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文檔簡介
動(dòng)點(diǎn)最值問題一一胡不歸
1.△ABC中,ZA=90°,ZB=60°,AB=2,若點(diǎn)。是BC邊上的動(dòng)點(diǎn),則24O+OC的最小值為()
A.4B.A/3+3C.6D.273+3
對(duì)角線0B的長為4娓,P為0B上一動(dòng)點(diǎn),則AP+返。戶的最小值為
2.如圖所示,菱形ABC。的邊長為5,
5
()
0CX
A.4B.5C.2加D.3巡
=6,BC=2,P為邊CD上的一動(dòng)點(diǎn),則PB+叵PD的最小值等于()
3.如圖,12ABe。中,ZDAB=60°,AB
2
DP_________C
/\/
AB
A.V3B.3C.3&D.2+273
4.如圖,團(tuán)ABC。中,N£)AB=30°,AE1=6,BC=2,P為邊C£>上的一動(dòng)點(diǎn),則P8+2PO的最小值等于()
2
DPC
AB
A.2B.4C.3D.5
LAC于點(diǎn)E,AE=2爬,。是線段BE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),貝ljCD+返的最
5.如圖,△ABC中,AB=AC=\O,BE.
5
小值是()
C.10D.既
6.已知等邊△ABC中AO_LBC,AD=12,若點(diǎn)P在線段AO上運(yùn)動(dòng),當(dāng)[AP+BP的值最小時(shí),AP的長為()
2
A.4B.8C.10D.12
7.如圖,ZSABC中,48=AC=10,/A=45°,是△ABC的邊4c上的高,點(diǎn)P是80上動(dòng)點(diǎn),則上■BP+CP
的最小值是()
B.572C.10D.1072
8.如圖.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A坐標(biāo)為(0,3?),點(diǎn)C坐標(biāo)為(2,0),點(diǎn)B為線段OA上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),
貝讓A8+8C的最小值為()
2
A
B.5C.3巡
9.如圖,在△ABC中,ZA=\5°,A8=10,P為AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與A、C重合),連接BP,AP+PB
的最小值是()
』
A.572c10D.8
3
10.如圖,△ABC中,AB=AC=10,tan4=2,BEJ_AC于點(diǎn)E,D是線段BE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則CD+恒BD的最
5
小值是()
C.5遮D.10
11.如圖,A8CO中,ND48=60°,A8=6,8C=1,P為邊CD上的一動(dòng)點(diǎn),則尸8+返產(chǎn)。的最小值等于
2
D
B
12.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=-x+4的圖象分別與y軸和x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)用若定點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,
6?),點(diǎn)。是y軸上任意一點(diǎn),則/PQ+QB的最小值為
13.如圖,在△ABC中,ZC=90°,AC=2,8c=6.點(diǎn)。是在邊8c上的動(dòng)點(diǎn),則ZsO+AO的最小值是
3
14.如圖,E1ABC。中,ND4B=30°,AB=8,BC=3,P為邊CD上的一動(dòng)點(diǎn),則的最小值等于
2
15.如圖,菱形ABC。的邊長為6,NB=120°.點(diǎn)尸是對(duì)角線AC上一點(diǎn)(不與端點(diǎn)A重合),則lAP+尸力的最
2
小值為.
B
16.如圖,△ABC中,AB=AC=IO,tanA-3,CDJ_4B于點(diǎn)。,點(diǎn)E是線段CD的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則8E+且°CE的
10
最小值是.
17.如圖,二次函數(shù)y=-7+2x+3的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)。,若點(diǎn)
P為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接PD,則考■PC+P。的最小值為.
