中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)常考題型突破練習(xí)專題27 四邊形綜合（解析版）

專題27四邊形綜合【考查題型】【知識(shí)要點(diǎn)】四邊形之間的從屬關(guān)系：考查題型一中點(diǎn)四邊形典例1．（2022秋·廣東佛山·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若順次連接四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)所得四邊形是菱形．則四邊形ABCD一定是(

)A．菱形 B．對(duì)角線互相垂直的四邊形C．矩形 D．對(duì)角線相等的四邊形【答案】D【分析】根據(jù)三角形的中位線定理得到EH∥FG，EF=FG，EF=SKIPIF1<0BD，要是四邊形為菱形，得出EF=EH，即可得到答案．【詳解】解：∵E，F(xiàn)，G，H分別是邊AD，AB，CB，DC的中點(diǎn)，∴EH=SKIPIF1<0AC，EH∥AC，F(xiàn)G=SKIPIF1<0AC，F(xiàn)G∥AC，EF=SKIPIF1<0BD，∴EH∥FG，EF=FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形，假設(shè)AC=BD，∵EH=SKIPIF1<0AC，EF=SKIPIF1<0BD，則EF=EH，∴平行四邊形EFGH是菱形，即只有具備AC=BD即可推出四邊形是菱形，故選：D．【點(diǎn)睛】題目主要考查中位線的性質(zhì)及菱形的判定和性質(zhì)，理解題意，熟練掌握運(yùn)用三角形中位線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．變式1-1．（2022·四川德陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形SKIPIF1<0中，點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0邊上的中點(diǎn)，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A．四邊形SKIPIF1<0是矩形B．四邊形SKIPIF1<0的內(nèi)角和小于四邊形SKIPIF1<0的內(nèi)角和C．四邊形SKIPIF1<0的周長(zhǎng)等于四邊形SKIPIF1<0的對(duì)角線長(zhǎng)度之和D．四邊形SKIPIF1<0的面積等于四邊形SKIPIF1<0面積的SKIPIF1<0【答案】C【分析】連接SKIPIF1<0，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，繼而逐項(xiàng)分析判斷即可求解．【詳解】解：連接SKIPIF1<0，設(shè)交于點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0邊上的中點(diǎn)，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0A.四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；B.四邊形SKIPIF1<0的內(nèi)角和等于于四邊形SKIPIF1<0的內(nèi)角和，都為360°，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；C.四邊形SKIPIF1<0的周長(zhǎng)等于四邊形SKIPIF1<0的對(duì)角線長(zhǎng)度之和，故該選項(xiàng)正確，符合題意；D.四邊形SKIPIF1<0的面積等于四邊形SKIPIF1<0面積的SKIPIF1<0，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；故選C【點(diǎn)睛】本題考查了中點(diǎn)四邊形的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，掌握三角形中位線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．變式1-2（2022春·福建福州·八年級(jí)福建省福州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谥校┤鐖D，任意四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA上的點(diǎn)，對(duì)于四邊形EFGH的形狀，某班學(xué)生在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課中，通過動(dòng)手實(shí)踐，探索出如下結(jié)論，其中錯(cuò)誤的是（）A．當(dāng)E，F(xiàn)，G，H是各邊中點(diǎn)，且AC=BD時(shí)，四邊形EFGH為菱形B．當(dāng)E，F(xiàn)，G，H是各邊中點(diǎn)，且AC⊥BD時(shí)，四邊形EFGH為矩形C．當(dāng)E，F(xiàn)，G，H不是各邊中點(diǎn)時(shí)，四邊形EFGH可以為平行四邊形D．當(dāng)E，F(xiàn)，G，H不是各邊中點(diǎn)時(shí)，四邊形EFGH不可能為菱形【答案】D【分析】根據(jù)連接四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形必為平行四邊形，根據(jù)中點(diǎn)四邊形的性質(zhì)進(jìn)行判斷，即可求解【詳解】解：A．當(dāng)E，F(xiàn)，G，H是各邊中點(diǎn)，且AC=BD時(shí)，EF=FG=GH=HE，故四邊形EFGH為菱形，故A正確；B．當(dāng)E，F(xiàn)，G，H是各邊中點(diǎn)，且AC⊥BD時(shí)，∠EFG=∠FGH=∠GHE=90°，故四邊形EFGH為矩形，故B正確；C．當(dāng)E，F(xiàn)，G，H不是各邊中點(diǎn)時(shí)，EF∥HG，EF=HG，故四邊形EFGH為平行四邊形，故C正確；D．當(dāng)E，F(xiàn)，G，H不是各邊中點(diǎn)時(shí)，四邊形EFGH可能為菱形，故D錯(cuò)誤；故選D．變式1-3．（2022春·河北廊坊·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，四邊形ABCD四邊的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，G，H，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，若四邊形EFGH的周長(zhǎng)是3，則AC＋BD的長(zhǎng)為（

