高考數(shù)學理北師大版一輪復習訓練2-3函數(shù)的奇偶性對稱性

核心考點·精準研析考點一函數(shù)奇偶性的判斷

1.下列函數(shù)為奇函數(shù)的是 ()A.f(x)=QUOTE B.f(x)=exC.f(x)=cosx D.f(x)=exex2.已知函數(shù)f(x)=3xQUOTE,則f(x) ()A.是奇函數(shù),且在R上是增加的B.是偶函數(shù),且在R上是增加的C.是奇函數(shù),且在R上是減少的D.是偶函數(shù),且在R上是減少的3.若函數(shù)f(x)(x∈R)是奇函數(shù),函數(shù)g(x)(x∈R)是偶函數(shù),則 ()A.函數(shù)f(g(x))是奇函數(shù)B.函數(shù)g(f(x))是奇函數(shù)C.函數(shù)f(x)·g(x)是奇函數(shù)D.函數(shù)f(x)+g(x)是奇函數(shù)4.已知定義在R上的函數(shù)f(x),對任意的x1,x2∈R都有f(x1+x2)f(x1)=f(x2)+5,則下列命題正確的是 ()A.f(x)是奇函數(shù) B.f(x)是偶函數(shù)C.f(x)+5是奇函數(shù) D.f(x)+5是偶函數(shù)【解析】1.選D.對于A,定義域不關(guān)于原點對稱,故不是奇函數(shù);對于B,f(x)=ex=QUOTE≠f(x),故不是奇函數(shù);對于C,f(x)=cos(x)=cosx≠f(x),故不是奇函數(shù);對于D,f(x)=exex=(exex)=f(x),是奇函數(shù).2.選A.因為函數(shù)f(x)的定義域為R,f(x)=3xQUOTE=QUOTE3x=f(x),所以函數(shù)f(x)是奇函數(shù).因為函數(shù)y=QUOTE在R上是減少的,所以函數(shù)y=QUOTE在R上是增加的.又因為y=3x在R上是增加的,所以函數(shù)f(x)=3xQUOTE在R上是增加的.3.選C.令h(x)=f(x)·g(x),因為函數(shù)f(x)是奇函數(shù),函數(shù)g(x)是偶函數(shù),所以f(x)=f(x),g(x)=g(x),所以h(x)=f(x)·g(x)=f(x)·g(x)=h(x),所以h(x)=f(x)·g(x)是奇函數(shù).4.選C.取x1=x2=0,得f(0+0)f(0)=f(0)+5,所以f(0)=5.令x1=x,x2=x,則f[x+(x)]f(x)=f(x)+5,所以f(0)f(x)=f(x)+5,所以f(x)+5=[f(x)+5],所以函數(shù)f(x)+5是奇函數(shù).判斷函數(shù)奇偶性的方法(1)定義法:利用奇、偶函數(shù)的定義或定義的等價形式:QUOTE=±1(f(x)≠0)判斷函數(shù)的奇偶性.(2)圖像法:利用函數(shù)圖像的對稱性判斷函數(shù)的奇偶性.(3)驗證法:即判斷f(x)±f(x)是否為0.(4)性質(zhì)法:在公共定義域內(nèi)有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.考點二函數(shù)的周期性及應用

【典例】1.(2020·南昌模擬)已知函數(shù)f(x)=QUOTE如果對任意的n∈N*,定義fn(x)=QUOTE,那么f2019(2)的值為 ()A.0B.1C.2D.32.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),若對于x≥0,都有f(x+2)=QUOTE,且當x∈[0,2)時,f(x)=log2(x+1),則f(2017)+f(2019)的值為 ()A.0 B.-4 C.2 D.23.(2019·重慶模擬)已知奇函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=3對稱,當x∈[0,3]時,f(x)=x,則f(16)=________. 導學號

