-2021年高考數(shù)學(xué)全真模擬卷（廣東專用）（解析版）

【贏在高考?黃金20卷】備戰(zhàn)2021高考數(shù)學(xué)全真模擬卷(新高考專版)

第五模擬

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題.每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題

目要求的.

1.若全集U=R,集合A={xeZ|，<16},B={x|x-lW0},則AC(CuB)=()

A.{x|lWx<4}B.{x|l<x<4}C.{1,2,3}D.{2,3}

【分析】可以求出集合4,8,然后進(jìn)行補(bǔ)集和交集的運(yùn)算即可.

【解答］解：A={xGZ|-4<x<4}={-3,-2,-1,0,1,2,3},B={RxWl},

?,.CuB={x|x>l},AC(CuB)={2,3}.

故選：D.

2.復(fù)數(shù)z滿足±±=l-i，則|z|=()

z

A.2iB.2C.iD.1

【分析】根據(jù)已知條件，先求出復(fù)數(shù)z的代數(shù)形式，代入模長(zhǎng)公式即可.

【解答】解：依題意，因?yàn)閺?fù)數(shù)Z滿足±士=l-i，

Z

所以2=坦=2廿=,

1-i2

所以|z|=I,

故選：D.

-*'*'*'...?

3.已知向量0A=(3,-4),0B=(6,-3),0C=(2m,m+l).若AB//0C，則實(shí)數(shù)，〃的值為()

A.—1B.q2C.-3D.-1-

557

【分析】先求得得晶=比-示=(3,1),再由標(biāo)“羽，則這兩個(gè)向量的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)成比例，解方程求

得實(shí)數(shù)，"的值，可得結(jié)論.

【解答】解：由題意可得AB=OB-OA=(3,1),若AB//OC，

則這兩個(gè)向量的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)成比例，即迎上工，

31

解得m=~3,

故選：C.

1

【分析】根據(jù)題意，由排除法分析：分析可得/(X)為奇函數(shù)，排除8,結(jié)合函數(shù)的解析式可得當(dāng)0<x

VI時(shí)，/(x)<0,排除C,當(dāng)時(shí)，/(X)>0,排除。；據(jù)此即可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，/(%)=應(yīng)?~，其定義域?yàn)椋鸐xWO),

X

又由/(-X)=也。處=-f(X),即函數(shù)/Yx)為奇函數(shù)，排除B,

(-x)3

當(dāng)0cx<1時(shí)，ln\x\=lnx<0,x3>0,則有/(x)<0,排除C,

當(dāng)x>l時(shí)，ln\x\^lnx>0,?>0,則有/(x)>0,排除力，

故選：A.

5.ua<-1”是“mxoCR,asiruo+l<O”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【分析】設(shè)f(x)=asiar+l,分類求得函數(shù)的值域，由mtoeR,asin_*)+l<0求得。的范圍，可知

TT

-1"是"三刈七1<,nsinw+lVO”的不必要條件；取乂門=---，當(dāng)〃V-1時(shí)，asiiuo+1<0成立，說(shuō)明“a

叼2

V-1"是"mxoWR,asiaw+lVO”的充分條件.

【解答】解：必要性:設(shè)/(x)=asinx+L當(dāng)。>0時(shí)，f(x)￡[1-a,1+a],工1-。<0,即a>l；

當(dāng)aVO時(shí)，/(x)曰1+a,1-a],/.1+?<0,BPa<-1.

故a>l或aV-1；

jr

充分性：取心=---，當(dāng)a〈-l時(shí)，asinw+1VO成立.

X02

Aua<一]"是"3xo￡R,asinxo+lVO”的充分不必要條件.

2

故選：A.

6?若log3（2a+b）=l+log6>/7。則〃+2〃的最小值為（）

A.6B.—C.3D.—

33

【分析】log3（2a+b）=l+logw〃］，變形I°g3（2“+b）=l+k）g3。兒可得a,b>0,-^-+—=3,可

得”+2匕=工Ca+2b）（2+工）=工（5+2%+型），利用基本不等式的性質(zhì)即可得出.

3ba3ba

【解答】解：log3（2a+b）=1+108^775,log3（2a+h）=l+log3〃〃，

：?2a+b=3ab,a,/?>0.

