數(shù)學(xué)-專題19 四邊形中的動(dòng)圖問題（帶答案）

專題19四邊形中的動(dòng)圖問題（解析版）類型一平行四邊形及特殊平行四邊形的存在性問題1．如圖，平行四邊形OABC的頂點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A點(diǎn)在X軸正半軸上，∠COA＝60°，OA＝10cm，OC＝4cm，點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)沿CB方向，以1cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從A點(diǎn)同時(shí)出發(fā)沿AO方向，以3cm/s的速度向原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)達(dá)到終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．（1）求點(diǎn)C，B的坐標(biāo)（結(jié)果用根號表示）（2）從運(yùn)動(dòng)開始，經(jīng)過多少時(shí)間，四邊形OCPQ是平行四邊形；（3）在點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)過程中，四邊形OCPQ有可能成為菱形嗎？若能，求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間；若不能，請說明理由．思路引領(lǐng)：（1）過C作CE⊥OA于E，過B作BF⊥OA于F，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)算出OE的長，再利用勾股定理即可求出CE的長，從而得到C點(diǎn)坐標(biāo)；根據(jù)平行線間的距離相等可知CE＝BF＝23，再證明Rt△COE≌Rt△BAF，從而得到AF的長，即可得到B點(diǎn)坐標(biāo)；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知CP＝OQ，設(shè)時(shí)間為x秒，表示出OQ、CP的長，可得到方程10﹣3x＝x，解方程即可；（3）如果四邊形OCPQ菱形，則CO＝QO＝CP＝4cm，根據(jù)運(yùn)動(dòng)速度，算出運(yùn)動(dòng)時(shí)間，計(jì)算可發(fā)現(xiàn)不能成為菱形．解：（1）過C作CE⊥OA于E，過B作BF⊥OA于F，∵∠COA＝60°，∴∠1＝30°，∴OE=12CO＝2在Rt△COE中，CE=CO2?∴C點(diǎn)坐標(biāo)是（2，23），

∵四邊形OABC是平行四邊形，∴CO＝AB，CO∥AB，∵CE⊥OA，過B作BF⊥OA，∴CE＝BF＝23（平行線之間的距離相等），∴Rt△COE≌Rt△BAF，∴AF＝EO＝2，∴OF＝OA+AF＝12（cm），∴B點(diǎn)坐標(biāo)是（12，23）；（2）設(shè)從運(yùn)動(dòng)開始，經(jīng)過x秒，四邊形OCPQ是平行四邊形，10﹣3x＝x，解得：x＝2.5，故運(yùn)動(dòng)開始，經(jīng)過2.5秒，四邊形OCPQ是平行四邊形；（3）不能成為菱形，如果四邊形OCPQ菱形，則CO＝QO＝CP＝4cm，∵OA＝10cm，∴AQ＝10﹣4＝6（cm），則Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間是：6÷3＝2（秒），這時(shí)CP＝2×1＝2（cm）∵CP≠4cm，∴四邊形OCPQ不能成為菱形．

總結(jié)提升：此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，直角梯形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，是一道綜合題，關(guān)鍵是需要同學(xué)們熟練掌握各種特殊四邊形的性質(zhì)，并能熟練應(yīng)用．2．（2022春?廣信區(qū)期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A停止，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C即停止，點(diǎn)P、Q的速度都是1cm/s．連接PQ、AQ、CP．設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts．（1）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形ABQP是矩形；（2）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形AQCP是菱形；（3）分別求出（2）中菱形AQCP的周長和面積．思路引領(lǐng)：（1）當(dāng)四邊形ABQP是矩形時(shí)，BQ＝AP，據(jù)此求得t的值；（2）當(dāng)四邊形AQCP是菱形時(shí)，AQ＝CQ，列方程求得運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t；（3）菱形的四條邊相等，則菱形的周長＝4×10，根據(jù)菱形的面積求出面積即可．解：（1）∵在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，∴BC＝AD＝16cm，AB＝CD＝8cm，由已知可得，BQ＝DP＝tcm，AP＝CQ＝（16﹣t）cm，

