專題16妙解離心率問題（12大核心考點）（講義）

專題16妙解離心率問題【目錄】TOC\o"13"\h\z\u 2 3 4 4 12考點一：頂角為直角的焦點三角形求解離心率的取值范圍問題 12考點二：焦點三角形頂角范圍與離心率 16考點三：共焦點的橢圓與雙曲線問題 19考點四：橢圓與雙曲線的4a通徑體 21考點五：橢圓與雙曲線的4a直角體 24考點六：橢圓與雙曲線的等腰三角形問題 26考點七：雙曲線的4a底邊等腰三角形 28考點八：焦點到漸近線距離為b 32考點九：焦點到漸近線垂線構造的直角三角形 36考點十：以兩焦點為直徑的圓與漸近線相交問題 38考點十一：漸近線平行線與面積問題 41考點十二：數(shù)形結合轉化長度角度 45求橢圓或雙曲線的離心率、與雙曲線的漸近線有關的問題，多以選擇、填空題的形式考查，難度中等．考點要求考題統(tǒng)計考情分析離心率2023年新高考I卷第5、16題，10分2023年甲卷第9題，5分2022年甲卷第10題，5分2022年浙江卷第16題，4分2021年甲卷第5題，5分2021年天津卷第8題，5分離心率問題一直是高考每年必考，對圓錐曲線概念和幾何性質的考查為主，一般不會出太難，二輪復習我們需要掌握一些基本的性質和常規(guī)的處理方法，挖掘橢圓雙曲線的幾何性質下手．求離心率范圍的方法一、建立不等式法：1、利用曲線的范圍建立不等關系．2、利用線段長度的大小建立不等關系．為橢圓的左、右焦點，為橢圓上的任意一點，；為雙曲線的左、右焦點，為雙曲線上的任一點，．3、利用角度長度的大小建立不等關系．為橢圓的左、右焦點，為橢圓上的動點，若，則橢圓離心率的取值范圍為．4、利用題目不等關系建立不等關系．5、利用判別式建立不等關系．6、利用與雙曲線漸近線的斜率比較建立不等關系．7、利用基本不等式，建立不等關系．1．（2023?新高考Ⅰ）設橢圓，的離心率分別為，．若，則A． B． C． D．【答案】【解析】由橢圓可得，，，橢圓的離心率為，，，，，或（舍去）．故選：．2．（2023?甲卷）已知雙曲線的離心率為，的一條漸近線與圓交于，兩點，則A． B． C． D．【答案】【解析】雙曲線的離心率為，可得，所以，所以雙曲線的漸近線方程為：，一條漸近線與圓交于，兩點，圓的圓心，半徑為1，圓的圓心到直線的距離為：，所以．故選：．3．（2022?甲卷）橢圓的左頂點為，點，均在上，且關于軸對稱．若直線，的斜率之積為，則的離心率為A． B． C． D．【答案】【解析】已知，設，，則，，，，故①，，即②，②代入①整理得：，．故選：．4．（2021?甲卷）已知，是雙曲線的兩個焦點，為上一點，且，，則的離心率為A． B． C． D．【答案】【解析】設，，則根據題意及余弦定理可得：，解得，所求離心率為．故選：．5．（2021?天津）已知雙曲線的右焦點與拋物線的焦點重合，拋物線的準線交雙曲線于，兩點，交雙曲線的漸近線于，兩點，若，則雙曲線的離心率為A． B． C．2 D．3【答案】【解析】解由題意可得拋物線的準線方程為，由題意可得：，漸近線的方程為：，可得，，，，所以，，由，解得：，即，所以雙曲線的離心率．故選：．6．（2022?甲卷）已知橢圓的離心率為，，分別為的左、右頂點，為的上頂點．若，則的方程為A． B． C． D．【答案】【解析】由橢圓的離心率可設橢圓方程為，則，由平面向量數(shù)量積的運算法則可得：，，則橢圓方程為．故選：．7．（2022?全國）若雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則的離心率為A．5 B． C． D．【答案】【解析】由雙曲線的方程可得漸近線方程為，由題意可得，所以雙曲線的離心率，故選：．8．（多選題）（2022?乙卷）雙曲線的兩個焦點為，，以的實軸為直徑的圓記為，過作的切線與交于，兩點，且，則的離心率為A． B． C． D．【答案】【解析】當直線與雙曲線交于兩支時，設雙曲線的方程為，設過的切線與圓相切于點，則，，又，所以，過點作于點，所以，又為的中點，所以，，因為，，所以，所以，則，所以，由雙曲線的定義可知，所以，可得，即，所以的離心率．情況二：當直線與雙曲線交于一支時，如圖，記切點為，連接，則，，過作于，則，因為，所以，，，即，所以，正確．故選：．9．（2023?新高考Ⅰ）已知雙曲線的左、右焦點分別為，．點在上，點在軸上，，，則的離心率為．【答案】【解析】（法一）如圖，設，，，設，則，又，則，可得，又，且，則，化簡得．又點在上，則，整理可得，代，可得，即，解得或（舍去），故．（法二）由，得，設，由對稱性可得，則，設，則，所以，解得，所以，在△中，由余弦定理可得，即，則．故答案為：．10．（2022?浙江）已知雙曲線的左焦點為，過且斜率為的直線交雙曲線于點，，交雙曲線的漸近線于點，且．