新設(shè)計(jì)一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)（理）通用版講義第三講解題的化歸目標(biāo)形變題變

第三講解題的化歸目標(biāo)——形變題變上一講提到解題的指導(dǎo)思想是“化歸尋舊”，但怎樣對題目進(jìn)行化歸，化歸到什么形式？這就是本講所要解決的兩個(gè)重點(diǎn)問題——形變化歸與題變化歸．一、形變化歸在數(shù)學(xué)問題的解答過程中，把問題的某一項(xiàng)信息或一組信息進(jìn)行形式上的加工處理，使這項(xiàng)信息或這組信息與我們認(rèn)知結(jié)構(gòu)中(尤其是熟悉結(jié)構(gòu))的某項(xiàng)知識經(jīng)驗(yàn)在形式上相近或相同，讓問題由陌生變得熟悉，便于解題者思考和聯(lián)想，為解題者擬訂解題計(jì)劃奠基鋪路．這種處理信息的操作規(guī)律我們稱為形變化歸．如恒等變形、因式分解、配方、裂項(xiàng)、添項(xiàng)、換元、分類、移圖、補(bǔ)形、數(shù)學(xué)語言化等解題方法都是形變化歸在解題實(shí)踐中的具體體現(xiàn)．從根本上說，這些解題手段沒有改變問題信息的實(shí)質(zhì)和內(nèi)容，只是使信息的表述形式發(fā)生了變化．[例1]在數(shù)列{an}中，已知a2＝15，an＋1＝2an＋3n(n∈N*)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．[解]當(dāng)n＝1時(shí)，由已知，得a2＝2a1＋3，即15＝2a1＋3，解得a1＝6.由an＋1＝2an＋3n，①兩邊同時(shí)除以3n＋1，得eq\f(an＋1,3n＋1)＝2×eq\f(an,3n＋1)＋eq\f(1,3)，即eq\f(an＋1,3n＋1)＝eq\f(2,3)×eq\f(an,3n)＋eq\f(1,3).②設(shè)bn＝eq\f(an,3n)，則②式變?yōu)閎n＋1＝eq\f(2,3)bn＋eq\f(1,3).③設(shè)bn＋1＋m＝eq\f(2,3)(bn＋m)，即bn＋1＝eq\f(2,3)bn－eq\f(m,3)，令－eq\f(m,3)＝eq\f(1,3)，解得m＝－1.則bn＋1－1＝eq\f(2,3)(bn－1)，④所以數(shù)列{bn－1}是一個(gè)首項(xiàng)為b1－1＝eq\f(a1,3)－1＝eq\f(6,3)－1＝1，公比為q＝eq\f(2,3)的等比數(shù)列，故bn－1＝1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n－1，即bn＝1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n－1.由bn＝eq\f(an,3n)，得an＝3nbn＝3neq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n－1))＝3n＋3·2n－1(n∈N*)．⑤[反思領(lǐng)悟]此題解答中從①到②等式兩邊同除以3n＋1，從②到③是換元；從③到④是待定系數(shù)法；從④到⑤又是換元，這些恒等變形手段沒有改變問題信息的實(shí)質(zhì)，只是改變了信息的表述形式，但是，這種變形化歸手段使信息清晰化、簡單化，將一個(gè)復(fù)雜的遞推數(shù)列{an}轉(zhuǎn)化為一個(gè)簡單的等比數(shù)列{bn－1}．[例2]已知x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝1，求證：eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)＋eq\f(9,z)≥36.①[證明]eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)＋eq\f(9,z)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(4,y)＋\f(9,z)))(x＋y＋z)＝14＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)＋\f(4x,y)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(z,x)＋\f(9x,z)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4z,y)＋\f(9y,z)))②≥14＋4＋6＋12＝36.[反思領(lǐng)悟]此題是一個(gè)條件極值問題，信息①：x，y，z∈R＋；信息②：x＋y＋z＝1；信息③：關(guān)于x，y，z的不等關(guān)系eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)＋eq\f(9,z)≥36.通過添項(xiàng)和并項(xiàng)手段將式①變?yōu)槭舰冢瑔栴}在表述形式上發(fā)生了變化，雖然仍是一個(gè)條件極值問題，但解題思路已豁然開朗，這就是形變化歸的效果．