在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，當(dāng)BQ＝AP時(shí)，四邊形ABQP為矩形，∴t＝16﹣t，得t＝8，故當(dāng)t＝8s時(shí)，四邊形ABQP為矩形；（2）∵AP＝CQ，AP∥CQ，∴四邊形AQCP為平行四邊形，∴當(dāng)AQ＝CQ時(shí)，四邊形AQCP為菱形即82+t2=16﹣t故當(dāng)t＝6s時(shí)，四邊形AQCP為菱形；（3）當(dāng)t＝6s時(shí)，AQ＝CQ＝CP＝AP＝16﹣6＝10cm，則周長為4×10cm＝40cm；面積為10cm×8cm＝80cm2．總結(jié)提升：本題考查了菱形、矩形的判定與性質(zhì)．解決此題注意結(jié)合方程的思想解題．3．（2021春?睢縣期中）如圖，在等邊三角形ABC中，BC＝6cm，射線AG∥BC，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AG以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．（1）連結(jié)EF，當(dāng)EF經(jīng)過AC邊的中點(diǎn)D時(shí)，求證：△ADE≌△CDF；（2）當(dāng)t為多少時(shí)，以A、C、F、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？思路引領(lǐng)：（1）由題意得到AD＝CD，再由AG與BC平行，利用兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到兩對角相等，利用AAS即可得證；（2）分別從當(dāng)點(diǎn)F在C的左側(cè)時(shí)與當(dāng)點(diǎn)F在C的右側(cè)時(shí)去分析，由當(dāng)AE＝CF時(shí)，以A、C、E、F為頂點(diǎn)四邊形是平行四邊形，可得方程，解方程即可求得答案．（1）證明：∵AG∥BC，

∴∠EAD＝∠DCF，∠AED＝∠DFC，∵D為AC的中點(diǎn)，∴AD＝CD，在△ADE和△CDF中，∠EAD=∠FCD∠AED=∠CFD∴△ADE≌△CDF（AAS）；（2）解：當(dāng)t＝2或6時(shí)，A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．理由如下：①當(dāng)點(diǎn)F在C的左側(cè)時(shí)，根據(jù)題意，得AE＝tcm，BF＝2tcm，則CF＝BC﹣BF＝（6﹣2t）cm，∵AG∥BC，當(dāng)AE＝CF時(shí)，四邊形AECF是平行四邊形，即t＝6﹣2t，解得t＝2；②當(dāng)點(diǎn)F在C的右側(cè)時(shí)，根據(jù)題意，得AE＝tcm，BF＝2tcm，則CF＝BF﹣BC＝（2t﹣6）cm，∵AG∥BC，當(dāng)AE＝CF時(shí)，四邊形AEFC為平行四邊形，即t＝2t﹣6，解得t＝6，綜上可得：當(dāng)t＝2或6時(shí)，A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．總結(jié)提升：此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是注意掌握分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．類型二動(dòng)點(diǎn)最值問題4．（2021春?灌云縣期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，動(dòng)點(diǎn)P滿足S△PAB=13S矩形ABCD，則點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)距離之和PA+

A．102 B．241 C．234 D．82思路引領(lǐng)：過P點(diǎn)作MN∥AB，交AD于M，交BC于N，作A點(diǎn)關(guān)于MN的對稱點(diǎn)A'，連接A'B交MN于點(diǎn)P，AP+PB＝A'B即為所求，由面積關(guān)系可得AM=23AD＝4，在Rt△ABA'中求出A'解：過P點(diǎn)作MN∥AB，交AD于M，交BC于N，作A點(diǎn)關(guān)于MN的對稱點(diǎn)A'，連接A'B交MN于點(diǎn)P，∴AP+PB＝A'P+PB＝A'B，此時(shí)PA+PB的值最小，∵S△PAB=13S矩形∴12×AB×AM=13∴AM=23∵AD＝6，∴AM＝4，∴AA'＝8，∵AB＝10，在Rt△ABA'中，A'B＝241，故選：B．總結(jié)提升：本題考查軸對稱求最短距離，通過面積關(guān)系，能確定P點(diǎn)所在直線是解題的關(guān)鍵．5．（自貢中考）如圖，在△ABC中，AC＝BC＝2，AB＝1，將它沿AB翻折得到△ABD，則四邊形ADBC的形狀是形，點(diǎn)P、E、F分別為線段AB、AD、DB的任意點(diǎn)，則PE+PF的最小值是．