18.在平面直角坐標(biāo)系中,已知,A(2、歷,0),C(0,-1),若尸為線段04上一動(dòng)點(diǎn),則CP+LAP的最小值
3
為
練習(xí):
1.如圖,在△A8C中,ZA=90°,ZB=60°,A8=2,若。是BC邊上的動(dòng)點(diǎn),則2AO+OC的最小值是()
BC
A.2yf^-6B.6C.V3+3D.4
2.如圖,在△ABC中,ZA=90°,ZB=60°,AB=2,若。是BC邊上一動(dòng)點(diǎn),則A£>+」£>C的最小值為()
2
A.2"\/3+6B.6C.“+3D.3
3.如圖在△ABC中.NB=45°.AB=4.點(diǎn)P為直線BC上一點(diǎn).當(dāng)BP+2Ap有最小值時(shí),NBAP的度數(shù)為
4.如圖,回ABC。中,/D4B=60°,AB=6,BC=2,P為邊CD上的一動(dòng)點(diǎn),則尸8+出9的最小值等于
2
5.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=-/+2心的頂點(diǎn)為A點(diǎn),且與x軸的正半軸交于點(diǎn)B,P點(diǎn)為該拋
物線對(duì)稱軸上一點(diǎn),則20P+AP的最小值為
動(dòng)點(diǎn)最值問題一一胡不歸(有答案)
1.△ABC中,ZA=90°,/B=60°,AB=2,若點(diǎn)。是邊上的動(dòng)點(diǎn),則2AO+OC的最小值為()
A.4B.V3+3C.6D.273+3
【解答】解:過點(diǎn)C作射線CE,使NBCE=30°,再過動(dòng)點(diǎn)。作。FLCE,垂足為點(diǎn)F,連接A。,如圖所示:
::
在Rt^OFC中,ZDCF=30°,.DF^^DC,2AO+OC=2(AD+^DC)=2CAD+DF),
22
...當(dāng)A,D,尸在同一直線上,即AFJ_CE時(shí),4。+力尸的值最小,最小值等于垂線段4尸的長,
此時(shí),/B=NAO8=60°,.?.△A3。是等邊三角形,:.AD^BD=AB=2,
在RtZXABC中,ZBAC=90°,ZB=60°,AB=2,:,BC=4,:.DC=2,:.DF=^DC=\,
2
:.AF=AD+DF=2+\=3,:.2(AD+DF)=2AF=6,;.2AD+DC的最小值為6,故選:C.
2.如圖所示,菱形ABCO的邊長為5,對(duì)角線0B的長為4娓,P為0B上一動(dòng)點(diǎn),則AP+^OP的最小值為
5
)
【解答】解:如圖,過點(diǎn)A作于點(diǎn)H,過點(diǎn)尸作尸尸,0C于點(diǎn)F,連接AC交08于點(diǎn)J.
:四邊形0A8C是菱形,...ACLOB,.?.OJuJBuZ泥,0/=<℃2一。j2=在'-(2后))=而
:.AC=2CJ=2娓,\"AHLOC,:.OC*AH^—*OB*AC,;.AH=2X當(dāng)&必醫(yī)=4,
225
.?.sinNPOF=^="=返,:.PF=^OP,:.AP+^-OP=AP+PF,
OPOC555
?:AP+PF^AH,;.AP+迤?0P>4,.?.AP+匹0P的最小值為4,故選:A.
55
3.如圖,回ABCO中,/D4B=60°,AB=6,BC=2,P為邊CD上的一動(dòng)點(diǎn),則依+但j。的最小值等于()
2
【解答】解:如圖,過點(diǎn)P作尸交AQ的延長線于點(diǎn)E,
'CAB//CD,:.ZEDP=-ZDAB=f)Oa,:.sinZEDP=^-^^.,:.EP=?PD
DP22
:.PB+叵PD=PB+PE,;.當(dāng)點(diǎn)8,點(diǎn)P,點(diǎn)E三點(diǎn)共線且BELA力時(shí),PB+PE有最小值,即最小值為BE,
2
?;sinN4=^=返,:.BE=3g故選:C.
AB2
4.如圖,團(tuán)A8C。中,ND48=30°,AB=6,BC=2,P為邊C。上的一動(dòng)點(diǎn),則PB+』P£>的最小值等于()
2
A.2B.4C.3D.5
【解答】解:作PQLA。的延長線于Q,作的延長線于凡
VSABCD,J.AB//CD,:.ZQDC=ZA,VZDAB=30°,:.ZQDC=30°,.?.史」,
PD2
:.QP=^p,:.PB+^PD=PB+QP,.?.當(dāng)B、P、Q三點(diǎn)共線時(shí),PB+QP最小,即PB+QP最小為BH,
':AB=6,的最小值等于3.故選:C.
22
5.如圖,/XABC中,AB=AC=10,BELAC于點(diǎn)E,AE=2正,£>是線段BE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則CD+金B(yǎng)£>的最
5
BB
A.2V5B.5V3c.10D.4V5
【解答】解:如圖,作。H_LAB于",CM_LAB于M.
?JBELAC,:.ZAEB^90°,:?BE={/=52_曾亞)2=4后
':AB=AC,BE±AC,CM±AB,:.CM=BE=^(等腰三角形兩腰上的高相等),
■:NBHD=NBEA=90°,sinZDBH=,:.DH=在BD,
BDAB55
/.CD+J^-BD=CD+DH,:.CD+DH^CM,:.CD+恒BD>4娓,,CC+在8。的最小值為4旄.
