金融計(jì)量學(xué)：分位數(shù)回歸與金融計(jì)量

分位數(shù)回歸與金融計(jì)量

學(xué)習(xí)目標(biāo)

熟悉分位數(shù)回歸的基本原理，明晰均值回歸與分位數(shù)回歸的差異，掌握分位數(shù)回歸結(jié)果的經(jīng)濟(jì)解釋；掌握分位數(shù)回歸的建模過(guò)程及其在金融計(jì)量中的應(yīng)用，學(xué)會(huì)使用分位數(shù)回歸模型計(jì)算金融風(fēng)險(xiǎn)。均值回歸模型描述的是自變量與“平均”因變量??(??│??)之間的關(guān)系。然而，人們往往更加關(guān)注極端分位特征。例如，在風(fēng)險(xiǎn)研究時(shí)，更加關(guān)注破壞性較強(qiáng)的極端尾部風(fēng)險(xiǎn)。本章將詳細(xì)介紹分位數(shù)回歸模型，闡述分位數(shù)回歸模型在金融風(fēng)險(xiǎn)領(lǐng)域的應(yīng)用，并結(jié)合實(shí)際例子，計(jì)算我國(guó)金融機(jī)構(gòu)的系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)水平，旨在使學(xué)生了解相關(guān)金融安全知識(shí)，樹(shù)立金融安全意識(shí)。7.1分位數(shù)回歸模型概述7.2分位數(shù)回歸模型7.3分位數(shù)回歸模型的估計(jì)方法7.4分位數(shù)回歸估計(jì)值的解釋7.5分位數(shù)回歸模型的拓展7.6分位數(shù)回歸與系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)專題7基于分位數(shù)回歸的金融機(jī)構(gòu)系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度研究目錄CONTENTS分位數(shù)回歸模型概述7.17.1分位數(shù)回歸模型概述傳統(tǒng)回歸分析主要關(guān)注均值，即采用因變量條件均值的函數(shù)來(lái)描述自變量每一特定數(shù)值下的因變量均值，從而揭示自變量與因變量的關(guān)系。金融風(fēng)險(xiǎn)研究通常關(guān)注極端風(fēng)險(xiǎn)，這一領(lǐng)域要求深入分析因變量的分布特征。對(duì)分布特征的描述包括中心位置、數(shù)值范圍、偏態(tài)和其他高階特征，而不僅是中心位置。Koenker和Bassett在1978年提出了分位數(shù)回歸模型（QuantileRegression），該模型是線性回歸模型的自然拓展。隨著自變量變化，線性回歸模型描述因變量的條件均值變化，而分位數(shù)回歸模型強(qiáng)調(diào)條件分位數(shù)變化。分位數(shù)回歸模型7.27.2.1總體分位數(shù)

7.2.2樣本分位數(shù)

分位數(shù)回歸模型的估計(jì)方法7.37.3分位數(shù)回歸模型的估計(jì)方法

由于分位數(shù)回歸的目標(biāo)函數(shù)帶有絕對(duì)值，因此通常采用線性規(guī)劃求解估計(jì)值。

7.3分位數(shù)回歸模型的估計(jì)方法

在實(shí)際應(yīng)用中，我們可以很容易地使用R語(yǔ)言的quantreg包進(jìn)行分位數(shù)回歸估計(jì)。分位數(shù)回歸估計(jì)值的解釋7.47.4.1參照與比較對(duì)于線性回歸模型而言，擬合系數(shù)可解釋為估計(jì)效應(yīng)，即因變量分布變化的均值情況，而均值變化來(lái)源于一個(gè)連續(xù)型自變量的單位增量，或者虛擬變量從0到1的變化。每一種變化都可理解為參照組和比較組在均值上的估計(jì)差異。對(duì)分位數(shù)回歸的解釋與上述類似，即參照組和比較組在特定分位數(shù)上的估計(jì)差異，當(dāng)控制變量保持不變時(shí)，這一估計(jì)差異來(lái)源于自變量的單位增量，或者來(lái)源于虛擬變量從0到1的變化。7.4.1條件均值與條件中位數(shù)中位數(shù)回歸是分位數(shù)回歸的一種，它用于表達(dá)在特定自變量下因變量的條件中位數(shù)，并且中位數(shù)回歸可作為擬合條件均值的一種替代方法，兩種模型可進(jìn)行對(duì)比。表7.1展示了滬深300指數(shù)收益率對(duì)中國(guó)銀行股票收益率的估計(jì)系數(shù)，括號(hào)內(nèi)為t統(tǒng)計(jì)值。為便于比較，我們也展示了線性回歸OLS估計(jì)結(jié)果。表7.1分位數(shù)回歸系數(shù)估計(jì)值