）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】A【分析】先由三角形的中位線定理推知四邊形EFGH是平行四邊形，然后求解即可．【詳解】解：如圖，∵E、F、G、H分別是線段AB、BC、CD、AD的中點(diǎn)，∴EH、FG分別是△ABD、△BCD的中位線，EF、HG分別是△ACD、△ABC的中位線，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)知：EF∥AC，GH∥AC且EF=GH=SKIPIF1<0AC，EH=FG=SKIPIF1<0BD，∴四邊形EFGH是平行四邊形，∵四邊形EFGH的周長(zhǎng)是3，即EF+GH+EH+FG=3，∴AC+BD=3，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查中點(diǎn)四邊形，解題時(shí)，利用三角形中位線定理判定四邊形EFGH是平行四邊形是解題的關(guān)鍵．變式1-4．（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則四邊形SKIPIF1<0的面積是______．【答案】12【分析】根據(jù)三角形中位線定理、矩形的判定定理得到四邊形SKIPIF1<0為矩形，根據(jù)矩形的面積公式計(jì)算，得到答案．【詳解】解：∵點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴平行四邊形SKIPIF1<0為矩形，∴SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】此題考查了中點(diǎn)四邊形，解題的關(guān)鍵是掌握三角形中位線定理、矩形的判定定理．變式1-5．（2022秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖是一張菱形紙板，順次連接各邊中點(diǎn)得到矩形，再連接矩形對(duì)角線．將一個(gè)飛鏢隨機(jī)投擲到大菱形紙板上，則飛鏢落在陰影區(qū)域的概率是__．【答案】SKIPIF1<0##0.25【分析】如圖，連接EG、FH，設(shè)FH=2a，EG=2b，可得SKIPIF1<0，再得到四邊形MOPN是矩形，可得SKIPIF1<0，再根據(jù)概率公式，即可求解．【詳解】解：如圖，連接EG、FH，設(shè)FH=2a，EG=2b，∵四邊形EFGH是菱形，∴SKIPIF1<0，EG⊥FH，∵點(diǎn)M、O、P、N分別為菱形EFGH各邊的中點(diǎn)，∴SKIPIF1<0，OP∥FH，MN∥FH，MO∥EG，PN∥EG，∴四邊形MOPN是平行四邊形，∵EG⊥FH，∴MO⊥OP，∴四邊形MOPN是矩形，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴飛鏢落在陰影區(qū)域的概率是SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0【點(diǎn)睛】本題主要考查了求概率，菱形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，根據(jù)題意得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是解題的關(guān)鍵．變式1-6．（2022·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四邊形ABCD中，AC=BD，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，且EG、FH交于點(diǎn)O．若AC=4，則EG2+FH2=______．【答案】16【分析】根據(jù)三角形的中位線定理和菱形的判定，可得順次連接對(duì)角線相等的四邊形各邊中點(diǎn)所得四邊形是菱形；根據(jù)菱形的性質(zhì)得到EG⊥HF，且EG=2OE，F(xiàn)H=2OH．在Rt△OEH中，根據(jù)勾股定理得到OE2+OH2=EH2=4，再根據(jù)等式的性質(zhì)，在等式的兩邊同時(shí)乘以4，根據(jù)4=22，把等式進(jìn)行變形，并把EG=2OE，F(xiàn)H=2OH代入變形后的等式中，即可求出EG2+FH2的值．【詳解】∵E、F、G、H分別是線段AB、BC、CD、AD的中點(diǎn)，∴EH、FG分別是△ABD、△BCD的中位線，EF、HG分別是△ABC、△ACD的中位線，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)知，EH=FGSKIPIF1<0BD，EF=HGSKIPIF1<0AC．又∵AC=BD，∴EH=FG=EF=HG，∴四邊形EFGH是菱形，∴EG⊥FH，EG=2OE，F(xiàn)H=2OH．在Rt△OEH中，根據(jù)勾股定理得：OE2+OH2=EH2=4，等式兩邊同時(shí)乘以4得：4OE2+4OH2=4×4=16，∴（2OE）2+（2OH）2=16，即EG2+FH2=16．故答案為16．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線定理和菱形的判定方法，題目比較典型，又有綜合性，難度不大．變式1-7．（2022春·山東德州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形ABCD中，AC=BD=6，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，則EG2+FH2=______．【答案】36【分析】連接EF，F(xiàn)G，GH，EH，由E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，得到EH，EF，F(xiàn)G，GH分別是△ABD，△ABC，△BCD，△ACD的中位線，根據(jù)三角形中位線定理得到EH，F(xiàn)G等于BD的一半，EF，GH等于AC的一半，由AC=BD=6，得到EH=EF=GH=FG=3，根據(jù)四邊都相等的四邊形是菱形，得到EFGH為菱形，然后根據(jù)菱形的性質(zhì)得到EG⊥HF，且EG=2OE，F(xiàn)H=2OH，在Rt△OEH中，根據(jù)勾股定理得到OE2+OH2=EH2=9，再根據(jù)等式的性質(zhì)，在等式的兩邊同時(shí)乘以4，根據(jù)4=22，把等式進(jìn)行變形，并把EG=2OE，F(xiàn)H=2OH代入變形后的等式中，即可求出EG2+FH2的值【詳解】如圖，連接EF，F(xiàn)G，GH，EH，∵E、H分別是AB、DA的中點(diǎn)，∴EH是△ABD的中位線，∴EH=SKIPIF1<0BD=3，同理可得EF，F(xiàn)G，GH分別是△ABC，△BCD，△ACD的中位線，∴EF=GH=SKIPIF1<0AC=3，F(xiàn)G=SKIPIF1<0BD=3，∴EH=EF=GH=FG=3，∴四邊形EFGH為菱形，∴EG⊥HF，且垂足為O，∴EG=2OE，F(xiàn)H=2OH，在Rt△OEH中，根據(jù)勾股定理得：OE2+OH2=EH2=9，等式兩邊同時(shí)乘以4得：4OE2+4OH2=9×4=36，∴（2OE）2+（2OH）2=36，即EG2+FH2=36．故答案為36．【點(diǎn)睛】此題考查了菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形的中位線定理以及等式的基本性質(zhì)，本題的關(guān)鍵是連接EF，F(xiàn)G，GH，EH，得到四邊形EFGH為菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到EG⊥HF，建立直角三角形，利用勾股定理來解決問題．考查題型二特殊四邊形有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題典例2．