PNQ是等腰直角三角形，∴∠PNQ＝∠PQN＝45°，∴∠PQC＝45°+90°＝135°＝∠PND，∴DN＝CQ＝，在Rt△DQC中，DQ＝＝2，∴QN＝2﹣，在等腰直角三角形NPQ中，PQ：PN：NQ＝1：1：，∴PQ＝﹣．16．（1）如圖1，線段MN＝30cm，MO＝GO＝3cm，點(diǎn)P從點(diǎn)M開始繞著點(diǎn)O以