模型48 梯子最值與斜邊中點(diǎn)模型（教師版）

【模型】梯子最值問題，指有一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)在坐標(biāo)軸上滑動(dòng)的最值模型.【結(jié)論】線段AB的兩端在坐標(biāo)軸上滑動(dòng)，∠ABC=90°，AB的中點(diǎn)為Q，連接OQ，QC，當(dāng)O，Q，C三點(diǎn)共線時(shí)，OC取得最大值【簡(jiǎn)證】如圖在Rt△AOB中，點(diǎn)Q是中點(diǎn)，∴OQ=AB.在Rt△ABC中，由勾股定理得CQ=.若OC要取得最大值，則O，Q，C三點(diǎn)共線，即OC=OQ+QC，即OC=AB+【小結(jié)】梯子模型的題，關(guān)鍵是取兩個(gè)圖形的公共邊的中點(diǎn)作為橋梁例題例題精講【例1】．如圖，已知，∠MON＝∠BAC＝90°，且點(diǎn)A在OM上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B在ON上運(yùn)動(dòng)，若AB＝8，AC＝6，則OC的最大值為4+2．解：取AB的中點(diǎn)E，連接OE，CE，∴AE＝4，在Rt△ACE中，由勾股定理得，CE＝＝＝2，∵∠AOB＝90°，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，∴OE＝AB＝4，∵OC≤OE+CE，∴當(dāng)點(diǎn)O、E、C共線時(shí)，OC最大值為4+2，故答案為：4+2．

變式訓(xùn)練【變式1-1】．如圖，矩形ABCD，AB＝2，BC＝4，點(diǎn)A在x軸正半軸上，點(diǎn)D在y軸正半軸上，當(dāng)點(diǎn)A在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)D也隨之在y軸上運(yùn)動(dòng)，在這個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)C到原點(diǎn)O的最大距離為（）A． B．2 C． D．解：如圖，取AD的中點(diǎn)H，連接CH，OH，∵矩形ABCD，AB＝2，BC＝4，∴CD＝AB＝2，AD＝BC＝4，∵點(diǎn)H是AD的中點(diǎn)，∴AH＝DH＝2，∴＝＝，∵∠AOD＝90°，點(diǎn)H是AD的中點(diǎn)，∴，在△OCH中，CO＜OH+CH，當(dāng)點(diǎn)H在OC上時(shí)，CO＝OH+CH，∴CO的最大值為，故選：A．【變式1-2】．如圖，∠MON＝90°，已知△ABC中，AC＝BC＝13，AB＝10，△ABC的頂點(diǎn)A、B分別在邊OM、ON上，當(dāng)點(diǎn)B在邊ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A隨之在OM上運(yùn)動(dòng)，△ABC的形狀始終保持不變，在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，點(diǎn)C到點(diǎn)O的最小距離為_______解：作CH⊥AB于H，連接OH，如圖，∵AC＝BC＝13，∴AH＝BH＝AB＝5，在Rt△BCH中，CH＝＝＝12，∵H為AB的中點(diǎn)，∴OH＝AB＝5，∵OC≥CH﹣OH（當(dāng)點(diǎn)C、O、H共線時(shí)取等號(hào)），∴OC的最小值為12﹣5＝7．

【例2】．如圖，點(diǎn)A、B分別在y軸和x軸正半軸上滑動(dòng)，且保持線段AB＝4，點(diǎn)D坐標(biāo)為（4，3），點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)D的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C，連接BC，則BC的最小值為6．解：如圖所示，取AB的中點(diǎn)E，連接OE，DE，OD，由題可得，D是AC的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，∴BC＝2DE，∵點(diǎn)D坐標(biāo)為（4，3），∴OD＝＝5，∵Rt△ABO中，OE＝AB＝×4＝2，∴當(dāng)O，E，D在同一直線上時(shí)，DE的最小值等于OD﹣OE＝3，∴BC的最小值等于6，故答案為：6．