555
故選:D.
6.已知等邊△4BC中4OJ_BC,A£>=12,若點(diǎn)P在線段AD上運(yùn)動(dòng),當(dāng)工AP+8P的值最小時(shí),AP的長為()
A.4B.8C.10D.12
【解答】解:如圖,作BEJ_AC于點(diǎn)E,交AD于點(diǎn)P,「△ABC是等邊三角形,ADA.BC,:.ZDAC=30°
.?.PE=24P當(dāng)BPJ_AC時(shí),上■AP+BPuPE+BP的值最小,此時(shí),AP=2AO=8.故選:B.
223
7.如圖,△ABC中,AB=AC=\0,NA=45°,8。是△A8C的邊AC上的高,點(diǎn)P是8。上動(dòng)點(diǎn),BP+CP
的最小值是()
D.1072
【解答】解:;N4=45°,BD1AC,:.ZABD=45°.過點(diǎn)P作PE_LAB于點(diǎn)E,由勾股定理得PE=苧BP-
.?.學(xué)BP+PC=PE+PC?當(dāng)C、P、E三點(diǎn)共線,且CE1AB時(shí),乎BP+PC=PE+PC的值最小為CE.
「△ABC中,AB=AC=10,BDLAC,CELAB,由等腰三角形腰上的高相等,:.BD=CE,
在RtZ\AB。中,勇=早=5&=CE.故返BP+PC=PE+PC=CE=5&.故選:B.
V2V22
8.如圖.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A坐標(biāo)為(0,3?),點(diǎn)C坐標(biāo)為(2,0),點(diǎn)B為線段OA上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),
則的最小值為(
2A8+8C)
2
B.
【解答】解:如圖,在x軸上取點(diǎn)。(-3,0),連接A。,
過8作BELAD于E,過C作CF1AD于F,
?.抽11/。4。=毀=—^=返,ZD/A(9=30°,NADO=60。,:.EB=^AB,:AAB+BC=EB+BC2CF,
0A373322
:CD=OZ)+OC=3=5,.,.CF=CZ)sin60°=-^S,.?.」A8+BC的最小值為故選:A.
222
9.如圖,在aABC中,ZA=I5°,4B=10,P為AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與4、C重合),連接8P,則返A(chǔ)P+PB
2
的最小值是()
「10日
D.8
3
【解答】解:如圖,以4P為斜邊在AC下方作等腰RtZXAOP,過B作8EJ_A。于E,
VZfi4D=45°,;.sinN如。=更=返,:.DP=?AP,:."H-AP+PB=DP+PBBE,
AP222
...*AP+PB的最小值為5y.故選:B.
:N8AC=15°,;,NBAD=60°,:.BE=ABsin6Qo=5“,
D是線段BE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則CD+&BD的最
10.如圖,△ABC中,4B=AC=10,tan4=2,BEJ_AC于點(diǎn)E,
5
小值是()
【解答】解:如圖,作。H_LA8于H,CM_L48于M.
1
":BEVAC,:.ZA£B=90°,VtanA=^=2,設(shè)AE=a,BE=2a,則有:100=/+4/,,\a=2(),
AE
."=27^-2娓(舍棄),:.BE=2a=4疾,
,:AB=AC,BE±AC,CMVAB,:.CM=BE=^(等腰三角形兩腰上的高相等),
;NDBH=NABE,ZBHD=ZBEA,AsinZDB^—=—=^,:.DH=^-BD,:.CD+J^-BD=CD+DH,
BDAB555
:.CD+D心CM,,C£>+逅泥,CD+&BD的最小值為4遍.
55
方法二:作CMJ_AB于M,交BE于點(diǎn)、D,則點(diǎn)。滿足題意.通過三角形相似或三角函數(shù)證得返BZ)=OM,從
5
而得到CD+金B(yǎng)Q=CM=4泥.故選:B.
5
11.如圖,ABC。中,ZDAB=60°,AB=6,BC=\,P為邊CO上的一動(dòng)點(diǎn),則PB+返PO的最小值等于3
2-
【解答】解:如圖,過點(diǎn)P作PELAD,交AZ)的延長線于點(diǎn)E,
a
':Mi//CD,:.ZEDP=ZDAB=-6Q,:.sinZEDP=^-=J^-,.3返皿PB+叵PD=PB+PE,
DP222
當(dāng)點(diǎn)B,點(diǎn)P,點(diǎn)E三點(diǎn)共線且BELA。時(shí),P8+PE有最小值,即最小值為BE,
?.?雷必=些=返,.?.8E=3相,故答案為:3M.