若，則雙曲線的離心率是．【答案】．【解析】（法一）如圖，過點作軸于點，過點作軸于點，由于，且，則點在漸近線上，不妨設，設直線的傾斜角為，則，則，即，則，，又，則，又，則，則，點的坐標為，，即，．（法二）由，解得，又，所以點的縱坐標為，代入方程中，解得，所以，代入雙曲線方程中，可得，所以．故答案為：．考點一：頂角為直角的焦點三角形求解離心率的取值范圍問題頂角為直角的焦點三角形求解離心率的取值范圍問題，如圖所示：橢圓：，根據范圍求解值域．雙曲線：，根據范圍求解值域．【例1】（2024·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？茧A段練習）已知橢圓上一點，它關于原點的對稱點為，點為橢圓右焦點，且滿足，設，且，則該橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖所示，設橢圓得左焦點為，連接，則四邊形為矩形，則，所以，在中，由，得，所以，所以，因為，所以，所以，所以.故選：B.【變式11】（2024·高三單元測試）已知橢圓（a＞b＞0）上有一點A，它關于原點的對稱點為B，點F為橢圓的右焦點，且AF⊥BF，設，且，則該橢圓的離心率e的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】如圖所示，設橢圓的左焦點為，連接，．則四邊形為矩形．因此．．所以，．．，，，，其中，．．故選：A．【變式12】（2024·寧夏銀川·高三銀川二中?？茧A段練習）已知橢圓上有一點，它關于原點的對稱點為，點為橢圓的右焦點，且滿足，設，且，則該橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】設橢圓的左焦點為，連接，，可知四邊形為矩形，從而可知，且，由，可得，，結合，可得，根據，求出范圍即可.如圖所示，設橢圓的左焦點為，連接，，則四邊形為矩形，所以，，由，可得，，，即，∵，，，，.故選：A.【變式13】（2024·河南駐馬店·高三統(tǒng)考期末）已知雙曲線右支上非頂點的一點關于原點的對稱點為，為其右焦點，若，設且，則雙曲線離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖所示，設雙曲線的左焦點為，連接，因為，所以四邊形為矩形，所以，因為，，，所以，所以，∵，∴，，∴，故選：C考點二：焦點三角形頂角范圍與離心率是橢圓的焦點，點在橢圓上，，則（當且僅當動點為短軸端點時取等號）．【例2】（2024·遼寧葫蘆島·高三統(tǒng)考期末）已知點分別是橢圓的左、右焦點，點是橢圓上的一個動點，若使得滿足是直角三角形的動點恰好有6個，則該橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意知，橢圓的最大張角為，所以，所以，所以，故選：C．【變式21】（2024·江西撫州·高三統(tǒng)考期末）設是橢圓的兩個焦點,若橢圓上存在點,使,則橢圓離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】F1（c，0），F(xiàn)2（c，0），c＞0，設P，則|PF1|=a+ex1，|PF2|=aex1．在△中，由余弦定理得，解得．∵，∴0≤＜a2，即．且∴．故橢圓離心率的取范圍是e∈【變式22】（2024·寧夏·高三校聯(lián)考階段練習）已知，是橢圓的兩個焦點，若橢圓C上存在點，使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】若橢圓C上存在點，使得，即以為直徑的圓與橢圓有交點，設，，解得，即，，又，故.故選：B.【變式23】（2024·高三課時練習）已知橢圓的兩個焦點分別為，若橢圓上存在點使得是鈍角，則橢圓離心率的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】當動點從橢圓長軸端點處沿橢圓弧向短軸端點運動時，對兩個焦點的張角漸漸增大，當且僅當點位于短軸端點處時，張角達到最大值．∵橢圓上存在點使得是鈍角，∴中，，∴中，，∴，∴，∴，∴，∵，∴．橢圓離心率的取值范圍是，故選B．考點三：共焦點的橢圓與雙曲線問題，與基本不等式聯(lián)姻求解離心率的取值范圍【例3】（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓和雙曲線有共同的焦點，，是它們的一個交點，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，，則當取最大值時，，的值分別是（