變式訓(xùn)練【變式2-1】．如圖，OA⊥OB，垂足為O，P、Q分別是射線OA、OB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C是線段PQ的中點(diǎn)，且PQ＝4，點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)沿OB方向運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，動(dòng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)形成的路徑長(zhǎng)是π．解：∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，當(dāng)Q點(diǎn)與O點(diǎn)重合時(shí)，PQ的中點(diǎn)C在OP的中點(diǎn)處，當(dāng)P點(diǎn)與O點(diǎn)重合時(shí)，PQ的中點(diǎn)C在OQ的中點(diǎn)處，∵PQ＝4，∴C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡是以O(shè)為圓心，2為半徑的圓上，∴動(dòng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)形成的路徑長(zhǎng)＝π×4＝π，∴動(dòng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)形成的路徑長(zhǎng)是π，故答案為π．【變式2-2】．如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，D為AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥DF，DE，DF分別交AB，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，求EF的最小值．解：∵DE⊥DF，∴∠EDF＝90°，∴EF2＝DE2+DF2，∴當(dāng)DE與DF的值最小時(shí)，EF長(zhǎng)度的值最小，即當(dāng)DF′⊥BC，DE′⊥AB時(shí)，線段E′F′值最小，如圖，過(guò)D作DE′⊥AB于E′，DF′⊥BC于F′，則四邊形DF′BE′是矩形，∴E′F′＝BD，∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC＝5，∵D是斜邊AC的中點(diǎn)，∴BD＝AC＝2.5．∴E′F′＝BD＝2.5．∴EF的最小值為2.5．1．如圖，∠MON＝90°，矩形ABCD的頂點(diǎn)A，B分別在OM、ON上，當(dāng)B在邊ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A隨之在邊OM上運(yùn)動(dòng)，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB＝2，BC＝．運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)D到點(diǎn)O的距離最大時(shí)，OA長(zhǎng)度為（）A． B． C．2 D．解：如圖，取AB的中點(diǎn)，連接OE、DE，∵∠MON＝90°，∴OE＝AE＝AB＝×2＝1，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝，在Rt△ADE中，由勾股定理得，DE＝＝＝2，由三角形的三邊關(guān)系得，O、E、D三點(diǎn)共線時(shí)點(diǎn)D到點(diǎn)O的距離最大，此時(shí)，OD＝OE+DE＝1+2＝3，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥OD于F，則cos∠ADE＝＝，即＝，解得DF＝，∵OD＝3，∴點(diǎn)F是OD的中點(diǎn)，∴AF垂直平分OD，∴OA＝AD＝．故選：B．2．如圖，Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8．∠BAC＝90°，D，E為AB，AC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且DE＝6，F(xiàn)為DE中點(diǎn)，則BF+CF的最小值為（）A．2 B． C． D．解：如圖，連接AF，在AB上截取AG＝1.5，連接FG，CG，∵∠BAC＝90°，F(xiàn)為DE中點(diǎn)，∴AF＝DE＝3，∴點(diǎn)F在以點(diǎn)A為圓心，AF為半徑的圓上，∵＝，∠GAF＝∠BAF，∴△AGF∽△AFB，∴，∴GF＝BF，∴BF+CF＝GF+CF，∴當(dāng)點(diǎn)G，點(diǎn)F，點(diǎn)C共線時(shí)，最小值為GC的長(zhǎng)，∵CG＝＝＝，∴BF+CF的最小值為，故選：D．3．有一架豎直靠在直角墻面的梯子正在下滑，一只貓緊緊盯住位于梯子正中間的老鼠，等待與老鼠距離最小時(shí)撲捉．把墻面、梯子、貓和老鼠都理想化為同一平面內(nèi)的線或點(diǎn)，模型如圖，∠ABC＝90°，點(diǎn)M，N分別在射線BA，BC上，MN長(zhǎng)度始終保持不變，MN＝4，E為MN的中點(diǎn)，點(diǎn)D到BA，BC的距離分別為3和2，在此滑動(dòng)過(guò)程中，貓與老鼠的距離DE的最小值為（）A．