山東省A7聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（解析）

高三數(shù)學(xué)測試卷（一）（本試題考試時間120分鐘，滿分150分）考生注意：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，滿分40分.每小題只有一個選項(xiàng)符合題目要求．1.集合的子集個數(shù)為（）A.2 B.4 C.8 D.16【答案】D【解析】【分析】先求出集合，再求出子集個數(shù)即可.【詳解】由題意，得,故集合A子集個數(shù)為個.故選：D.2.若復(fù)數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位)，則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則求出z，再根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義得出z對應(yīng)的點(diǎn)，進(jìn)而求解．【詳解】設(shè)，則，則，即，所以，，解得，，故，對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限．故選：D．3.從，，1，3這4個數(shù)中隨機(jī)取出2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)的乘積不超過1的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用列舉法得到基本事件數(shù)和符合條件的事件數(shù)，再利用古典概型概率公式求解即可.【詳解】從，，1，3這4個數(shù)中隨機(jī)取出2個不同的數(shù)，共有6種不同的情況，分別為，?2,3，?1,1，，，，滿足乘積不超過1的為，?2,3，?1,1，，共有4種不同的情況，設(shè)概率為，故所求的概率為，故B正確.故選：B4.已知正三棱柱與以的外接圓為底面的圓柱的體積相等，則正三棱柱與圓柱的高的比值為（）A. B. C.334π D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)正三棱柱的底面邊長為，高為，設(shè)圓柱的高為，表示出棱柱和圓柱的體積，由兩體積相等化簡可求出棱柱與圓柱的高的比值【詳解】設(shè)正三棱柱的底面邊長為，高為，等邊的面積為12a·則正三棱柱的體積為34a設(shè)的外接圓半徑為，則R=32a·23設(shè)圓柱的高為，則圓柱的體積πR2由題意得34a2故選：D.5.有四個冪函數(shù)：；；；.某同學(xué)研究了其中的一個函數(shù)，他給出這個函數(shù)的三個性質(zhì)：①它是偶函數(shù)；②它的值域是且；③它在上單調(diào)遞增．若他給出的三個性質(zhì)中有兩個正確、一個錯誤，則他研究的函數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】結(jié)合給定條件利用冪函數(shù)性質(zhì)判斷即可.【詳解】對于，它是定義在上的奇函數(shù)，值域是且，且在上單調(diào)遞減，不滿足題意.對于，它是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，值域是，且在上單調(diào)遞增，不滿足題意.對于，它是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，值域是，且在上單調(diào)遞增，不滿足題意.對于，它是定義在上的偶函數(shù)，值域是，且在上單調(diào)遞增，滿足題意．故選：D.6.對于平面上的動點(diǎn)P，且滿足對于Ax1,y1，Bx2,y2；PA、PB長度之比為t（t不為0），則我們稱P點(diǎn)運(yùn)動所得的軌跡為“完美曲線”.若A?2,0，B4,0，．則下列和“完美曲線”有交點(diǎn)的有幾個？（1）（2A.2 B.3 C.4 D.1【答案】C【解析】【分析】根據(jù)可得“完美曲線”表示圓心在，半徑的圓，即可根據(jù)圓的范圍求解（1），聯(lián)立方程可判斷（2），根據(jù)點(diǎn)到直線的距離求解（3），根據(jù)兩圓的位置關(guān)系即可求解（4）.【詳解】由題意可得,即，化簡得，即，故“完美曲線”表示圓心在，半徑的圓，對于,故與“完美曲線”有交點(diǎn)，對于,聯(lián)立與可得，解得，故有交點(diǎn)，對于,圓心到直線的距離為，故直線與圓相交，有交點(diǎn)，對于，表示圓心半徑的圓，則兩圓的圓心距離為，故兩圓相交，有交點(diǎn)，故選：C7.