思路引領(lǐng)：根據(jù)題意證明四邊相等即可得出菱形；作出F關(guān)于AB的對稱點(diǎn)M，再過M作ME⊥AD，交AB于點(diǎn)P，此時(shí)PE+PF最小，求出ME即可．解：∵△ABC沿AB翻折得到△ABD，∴AC＝AD，BC＝BD，∵AC＝BC，∴AC＝AD＝BC＝BD，∴四邊形ADBC是菱形，故答案為菱；如圖作出F關(guān)于AB的對稱點(diǎn)M，再過M作ME⊥AD，交AB于點(diǎn)P，此時(shí)PE+PF最小，此時(shí)PE+PF＝ME，過點(diǎn)A作AN⊥BC，∵AD∥BC，∴ME＝AN，

作CH⊥AB，∵AC＝BC，∴AH=1由勾股定理可得，CH=15∵12可得，AN=15∴ME＝AN=15∴PE+PF最小為154故答案為154總結(jié)提升：此題主要考查路徑和最短問題，會結(jié)合軸對稱的知識和“垂線段最短”的基本事實(shí)分析出最短路徑是解題的關(guān)鍵．6．（2020?錦州模擬）如圖，已知平行四邊形ABCD中，AB＝BC，BC＝10，∠BCD＝60°，兩頂點(diǎn)B、D分別在平面直角坐標(biāo)系的y軸、x軸的正半軸上滑動(dòng)，連接OA，則OA的長的最小值是．思路引領(lǐng)：利用菱形的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)得出A點(diǎn)位置，進(jìn)而求出AO的長．解：如圖所示：過點(diǎn)A作AE⊥BD于點(diǎn)E，當(dāng)點(diǎn)A，O，E在一條直線上，此時(shí)AO最短，∵平行四邊形ABCD中，AB＝BC，BC＝10，∠BCD＝60°，∴AB＝AD＝CD＝BC＝10，∠BAD＝∠BCD＝60°，∴△ABD是等邊三角形，∴AE過點(diǎn)O，E為BD中點(diǎn)，∵∠BOD＝90°，BD＝10，∴EO＝5，

故AO的最小值為：AO＝AE﹣EO＝ABsin60°?12×BD故答案為：53?總結(jié)提升：此題主要考查了菱形的性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)，得出當(dāng)點(diǎn)A，O，E在一條直線上，此時(shí)AO最短是解題關(guān)鍵．7．（2022?利州區(qū)校級模擬）如圖，正方形ABCD的邊長為4，E為BC上一點(diǎn)，且BE＝1，F(xiàn)為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EF，以EF為邊向右側(cè)作等邊△EFG，連接CG，則CG的最小值為（）A．0.5 B．2.5 C．2 D．1思路引領(lǐng)：由題意分析可知，點(diǎn)F為主動(dòng)點(diǎn)，G為從動(dòng)點(diǎn)，所以以點(diǎn)E為旋轉(zhuǎn)中心構(gòu)造全等關(guān)系，得到點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡，之后通過垂線段最短構(gòu)造直角三角形獲得CG最小值．解：由題意可知，點(diǎn)F是主動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)G是從動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F在線段上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)G也一定在線段軌跡上運(yùn)動(dòng)將△EFB繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)60°，使EF與EG重合，得到△EHG，連接BH，得到△EFB≌△EHG從而可知△EBH為等邊三角形，點(diǎn)G在垂直于HE的直線HN上，延長HM交CD于點(diǎn)N．則△EFB≌△EHG，∴HE＝BE＝1，∠BEH＝60°，∠GHE＝∠FBE＝90°，∴△EBH為等邊三角形．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠FBE＝90°，∴∠GHE＝∠FBE＝90°，∴點(diǎn)G在垂直于HE的直線HN上，