2﹣2 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3解：連接BE，DE，由勾股定理得：BD＝＝，在Rt△MBN中，點(diǎn)E是MN的中點(diǎn)，∴BE＝MN＝2，∴點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是以B為圓心，2為半徑的弧，∴當(dāng)點(diǎn)E落在線段BD上時(shí)，DE的值最小，∴DE的最小值為：﹣2，故選：C．4．如圖，AD∥BC，AD＝2，BC＝3，△ABC的面積是4，那△ACD的面積是．解：∵△ABC的面積為4，且BC＝3，∴ABC的高為，∵AD∥BC，且AD＝2．∴四邊形ABCD是梯形，∴四邊形ABCD的面積為：××（2+3）＝∴ACD的面積為：﹣4＝．故答案為：．5．如圖，∠MON＝90°，長(zhǎng)方形ABCD的頂點(diǎn)B、C分別在邊OM、ON上，當(dāng)B在邊OM上運(yùn)動(dòng)時(shí)，C隨之在邊ON上運(yùn)動(dòng)，若CD＝5，BC＝24，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)D到點(diǎn)O的最大距離為25．解：如圖，取BC的中點(diǎn)E，連接OE、DE、OD，∵OD≤OE+DE，∴當(dāng)O、D、E三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)D到點(diǎn)O的距離最大，此時(shí)，∵CD＝5，BC＝24，∴OE＝EC＝BC＝12，DE＝＝＝13，∴OD的最大值為：12+13＝25．故答案為：25．6．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝4．如圖，將直角頂點(diǎn)B放在原點(diǎn)，點(diǎn)A放在y軸正半軸上，當(dāng)點(diǎn)B在x軸上向右移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)A也隨之在y軸上向下移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)A到達(dá)原點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)B停止移動(dòng)，在移動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)C到原點(diǎn)的最大距離為．解：如圖所示：取A1B1的中點(diǎn)E，連接OE，C1E，當(dāng)O，E，C1在一條直線上時(shí)，點(diǎn)C到原點(diǎn)的距離最大，在Rt△A1OB1中，∵A1B1＝AB＝8，點(diǎn)OE為斜邊中線，∴OE＝B1E＝A1B1＝4，又∵B1C1＝BC＝4，∴C1E＝＝4，∴點(diǎn)C到原點(diǎn)的最大距離為：OE+C1E＝4+4．故答案為：4+4．7．如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝4，點(diǎn)M，N分別為邊AB，BC上的點(diǎn)，且MN＝2．點(diǎn)D，E分別是BC，MN的中點(diǎn)，點(diǎn)P為斜邊AC上任意一點(diǎn)，則PE+PD的最小值為2﹣1．解：如圖，作點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接CD′，BD′，BD′交AC于點(diǎn)P′，DD′交AC于點(diǎn)F，則PD＝PD′，∵∠MBN＝90°，MN＝2，E是MN的中點(diǎn)，連接BE，∴BE＝MN＝1，即點(diǎn)E在以B為圓心，半徑為1的圓位于△ABC的內(nèi)部的弧上運(yùn)動(dòng)，∵PE+PD＝PE+PD′＝BE+PE+PD′﹣1，∴當(dāng)B、E、P、D′四點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，BE+PE+PD′＝BD′最小，即PE+PD＝BD′﹣1最小，∵D是BC的中點(diǎn)，∴CD＝BC＝2，∵點(diǎn)D、D′關(guān)于AC對(duì)稱，∴AC垂直平分DD′，∴CD′＝CD＝2，∠D′CF＝∠DCF＝∠CDD′＝∠CD′D＝45°，∴∠DCD′＝90°，∴BD′＝＝＝2，∴PE+PD的最小值為2﹣1．故答案為：2﹣1．