化為：—=3.

ba

則。+26=工（a+26）（2+JL）=1.（5+空旦）2a.（5+2X2.（±X—）=3，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=l時(shí)取

3ba3ba3vba

等號(hào).

故選：C.

22

7.已知圓C：/+V-10），+21=0與雙曲線￥-31仁>0,b>0）的漸近線相切，則該雙曲線的離心率

是（）

A.V2B.—C.—D.V5

32

【分析】由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程寫出漸近線方程，利用圓心到切線的距離〃=「，列方程求出離心率e=￡的

a

值.

22

【解答】解：雙曲線三-4y=1的漸近線方程為以土ay=0,

a2b2

圓C：/+/-10y+21=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程是：/+（y-5）2=4,

則圓心C（0,5）到直線歷;-ay=0的距離為”=r；

即」。二回1一至生=2,解得￡=互，

ca2

即雙曲線的離心率是e=立.

2

故選：C.

8.已知正三棱錐S-ABC的側(cè)棱長(zhǎng)為4次，底面邊長(zhǎng)為6,則該正三棱錐外接球的表面積是（）

3

A.16nB.2OnC.32TlD.64n

【分析】正棱錐的外接球的球心在頂點(diǎn)向底面做投影所在的直線上，先求底面外接圓的半徑，再由勾股

定理求錐的高，由勾股定理求出外接球的半徑，由球的表面積公式求出表面積.

【解答】解：如圖所示：由正棱錐得，頂點(diǎn)在底面的投影是三角形ABC的外接圓的圓心O,接圓的半徑

正三棱錐的外接球的球心在高5。'所在的直線上，設(shè)為O,連接OA得,：

r=元-,.??r=4，§,即所以二棱錐的高h(yuǎn)=RSA2-0，—)2_產(chǎn)=6,

sirry

由勾股定理得，/?2=r+(R-/?)2,解得：R=4,

所以外接球的表面積S=4H/?2=64TI.

故選：D.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求,

全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知小b,c,d均為實(shí)數(shù)，則下列命題正確的是()

A.若a>b,c>d,則ac>hd

B.若。6>0,be-ad>Ot貝!1-2——^>Q

ab

C,若a>b,c>d,貝

D.若ci>b,c>d>0,則曳

dc

【分析】利用不等式的基本性質(zhì)，逐一分析即可.

【解答】解：若4>b>0,c>t/>0,則4c>bd,所以A不正確；

若">0,be-ad>0,可得」-(bc-ad)〉o，即工力〉0,所以8正確；

abab

若a>b,c>d,則〃+c>b+d,B|Ja-d>b-c,所以。正確;

4

反例。=-3,b—-5,c=5,d=\也滿足c>d>0但結(jié)論不正確，所以。不正確，

故選：BC.

10.已知a,S是兩個(gè)不重合的平面，/小〃是兩條不重合的直線，則下列命題正確的是（）

A.若機(jī)〃九，m±a,則〃J_aB.若加〃a,aO則加〃〃

C.若m_La,/n_L0,貝!ja〃0D.若m_La,m//n,n//P，則a〃0

【分析】利用空間線面、面面位置關(guān)系的判定即可得出結(jié)論.

【解答】解：A.由/??〃〃，m_La,則〃_La,正確；

B.由加〃a,aC0=小則"?與〃的位置關(guān)系不確定；

C.由則?！?正確

D,由m_La,小〃幾，幾〃0,則a_L0,因此不正確.

故選：AC.

11.如圖，在四邊形A3CD中，AB//CD,ABLAD,AB=2AD=2DC,E為BC邊上一點(diǎn),J&BC=3EC，F(xiàn)

為AE的中點(diǎn)，則（）

A.BC=-1-AB+ADB.AF-|AB-4AD

/OO

C.前=4踴。標(biāo)D.CF=4AB^-AD

3363

【分析】利用向量的加法法則，先用Q和標(biāo)表示出前，進(jìn)而表示出訪，麗和行?

【解答】解：由AB=Z4O=2OC知：

BC=BA+AD+DC，

???BC=-AB+AD

=-yAB+AD-

故A選項(xiàng)正確.

?1?1?.