）A．， B．， C．， D．，【答案】A【解析】不妨設橢圓與雙曲線的標準方程分別為：，，，．設，．．則，，∴，．因為，所以，即．∴，∴，∴，則，當且僅當，時取等號．故選：A．【變式31】（2024·湖南·高三校聯(lián)考期末）已知橢圓和雙曲線有共同的焦點，，，分別是它們在第一象限和第三象限的交點，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，，則最小值等于．【答案】【解析】設橢圓長半軸為，雙曲線實半軸為，，，為兩曲線在第一象限的交點，為兩曲線在第三象限的交點，如圖，由橢圓和雙曲線定義與對稱性知，，四邊形為平行四邊形，，，而，則，因此，即，于是有，則，，所以，當且僅當，時取等號．故答案為：【變式32】（2024·湖北咸寧·?？寄M預測）已知中心在原點的橢圓與雙曲線有公共焦點，左右焦點分別為，且兩條曲線在第一象限的交點為，是以為底邊的等腰三角形，若，橢圓與雙曲線的離心率分別為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設橢圓與雙曲線的半焦距為c，橢圓長半軸為，雙曲線實半軸為，，，是以為底邊的等腰三角形，點在第一象限內，，即，，且，，，，解得：．在雙曲線中，，；在橢圓中，，；；，，則，，可得：，的取值范圍為.故選：B.考點四：橢圓與雙曲線的4a通徑體橢圓與雙曲線的4a通徑體如圖，若，易知，若，則一定有，根據可得，即【例4】（2024·河南新鄉(xiāng)·高三統(tǒng)考期末）設雙曲線的左、右焦點分別是、，過的直線交雙曲線的左支于、兩點，若，且，則雙曲線的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如下圖所示：，由雙曲線的定義可得，所以，，則，由余弦定理可得，，因為，故，整理可得，故該雙曲線的離心率為.故選：B.【變式41】（2024·甘肅慶陽·高三校聯(lián)考階段練習）已知，分別是橢圓：的左、右焦點，過點的直線交橢圓C于M，N兩點.若，且，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以可設，，，因為，所以，解得，因為，所以，，，所以，在中，，，由，可得，即橢圓的離心率為.故選：B.【變式42】（2024·湖南衡陽·校聯(lián)考模擬預測）已知橢圓的左?右焦點分別為、，過作直線與橢圓相交于、兩點，，且，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖所示，設，，設，則，在中，，由橢圓定義可知，，，解得，所以，，在中，可得，在中，由余弦定理可得，，，即0，解得，所以橢圓離心率.故選：D.考點五：橢圓與雙曲線的4a直角體如左圖，若，過原點，且，，則可得離心率．如右圖，若，過原點，且，通過補全矩形，可得，，借助公式可得離心率．【例5】（2024·山東濟南·校聯(lián)考）設，分別是橢圓的左、右焦點，過的直線交橢圓于，兩點，且，，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，不妨令，過的直線交橢圓于，兩點，由橢圓的定義可得，，，則，，又，所以，則和都是直角三角形，則，即，解得，所以，，又，，所以，因此，所以橢圓的離心率為.故選：C.【變式51】（2024·安徽池州·高三統(tǒng)考期末）設分別是橢圓的左、右焦點，過點的直線交橢圓于兩點，若，且，則橢圓的離心率是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】設，再由是等腰直角三角形，故選D,【變式52】（2024·湖北黃岡·高三統(tǒng)考期末）已知橢圓的左、右焦點分別為，，過的直線交橢圓于A，B兩點，，且，橢圓的離心率為，則實數(shù)（