AE2
12.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=-x+4的圖象分別與y軸和x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B.若定點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,
6f),點(diǎn)。是y軸上任意一點(diǎn),則*PQ+QB的最小值為二?_.
【解答】解:過點(diǎn)P作直線P。與y軸的夾角/。。。=30°,作8點(diǎn)關(guān)于),軸的對(duì)稱點(diǎn)8,過點(diǎn)作
交于點(diǎn)E、交y軸于點(diǎn)Q,
VB'ELPD,NOPE=30°,AQE=^PQ,VBQ=B'Q,
:.^PQ+QB=QE+B'Q=B'E,此時(shí)上PQ+QB取最小值,
22
:NOPO=30°,ZPOD=90",:.PD=20D,ZODP=60°,?尸的坐標(biāo)為(0,6?),;.尸。=6?,
OD2+(673)2=(20。)2,:.OD=6,
?.?直線y=-x+4的圖象分別與),軸和x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B,(0,4),B(4,0),;.OB=4,
.,.OB'=4,:.B'D^\0,':B'EVPD,ZODP=60°,/EB'D=30°,:.DE^—B'D^5,
:.B'E^^D2_DE2=^102_52=5V3-,/PQ+QB取最小值為5y,故答案為:5我.
13.如圖,在aABC中,ZC=90°,AC=2,BC=6.點(diǎn)。是在邊BC上的動(dòng)點(diǎn),則2BO+AQ的最小值是4+
_3一
2后
D
【解答】解:過B點(diǎn)作MB1AD交于AD的延長線于點(diǎn)M,
VZC=90°,:.MD=BD'sinZMBD,:.ZMBD=ZDAC,
當(dāng)sinNC4D=Z時(shí),MD=&BD,此時(shí)取最小值,
333
:AC=2,sin/C4£>=Z,8=&氏;.BD=6-
3555
?.?2BO+AO=4+2Z豆,故答案為:4+冬區(qū).
333
14.如圖,團(tuán)ABCD中,ND4B=30°,AB=8,BC=3,尸為邊C。上的一動(dòng)點(diǎn),則PB+工尸。的最小值等于4.
2
【解答】解:如圖過點(diǎn)尸作A力的垂線交4。延長線于點(diǎn)E,
:四邊形ABC。是平行四邊形,J.AB//CD,.?./EZ)P=/D4B=30°,:.EP^—DP,
2
要求PB+JLPO的最小值,即求P8+EP的最小值,當(dāng)點(diǎn)B、P、E三點(diǎn)共線時(shí),
2
PB+EP取最小值,最小值為BE的長,
?.?在Rt/XABE中,ZEAB=30°,AB=8,:.BE=^AB=4.故答案為:4.
2
15.如圖,菱形43CD的邊長為6,ZB=120°.點(diǎn)P是對(duì)角線AC上一點(diǎn)(不與端點(diǎn)A重合),貝4AP+P力的最
2
小值為3遙.
【解答】解:如圖,過點(diǎn)P作PEJ_AB于點(diǎn)£過點(diǎn)。作。以L4B于點(diǎn)尸,
:四邊形ABCD是菱形,且/8=120°,二/D4c=/C4B=30°,...PE=2AP,
2
VZDAF=60°,AZADF=30°,,4尸=工4。=工X6=3,:.DF=3&,
22
':^AP+PD=PE+PD,...當(dāng)點(diǎn)。,P,E三點(diǎn)共線且力EJ_AB時(shí),PE+DP的值最小,最小值為。尸的長,
2
.?./AP+PQ的最小值為3T.故答案為:3
16.如圖,ZVIBC中,AB=AC=10,tanA=3,CC_LAB于點(diǎn)。,點(diǎn)E是線段CO的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則BE+YIOcE的
10
最小值是_3萬_.