又???AFjAEq（AB+BE），

5

.?而=插卷義匏4■點(diǎn)會(huì)

=4-AB-f4-AD'

Oo

故B選項(xiàng)正確.

BF=BA+AF=-AB-4AB

ou

故c正確.

VCF=CD+DA+AF

="yAB-AD-t^-AB-t^-AD

1—?9

=-T6A3B^-AD>

。不正確.

故選：ABC.

12.己知函數(shù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)xVO時(shí)，/(%)="(x+1),則下列命題正確的是()

A.當(dāng)x>0時(shí)，f(x)--ex(X-I')

B.函數(shù)/(無(wú))有3個(gè)零點(diǎn)

C.f(x)<0的解集為(-8,-1)u(0,1)

D.Vxi,X2€R,都有-f(%2)|<2

【分析】函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)="(x+1),設(shè)x>0時(shí):-x<0,可得

f(x)=-/(-%)—ex(x-1),x=0時(shí)，f(0)=0.當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=ex(x+1),f(x)=)=

/(x+2),可得x=-2時(shí)，函數(shù)/(x)取得極小值，進(jìn)而判斷出結(jié)論.

【解答】解：函數(shù)f(%)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)1f(x)="(x+l),

6

設(shè)x>0時(shí)，-x<0,/(-x)=e*(-x+1),:?f(x)=-/(-%)=ex(x-1),

x=0時(shí)，/(O)=0.因此函數(shù)/(x)有三個(gè)零點(diǎn)：0,±1.

當(dāng)x<0時(shí)，f(x)="(x+1),f(x)=)=ex(x+2),可得x=-2時(shí)，函數(shù)/(x)取得極小值,

/(-2)=g.可得其圖象：

/(x)<0時(shí)的解集為：(-8,-|)u(0,1).

Vxi,X2GR,都有［/'(xi)-f(%2)|W/(0+)-f(0-)|<2.

因此BCD都正確.

故選：BCD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若咨&盧亞金1更_,射+/一/=旦〃°,則tanB

abc5

【分析】先由余弦定理求出cosA的值，結(jié)合正弦定理進(jìn)行化簡(jiǎn)即可.

【解答】解：由b2+c2-a2=—bc

5

,2^22

得5包粽且=_3

2bc5

則sinA=—,

5

士cosAcosBsinC

右-----+------=------

abc

則cosA‘cosB_sinC_1

sinAsinBsinC

即旦H~L=l,

4tanB

得一--=—>得tan8=4,

tanB4

故答案為：4.

14.我國(guó)古代的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中記載：一年有二十四個(gè)節(jié)氣，每個(gè)節(jié)氣號(hào)(gui)長(zhǎng)損益

相同(號(hào)是按照日影測(cè)定時(shí)刻的儀器，辱長(zhǎng)即為所測(cè)量影子的長(zhǎng)度)，夏至、小暑、大暑、立秋、處暑、

白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是連續(xù)的十二個(gè)節(jié)氣，其唇長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，經(jīng)記錄測(cè)

算，這十二節(jié)氣的所有辱長(zhǎng)之和為84尺，夏至、處暑、霜降三個(gè)節(jié)氣皆長(zhǎng)之和為16.5尺，則夏至的暑

長(zhǎng)為尺.

7

【分析】利用等差數(shù)列的前"項(xiàng)和公式和通項(xiàng)公式列出方程組，能求出夏至的署長(zhǎng).

【解答】解：?.?夏至、小暑、大暑、立秋、處暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是連續(xù)

的十二個(gè)節(jié)氣，

其號(hào)長(zhǎng)依次成等差數(shù)列

經(jīng)記錄測(cè)算，這十二節(jié)氣的所有辱長(zhǎng)之和為84尺，夏至、處暑、霜降三個(gè)節(jié)氣劈長(zhǎng)之和為16.5尺，

f19x11

.Si2=12ai-y-d=84

a[+25+&9=3@[+12d=16.5

解得d=l,621=1.5.

???夏至的辱長(zhǎng)為1.5尺.

故答案為：1.5.