若曲線的一條切線為（為自然對數(shù)的底數(shù)），其中為正實(shí)數(shù)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義計算可得，結(jié)合基本不等式中“1”的活用計算即可得.【詳解】，令，則，有，即，即，又為正實(shí)數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.，故的取值范圍是.故選：C.8.正項(xiàng)數(shù)列中，（為實(shí)數(shù)），若，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)遞推公式，求出，然后化簡，令，得到關(guān)于的一個函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求其取值即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，所以且為等比?shù)列，公比為，因?yàn)?，所以，所以，所以令，?dāng)且僅當(dāng)時取等號，化簡可得，令，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以的取值范圍是．故選：A．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式將式子轉(zhuǎn)化為關(guān)于的式子，再利用換元法求出目標(biāo)式子的取值范圍.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，滿分18分9.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)圖象得，解得，再由解得，再代值即可求解.【詳解】由圖象可知，，則,故，解得，所以，由得，解得，即，又因?yàn)椋?，所以，?故選：BCD.10.已知不等式對任意恒成立，其中，是整數(shù)，則的取值可以為（）A. B. C.0 D.8【答案】BD【解析】【分析】對b分類討論，當(dāng)時，由得到在上恒成立，則不存在；當(dāng)時，由，結(jié)合圖象利用數(shù)學(xué)結(jié)合的思想得出a，b的整數(shù)解．【詳解】當(dāng)時，由得到在上恒成立，則不存在，當(dāng)時，由可設(shè)，，又的大致圖象如下，那么由題意可知：，再由是整數(shù)得到或因此或-2．故選：BD11.由倍角公式可知，可以表示為的二次多項(xiàng)式.一般地，存在一個次多項(xiàng)式，使得，這些多項(xiàng)式稱為切比雪夫（P.L.Tschebyscheff）多項(xiàng)式.運(yùn)用探究切比雪夫多項(xiàng)式的方法可得（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)兩角和的余弦公式，以及二倍角的正余弦公式化簡可得，根據(jù)定義即可判斷A項(xiàng)；根據(jù)二倍角公式可推得，即可得出B項(xiàng)；根據(jù)誘導(dǎo)公式以及A的結(jié)論可知，，.平方相加，即可得出，進(jìn)而求出D項(xiàng)；假設(shè)C項(xiàng)成立，結(jié)合D項(xiàng)，檢驗(yàn)即可判斷.【詳解】對于A：.由切比雪夫多項(xiàng)式可知，，即.令，可知，故A正確；對于B：.由切比雪夫多項(xiàng)式可知，，即.令，可知，故B正確；對于D：因?yàn)?，，根?jù)A項(xiàng)，可得，.又，所以，所以.令，可知，展開即可得出，所以，解方程可得.因?yàn)?，所以，所以，所以，故D正確；對于C：假設(shè)，因?yàn)椋瑒t，顯然不正確，故假設(shè)不正確，故C錯誤.故選：ABD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：根據(jù)題意多項(xiàng)式的定義，結(jié)合兩角和以及二倍角的余弦公式，化簡可求出，換元即可得出.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，滿分15分12.若，，則______.【答案】2【解析】【分析】對兩邊平方求出，再對兩邊平方再開方可得答案.【詳解】若，，則，可得，則.故答案為：2.13.已知某射擊運(yùn)動員在10次射擊中，命中環(huán)數(shù)的平均數(shù)為7，方差為4，現(xiàn)增加兩次射擊，命中環(huán)數(shù)分別是6和8，則該射擊運(yùn)動員的這12次射擊的命中環(huán)數(shù)的方差為_______.【答案】##【解析】【分析】設(shè)前10次射擊的命中環(huán)數(shù)分別為，由題意先算出12次射擊的命中環(huán)數(shù)的平均數(shù)，然后由方差的計算公式求解即可.