二、題變化歸在數(shù)學(xué)習(xí)題的解答過程中，把數(shù)學(xué)問題的某一項(xiàng)信息或一組信息進(jìn)行加工處理，使問題信息的形式得以更新，信息的內(nèi)涵得到挖掘和拓展，使這項(xiàng)信息或這組信息與我們熟知的某項(xiàng)知識經(jīng)驗(yàn)在內(nèi)容上相近或相同，讓問題由陌生變得熟悉，便于解題者思考和聯(lián)想，為解題者擬訂解題計(jì)劃奠基鋪路．這種加工處理信息的操作規(guī)律我們稱為題變化歸，如構(gòu)造法、待定系數(shù)法、三角變換法、數(shù)形結(jié)合法、命題等價(jià)轉(zhuǎn)化等都是題變化歸．從本質(zhì)上說，這些解題手段不僅改變了問題信息的表述形式，而且改變了問題信息的實(shí)質(zhì)，使問題以新的形式和新的內(nèi)容呈現(xiàn)出來．[例3]已知x2＋y2＝1，則eq\r(2＋x＋\r(3)y)＋2eq\r(2＋x－\r(3)y)的最大值為________．[解析]此題的信息有兩項(xiàng)，信息①：實(shí)數(shù)x,y的關(guān)系式為x2+y2=1；信息②：求eq\r(2＋x＋\r(3)y)＋2eq\r(2＋x－\r(3)y)的最大值.eq\r(2＋x＋\r(3)y)＋2eq\r(2＋x－\r(3)y)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(\r(3),2)))2)＋2eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(\r(3),2)))2).(ⅰ)令P(x，y)，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(\r(3),2)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，原問題轉(zhuǎn)化為：點(diǎn)P是單位圓上的動點(diǎn)，A，B為單位圓上的定點(diǎn)，求|PA|＋2|PB|的最大值．(ⅱ)作出示意圖如圖所示，易知∠APB＝eq\f(1,2)∠AOB＝60°，由正弦定理將信息②進(jìn)行形變化歸：eq\f(|PA|,sin120°－A)＝eq\f(|PB|,sinA)＝eq\f(\r(3),sin60°)?|PA|＝2sin(120°－A)，|PB|＝2sinA，則|PA|＋2|PB|＝2sin(120°－A)＋4sinA＝5sinA＋eq\r(3)cosA＝2eq\r(7)sin(A＋φ)≤2eq\r(7)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中tanφ＝\f(\r(3),5)))，(ⅲ)所以|PA|＋2|PB|的最大值為2eq\r(7).[答案]2eq\r(7)[反思領(lǐng)悟]此題解答過程中首先利用信息①把信息②形變化歸為(ⅰ)，然后再將信息①和(ⅰ)結(jié)合，進(jìn)行題變化歸得到(ⅱ)，將“求最值的代數(shù)問題”轉(zhuǎn)化為“求單位圓中的線段和的最值問題”；將(ⅱ)轉(zhuǎn)化為(ⅲ)也是題變化歸，將“求單位圓中的線段和問題”轉(zhuǎn)化為“一個(gè)三角函數(shù)最值問題”．此題進(jìn)行一系列題變化歸，使解題策略由茫然到朦朧，由朦朧到清晰，最后豁然開朗．[例4]已知實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有實(shí)數(shù)根，求使得(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥ka2恒成立的實(shí)數(shù)k的最大值．[解]此題的信息有兩項(xiàng)，信息①：實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有實(shí)數(shù)根;信息②:求使得(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥ka2恒成立的實(shí)數(shù)k的最大值.令原方程的兩個(gè)根為x1，x2，則x1＋x2＝－eq\f(b,a)，x1x2＝eq\f(c,a).(ⅰ)k≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(b,a)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)－\f(c,a)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)－1))2＝(1＋x1＋x2)2＋(x1＋x2＋x1x2)2＋(x1x2－1)2＝2(xeq\o\al(2,1)＋x1＋1)(xeq\o\al(2,2)＋x2＋1)(ⅱ)＝2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋\f(1,2)))2＋\f(3,4)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,2)))2＋\f(3,4)))≥eq\f(9,8).(ⅲ)故實(shí)數(shù)k的最大值為eq\f(9,8).[反思領(lǐng)悟]該解法將信息①化為(ⅰ)是形變化歸，信息②化為(ⅱ)既是形變化歸，也是題變化歸，將原問題轉(zhuǎn)化為“兩個(gè)二次函數(shù)的最值問題”；從(ⅱ)到(ⅲ)是形變化歸．顯然，該解法的過程，既是一系列形變化歸的過程，也是題變化歸的過程．而且形變化歸是