【解題導思】序號聯(lián)想解題1由已知想到周期函數(shù)2由f(x+2)=QUOTE,想到周期函數(shù)3由f(x)的圖像關(guān)于直線x=3對稱,想到f(x)=f(6x)【解析】1.選C.因為f1(2)=f(2)=1,f2(2)=f(1)=0,f3(2)=f(0)=2,所以fn(2)的值具有周期性,且周期為3,所以f2019(2)=f3×673(2)=f3(2)=2.2.選A.當x≥0時,f(x+2)=QUOTE,所以f(x+4)=f(x),即4是f(x)(x≥0)的一個周期.所以f(2017)=f(2017)=f(1)=log22=1,f(2019)=f(3)=QUOTE=1,所以f(2017)+f(2019)=0.3.根據(jù)題意,函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=3對稱,則有f(x)=f(6x),又由函數(shù)為奇函數(shù),則f(x)=f(x),則有f(x)=f(x6)=f(x12),則f(x)的最小正周期是12,故f(16)=f(4)=f(4)=f(2)=(2)=2.答案:21.抽象函數(shù)的周期性(1)如果f(x+a)=f(x)(a≠0),那么f(x)是周期函數(shù),其中一個周期T=2a.(2)如果f(x+a)=QUOTE(a≠0),那么f(x)是周期函數(shù),其中的一個周期T=2a.(3)如果f(x+a)+f(x)=c(a≠0),那么f(x)是周期函數(shù),其中的一個周期T=2a.(4)如果f(x+a)=f(xb),則T=|a+b|.(5)如果f(x)的圖像關(guān)于(a,0)對稱,且關(guān)于x=b對稱,則T=4|ab|.(6)如果f(x)的圖像關(guān)于(a,0)對稱,且關(guān)于(b,0)對稱,則T=2|ab|.2.函數(shù)f(x)滿足的關(guān)系f(a+x)=f(bx)表明的是函數(shù)圖像的對稱性,函數(shù)f(x)滿足的關(guān)系f(a+x)=f(b+x)(a≠b)表明的是函數(shù)的周期性,在使用這兩個關(guān)系時不要混淆.1.(2020·菏澤模擬)定義在R上的函數(shù)f(x)的周期為π,且是奇函數(shù),fQUOTE=1,則fQUOTE的值為 ()A.1 B.-1 C.0 【解析】選B.因為函數(shù)f(x)的周期為π,所以fQUOTE=fQUOTE=fQUOTE,因為f(x)為奇函數(shù),所以fQUOTE=fQUOTE=1.2.(2019·長春模擬)已知定義在R上的函數(shù)f(x)的周期為6,且f(x)=QUOTE則f(7)+f(8)= ()A.11 B.QUOTE C.7 D.QUOTE【解析】選A.根據(jù)f(x)的周期是6,故f(7)=f(1)=QUOTE(1)+1=4,f(8)=f(2)=f(2)=QUOTE(2)+1=7,所以f(7)+f(8)=11.3.已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且f(x+4)=f(x2).若當x∈[3,0]時,f(x)=6x,則f(919)=________.

【解析】因為f(x+4)=f(x2),所以f[(x+2)+4]=f[(x+2)2]即f(x+6)=f(x),所以f(x)是周期為6的周期函數(shù),所以f(919)=f(153×6+1)=f(1).又f(x)是定義在R上的偶函數(shù),所以f(1)=f(1)=6,即f(919)=6.答案:6考點三函數(shù)性質(zhì)的綜合應用

命題精解讀1.考什么:(1)求函數(shù)值、解析式或參數(shù)值,奇偶性與單調(diào)性、奇偶性與周期性交匯等問題.(2)考查數(shù)學運算、數(shù)學抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng).2.怎么考:函數(shù)奇偶性、單調(diào)性、周期性以及對稱性(奇偶性質(zhì)的擴展)等知識單獨或交匯考查.學霸好方法奇偶函數(shù)對稱區(qū)間上的單調(diào)性奇函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.求函數(shù)值、解析式或參數(shù)值【典例】1.(2019·全國卷Ⅱ)已知f(x)是奇函數(shù),且當x<0時,f(x)=eax.若f(ln2)=8,則a=________________.