【詳解】設(shè)前10次射擊的命中環(huán)數(shù)分別為，則即，由方差為，得，即，所以增加兩次射擊后，這12次射擊的命中環(huán)數(shù)的平均數(shù)為：，所以這12次射擊的命中環(huán)數(shù)的方差為：.故答案為：14.設(shè)集合，（，）且A中任意兩數(shù)之和不能被5整除，則n的最大值為____________.【答案】16【解析】【分析】先根據(jù)中數(shù)除以的余數(shù)將集合進(jìn)行分組，然后根據(jù)整除的知識求得正確答案.【詳解】根據(jù)除以5的余數(shù)，可將A集合分為5組：，則，，則，，則，，則，，則，A中的任何兩個數(shù)之和不能被5整除，故和，和中不能同時取數(shù)，且中最多取一個，∴最多的取法是取和中的一個元素，，故n的最大值為16.故答案為：【點(diǎn)睛】兩數(shù)之和能被整除，則兩數(shù)分別除以的余數(shù)之和能被整除.本題的分析方法是先求得中所有數(shù)除以的余數(shù)，從而進(jìn)行分組，分組之后根據(jù)和能被整除的知識來求得正確答案.四、解答題：本題共5小題，滿分77分解答題（一）15~17題，每題有2問，（1）問所有考生必須作答，（2）問在（i）（ii）中任選一題作答.考生選的序號不同，題目滿分不同.若選擇（i），滿分為8分；選擇（ii），滿分4分.若多做，則按第一小題計分.解答時，先在答題卡上將所選序號涂黑，然后作答.15.如圖，在中，，，，P為內(nèi)一點(diǎn)，．（1）若，求PA；（2）（i）若，求．（ii）求的取值范圍．【答案】（1）（2）（i）,（ii）【解析】【分析】（1）在中運(yùn)用余弦定理可解；（2）（i）設(shè)，由已知得，在中，由正弦定理可解.（ii）設(shè)，則,運(yùn)用銳角三角函數(shù)將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的正弦型函數(shù)，求值域即可.【小問1詳解】由已知易得，所以.在中，由余弦定理得，故.【小問2詳解】（i）設(shè)，由已知得，在中，由正弦定理得，化簡得，所以，即.（ii）設(shè)，則.根據(jù)題意知道則.由于，則.則.則.則的取值范圍.16.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為（n為正整數(shù)），若，．（1）求；（2）（i）證明：；（ii）解不等式：．【答案】（1）4102650（2）（i）證明見解析，（ii）【解析】【分析】（1）通過與的關(guān)系，選擇作差法，再由累乘法，求得通項(xiàng)公式，即可求解；（2）（i）先裂項(xiàng)求和，再證明不等式（ii）直接求解.【小問1詳解】因?yàn)?，所以?dāng)時，，兩式作差可得，整理得．，令，則，所以，所以，則，當(dāng)時，也符合上式，綜上，．所以.小問2詳解】由（1）知：所以所以不等式成立.（ii）由（1）知：解得：，所以17.如圖①，已知三角形是邊長為2的等邊三角形，是的中點(diǎn)，，如圖②，將沿邊翻折至．（1）在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求的值；若不存在，請說明理由；（2）（i）若平面與平面所成的二面角的正切值為，求點(diǎn)到直線的距離．（ii）若點(diǎn)在平面上投影在上，求平面與直線所成角的正弦值．【答案】（1）存在，（2）（i）；（ii）【解析】【分析】（1）在圖①中，取的中點(diǎn)，連接，證明，則平面，在線段上取點(diǎn)使，連接，，證明平面平面，再根據(jù)面面平行的性質(zhì)即可得解；（2）（i）連接，取的中點(diǎn)，連接，平面，易得，則即為平面與平面所成的二面角的平面角，求出，再利用等面積法求解即可.（ii）由題可得平面，，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用線面角的向量公式求解即可.【小問1詳解】（1）在圖①中，取的中點(diǎn)，連接，如圖所示，因?yàn)槭堑冗吶切危闹悬c(diǎn)為，所以,因?yàn)椋?，在圖②中，，平面，平面，所以平面，且，在線段上取點(diǎn)使，連接，，如圖所示，因?yàn)椋?，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面，所以存在點(diǎn)滿足題意，且；【小問2詳解】（i）如圖所示，連接，取的中點(diǎn)，連接，由折疊性質(zhì)可得平面，平面，因?yàn)槠矫?，所以平面，又平面，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以即為平面與平面所成的二面角的平面角，由（1）可得，，因?yàn)槠矫媾c平面所成的二面角的正切值為，所以，所以，所以，所以，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，即，解得，即點(diǎn)到直線的距離為.