（2022·遼寧錦州·中考真題）如圖，四邊形SKIPIF1<0是邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0的正方形，點(diǎn)E，點(diǎn)F分別為邊SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中點(diǎn)，點(diǎn)O為正方形的中心，連接SKIPIF1<0，點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)沿SKIPIF1<0運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿SKIPIF1<0運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度均為SKIPIF1<0，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)F時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，下列圖像能正確反映出S與t的函數(shù)關(guān)系的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】分0≤t≤1和1＜t≤2兩種情形，確定解析式，判斷即可．【詳解】當(dāng)0≤t≤1時(shí)，∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)O為正方形的中心，∴直線EO垂直BC，∴點(diǎn)P到直線BC的距離為2-t，BQ=t，∴S=SKIPIF1<0；當(dāng)1＜t≤2時(shí)，∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)F分別為邊SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中點(diǎn)，點(diǎn)O為正方形的中心，∴直線OF∥BC，∴點(diǎn)P到直線BC的距離為1，BQ=t，∴S=SKIPIF1<0；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，二次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)解析式，正確確定面積，從而確定解析式是解題的關(guān)鍵．變式2-1．（2021·浙江紹興·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形ABCD中，SKIPIF1<0，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿折線SKIPIF1<0方向移動(dòng)，移動(dòng)到點(diǎn)D停止．在SKIPIF1<0形狀的變化過程中，依次出現(xiàn)的特殊三角形是（

）A．直角三角形→等邊三角形→等腰三角形→直角三角形B．直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等邊三角形C．直角三角形→等邊三角形→直角三角形→等腰三角形D．等腰三角形→等邊三角形→直角三角形→等腰三角形【答案】C【分析】SKIPIF1<0是特殊三角形，取決于點(diǎn)P的某些特殊位置，按其移動(dòng)方向，逐一判斷即可．【詳解】解：連接AC，BD，如圖所示．∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，∠D=∠B．∵∠B=60°，∴∠D=∠B=60°．∴SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都是等邊三角形．點(diǎn)P在移動(dòng)過程中，依次共有四個(gè)特殊位置：（1）當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到BC邊的中點(diǎn)時(shí)，記作SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0是等邊三角形，SKIPIF1<0是BC的中點(diǎn)，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0是直角三角形．（2）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，記作SKIPIF1<0．此時(shí)，SKIPIF1<0是等邊三角形；（3）當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到CD邊的中點(diǎn)時(shí)，記為SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都是等邊三角形，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0是直角三角形．（4）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，記作SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是等腰三角形．綜上，SKIPIF1<0形狀的變化過程中，依次出現(xiàn)的特殊三角形是：直角三角形→等邊三角形→直角三角形→等腰三角形．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、直角三角形的判定、等腰三角形的判定、等邊三角形的性質(zhì)與判定等知識(shí)點(diǎn)，熟知特殊三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．變式2-2．（2021·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，對(duì)角線SKIPIF1<0、SKIPIF1<0相交于點(diǎn)SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則SKIPIF1<0的最小值是______．【答案】SKIPIF1<0【分析】過M點(diǎn)作MH垂直BC于H點(diǎn)，與OB的交點(diǎn)為P點(diǎn)，此時(shí)SKIPIF1<0的長(zhǎng)度最小為MH，再算出MC的長(zhǎng)度，在直角三角形MPC中利用三角函數(shù)即可解得MH【詳解】過M點(diǎn)作MH垂直BC于H點(diǎn)，與OB的交點(diǎn)為P點(diǎn)，此時(shí)SKIPIF1<0的長(zhǎng)度最小∵菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0∴AB=BC=AC=10，△ABC為等邊三角形∴∠PBC=30°，∠ACB=60°∴在直角△PBH中，∠PBH=30°∴PH=SKIPIF1<0∴此時(shí)SKIPIF1<0得到最小值，SKIPIF1<0∵AC=10，AM=3,∴MC=7又∠MPC=60°∴MH=MCsin60°=SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)與三角函數(shù)，能夠找到最小值時(shí)的P點(diǎn)是解題關(guān)鍵.變式2-3．（2021·湖南衡陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖1，菱形SKIPIF1<0的對(duì)角線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交于點(diǎn)O，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)從O點(diǎn)出發(fā)，以1厘米/秒的速度在菱形的對(duì)角線及邊上運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路線為SKIPIF1<0，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路線為SKIPIF1<0．