2.設f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當x<0時,f(x)=2x2x,則當x>0時,f(x)= 導學號()A.2x2x B.2x2+xC.2x2x D.2x2+x【解析】1.因為ln2>0,所以ln2<0,由于f(x)是奇函數(shù),所以f(ln2)=f(ln2)=8,即e(ln2)a=8,解得a=3.答案:32.選C.當x>0時,x<0,f(x)=2(x)2(x)=2x2+x,因為f(x)是定義在R上的奇函數(shù),所以f(x)=f(x)=2x2x.1.如何求奇偶函數(shù)對稱區(qū)間上的解析式?提示:將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上,再利用奇偶性求出.2.如何求奇偶函數(shù)對稱區(qū)間上的函數(shù)值?提示:將待求值利用奇偶性轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解.奇偶性與單調(diào)性交匯問題【典例】函數(shù)f(x)在(∞,+∞)上是減少的,且為奇函數(shù).若f(1)=1,則滿足1≤f(x2)≤1的x的取值范圍是 導學號()A.[2,2] B.[1,1] C.[0,4] D.[1,3]【解析】選D.由已知,得f(1)=1,使1≤f(x)≤1成立的x滿足1≤x≤1,所以由1≤x2≤1得1≤x≤3,即使1≤f(x2)≤1成立的x滿足1≤x≤3.解決與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式問題的關(guān)鍵是什么?提示:利用題設條件,想辦法去掉“f”符號即可解決.奇偶性與周期性交匯問題【典例】(2018·全國卷Ⅱ)已知f(x)是定義域為(∞,+∞)的奇函數(shù),滿足f(1x)=f(1+x).若f(1)=2,則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)= 導學號()A.50 B.0 C.2 【解析】選C.f(x)是定義域為(∞,+∞)的奇函數(shù),圖像關(guān)于原點對稱,滿足f(1x)=f(1+x),則f(x+4)=f(1(x+3))=f(x2)=f(x+2)=f(1(x+1))=f(x)=f(x),所以f(x)是周期為4的函數(shù).又f(1)=2,f(2)=f(1+1)=f(11)=f(0)=0,f(3)=f(1)=f(1)=2,f(4)=f(0)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12×0+f(1)+f(2)=2.如何求解項數(shù)較多的式子的值?提示:因為多項式個數(shù)較多,可能與函數(shù)的周期性有關(guān),可依據(jù)題設條件,先探索函數(shù)的周期性,再去求解.1.設函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且f(x)=QUOTE則g(8)= ()A.2 B.-3 C.2 D.3【解析】選A.方法一:當x<0時,x>0,且f(x)為奇函數(shù),則f(x)=log3(1x),所以f(x)=log3(1x).因此g(x)=log3(1x),x<0,故g(8)=log39=2.方法二:由題意知,g(8)=f(8)=f(8)=log39=2.2.(2020·石家莊模擬)已知f(x)是定義在R上以3為周期的偶函數(shù),若f(1)<1,f(5)=QUOTE,則實數(shù)a的取值范圍為 ()A.(1,4) B.(2,1) C.(1,2) D.(1,0)【解析】選A.因為函數(shù)f(x)是定義在R上以3為周期的偶函數(shù),所以f(5)=f(1)=f(1),即QUOTE<1,化簡得(a4)(a+1)<0,解得1<a<4.3.設函數(shù)f(x)=QUOTE為奇函數(shù),則a=______.

【解析】因為f(x)=QUOTE為奇函數(shù),所以f(1)+f(1)=0,即QUOTE+QUOTE=0,所以a=1.答案:11.(2020·滁州模擬)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),g(x)是定義在R上的奇函數(shù),且g(x)=f(x1),則f(2017)+f(2019)的值為________.

【解析】由題意得,g(x)=f(x1),因為f(x)是定義在R上的偶函數(shù),g(x)是定義在R上的奇函數(shù),所以g(x)=g(x),f(x)=f(x),所以f(x1)=f(x+1),即f(x1)+f(x+1)=0.所以f(2017)+f(2019)=f(20181)+f(2018+1)=0.答案:02.(2020·榆林模擬)已知f(x)=2x+QUOTE為奇函數(shù),g(x