山東省泰安市重點(diǎn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高三下第一次測試數(shù)學(xué)試題含解析

山東省泰安市重點(diǎn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高三下第一次測試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請按要求用筆。3．請按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．函數(shù)的圖像大致為（）.A． B．C． D．2．根據(jù)最小二乘法由一組樣本點(diǎn)（其中），求得的回歸方程是，則下列說法正確的是()A．至少有一個(gè)樣本點(diǎn)落在回歸直線上B．若所有樣本點(diǎn)都在回歸直線上，則變量同的相關(guān)系數(shù)為1C．對所有的解釋變量（），的值一定與有誤差D．若回歸直線的斜率，則變量x與y正相關(guān)3．若復(fù)數(shù)z滿足,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．水平放置的，用斜二測畫法作出的直觀圖是如圖所示的，其中，則繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體的表面積為（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)，的圖象與直線的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于，則的一條對稱軸是（）A． B． C． D．6．函數(shù)在的圖像大致為A． B． C． D．7．已知定義在上的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則（）A．1 B．-1 C．2 D．-28．對于正在培育的一顆種子，它可能1天后發(fā)芽，也可能2天后發(fā)芽，….下表是20顆不同種子發(fā)芽前所需培育的天數(shù)統(tǒng)計(jì)表，則這組種子發(fā)芽所需培育的天數(shù)的中位數(shù)是()發(fā)芽所需天數(shù)1234567種子數(shù)43352210A．2 B．3 C．3.5 D．49．設(shè)直線的方程為，圓的方程為，若直線被圓所截得的弦長為，則實(shí)數(shù)的取值為A．或11 B．或11 C． D．10．已知集合A＝{x∈N|x2＜8x}，B＝{2，3，6}，C＝{2，3，7}，則＝（）A．{2，3，4，5} B．{2，3，4，5，6}C．{1，2，3，4，5，6} D．{1，3，4，5，6，7}11．將函數(shù)的圖象沿軸向左平移個(gè)單位長度后，得到函數(shù)的圖象，則“”是“是偶函數(shù)”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件12．如圖，中，點(diǎn)D在BC上，，將沿AD旋轉(zhuǎn)得到三棱錐，分別記，與平面ADC所成角為，，則，的大小關(guān)系是（）A． B．C．，兩種情況都存在 D．存在某一位置使得二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中，角，，所對的邊分別邊，且，設(shè)角的角平分線交于點(diǎn)，則的值最小時(shí)，___.14．已知的展開式中第項(xiàng)與第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則__________.15．公比為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則的值為__________．16．已知圓C：經(jīng)過拋物線E：的焦點(diǎn)，則拋物線E的準(zhǔn)線與圓C相交所得弦長是__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）求函數(shù)的最大值．18．（12分）如圖，已知在三棱臺(tái)中，，，.（1）求證：；（2）過的平面分別交，于點(diǎn)，，且分割三棱臺(tái)所得兩部分幾何體的體積比為，幾何體為棱柱，求的長.提示：臺(tái)體的體積公式（，分別為棱臺(tái)的上、下底面面積，為棱臺(tái)的高）.19．（12分）在綜合素質(zhì)評價(jià)的某個(gè)維度的測評中，依據(jù)評分細(xì)則，學(xué)生之間相互打分，最終將所有的數(shù)據(jù)合成一個(gè)分?jǐn)?shù)，滿分100分，按照大于或等于80分的為優(yōu)秀，小于80分的為合格，為了解學(xué)生的在該維度的測評結(jié)果，在畢業(yè)班中隨機(jī)抽出一個(gè)班的數(shù)據(jù).該班共有60名學(xué)生，得到如下的列聯(lián)表：優(yōu)秀合格總計(jì)男生6女生18合計(jì)60已知在該班隨機(jī)抽取1人測評結(jié)果為優(yōu)秀的概率為.（1）完成上面的列聯(lián)表；（2）能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.10的前提下認(rèn)為性別與測評結(jié)果有關(guān)系？（3）現(xiàn)在如果想了解全校學(xué)生在該維度的表現(xiàn)情況，采取簡單隨機(jī)抽樣方式在全校學(xué)生中抽取少數(shù)一部分來分析，請你選擇一個(gè)合適的抽樣方法，并解釋理由.附：0.250.100.0251.3232.7065.02420．（12分）的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知的面積為.（1）求；（2）若，，求的周長.21．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，平面，是棱上的一點(diǎn)，滿足平面.（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）設(shè)，，若為棱上一點(diǎn)，使得直線與平面所成角的大小為30°，求的值.22．（10分）在三棱錐S-ABC中，∠BAC=∠SBA=∠SCA=90°,∠SAB=45°,∠SAC=60°,D為棱AB的中點(diǎn)，SA=2(I)證明：SD⊥BC；(II)求直線SD與平面SBC所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