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x秒，P、Q間的距離為y厘米，y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)P在SKIPIF1<0段上運(yùn)動(dòng)且P、Q兩點(diǎn)間的距離最短時(shí)，P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程之和為__________厘米．【答案】SKIPIF1<0【分析】四邊形SKIPIF1<0是菱形，由圖象可得AC和BD的長(zhǎng)，從而求出OC、OB和SKIPIF1<0．當(dāng)點(diǎn)P在SKIPIF1<0段上運(yùn)動(dòng)且P、Q兩點(diǎn)間的距離最短時(shí)，此時(shí)SKIPIF1<0連線過O點(diǎn)且垂直于SKIPIF1<0．根據(jù)三角函數(shù)和已知線段長(zhǎng)度，求出P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程之和．【詳解】由圖可知，SKIPIF1<0（厘米），∵四邊形SKIPIF1<0為菱形∴SKIPIF1<0（厘米）∴SKIPIF1<0P在SKIPIF1<0上時(shí)，Q在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0距離最短時(shí)，SKIPIF1<0連線過O點(diǎn)且垂直于SKIPIF1<0．此時(shí)，P、Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路程之和SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0（厘米）∴SKIPIF1<0（厘米）故答案為SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】本題主要考查菱形的性質(zhì)和三角函數(shù)．解題的關(guān)鍵在于從圖象中找到菱形對(duì)角線的長(zhǎng)度．變式2-4．（2021·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AD＝SKIPIF1<0AB，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)B向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)（到點(diǎn)A即停止），點(diǎn)N是AD上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠MON＝90°，連結(jié)MN．在點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)過程中，則以下結(jié)論中，①點(diǎn)M、N的運(yùn)動(dòng)速度不相等；②存在某一時(shí)刻使SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0逐漸減小；④SKIPIF1<0．正確的是________．（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）【答案】①②③④．【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)與AD＝SKIPIF1<0AB，得到∠ADB=30°，∠ABD=60°，AB=AO=BO，再分類討論，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到AB的中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)N為AD的中點(diǎn)，則：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0從而點(diǎn)M、N的運(yùn)動(dòng)速度不同，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到AB的中點(diǎn)時(shí)，SKIPIF1<0，由AM減小的速度比AN增大的速度快，則SKIPIF1<0逐漸減小，當(dāng)點(diǎn)M在AB的中點(diǎn)時(shí)，才滿足SKIPIF1<0，得出結(jié)論．【詳解】解：∵AD＝SKIPIF1<0AB，∴tan∠ADB=SKIPIF1<0，∴∠ADB=30°，∠ABD=60°，∵點(diǎn)O為BD的中點(diǎn)，∴AB=AO=BO，設(shè)AB=1，則AD=SKIPIF1<0，BD=2．①當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)N是BD的垂直平分線與AD的交點(diǎn)，令A(yù)N=x，則BN=DN=SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴AN=SKIPIF1<0，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到AB的中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)N為AD的中點(diǎn)，則：SKIPIF1<0，從而點(diǎn)M、N的運(yùn)動(dòng)速度不同，故①說法正確，符合題意；②當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到AB的中點(diǎn)時(shí)，SKIPIF1<0，故②說法正確，符合題意；③由①得到，AM減小的速度比AN增大的速度快，則SKIPIF1<0逐漸減小，故③說法正確，符合題意；如圖，延長(zhǎng)MO交CD于M'，∵∠MOB=∠M'OD，OB=OD，∠DBA=∠BDC，∴△OMB≌△OM'D（ASA），∴BM=DM'，OM=OM'，連接NM'，∵NO⊥MM'，則MN=NM'，∵NM'2=DN2+DM'2，∴MN2=BM2+DN2，故④正確，故答案為：①②③④．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、動(dòng)點(diǎn)問題，解題關(guān)鍵在于確定特殊情況，求出兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程，確定邊之間的關(guān)系，得出結(jié)論．變式2-5．（2022·天津·統(tǒng)考中考真題）將一個(gè)矩形紙片SKIPIF1<0放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0，點(diǎn)P在邊SKIPIF1<0上（點(diǎn)P不與點(diǎn)O，C重合），折疊該紙片，使折痕所在的直線經(jīng)過點(diǎn)P，并與x軸的正半軸相交于點(diǎn)Q，且SKIPIF1<0，點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)SKIPIF1<0落在第一象限．