15.已知拋物線)2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F(4,0),過尸作直線/交拋物線于M,N兩點(diǎn)，則p=,

幽-一占的最小值為

9|MF|

【分析】先有焦點(diǎn)坐標(biāo)求出p,再討論當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，求出答案，當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，根

據(jù)韋達(dá)定理和拋物線的定義即可求出工+工=工，代入幽-―占，根據(jù)基本不等式即可求最小值

NFMF49|MF|

【解答】解：拋物線y2=2px的焦點(diǎn)F,因?yàn)镕(4,0),

.?.E=4=p=8=y2=[6x；

2

當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，直線/為x=4,

'x=4

由，,可得M(4,8),N(4,-8),

Ly9=16x

.'.|MF|=|NF|=8,

.|NF|_4_=8__芻=

■，-9IMFT5百元，

當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)過點(diǎn)F作直線/的方程為y=A(x-4),不妨設(shè)M(xi,yi),N(我，”),

f2_

由《yT6x,消丫可得A-(]6+8Ar)x+16/?=0,

y=k(x-4)

]6

.*.Xl+X2=8+—―XIX2=16,

k2f

=x]+—=xi+4,|NF|=X2+^-=%2+4,

8

.11X1+X2+8

??—1~~------1

NFMFXj+4X2+4X1X2+4(x1+X2)+1616+4(8鳴)+164

(當(dāng)且僅當(dāng)|81=6時(shí)等號(hào)

??冷品喈Y扁)號(hào)+磊1噓V

成立).

故答案為：8,工.

3

16.設(shè)函數(shù)/(x)在定義域(0,+8)上是單調(diào)函數(shù)，Vxe(0,+00),f\f(x)-/+x]=e,若不等式/(x)

+f(x)2ax對(duì)(0,+°°)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

【分析】由己知可得f(x)=e'-x+t,且/(f)=落進(jìn)而可求，及/(x),然后代入已知不等式，結(jié)合

恒成立與最值求解的相互轉(zhuǎn)化可求.

【解答】解：令t=f(x)-/+x,所以/(x)=/-x+t,

因?yàn)?(X)在定義域(0,+°°)上是單調(diào)函數(shù)，Vx￡(0,+8),fif(x)-ex+xj=e,

故f為常數(shù)且/(，)=d=e,

所以，t—],f(x)—ev-x+l,f(x)=/-l

因?yàn)閒(x)+f(x)20r對(duì)(0,+8)恒成立,

所以2/2(a+1)x對(duì)(0,+8)恒成立，

nDX

即a+l《“e對(duì)xe(0,+8)恒成立，

x

令g(x)=紅一，x>0,則g'(x)=2且X(x-l)

XX2

當(dāng)x>l時(shí)，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，當(dāng)OVxVI時(shí)，gf(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，

故當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)取得最小值g(1)=2e,

故a+1近2e即aW2e~1.

故答案為：[a\a^2e_1).

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)在①函數(shù)/(x)=ysin(23x+(p)(3>0,|(p|<^)的圖象向右平移?個(gè)單位長(zhǎng)度得到g

(x)的圖如g(%)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；②向量ir=(V3sina)x,cos2a)x),n—(—coswx,—),3>0,

24

/(x)=ir?m③函數(shù)f(x)=c。s3xsin(3x哈)J(3>0)這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面

9

問題中，并解答.

已知,函數(shù)/(X)的圖象相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為個(gè).

(I)若ove<*,且sin8平，求/(。)的值；

(2)求函數(shù)/(x)在［0,2司上的單調(diào)遞減區(qū)間.

【分析】首先利用對(duì)稱軸之間的距離求出函數(shù)的周期，進(jìn)一步利用函數(shù)的關(guān)系式的平移變換和伸縮變換

的應(yīng)用求出函數(shù)的關(guān)系式，進(jìn)一步求出函數(shù)的值和單調(diào)區(qū)間.

【解答】解：方案一：選條件①

由題意可知，1=2兀=兀,

23

；?3=1,

?',f(x)=_-sin(2x+0)?

i冗

=-sin(2x+lt,T-)-

Nb

乂函數(shù)g(x)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

兀廣

??。=k兀+6，k匕Z，

?小兀

.”丁

，f(x)=ysin(2x+-^-)?

(1)V0<9<^,sin8哆

；.6

4

Af(e)=f4)=￡sirr|?兀=亨?