）A． B．2 C． D．3【答案】D【解析】因為，設，由橢圓的定義可得：，則，因為，所以，所以，即，又因為橢圓的離心率為，所以，則有，所以，則，則，由，所以，因為，所以，所以，即，解得：，故選：.考點六：橢圓與雙曲線的等腰三角形問題同角余弦定理使用兩次【例6】已知橢圓C的焦點為，過F2的直線與C交于A，B兩點.若，，則C的方程為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】法一：如圖，由已知可設，則，由橢圓的定義有．在中，由余弦定理推論得．在中，由余弦定理得，解得．所求橢圓方程為，故選B．法二：由已知可設，則，由橢圓的定義有．在和中，由余弦定理得，又互補，，兩式消去，得，解得．所求橢圓方程為，故選B．【變式61】（2024·江西九江·高三九江一中?？计谀┮阎p曲線左右焦點為，，過的直線與雙曲線的右支交于P，Q兩點，且，若為以Q為頂角的等腰三角形，則雙曲線的離心率為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意，又，所以，從而，，，中，，中．，所以，，所以，故選：C．【變式62】（2024·遼寧沈陽·高三沈陽二中?？茧A段練習）已知雙曲線左右焦點為，，過的直線與雙曲線的右支交于，兩點，且，若為以為頂角的等腰三角形，則雙曲線的離心率為（

）A．3 B．2 C． D．【答案】C【解析】由題意，又，所以，從而，，，中，，中．，所以，，所以，故選：C．考點七：雙曲線的4a底邊等腰三角形當或者時，令,則一定存在①，②【例7】（2024·河南·高三校聯(lián)考階段練習）設為雙曲線：（，）的右焦點，直線：（其中為雙曲線的半焦距）與雙曲線的左、右兩支分別交于，兩點，若，則雙曲線的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設雙曲線的左焦點為，如圖，取線段的中點，連接，則．因為，所以，即，則．設．因為，所以，則，從而，故，解得．因為直線的斜率為，所以，整理得，即，故選：D．【變式71】（2024·貴州·校聯(lián)考模擬預測）設為雙曲線C：的右焦點，直線l：（其中c為雙曲線C的半焦距）與雙曲線C的左、右兩支分別交于M，N兩點，若，則雙曲線C的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設雙曲線C的左焦點為，如圖，取線段的中點H，連接，則．因為，所以，即，則．設．因為，所以，則，從而，故，解得．因為直線l的斜率為，所以，整理得，即，則，故．故選：C【變式72】（2024·全國·高三長垣市第一中學校聯(lián)考開學考試）設雙曲線的左?右焦點分別為，過點作斜率為的直線與雙曲線的左?右兩支分別交于兩點，且，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．2【答案】A【解析】如圖，設為的中點，連接.易知，所以，所以.因為為的中點，所以.設，因為，所以.因為，所以.所以.因為是的中點，，所以.在Rt中，；在Rt中，.所以，解得.所以.因為直線的斜率為，所以，所以，，所以離心率為.故選：A【變式73】（2024·全國·模擬預測）已知，分別為雙曲線的左、右焦點，過的直線與雙曲線的左支交于，兩點，連接，，在中，，，則雙曲線的離心率為（

）A．3 B． C． D．2【答案】D【解析】設，則由雙曲線定義可得，，，由可得，再在中根據余弦定理即可列出式子求出離心率.設，則由雙曲線定義可得，，則，則，解得，從而.在中，，即，解得.故選：D.考點八：焦點到漸近線距離為b雙曲線的特征三角形，如圖所示，設漸近線，，過右焦點作，，由于漸近線方程為，故，且斜邊，故，故，.【例8】（2024·河南新鄉(xiāng)·高三校聯(lián)考階段練習）已知雙曲線的左、右焦點分別為，過作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為，直線與雙曲線的左支交于點，且恰為線段的中點，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】D【解析】連結，因為點分別為和的中點，所以，且設點到一條漸近線的距離，所以，又，所以，中，滿足，整理為：，雙曲線的離心率.故選：D【變式81】（2024·吉林白山·高三校聯(lián)考階段練習）已知雙曲線的左右焦點分別為，，以為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于點（異于坐標原點），若線段交雙曲線于點，且則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】不妨設漸近線的方程為，因為，為的中點，所以為的中點，將直線，的方程聯(lián)立，可得，又，所以即，又點在雙曲線上，所以，解得，所以該雙曲線的離心率為，故選：A.【變式82】（2024·山西運城·高三統(tǒng)考期末）已知雙曲線的左、右焦點分別為、，以為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于點，若線段交雙曲線于點，且，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據題意，不妨取點在第二象限，題中條件，得到，記，求出，根據雙曲線定義，得到，，在中，由余弦定理，即可得出結果.因為以為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于點，不妨取點在第二象限，所以，則，因為雙曲線的漸近線方程為，則，所以；記，則，由解得，因為，由雙曲線的定義可得，所以，，由余弦定理可得：，則，所以，整理得，解得，所以雙曲線的離心率為.故選：C.【變式83】（2024·遼寧·統(tǒng)考模擬預測）已知雙曲線：的一個焦點為，過作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為.若(為坐標原點)的面積等于(為雙曲線的半焦距)，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】A【解析】設雙曲線：的右焦點，雙曲線的一條漸近線方程設為，可得，，的面積為，即有，化為，，解得.故選：A.【變式84】（2024·廣西南寧·統(tǒng)考）已知雙曲線的左焦點為，過點的直線與兩條漸近線的交點分別為兩點(點位于點M與點N之間)，且，又過點作于P(點O為坐標原點)，且，則雙曲線E的離心率（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】不妨設在第二象限，在第三象限，如下圖所示：因為，，所以，所以，，又，所以，所以，所以，因為，所以，所以，所以.故選：C.考點九：焦點到漸近線垂線構造的直角三角形利用幾何法轉化【例9】（2024·江西九江·高三九江一中?？茧A段練習）是雙曲線的左焦點，過點作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為，交另一條漸近線于點．若，則此雙曲線的離心率為（