作CM⊥HN，由垂線段最短可知，CM即為CG的最小值，作EP⊥CM，連接BH，EH，則四邊形HEPM為矩形，∴MP＝HE＝1，∠HEP＝90°，∴∠PEC＝30°．∵EC＝BC﹣BE＝3，∴CP=12EC∴CM＝MP+CP＝1+3即CG的最小值為52方法二：以CE為邊作等邊三角形CEH，連接FH，則△CEG≌△EFH，∴CG＝FH，當(dāng)FH⊥AB時(shí)，F(xiàn)H最小＝1+3故選：B．總結(jié)提升：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，線段極值問題，分清主動(dòng)點(diǎn)和從動(dòng)點(diǎn)，通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等，從而判斷出點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡，是本題的關(guān)鍵，之后運(yùn)用垂線段最短，構(gòu)造圖形計(jì)算，是極值問題中比較典型的類型．8．（2022秋?射陽縣月考）如圖，△APB中，AB＝4，∠APB＝90°，在AB的同側(cè)作正△ABD、正△APE

和正△BPC，則四邊形PCDE面積的最大值是．思路引領(lǐng)：先延長EP交BC于點(diǎn)F，得出PF⊥BC，再判定四邊形PCDE平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出：四邊形CDEP的面積＝EP×CF＝a×12b=12ab，最后根據(jù)a2+b2解：如圖，延長EP交BC于點(diǎn)F，∵∠APB＝90°，∠APE＝∠BPC＝60°，∴∠EPC＝150°，∴∠CPF＝180°﹣150°＝30°，∴PF平分∠BPC，又∵PB＝PC，∴PF⊥BC，設(shè)Rt△ABP中，AP＝a，BP＝b，則CF=12CP=12b，a2+b∵△APE和△ABD都是等邊三角形，∴AE＝AP，AD＝AB，∠EAP＝∠DAB＝60°，∴∠EAD＝∠PAB，在△EAD和△PAB中，AE=AP∠EAD=∠PAB∴△EAD≌△PAB（SAS），∴ED＝PB＝CP，

同理可得：△APB≌△DCB（SAS），∴EP＝AP＝CD，∴四邊形PCDE是平行四邊形，∴四邊形PCDE的面積＝EP×CF＝a×12b=又∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2≥0，∴2ab≤a2+b2＝16，∴12ab即四邊形PCDE面積的最大值為4．故答案為：4．總結(jié)提升：本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造平行四邊形的高線．9．（2022春?番禺區(qū)校級期中）如圖，菱形ABCD的邊長為1，∠ABC＝60°，點(diǎn)E是邊AB上任意一點(diǎn)（端點(diǎn)除外），線段CE的垂直平分線交BD，CE分別于點(diǎn)F，C，AE，EF的中點(diǎn)分別為M，N．（1）求證：AF＝EF；（2）求MN+NG的最小值．思路引領(lǐng)：（1）連接CF，根據(jù)FG垂直平分CE和菱形的對稱性即可得到CF＝EF，CF＝AF，從而求證結(jié)論．（2）利用M和N分別是AE和EF的中點(diǎn)，點(diǎn)G為CE中點(diǎn)，即可得到MN+NG=12（AF+CF），當(dāng)點(diǎn)F與菱形ABCD對角線交點(diǎn)O重合時(shí)，AF+CF最小，即此時(shí)MN+NG最小，結(jié)合已知推斷△解：（1）證明：連接CF，∵FG垂直平分CE，∴CF＝EF，