OLS5%10%15%20%HS3000.5340.6440.5230.4880.469

(34.60)(19.39)(37.79)(42.71)(35.74)

50%80%85%90%95%HS3000.4470.4540.4650.4900.555

(41.80)(44.22)(85.77)(32.05)(13.74)7.4.1條件均值與條件中位數(shù)圖7.1展示了不同分位點(diǎn)上滬深300指數(shù)收益率對(duì)中國(guó)銀行股票收益率的估計(jì)系數(shù)（黑色實(shí)線），其中x軸為分位點(diǎn)，y軸為估計(jì)系數(shù)，中間黑色虛線為OLS估計(jì)結(jié)果。圖7.1估計(jì)系數(shù)的分位數(shù)變化R代碼>rm(list=ls())>library("openxlsx")>library("quantreg")>Data=read.xlsx("E:/jrjl/Chapter7/ex1_Data.xlsx",detectDates=TRUE)>y=Data$中國(guó)銀行>x=Data$HS300>tau=c(0.05,0.1,0.15,0.2,0.5,0.8,0.85,0.9,0.95)>Res=rq(y~x,tau=tau)>plot(summary(Res))分位數(shù)回歸模型的拓展7.57.5.1極值分位數(shù)回歸模型傳統(tǒng)分位數(shù)回歸模型假設(shè)收益率滿足正態(tài)分布，未考慮金融時(shí)間序列數(shù)據(jù)的“厚尾”特征，而極值分位數(shù)回歸（ExtremalQuantileRegression，簡(jiǎn)稱EQR）假設(shè)因變量的尾部分布具有帕累托（Pareto-type）行為，可更好擬合金融時(shí)間序列數(shù)據(jù)。假設(shè)存在如下條件分位數(shù)函數(shù)：

極值分位數(shù)回歸的估計(jì)和推理方法較為復(fù)雜，在這里我們不做過(guò)多闡述，感興趣的讀者可以參考《HandbookofQuantileRegression》這本書。7.5.1極值分位數(shù)回歸模型例7.1

沿用表7.1數(shù)據(jù)，圖7.2展示了QR估計(jì)的置信區(qū)間和EQR估計(jì)的置信區(qū)間。中間部分兩者無(wú)顯著差異，但在兩側(cè)尾部QR置信區(qū)間要窄于EQR置信區(qū)間，這種差異表明QR估計(jì)低估了數(shù)據(jù)的尾部變化，可能對(duì)極端風(fēng)險(xiǎn)的刻畫存在不足。圖7.2QR置信區(qū)間和EQR置信區(qū)間比較R代碼>rm(list=ls())>library(quantreg)>library(foreign)>library("openxlsx")>source("R-progs.R")>Data=read.xlsx("E:/jrjl/Chapter7/ex1_Data.xlsx",detectDates=TRUE)>Y=Data$中國(guó)銀行>X=Data$HS300>s=c("Intercept","HS300")>p=length(s)>alpha=.10>subsample.size=floor(50+sqrt(length(Y)))>subsample.fraction=subsample.size/length(Y)>taus=(1:199)/200R代碼>fit.central=as.data.frame(matrix(0,ncol=3,nrow=199))>fit.extreme=as.data.frame(matrix(0,ncol=3,nrow=199))>for(iin1:length(taus)){fit=rq(Y~X,tau=taus[i])central=summary.rq(fit,se="ker")fit.central[i,1]=central$coefficients[2,1]fit.central[i,2]=central$coefficients[2,1]+qnorm(alpha/2)*central$coefficients[2,2]fit.central[i,3]=central$coefficients[2,1]+qnorm(1-alpha/2)*central$coefficients[2,2]extreme =summary.rq.extreme(fit,subsample.fraction=subsample.fraction,R=500,method="br",alpha=alpha,spacing=5+p)fit.extreme[i,1]=extreme$coefficients[2,5]fit.extreme[i,2]=extreme$coefficients[2,3]fit.extreme[i,3]=extreme$coefficients[2,4]}R代碼#Plotextremeregions>plot(c(0,1),xlim=c(0,1),type="n",xlab=expression(tau),ylab="Coefficient")lines(taus,smooth(fit.extreme$V2),col=4,lwd=1.5,lty=1)lines(taus,smooth(fit.extreme$V3),col=4,lwd=1.5,lty=1)abline(h=0)#Plotestimatesandcentralregionslines(taus,fit.central$V1,col=1,lwd=1.5,lty=1)lines(taus,smooth(fit.central$V2),col=2,lwd=1.5,lty=2)lines(taus,smooth(fit.central$V3),col=2,lwd=1.5,lty=2)7.5.2分位數(shù)向量自回歸模型分位數(shù)向量自回歸模型（QuantileVAR，簡(jiǎn)稱QVAR）將分位數(shù)回歸技術(shù)和VAR模型結(jié)合，可探討解釋變量對(duì)因變量不同分位數(shù)的影響效應(yīng)。對(duì)下尾和上尾的影響效應(yīng)在金融風(fēng)險(xiǎn)管理中極其重要。分位數(shù)向量自回歸模型可用來(lái)研究經(jīng)濟(jì)變量和金融變量間的非線性和非對(duì)稱關(guān)系，可解決傳統(tǒng)VAR模型不能解釋的問(wèn)題。7.5.2分位數(shù)向量自回歸模型一般地，n維p階分位數(shù)向量自回歸模型具體框架如下：