設(shè)SKIPIF1<0．(1)如圖①，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，求SKIPIF1<0的大小和點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)；(2)如圖②，若折疊后重合部分為四邊形，SKIPIF1<0分別與邊SKIPIF1<0相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，試用含有t的式子表示SKIPIF1<0的長(zhǎng)，并直接寫出t的取值范圍；(3)若折疊后重合部分的面積為SKIPIF1<0，則t的值可以是___________（請(qǐng)直接寫出兩個(gè)不同的值即可）．【答案】(1)SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0，其中t的取值范圍是SKIPIF1<0(3)3，SKIPIF1<0．（答案不唯一，滿足SKIPIF1<0即可）【分析】（1）先根據(jù)折疊的性質(zhì)得SKIPIF1<0，即可得出SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0，然后求出SKIPIF1<0和OH，可得答案；（2）根據(jù)題意先表示SKIPIF1<0，再根據(jù)SKIPIF1<0，表示QE，然后根據(jù)SKIPIF1<0表示即可，再求出取值范圍；（3）求出t=3時(shí)的重合部分的面積，可得從t=3之后重合部分的面積始終是SKIPIF1<0，再求出P與C重合時(shí)t的值可得t的取值范圍，問題得解．【詳解】（1）在SKIPIF1<0中，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．根據(jù)折疊，知SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．如圖，過點(diǎn)O′作SKIPIF1<0，垂足為H，則SKIPIF1<0．∴在SKIPIF1<0中，得SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∴點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0．（2）∵點(diǎn)SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．同（1）知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∵四邊形SKIPIF1<0是矩形，∴SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.如圖，當(dāng)點(diǎn)O′與AB重合時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得t=2，∴t的取值范圍是SKIPIF1<0；（3）3，SKIPIF1<0．（答案不唯一，滿足SKIPIF1<0即可）當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.∴t=3時(shí)，重合部分的面積是SKIPIF1<0，從t=3之后重合部分的面積始終是SKIPIF1<0，當(dāng)P與C重合時(shí)，OP＝6，∠OPQ＝30°，此時(shí)t＝OP·tan30°＝SKIPIF1<0，由于P不能與C重合，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0都符合題意．【點(diǎn)睛】這是一道關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的幾何綜合問題，考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，含30°直角三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解直角三角形等．變式2-6．（2021·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)E為邊AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，延長(zhǎng)BA到點(diǎn)F，使SKIPIF1<0，且CF、DE相交于點(diǎn)G（1）當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AB中點(diǎn)時(shí)，證明：四邊形DFEC是平行四邊形；（2）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，求AE的長(zhǎng)；（3）當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A開始向右運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，求點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度．【答案】（1）見解析；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0．【分析】（1）根據(jù)E為AB中點(diǎn)可得SKIPIF1<0，再由菱形的性質(zhì)推出CD∥AB，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即可證明結(jié)論；（2）過點(diǎn)C作CH⊥AB交FB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，利用菱形及直角三角形的性質(zhì)可求出SKIPIF1<0，并由勾股定理求得SKIPIF1<0，再根據(jù)相似三角形的判定及性質(zhì)可證得SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可表示出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即可由SKIPIF1<0建立關(guān)于x的方程，求解后可得出AE的長(zhǎng)；（3）連接AG并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)M，連接BD交AM于點(diǎn)N，并連接BM，首先由菱形的性質(zhì)得出△ABD為等邊三角形，則SKIPIF1<0，再由CD∥AB，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由此可證得SKIPIF1<0，再結(jié)合SKIPIF1<0得出SKIPIF1<0，則由等腰三角形性質(zhì)推出SKIPIF1<0，并分別求出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，最后根據(jù)題意可得點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度為線段AN的長(zhǎng)，由平行線分線段成比例性質(zhì)可得出SKIPIF1<0，此題得解．【詳解】（1）證明：∵E為AB中點(diǎn)，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．∵四邊形ABCD是菱形，∴CD∥AB，SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．