）A．2 B． C． D．【答案】D【解析】由題意得：，雙曲線漸近線方程為：若為直線與交點，為直線與交點則

直線方程為：，與聯(lián)立可得：直線方程與聯(lián)立可得：由得：，即，即，解得：或（舍）由雙曲線對稱性可知，當為直線與交點，為直線與交點時，結論一致故選：【變式91】（2024·廣西玉林·?？寄M預測）過雙曲線C：(a>0，b>0)的右焦點F引一條漸近線的垂線，與另一條漸近線相交于第二象限，則雙曲線C的離心率的取值范圍是（

）A．(，+∞) B．(，+∞) C．(2，+∞) D．(3，+∞)【答案】A【解析】由題意雙曲線C：的漸近線，右焦點，不妨設過右焦點與雙曲線的一條漸近線垂直的直線方程為與聯(lián)立得，所以，，所以交點坐標為，因為交點在第二象限，所以，因為，，，所以，，所以，即，因為，所以，即故選：A【變式92】（2024·江西新余·統(tǒng)考）已知雙曲線，過右焦點作的一條漸近線的垂線，垂足為點，與的另一條漸近線交于點，若，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如下圖所示：雙曲線的漸近線方程為，即，所以，，則，因為，則，設，則，所以，，，，由二倍角的正切公式可得，即，可得，因此，.故選：A.考點十：以兩焦點為直徑的圓與漸近線相交問題以為直徑作圓，交一條漸近線于點，交另一條漸近線于點，則令,則，【例10】（2024·全國·校聯(lián)考）過雙曲線的右焦點作軸的垂線，與雙曲線及其一條漸近線在第一象限分別交于兩點，且為坐標原點），則該雙曲線的離心率是(

)A．2. B． C． D．【答案】D【解析】設雙曲線的半焦距為，由得到，由得到，而，，即點A是線段FB的中點，所以，所以.故選：D【變式101】（2024·山西晉城·統(tǒng)考）設，是雙曲線：的左、右焦點，以線段為直徑的圓與直線在第一象限交于點，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B．C． D．2【答案】A【解析】由題意可得，即有為等腰三角形，設，則，所以即為，所以，故選：A【變式102】（2024·河北衡水·高三河北衡水中學?？茧A段練習）已知雙曲線的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，若以F1F2為直徑的圓和曲線C在第一象限交于點P，且△POF2恰好為正三角形，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】連接，設，則由題意可得是直角三角形，由恰好為正三角形得，，∴，∴，，．故選：C．【變式103】（2024·陜西寶雞·統(tǒng)考）已知雙曲線的左?右焦點分別為，，且以為直徑的圓與雙曲線的漸近線在第四象限交點為，交雙曲線左支于，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】寫出圓方程，與漸近線方程聯(lián)立解得得點坐標，由可表示出點坐標，點坐標代入雙曲線方程整理后可求得．，圓方程為，由，由，，解得，即，設Q(x0，y0)，由，，得，，因為在雙曲線上，∴，，解得（舍去），故選：A考點十一：漸近線平行線與面積問題①雙曲線C：上的任意點P到雙曲線C的兩條漸近線的距離的乘積是一個常數(shù)②雙曲線C：上的任意點P作雙曲線C的兩條漸近線的平行線，分別交于，兩點，則是一個常數(shù)，，【例11】（2024·北京·人大附中?？迹┮阎?，分別為雙曲線C：的左、右焦點，過作C的兩條漸近線的平行線，與漸近線交于M，N兩點．若，則C的離心率