本題采用排除法:由排除選項(xiàng)D；根據(jù)特殊值排除選項(xiàng)C;由,且無限接近于0時(shí),排除選項(xiàng)B；【詳解】對于選項(xiàng)D:由題意可得,令函數(shù),則,;即.故選項(xiàng)D排除;對于選項(xiàng)C：因?yàn)?故選項(xiàng)C排除;對于選項(xiàng)B:當(dāng),且無限接近于0時(shí),接近于,，此時(shí).故選項(xiàng)B排除;故選項(xiàng):A【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)解析式較復(fù)雜的圖象的判斷;利用函數(shù)奇偶性、特殊值符號(hào)的正負(fù)等有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行逐一排除是解題的關(guān)鍵;屬于中檔題.2、D【解析】

對每一個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷得解.【詳解】回歸直線必過樣本數(shù)據(jù)中心點(diǎn)，但樣本點(diǎn)可能全部不在回歸直線上﹐故A錯(cuò)誤；所有樣本點(diǎn)都在回歸直線上，則變量間的相關(guān)系數(shù)為，故B錯(cuò)誤；若所有的樣本點(diǎn)都在回歸直線上，則的值與相等，故C錯(cuò)誤；相關(guān)系數(shù)r與符號(hào)相同，若回歸直線的斜率，則，樣本點(diǎn)分布應(yīng)從左到右是上升的，則變量x與y正相關(guān)，故D正確．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查線性回歸方程的性質(zhì)，意在考查學(xué)生對該知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.3、A【解析】

化簡復(fù)數(shù)，求得，得到復(fù)數(shù)在復(fù)平面對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求解.【詳解】由題意，復(fù)數(shù)z滿足，可得，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為位于第一象限故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的幾何表示方法，其中解答中熟記復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，結(jié)合復(fù)數(shù)的表示方法求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】

根據(jù)斜二測畫法的基本原理，將平面直觀圖還原為原幾何圖形，可得，,繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體是兩個(gè)相同圓錐的組合體,圓錐的側(cè)面展開圖是扇形根據(jù)扇形面積公式即可求得組合體的表面積.【詳解】根據(jù)“斜二測畫法”可得，，，繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體是兩個(gè)相同圓錐的組合體，它的表面積為.故選:【點(diǎn)睛】本題考查斜二測畫法的應(yīng)用及組合體的表面積求法,難度較易.5、D【解析】

由題，得，由的圖象與直線的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于，可得最小正周期，從而求得，得到函數(shù)的解析式，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，由此即可得到本題答案.【詳解】由題，得，因?yàn)榈膱D象與直線的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于，所以函數(shù)的最小正周期，則，所以，當(dāng)時(shí)，，所以是函數(shù)的一條對稱軸，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查利用和差公式恒等變形，以及考查三角函數(shù)的周期性和對稱性.6、B【解析】

由分子、分母的奇偶性，易于確定函數(shù)為奇函數(shù)，由的近似值即可得出結(jié)果．【詳解】設(shè)，則，所以是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱，排除選項(xiàng)C．又排除選項(xiàng)D；，排除選項(xiàng)A，故選B．【點(diǎn)睛】本題通過判斷函數(shù)的奇偶性，縮小考察范圍，通過計(jì)算特殊函數(shù)值，最后做出選擇．本題較易，注重了基礎(chǔ)知識(shí)、基本計(jì)算能力的考查．7、B【解析】

根據(jù)f（x）是R上的奇函數(shù)，并且f（x+1）=f（1-x），便可推出f（x+4）=f（x），即f（x）的周期為4，而由x∈[0，1]時(shí)，f（x）=2x-m及f（x）是奇函數(shù)，即可得出f（0）=1-m=0，從而求得m=1，這樣便可得出f（2019）=f（-1）=-f（1）=-1．【詳解】∵是定義在R上的奇函數(shù)，且；∴；∴；∴的周期為4；∵時(shí)，；∴由奇函數(shù)性質(zhì)可得；∴；∴時(shí)，；∴.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性和周期性求值，此類問題一般根據(jù)條件先推導(dǎo)出周期，利用函數(shù)的周期變換來求解，考查理解能力和計(jì)算能力，屬于中等題.8、C【解析】

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，即可容易求得中位數(shù).【詳解】由圖表可知，種子發(fā)芽天數(shù)的中位數(shù)為，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查中位數(shù)的計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.9、A【解析】