∴四邊形DFEC是平行四邊形；（2）解：如圖，過點(diǎn)C作CH⊥AB交FB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，∵四邊形ABCD是菱形，SKIPIF1<0，∴AD∥BC，SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．則由勾股定理得SKIPIF1<0．∵CD∥AB，∴△CDG∽△FEG．∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．在Rt△CFH中，由勾股定理得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（不合題意，舍去）．∴AE的長(zhǎng)為SKIPIF1<0；（3）如圖，連接AG并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)M，連接BD交AM于點(diǎn)N，并連接BM，∵四邊形ABCD是菱形，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∴△ABD為等邊三角形．同理可證：△BCD為等邊三角形．∴SKIPIF1<0．∵CD∥AB，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．則由勾股定理得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．當(dāng)點(diǎn)E從A出發(fā)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)G始終在直線AM上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)軌跡為線段，當(dāng)點(diǎn)E與A重合時(shí)，點(diǎn)G與點(diǎn)A重合，當(dāng)點(diǎn)E與B重合時(shí)，點(diǎn)G為BD與AM的交點(diǎn)N，∴點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度為線段AN的長(zhǎng)，∵CD∥AB，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．∴點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度為SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】此題屬于四邊形的綜合問題，考查了菱形的性質(zhì)、平行四邊形及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握所學(xué)知識(shí)并靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．變式2-7（2021·遼寧沈陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線SKIPIF1<0經(jīng)過點(diǎn)SKIPIF1<0，與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B．線段SKIPIF1<0平行于x軸，交直線SKIPIF1<0于點(diǎn)D，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）填空：SKIPIF1<0__________．點(diǎn)A的坐標(biāo)是（__________，__________）；（2）求證：四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形；（3）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿對(duì)角線SKIPIF1<0以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，直到點(diǎn)D為止；動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)D出發(fā)，沿對(duì)角線SKIPIF1<0以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，直到點(diǎn)O為止．設(shè)兩個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間均為t秒．①當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0的面積是__________．②當(dāng)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)至四邊形SKIPIF1<0為矩形時(shí)，請(qǐng)直接寫出此時(shí)t的值．【答案】（1）SKIPIF1<0，5，0；（2）見解析；（3）①12；②SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【分析】（1）代入SKIPIF1<0點(diǎn)坐標(biāo)即可得出SKIPIF1<0值確定直線的解析式，進(jìn)而求出SKIPIF1<0點(diǎn)坐標(biāo)即可；（2）求出SKIPIF1<0點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即可證四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形；（3）①作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，設(shè)出SKIPIF1<0點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理計(jì)算出SKIPIF1<0的長(zhǎng)度，根據(jù)運(yùn)動(dòng)時(shí)間求出SKIPIF1<0的長(zhǎng)度即可確定SKIPIF1<0的面積；②根據(jù)對(duì)角線相等確定SKIPIF1<0的長(zhǎng)度，再根據(jù)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的位置分情況計(jì)算出SKIPIF1<0值即可．