分位數(shù)向量自回歸模型強(qiáng)調(diào)如下事實(shí)：每個(gè)方程中的參數(shù)估計(jì)都從屬于方程左邊因變量條件分布的不同分位數(shù)水平，即該模型可同時(shí)考慮在不同分位數(shù)下，各方程中因變量間的相互關(guān)系。在宏觀經(jīng)濟(jì)分析中，通過(guò)設(shè)置不同的分位數(shù)水平，可研究經(jīng)濟(jì)市場(chǎng)中宏觀變量的不同情形。7.5.2分位數(shù)向量自回歸模型例7.2假定滬深300指數(shù)日對(duì)數(shù)收益率和中國(guó)銀行日對(duì)數(shù)收益率構(gòu)成的二元序列服從VAR(1)模型，利用quantreg包估計(jì)5%分位點(diǎn)下的QVAR模型，估計(jì)結(jié)果見(jiàn)表7.2，括號(hào)內(nèi)為標(biāo)準(zhǔn)誤，L1.中國(guó)銀行代表中國(guó)銀行日對(duì)數(shù)收益率滯后1期。僅做展示作用，具體的滯后期選擇、序列平穩(wěn)性和變量選擇等，根據(jù)實(shí)際問(wèn)題考慮。表7.2QVAR（1）估計(jì)結(jié)果常數(shù)項(xiàng)L1.中國(guó)銀行L1.HS300VAR（1）中國(guó)銀行-0.0021-0.0052-0.0027

（-0.08）（-0.22）（-0.12）HS3000.01610.00320.0231

（0.56）（0.13）（0.99）QVAR（1）中國(guó)銀行-1.70530.08570.0992

（-20.11）（-1.37）（1.60）HS300-2.1204-0.00820.1463

（-21.13）（-0.09）（1.73）R代碼>library("openxlsx")>library("quantreg")>library("vars")>y=read.xlsx("E:/jrjl/Chapter7/ex1_Data.xlsx",detectDates=TRUE)>y=as.matrix(y)>nlag=1>Res_VAR=VAR(y,p=nlag)>summary(Res_VAR)>k=ncol(y)>x=embed(y,nlag+1)>tau=0.05>for(iin1:k){Res_QVAR=summary(rq(y[-c(1:nlag),i]~x[,-c(1:k)],tau=tau))print(Res_QVAR$coefficients)}分位數(shù)回歸與系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)7.67.6分位數(shù)回歸與系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)

7.6分位數(shù)回歸與系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)在給定分位數(shù)的情形下，我們可得到金融機(jī)構(gòu)i的在險(xiǎn)價(jià)值VaR和條件在險(xiǎn)價(jià)值CoVaR：