8．如圖，∠ACB＝∠ADB＝90°，AB＝6，E為AB中點(diǎn)（1）若CD＝2，求△CDE的周長(zhǎng)和面積．（2）若∠CBD＝15°，求△CED的面積．解：（1）過(guò)E作EH⊥CD，∵∠ACB＝∠ADB＝90°，AB＝6，E為AB中點(diǎn)∴CE＝3，ED＝3，CD＝2，∴EH＝，△CDE的周長(zhǎng)＝2+3+3＝8，∴△CDE的面積＝，（2）∵∠ACB＝∠ADB＝90°，AB＝6，E為AB中點(diǎn)∴CE＝3，ED＝3，設(shè)∠CEA＝2x，∠DEA＝2（x+15）＝2x+30，∴∠CED＝30°∴△CDE的面積＝．9．如圖所示，一根長(zhǎng)2.5米的木棍（AB），斜靠在與地面（OM）垂直的墻（ON）上，此時(shí)OB的距離為0.7米，設(shè)木棍的中點(diǎn)為P．若木棍A端沿墻下滑，且B端沿地面向右滑行．（1）如果木棍的底端B向外滑出0.8米，那么木棍的頂端A沿墻下滑多少距離？（2）木棍在滑動(dòng)的過(guò)程中，請(qǐng)判斷A、O、B、P四點(diǎn)的所有連線中，哪些線段的長(zhǎng)度不變，并簡(jiǎn)述理由．（3）在木棍滑動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)滑動(dòng)到什么位置時(shí)，△AOB的面積最大？簡(jiǎn)述理由，并求出面積的最大值．解：（1）在直角△ABC中，已知AB＝2.5m，BO＝0.7m，則AO＝＝2.4m，∵DO＝OB+BD，∴OD＝1.5m，∵直角三角形CDO中，AB＝CD，且CD為斜邊，∴OC＝＝2m，∴AC＝OA﹣OC＝2.4m﹣2m＝0.4m；∴木棍的頂端A沿墻下滑0.4m．（2）AB、AP、BP、OP均不變．理由：因?yàn)镻為AB中點(diǎn)，所以AB、AP、BP不變；在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半，因?yàn)樾边匒B不變，所以斜邊上的中線OP不變；（3）當(dāng)△AOB的斜邊上的高h(yuǎn)等于中線OP時(shí)面積最大．如圖，若h與OP不相等，則總有h＜OP，故根據(jù)三角形面積公式，有h與OP相等時(shí)△AOB的面積最大，此時(shí)，S△AOB＝AB?h＝×2.5×1.25＝1.5625（）．所以△AOB的最大面積為（1.5625）m2．10．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，將含30°的三角尺的直角頂點(diǎn)C落在第二象限．其斜邊兩端點(diǎn)A、B分別落在x軸、y軸上，且AB＝12cm（1）若OB＝6cm．①求點(diǎn)C的坐標(biāo)；②若點(diǎn)A向右滑動(dòng)的距離與點(diǎn)B向上滑動(dòng)的距離相等，求滑動(dòng)的距離；（2）點(diǎn)C與點(diǎn)O的距離的最大值＝12cm．解：（1）①過(guò)點(diǎn)C作y軸的垂線，垂足為D，如圖1：在Rt△AOB中，AB＝12，∠BAO＝30°，∴OB＝6，∴BC＝6，∴∠BAO＝30°，∠ABO＝60°，又∵∠CBA＝60°，∴∠CBD＝60°，∠BCD＝30°，∴BD＝3，CD＝3，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣3，9）；②設(shè)點(diǎn)A向右滑動(dòng)的距離為x，根據(jù)題意得點(diǎn)B向上滑動(dòng)的距離也為x，如圖2：AO＝12×cos∠BAO＝12×cos30°＝6．∴A'O＝6﹣x，B'O＝6+x，A'B'＝AB＝12在△A'OB'中，由勾股定理得，（6﹣x）2+（6+x）2＝122，解得：x＝6（﹣1），∴滑動(dòng)的距離為6（﹣1）；（2）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，y），過(guò)C作CE⊥x軸，CD⊥y軸，垂足分別為E，D，如圖3：則OE＝﹣x，OD＝y(tǒng)，∵∠ACE+∠BCE＝90°，∠DCB+∠BCE＝90°，∴∠ACE＝∠DCB，又∵∠AEC＝∠BDC＝90°，∴△ACE∽△BCD，∴，即，∴y＝﹣x，OC2＝x2+y2＝x2+（﹣x）2＝4x2，∴取AB中點(diǎn)E，連接CE，OE，則CE與OE之和大于或等于CO，當(dāng)且僅當(dāng)C，E，O三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，此時(shí)CO＝CE+OE＝6+6＝12，故答案為：12．第二問方法二：因∠ACB與∠AOB和為180度，所以∠CAO與∠CBO和為180度，故A，O，B，C四點(diǎn)共圓，且AB為圓的直徑，故弦CO的最大值為12．11．如圖，一個(gè)梯子AB斜靠在一面墻上，梯子底端為A，梯子的頂端B距地面的垂直距離為BC的長(zhǎng)．（1）若梯子的長(zhǎng)度是10m，梯子的頂端B距地面的垂直距離為8m．如果梯子的頂端下滑1m，那么梯子的底端A向外滑動(dòng)多少米？（2）設(shè)AB＝c，BC＝a，AC＝b，且a＞b，請(qǐng)思考，梯子在滑動(dòng)的過(guò)程中，是否一定存在頂端下滑的距離與底端向外滑動(dòng)的距離相等的情況？若存在，請(qǐng)求出這個(gè)距離；若不存在，說(shuō)明理由．解：（1）由題意知：AB＝10m，BC＝8m，由勾股定理得：AC＝（m），當(dāng)梯子的頂端下滑1m時(shí)，如圖，∴CB'＝7m，由勾股定理得A'C＝（m），∴AA'＝A'C﹣AC＝（﹣6）m，∴梯子的底端A向外滑動(dòng)（﹣6）m；（2）存在頂端下滑的距離與底端向外滑動(dòng)的距離相等的情況，設(shè)梯子底端向外滑動(dòng)x米，則（a﹣x）2+（b