【詳解】解：（1）SKIPIF1<0直線SKIPIF1<0經(jīng)過點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即直線的解析式為SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，（2）SKIPIF1<0線段SKIPIF1<0平行于SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0點(diǎn)的縱坐標(biāo)與SKIPIF1<0點(diǎn)一樣，又SKIPIF1<0點(diǎn)在直線SKIPIF1<0上，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形；（3）①作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0點(diǎn)在直線SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0點(diǎn)的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由勾股定理，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0或8（舍去），SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0運(yùn)動(dòng)至四邊形SKIPIF1<0為矩形時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，綜上，當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0運(yùn)動(dòng)至四邊形SKIPIF1<0為矩形時(shí)SKIPIF1<0的值為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法求解析式，平行四邊形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．變式2-8．（2021·山東青島·統(tǒng)考中考真題）已知：如圖，在矩形SKIPIF1<0和等腰SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．點(diǎn)SKIPIF1<0從點(diǎn)SKIPIF1<0出發(fā)，沿SKIPIF1<0方向勻速運(yùn)動(dòng)．速度為SKIPIF1<0；同時(shí)，點(diǎn)SKIPIF1<0從點(diǎn)SKIPIF1<0出發(fā)，沿SKIPIF1<0方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為SKIPIF1<0．過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0．分別連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為SKIPIF1<0．解答下列問題：（1）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，求SKIPIF1<0的值；（2）設(shè)五邊形SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，求SKIPIF1<0的值；（4）若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交于點(diǎn)SKIPIF1<0，分別連接SKIPIF1<0和SKIPIF1<0．在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0？若存在，求出SKIPIF1<0的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0；（4）存在，SKIPIF1<0【分析】（1）先證SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0代數(shù)計(jì)算即可；（2）如圖2中，過點(diǎn)P作PO⊥QM于點(diǎn)O．證明S=S四邊形DQPM+S△DNQ=SKIPIF1<0（PQ+DH）?QM+SKIPIF1<0QN?ND=SKIPIF1<0（HA+DH）?QM+SKIPIF1<0QN?ND=SKIPIF1<0?AD?QM+SKIPIF1<0QN?ND，可得結(jié)論．（3）如圖3中，延長(zhǎng)NQ交BE于點(diǎn)G．根據(jù)PQ=PM，構(gòu)建方程求解即可．（4）存在．證明△HQW∽△AEW，△MHW∽△PAW，推出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，推出SKIPIF1<0，由此構(gòu)建方程求解即可【詳解】（1）由題意可得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在矩形SKIPIF1<0中，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.答：SKIPIF1<0為SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0.（2）過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，在等腰SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴四邊形SKIPIF1<0是矩形，∴SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.答：SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的函數(shù)關(guān)系式是SKIPIF1<0.（3）延長(zhǎng)SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，由（1），（2）可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴四邊形SKIPIF1<0是矩形，∴SKIPIF1<0，同理可證，四邊形SKIPIF1<0是矩形.∴SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.答：當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0.（4）由（2）得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0為矩形，∴SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，同理可證SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.答：在運(yùn)動(dòng)的過程中，存在時(shí)刻SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0.【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了矩形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．變式2-9．（2021·廣西來賓·統(tǒng)考中考真題）如圖①，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0點(diǎn)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0重合），在SKIPIF1<0內(nèi)作矩形SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，設(shè)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0．