進(jìn)一步可計(jì)算金融機(jī)構(gòu)i的條件在險(xiǎn)價(jià)值差ΔCoVaR：

7.6分位數(shù)回歸與系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)

圖7.3中國(guó)銀行ΔCoVaRR代碼>rm(list=ls())>library("openxlsx")>library("quantreg")>Data=read.xlsx("E:/jrjl/Chapter7/ex4_Data.xlsx",detectDates=TRUE)>Ins_y=Data$中國(guó)銀行>Market_y=Data$HS300>State=Data[,4:8]>State=as.matrix(State)>Res_Ins_50=rq(Ins_y~State,tau=0.5)>Res_Ins_5=rq(Ins_y~State,tau=0.05)>Res_Market_5=rq(Market_y~Ins_y+State,tau=0.05)>dcovar=Res_Market_5$coefficients[2]*(Res_Ins_5$fitted.values-Res_Ins_50$fitted.values)>plot(abs(dcovar),type="l")基于分位數(shù)回歸的金融機(jī)構(gòu)系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度研究專題專題1.數(shù)據(jù)描述和變量選取我們選取31家上市金融機(jī)構(gòu)的股票數(shù)據(jù)，其中包括16家銀行機(jī)構(gòu)，3家保險(xiǎn)機(jī)構(gòu)，12家證券機(jī)構(gòu)，時(shí)間區(qū)間為2011年1月4日到2021年12月31日，具體金融機(jī)構(gòu)見(jiàn)表7.3。機(jī)構(gòu)機(jī)構(gòu)機(jī)構(gòu)機(jī)構(gòu)機(jī)構(gòu)平安銀行興業(yè)銀行中國(guó)銀行國(guó)金證券中國(guó)平安寧波銀行北京銀行中信銀行海通證券中國(guó)太保浦發(fā)銀行農(nóng)業(yè)銀行東北證券招商證券中國(guó)人壽華夏銀行交通銀行國(guó)元證券太平洋證券民生銀行工商銀行廣發(fā)證券興業(yè)證券招商銀行光大銀行長(zhǎng)江證券華泰證券南京銀行建設(shè)銀行中信證券光大證券表7.3樣本機(jī)構(gòu)專題1.數(shù)據(jù)描述和變量選取

圖7.4金融系統(tǒng)對(duì)數(shù)收益率序列專題1.數(shù)據(jù)描述和變量選取

專題1.數(shù)據(jù)描述和變量選取

專題1.數(shù)據(jù)描述和變量選取

專題2.實(shí)證分析表7.4為31家金融機(jī)構(gòu)的算術(shù)平均ΔCoVaR及其標(biāo)準(zhǔn)差，ΔCoVaR絕對(duì)值越大，表明該機(jī)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)程度較高。表7.4金融機(jī)構(gòu)ΔCoVaR均值及其標(biāo)準(zhǔn)差機(jī)構(gòu)ΔCoVaR均值ΔCoVaR標(biāo)準(zhǔn)差機(jī)構(gòu)ΔCoVaR均值ΔCoVaR標(biāo)準(zhǔn)差機(jī)構(gòu)ΔCoVaR均值ΔCoVaR標(biāo)準(zhǔn)差中國(guó)平安0.4000.140北京銀行0.4440.201廣發(fā)證券0.4840.162中國(guó)太保0.4890.117農(nóng)業(yè)銀行0.4740.218長(zhǎng)江證券0.4850.214中國(guó)人壽0.3870.102交通銀行0.5340.312中信證券0.5300.236平安銀行0.4120.122工商銀行0.5520.259國(guó)金證券0.3500.124寧波銀行0.4900.101光大證券0.4350.189海通證券0.5740.251浦發(fā)銀行0.4620.209光大銀行0.4600.192招商證券0.5210.185華夏銀行0.5730.253建設(shè)銀行0.4910.242太平洋證券0.3710.145民生銀行0.4420.238中國(guó)銀行0.4550.251興業(yè)證券0.4650.171招商銀行0.4270.147中信銀行0.3760.150南京銀行0.5040.177東北證券0.4800.206興業(yè)銀行0.4890.170國(guó)元證券0.4190.181專題2.實(shí)證分析圖7.5