【解答】解:如圖,作EF_LAC于尸,
':CDLAB,:.ZADC=9O0,VtanA=-^,=3,設(shè)4O=a,CD=3a,':AD1+Cb1=AC2,.\a2+9a2=100,
ADJ
.,.“2=10,.,.a=<yi5或-A/15(舍去),-,?AD-a—y[lQ,CD=3a—3>flQ,.,.sinZACD=,
EF=CE,sinNECF=^?CE,,BE+J^CE=BE+EF,
1010
當(dāng)B、E、F三點(diǎn)共線時(shí),BE+J^CE=BE+EF=BF,
此時(shí)BFA.AC,則根據(jù)垂線段最短性質(zhì)知BE+IGCEMB尸值最小,
10
此時(shí)B尸=48?sin/A=10X型=iox^?=3x/Tii-
ACiU10W1U
17.如圖,二次函數(shù)y=-f+2x+3的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)。,若點(diǎn)
P為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接皿則嚅PC+"的最小值為一爭一
【解答】解:y=-/+2x+3--(x-3)(x+1)=-(x-1)2+4,
???當(dāng)x=O時(shí),>=3,當(dāng)y=O時(shí),x=3或x=l,該函數(shù)的對(duì)稱軸是直線x=1,
???二次函數(shù)y=-/+2x+3的圖象與x軸交于A、3兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C對(duì)稱軸與無軸交于點(diǎn)Q,
???點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,0),點(diǎn)3的坐標(biāo)為(3,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3),點(diǎn)。的坐標(biāo)為(1,0),
連接CD,作AEJ_C。于點(diǎn)E,交y軸于點(diǎn)尸,
;0。=1,OC=3,ZCOD=90°,ACD=JlQ.".sinZOCD=-1==^32,B|JsinZPCE=2^12,
Vio1010
:.PE=^^-PC,?.?點(diǎn)A和點(diǎn)D關(guān)于點(diǎn)。對(duì)稱,...PE+P。的最小值就是AE的長,
10
ZEAD+ZEDA=ZDCO+ZEDA=90°,:.ZEAD^ZDCO,?'?sin/£4。=2^,:.cosZEAD
1010
;4£>=2,;.AE=2X至頁=至頁,即義邁pc+尸。的最小值為生叵,故答案為:名叵.
1051055
18.在平面直角坐標(biāo)系中,已知,A(2&,0),C(0,-1),若P為線段OA上一動(dòng)點(diǎn),則CP+」AP的最小值為
3
~3~
【解答】解:如圖,
D
O
取一點(diǎn)。(0,1),連接AO,作CALLAO于點(diǎn)N,PM_LA£)于點(diǎn)M,在RtZ\AO£>中,
:0A=2&,0P=1ADJ。人2+QD2=3/臥丘2%。,NAMP=NAO£>=90°/\APM^/XADO
APM=AP即n=空...PM=LP,,\PC+1AP=PC+PM
0DAD,13,33
當(dāng)CP_L4。時(shí),CP+—AP^CP+PM的值最小,最小值為CN的長.
3
':/\CND^^AOD,/.CN=CD即_2^=2:.CN=?2.所以CP+2AP的最小值為生
AOAD,2723,333
練習(xí):
1.如圖,在△ABC中,ZA=90°,ZB=60°,AB=2,若。是BC邊上的動(dòng)點(diǎn),則2AO+QC的最小值是()
D.4
【解答】解:過點(diǎn)C作射線CE,使/BCE=30°,再過動(dòng)點(diǎn)。作QFLCE,垂足為點(diǎn)F,連接AQ,如圖所示:
在RtZiOFC中,NDCF=30°,:.DF=^DC,':2AD+DC=2(AD+^DC)=2(AD+DF),
22
...當(dāng)A,D,尸在同一直線上,即AFLCE時(shí),AD+力產(chǎn)的值最小,最小值等于垂線段A尸的長,
此時(shí),N8=NAO8=60°,...△48。是等邊三角形,:.AD^BD^AB=2,
在RtZXABC中,ZA=90°,ZB=60°,AB=2,;.BC=4,.'.DC=2,:.DF=^DC=\,
2
:.AF=AD+DF=^2+\=3,A2(AD+DF)=2AF=6,;.2AD+DC的最小值為6,故選:B.
2.如圖,在△ABC中,NA=90°,ZB=60°,AB=2,若。是BC邊上一動(dòng)點(diǎn),則AD+」DC的最小值為()
A.2A/^6B.6C.V3+3D.3
【解答】解:過點(diǎn)C作射線CE,使/BCE=30°,再過動(dòng)點(diǎn)。作。尸,CE,垂足為點(diǎn)凡連接40,如圖所示:
在RtaCFC中,NDCF=30°,:.DF=^DC,":AD+^DC=AD+DF,
22
...當(dāng)A,D,F在同一直線上,即
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