（1）當(dāng)矩形SKIPIF1<0是正方形時(shí)，直接寫出SKIPIF1<0的長(zhǎng)；（2）設(shè)SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，矩形SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量SKIPIF1<0的取值范圍）；（3）如圖②，點(diǎn)SKIPIF1<0是（2）中得到的函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0分別與SKIPIF1<0軸正半軸，SKIPIF1<0軸正半軸交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)，求SKIPIF1<0面積的最小值，并說明理由．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）6【分析】（1）直接根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)及正方形性質(zhì)可以得出：SKIPIF1<0，進(jìn)一步計(jì)算即可；（2）先根據(jù)等腰直角三角形以及直角三角形得出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0化簡(jiǎn)即可；（3）設(shè)l：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0面積的最小時(shí)，兩個(gè)函數(shù)圖像僅有一個(gè)交點(diǎn)，列出SKIPIF1<0面積的表達(dá)式求解即可．【詳解】解：（1）根據(jù)題意：可知SKIPIF1<0均為等腰直角三角形，則SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴DC=8，∴AC=SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）∵四邊形EFGH為矩形，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（3）由（2）得P在SKIPIF1<0上，設(shè)l：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0面積的最小時(shí)，兩個(gè)函數(shù)圖像僅有一個(gè)交點(diǎn)，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，特殊角銳角三角函數(shù)，反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合問題，能夠根據(jù)題意列出相應(yīng)的方程是解決本題的關(guān)鍵．考查題型三四邊形中線段最值問題典例3．（2022·四川資陽(yáng)·中考真題）如圖，正方形SKIPIF1<0的對(duì)角線交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是直線SKIPIF1<0上一動(dòng)點(diǎn)．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】本題為典型的將軍飲馬模型問題，需要通過軸對(duì)稱，作點(diǎn)A關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)SKIPIF1<0，再連接SKIPIF1<0，運(yùn)用兩點(diǎn)之間線段最短得到SKIPIF1<0為所求最小值，再運(yùn)用勾股定理求線段SKIPIF1<0的長(zhǎng)度即可．【詳解】解：如圖所示，作點(diǎn)A關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，其與BC的交點(diǎn)即為點(diǎn)E，再作SKIPIF1<0交AB于點(diǎn)F，∵A與SKIPIF1<0關(guān)于BC對(duì)稱，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，O，E在同一條線上的時(shí)候和最小，如圖所示，此時(shí)SKIPIF1<0，∵正方形SKIPIF1<0，點(diǎn)O為對(duì)角線的交點(diǎn)，∴SKIPIF1<0，∵對(duì)稱，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，故選：D．【點(diǎn)睛】本題為典型的將軍飲馬模型，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)，并運(yùn)用勾股定理求線段長(zhǎng)度是解題關(guān)鍵。變式3-1．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，P為BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接PA，作PQ⊥PA，PQ交CD于Q，連接AQ，則AQ的最小值是（

）A．5 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．4【答案】A【分析】設(shè)BP=x，CQ=y，根據(jù)△ABP∽△PCQ可得y關(guān)于x的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求得y的最大值情況，則QD最小，則AQ最?。驹斀狻俊咚倪呅蜛BCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°，∵PQ⊥AP，∴∠APB+∠QPC＝90°，∠APB+∠BAP＝90°，∴∠BAP＝∠QPC，∴△ABP∽△PCQ，∴SKIPIF1<0，設(shè)BP=x，CQ=y即SKIPIF1<0，∴y＝﹣SKIPIF1<0+x＝﹣SKIPIF1<0+1(0＜x＜4)，∵﹣SKIPIF1<0＜0，∴y有最大值，∴當(dāng)x＝2時(shí)，y有最大值1cm．此時(shí)QD=3在Rt△AQP中，SKIPIF1<0故AQ的最小值是5故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查最值問題，是利用二次函數(shù)求最值的方式解決的，常見求最值方法有3種：利用對(duì)稱求最值；利用三角形三邊關(guān)系求最值；利用二次函數(shù)性質(zhì)求最值．變式3-2（2022·重慶·一模）如圖，在正方形ABCD中，AB=8，AC與BD交于點(diǎn)O，N是AO的中點(diǎn)，點(diǎn)M在BC邊上，且BM=6．P為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，則PM﹣PN的最大值為（）A．2 B．3 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】以BD為對(duì)稱軸作N的對(duì)稱點(diǎn)N′，連接PN′，MN′，依據(jù)PM?PN=PM?PN′?MN′，可得當(dāng)P，M，N′三點(diǎn)共線時(shí)，取“=”，再求得SKIPIF1<0，即可得出SKIPIF1<0，∠CMN′=90°，再根據(jù)△N′CM為等腰直角三角形，即可得到CM=MN′=2，即可求得．【詳解】解：如圖所示，以BD為對(duì)稱軸作N的對(duì)稱點(diǎn)N’，連接MN′并延長(zhǎng)交BD于P，連NP，根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)可知，PN=PN'，∴PM﹣PN=PM﹣PN'≤MN'，當(dāng)P，M，N'三點(diǎn)共線時(shí)，取“=”，∵正方形邊長(zhǎng)為8，∴SKIPIF1<0，∵O為AC中點(diǎn)，∴SKIPI