JTTTO

⑵由~^-+2k兀冗+2k兀，k€Z

TTn

解得下一+k冗<■冗+k兀，kEZ.

63

令k=0,得■兀

63

令k=l,得［?兀~兀,

63

io

...函數(shù)/(x)在［0,2n］上的單調(diào)遞減區(qū)間為［工，2兀］,［工兀，5兀］.

6363

18.(12分)己知等差數(shù)列｛〃”｝的前〃項(xiàng)和為S”,42+45=12,54=16.

(1)求｛“"｝的通項(xiàng)公式；

(2)數(shù)列｛a｝滿足加=/二7，T。為數(shù)列｛為｝的前八項(xiàng)和，是否存在正整數(shù)機(jī)，k使得

以=3刀”2?若存在，求出加，k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【分析】(1)設(shè)等差數(shù)列｛m｝的公差為"，利用已知條件列出方程求解首項(xiàng)與公差，得到通項(xiàng)公式.

(2)求出Sn=n39/"X2=n2,化簡(jiǎn)｛'｝的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)消項(xiàng)法求和，通過TkUST/，分析

求解即可.

【解答】解：(1)設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的公差為4,

持a29+ac§=12得2a1<+5d=12,

S4=16［2ai+3d=8

解得3-a=l+2(n-l)=2n-l,n€N*-

[d=211

(2)Sn=rH-------X2=n，

“4n2_「2(2n-l2n+l)

.Tn=bl+b2+'"+bn=—[(1--)+(—-—)+…+(-------)+(~-----—

2Lk3)匕5，k2n-32n-l，、2n-l2n+l

——([------)=-----

2'2n+l'2n+l

3m2

若T3T2,貝哈旦-

1koim2k+l(2m+l)2

整理得k=~配二

4m+l-2m

3m2

>m

又k>m>1/.<4m+l-2m2

ITL>1

2m2IR]>0

整理得，4m+l-2m2

nOl

ii

解得l〈m<l+乎，

又weN*

??/w~2>??k2=212.

存在/〃=2,k=12滿足題意.

19.(12分)如圖，在三棱錐P-ABC中，△雨C為等腰直角三角形，NAPC=90°,ZxABC為正三角形,

。為AC的中點(diǎn)，AC=2.

(1)證明：PBLAC；

(2)若三棱錐P-ABC的體積為返，求二面角A-PC-B的余弦值.

3

【分析】(1)證明PO_LAC.BD1AC.然后證明4cL平面P84.即可證明P8_LAC.

(2)說(shuō)明尸。，平面A8C,以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系D-"z,求出平面PBC的一個(gè)法向

量，平面辦C的一個(gè)法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解即可.

【解答】(1)證明：為等腰直角三角形，。為AC的中點(diǎn)，.?.PO_LAC.

又△ABC為正三角形，。為AC中點(diǎn)，8。，AC.

又PDCBD=D,PD,3D平面PAD,；.4C_L平面尸B￡>.

又尸8J_平面尸BQ,APBLAC.

(2)解：設(shè)三棱錐P-ABC的高為6,BD=BCsin600點(diǎn),

XXACXBDX

??VP-ABC41匕=除卜=除

：.h=\,

又PD^ACX'ABC,

如圖，以￡>為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系o-xyz,則

A(l,0,0),B(0,Vs.0)，c(-l,0,0),P(0,0,1：

12

DB=（O,V3，0）,CP=（1,0,1）,CB=（1,73，0）-

設(shè)三=（x,y,z）為平面F8C的一個(gè)法向量，貝"巴’E=°即卜+z,

,CB-n=0lx+V3y=0

令x=i,得丫3,

,z=-l

?3=（1,-除，-1）.

o

又而是平面PAC的一個(gè)法向量，

DB>n__V7

.*.cos<DB>n>-

IDB||nT

二面角A-PC-8的余弦值為近

7

20.（12分）如圖所示，有一塊等腰直角三角形地塊A8C,NA=90°,8C長(zhǎng)2千米，現(xiàn)對(duì)這塊地進(jìn)行綠

化改造，計(jì)劃從BC的中點(diǎn)。引出兩條成45°的線段OE和。凡與42和AC圍成四邊形區(qū)域AEOF,

在該區(qū)域內(nèi)種植花卉，其余區(qū)域種植草坪；設(shè)試求花卉種植面積S（a）的取值范圍.