∵四邊形ABCD為菱形，∴A和C關(guān)于對角線BD對稱，∴CF＝AF，∴AF＝EF；（2）連接AC，∵M(jìn)和N分別是AE和EF的中點(diǎn)，點(diǎn)G為CE中點(diǎn)，∴MN=12AF，NG=12CF，即MN+NG=1當(dāng)點(diǎn)F與菱形ABCD對角線交點(diǎn)O重合時(shí)，AF+CF最小，即此時(shí)MN+NG最小，∵菱形ABCD邊長為1，∠ABC＝60°，∴△ABC為等邊三角形，AC＝AB＝1，即MN+NG的最小值為12總結(jié)提升：本題考查了菱形的性質(zhì)，中位線的性質(zhì)、等邊三角形性質(zhì)的知識，關(guān)鍵在于熟悉各個(gè)知識點(diǎn)在本題的靈活運(yùn)用．屬于拔高題．類型三求運(yùn)動(dòng)路徑的長10．（2022?虞城縣二模）如圖，矩形ABCD中．AB=3，AD＝1，點(diǎn)E為CD中點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)勻速沿D﹣A﹣B運(yùn)動(dòng)，連接PE，點(diǎn)D關(guān)于PE的對稱點(diǎn)為Q，連接PQ，EQ，當(dāng)點(diǎn)Q

ABCD的對角線上時(shí)（不包括對角線端點(diǎn)），點(diǎn)P走過的路徑長為12或1+3思路引領(lǐng)：當(dāng)點(diǎn)Q恰好落在矩形ABCD的對角線上時(shí)存在兩種情況：①如圖1，點(diǎn)P在AD上，點(diǎn)Q在AC上，連接DQ，證明AP＝PD可得結(jié)論；②如圖2，點(diǎn)P在AB上，連接PD，根據(jù)30°角的三角函數(shù)列式可得AP的長，從而計(jì)算結(jié)論．解：如圖1，點(diǎn)P在AD上，點(diǎn)Q在AC上，連接DQ，∵E為CD的中點(diǎn)，∴DE＝CE，∵點(diǎn)D關(guān)于PE的對稱點(diǎn)為Q，∴PE⊥DQ，DE＝EQ＝EC，∴∠DQC＝90°，∴DQ⊥AC，∴PE∥AC，∴PD＝AP=12AD即點(diǎn)P走過的路徑長為12如圖2，點(diǎn)P在AB上，連接PD，

∵E為CD的中點(diǎn)，且CD=3∴DE＝CE=3∵∠DFE＝90°，∴cos∠EDF＝cos30°=DF∴DF=3∵BD=1∴BF＝2?3cos∠ABD＝cos30°=BF∴BP=5∴AP=3∴此時(shí)點(diǎn)P走過的路徑長為1+3綜上，點(diǎn)P走過的路徑長為12或1+故答案為：12或1+總結(jié)提升：本題主要考查了矩形的性質(zhì)，對稱的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理等知識，掌握矩形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)等知識是解題的關(guān)鍵，并注意運(yùn)用分類討論的思想．11．如圖，有一張矩形紙條ABCD，AB＝5cm，BC＝2cm，點(diǎn)M，N分別在邊AB，CD上，CN＝1cm．現(xiàn)將四邊形BCNM沿MN折疊，使點(diǎn)B，C分別落在點(diǎn)B'，C'上．（1）當(dāng)點(diǎn)B'恰好落在邊CD上時(shí)，線段BM的長為cm；（2）點(diǎn)M從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B的過程中，若邊MB′與邊CD交于點(diǎn)E，求點(diǎn)E相應(yīng)運(yùn)動(dòng)的路徑長度．（3）當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)B'距離最短時(shí)，求AM的長．