（ii）因?yàn)辄c(diǎn)在平面上的投影在上，且，所以點(diǎn)在平面上的投影為，則平面，結(jié)合（i）可得，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系；，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，所以，令，則設(shè)平面與直線所成角為，所以解答題（二）18~19小題，每題17分，考生須作答所有小問.18.已知拋物線.過拋物線焦點(diǎn)F作直線分別在第一、四象限交于兩點(diǎn)，過原點(diǎn)O作直線與拋物線的準(zhǔn)線交于E點(diǎn)，設(shè)兩直線交點(diǎn)為S.若當(dāng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為時，.（1）求拋物線的方程.（2）若平行于x軸，證明：S在拋物線C上.（3）在（2）的條件下，記的重心為R，延長交于Q，直線交拋物線于（T在右側(cè)），設(shè)中點(diǎn)為G，求與面積之比n的取值范圍.【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）利用兩點(diǎn)距離公式可計算P坐標(biāo)，代入拋物線方程即可；（2）設(shè)方程及坐標(biāo)，利用E坐標(biāo)表示方程，聯(lián)立方程得出S坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)在拋物線與直線上消元轉(zhuǎn)化即可證明；（3）設(shè)坐標(biāo)及直線方程，利用坐標(biāo)表示，結(jié)合焦點(diǎn)弦的性質(zhì)消元轉(zhuǎn)化表示，并根據(jù)幾何性質(zhì)把面積比化為線段比，再化為坐標(biāo)比，構(gòu)造函數(shù)計算其范圍即可.【小問1詳解】因?yàn)槿舢?dāng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為時，,不妨設(shè)Pa,?2a>0，則，即，代入拋物線方程有，所以；【小問2詳解】由（1）知，C的準(zhǔn)線，不妨設(shè)Px1,若平行于x軸，則，所以，整理得，聯(lián)立方程有，又在拋物線C和直線上，即，則有，此時，即，則S在拋物線C上，證畢；【小問3詳解】在（2）的條件下可知兩點(diǎn)重合，由重心的性質(zhì)不難知Q為線段的中點(diǎn)，同（2），仍設(shè)Px1,則，聯(lián)立，所以，且，則，可知，整理得，設(shè)，與C聯(lián)立有，所以，即，由于Q為線段的中點(diǎn)，所以到直線的距離相等，則，設(shè)，若，則，顯然，所以；若，則；若，則，所以；綜上.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：第二問是教材例題的變式，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)表示相應(yīng)直線方程，求出S坐標(biāo)，驗(yàn)證其橫縱坐標(biāo)是否滿足拋物線方程即可；第三問，仍是利用點(diǎn)坐標(biāo)來表示直線方程，利用韋達(dá)定理表示，并根據(jù)幾何性質(zhì)把面積比化為線段比，再化為坐標(biāo)比，構(gòu)造函數(shù)計算其范圍即可.19.已知集合（，），若存在數(shù)陣滿足：①；②．則稱集合為“好集合”，并稱數(shù)陣為的一個“好數(shù)陣”．（1）已知數(shù)陣是的一個“好數(shù)陣”，試寫出，，，的值；（2）若集合為“好集合”，證明：集合的“好數(shù)陣”必有偶數(shù)個；（3）判斷是否為“好集合”．若是，求出滿足條件的所有“好數(shù)陣”；若不是，說明理由．【答案】（1），，，（2）證明見解析（3）是“好集合”，滿足的“好數(shù)陣”有，，，；不是“好集合”，證明見解析【解析】【分析】（1）直接根據(jù)定義解出未知量的值；（2）可構(gòu)造恰當(dāng)?shù)挠成?，以證明結(jié)論；（3）第三問可通過分類討論求解問題.【小問1詳解】由“好數(shù)陣”的定義，知，，，，故，，，，進(jìn)一步得到，.從而，，，.【小問2詳解】如果是一個“好數(shù)陣”，則，.從而，.故也是一個“好數(shù)陣”.由于是偶數(shù)，故，從而.這就說明兩數(shù)陣和的第1行第2列的數(shù)不相等，從而是不同的數(shù)陣.設(shè)全體“好數(shù)陣”構(gòu)成的集合為