13

sina

【分析】由題意在中由正弦定理得BE=——福------，在△OCF中由正弦定理得

sin(，4-a)

sin(-^-a)

CF二與/利用三角形的面積公式，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求S&BDE+SADCF=

yn--------------元——.進(jìn)而可求5(a)-y---------------——,結(jié)合題意可求范圍

2V^sin(2a--^-)+22V2sin(2CL-^-)+2

2a-y€(-y.等)，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解花卉種植面積s(a)取值范圍.

【解答】解：在△8OE中，/8ED=&L-a，

]

由正弦定理氣菽

sin(i兀-a)

BE=—嘿一

sin(^—a)

在△OCF中，ZFDC=-^-a，/DFC=a,

4

CF1

由頂線定理得——

3冗sina

sin(

sin(苧-a)

4

?，CF=sina

,+S1K1JI

?,SABDEADCF甘XBEXBDxsi叼至xCFxCDxsi可

=￥"(BF+CF)

.z3H

近(sinaJin(丁-a)

4(.「3兀"―sina)

sin(—)

.3兀3兀.

siii4cosa-cossinCL

V2(sina___________

,3兀3兀.’sina

sin4cosa-cos4-sina

_V2(&sinacosa+sina

4cosa+sind+_Vasina-

—近ZsiVa+l+sin2a

4&sina(cosCL+sinCl)

14

sin2a-cos2a+2

4&sinacosa4^/2sin2a

_lsin2a-cos2a+2

2sin2Cl-cos2Cl+l

7U1sin2a-cos2CL+lJ

,1,1________

—?+n-

2V^sin(2a-)+2

AS(a)=S^ABC-(S&BDE+S&DCF)-------------------

2J^sin(2a)+2

???AEQF為四邊形區(qū)域，

?'?sin(2Cl6L

平，

42

花卉種植面積S(a)取值范圍是

21.(12分)已知橢圓E：￥，^=1j〉1>>0)的離心率《滿足292-3/9+2=0,右頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)

為B,點(diǎn)C(0,-2),過點(diǎn)。作一條與y軸不重合的直線/,直線/交橢圓石于P,。兩點(diǎn)，直線8P,

B。分別交x軸于點(diǎn)M,N；當(dāng)直線/經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，/的斜率為&.

(1)求橢圓E的方程；

(2)證明：為定值.

15

【分析】(1)由2日2_3近日+2二0求出離心率，結(jié)合的斜率，轉(zhuǎn)化求解。，。，即可得到橢圓方程.

y=kx-2

(2)設(shè)直線/的方程為y=kx-2,P(xi,yi),Q(%2,y2)由＜/得(2A:2+1)/-詆+6=0,

lv+y9=1

利用韋達(dá)定理以及弦長(zhǎng)公式，結(jié)合三角形的面積，轉(zhuǎn)化求解即可.

【解答】解：⑴由2e2-3圾e+2=0

解得e呼■或0=如(舍去)，

二0-(-2)

又k

ACa-0

:.b=1,

橢圓￡的方程為/+y2=i.

2

(2)由題知，直線/的斜率比存在，設(shè)直線/的方程為y=fcv-2,P(xi,yi),Q(X2,

y=kx-2

6

由，/得(2.+1)x2-8fcr+6=0xi+x產(chǎn)-xx

^+y=1122ka2+-1l22k2+1

△=(-8A)2-4X6X(2^+1)

=164-24>0,

卜2〉"|"，

Yi-1

直線BP的方程為yq一x+l，

X1

16

XiXi、

令尸。解得xH7r(可'o),

Xn、

同理可得可(——.o),

y1+y2=k(x1+x2)-4=-^y^>

yiy2=(fcvi-2)(te-2)=k1x\x2-2k(xi+x2)+4

_4-2k2

2k2+1

3X]x2

SABOM,SABCNWI卜II卜y.I

3?乂y2_3_x/2

4(1-Yj)(l-y2)4I1-。1+丫2)+丫1丫2

6

__32k2+1

4i,44-2k2

11+2+2-