思路引領(lǐng)：（1）運(yùn)用矩形性質(zhì)和翻折性質(zhì)得出：MB′＝NB′，再利用勾股定理即可求得答案；（2）探究點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡，尋找特殊位置解決問題即可．（3）如圖5中，連接AN，當(dāng)點(diǎn)B′落在AN上時(shí)，AB′的值最小，此時(shí)MN平分∠ANB．利用面積法求出AM：BM＝2，可得結(jié)論．解：（1）如圖1中，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠1＝∠3，由翻折的性質(zhì)可知：∠1＝∠2，BM＝MB′，∴∠2＝∠3，∴MB′＝NB′，∵NB′=B′C′2∴BM＝NB′=5（cm故答案為：5；（2）如圖1中，點(diǎn)B'恰好落在邊CD上時(shí)，BM＝NB′=5（cm如圖2中，當(dāng)點(diǎn)M與A重合時(shí)，AE＝EN，設(shè)AE＝EN＝xcm，

在Rt△ADE中，則有x2＝22+（4﹣x）2，解得x=5∴DE＝4?52=如圖3中，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到MB′⊥AB時(shí)，DE′的值最大，DE′＝5﹣1﹣2＝2（cm），如圖4中，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B′落在CD時(shí)，DB′（即DE″）＝5﹣1?5=（4?5∴點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡E→E′→E″，運(yùn)動(dòng)路徑＝EE′+E′B′＝2?32+2﹣（4?5）＝（

（3）如圖5中，連接AN，當(dāng)點(diǎn)B′落在AN上時(shí)，AB′的值最小，此時(shí)MN平分∠ANB．過點(diǎn)M作MP⊥AN于點(diǎn)P，MQ⊥BN于點(diǎn)Q．在Rt△ADN中，AN=AD2∵S△AMN∴AM=23AB總結(jié)提升：本題屬于四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，翻折變換，勾股定理，軌跡等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會尋找特殊位置解決問題，屬于中考常考題型．類型四平移、翻折及旋轉(zhuǎn)問題12．（2019春?江北區(qū)期中）如圖，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝8，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)．過點(diǎn)F作FE⊥AD，垂足為E．將△AEF沿點(diǎn)A到點(diǎn)B的方向平移，得到△A′E′F′．設(shè)P、P′分別是EF、E′F′的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)A′與點(diǎn)B重合時(shí)，四邊形PP′F′F的面積為（）A．83 B．43 C．123 D．83?思路引領(lǐng)：如圖，連接BD，DF，DF交PP′于H．首先證明四邊形PP′CD是平行四邊形，再證明DF⊥PP′，求出FH即可解決問題．解：如圖，連接BD，DF，DF交PP′于H．

由題意PP′＝AA′＝AB＝CD，PP′∥AA′∥CD，∴四邊形PP′CD是平行四邊形，∵四邊形ABCD是菱形，∠A＝60°，∴△ABD是等邊三角形，∵AF＝FB，∴DF⊥AB，DF⊥PP′，在Rt△AEF中，∵∠AEF＝90°，∠A＝60°，AF＝4，∴AE＝2，EF＝23，∴PE＝PF=3在Rt△PHF中，∵∠FPH＝30°，PF=3∴HF=12PF∴平行四邊形PP′FF′的面積=32×故選：B．總結(jié)提升：本題考查菱形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．13．（2021?海南模擬）如圖，正方形ABCD的邊長為1；將其繞頂點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度到CEFG的位置，使得點(diǎn)B落在對角線CF上，則陰影部分的面積是（）A．14 B．2?2 C．2?1思路引領(lǐng)：依據(jù)△BFH、△CEF為等腰直角三角形，即可得到陰影部分的面積．

解：正方形ABCD的邊長為1，將其繞頂點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度到CEFG位置，使得點(diǎn)B落在對角線CF上，∴EF＝CE＝1，∴CF=2∴BF=2∵∠BFE＝45°，∴BH＝BF=2∴陰影部分的面積=12×1×1?12×故選：C．總結(jié)提升：本題考查了正方形的性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，本題關(guān)鍵是利用△BFH、△CEF為等腰直角三角形求解線段的長．14．（2020?湘西州）在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A（6，0），點(diǎn)B在y軸的正半軸上，∠ABO＝30°，矩形CODE的頂點(diǎn)D，E，C分別在OA，AB，OB上，OD＝2．將矩形CODE沿x軸向右平移，當(dāng)矩形CODE與△ABO重疊