圓的圓心坐標(biāo)為（1，1），該圓心到直線的距離，結(jié)合弦長公式得，解得或，故選A．10、C【解析】

根據(jù)集合的并集、補(bǔ)集的概念，可得結(jié)果.【詳解】集合A＝{x∈N|x2＜8x}＝{x∈N|0＜x＜8}，所以集合A＝{1，2，3，4，5，6，7}B＝{2，3，6}，C＝{2，3，7}，故＝{1，4，5，6}，所以＝{1，2，3，4，5，6}.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查的是集合并集，補(bǔ)集的概念，屬基礎(chǔ)題.11、A【解析】

求出函數(shù)的解析式，由函數(shù)為偶函數(shù)得出的表達(dá)式，然后利用充分條件和必要條件的定義判斷即可.【詳解】將函數(shù)的圖象沿軸向左平移個(gè)單位長度，得到的圖象對應(yīng)函數(shù)的解析式為，若函數(shù)為偶函數(shù)，則，解得，當(dāng)時(shí)，.因此，“”是“是偶函數(shù)”的充分不必要條件.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查充分不必要條件的判斷，同時(shí)也考查了利用圖象變換求三角函數(shù)解析式以及利用三角函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，考查運(yùn)算求解能力與推理能力，屬于中等題.12、A【解析】

根據(jù)題意作出垂線段，表示出所要求得、角，分別表示出其正弦值進(jìn)行比較大小，從而判斷出角的大小，即可得答案．【詳解】由題可得過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過作的垂線，垂足為，則易得，．設(shè)，則有，，，可得，．，，；，；，，，．綜上可得，．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查空間直線與平面所成的角的大小關(guān)系，考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對這些知識(shí)的理解掌握水平．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)題意，利用余弦定理和基本不等式得出，再利用正弦定理，即可得出.【詳解】因?yàn)椋瑒t，由余弦定理得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又因?yàn)?，，所?故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理和正弦定理的應(yīng)用，以及基本不等式求最值，考查計(jì)算能力.14、【解析】

根據(jù)的展開式中第項(xiàng)與第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，得到，再利用組合數(shù)公式求解.【詳解】因?yàn)榈恼归_式中第項(xiàng)與第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，所以，即，所以，即，解得.故答案為：10【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式的系數(shù)，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.15、56【解析】

根據(jù)已知條件求等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，再代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可得到答案.【詳解】，，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力.16、【解析】

求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，代入圓的方程，求出的值，再求出準(zhǔn)線方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式，求出弦心距，利用勾股定理可以求出弦長的一半，進(jìn)而求出弦長．【詳解】拋物線E:的準(zhǔn)線為，焦點(diǎn)為（0，1），把焦點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程中，得，所以圓心的坐標(biāo)為，半徑為5，則圓心到準(zhǔn)線的距離為1，所以弦長．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的準(zhǔn)線、圓的弦長公式．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解析】

試題分析：由柯西不等式得試題解析：因?yàn)椋裕忍?hào)當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)成立．所以的最大值為．考點(diǎn)：柯西不等式求最值18、（1）證明見解析；（2）2【解析】

（1）在中，利用勾股定理，證得，又由題設(shè)條件，得到，利用線面垂直的判定定理，證得平面，進(jìn)而得到；（2）設(shè)三棱臺(tái)和三棱柱的高都為上、下底面之間的距離為，根據(jù)棱臺(tái)的體積公式，列出方程求得，得到，即可求解.【詳解】（1）由題意，在中，，，所以，可得，因?yàn)椋傻?又由，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?（2）因?yàn)椋傻?，令，，設(shè)三棱臺(tái)和三棱柱的高都為上、下底面之間的距離為，則，整理得，即，解得，即，又由，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與平面垂直的判定與應(yīng)用，以及幾何體的體積公式的應(yīng)用，其中解答中熟記線面位置關(guān)系的判定定理與性質(zhì)定理，以及熟練應(yīng)用幾何體的體積公式進(jìn)行求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）見解析；（2）在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.10的前提下認(rèn)為“性別與測評結(jié)果有關(guān)系”（3）見解析.【解析】

（1）由已知抽取的人中優(yōu)秀人數(shù)為20，這樣結(jié)合已知可得列聯(lián)表；（2）根據(jù)列聯(lián)表計(jì)算，比較后可得；（3）由于性別對結(jié)果有影響，因此用分層抽樣法．【詳解】解：（1）優(yōu)秀合格總計(jì)男生62228女生141832合計(jì)204060（2）由于，因此在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.10的前提下認(rèn)為“性別與測評結(jié)果有關(guān)系”.（3）由（2）可知性別有可能對是否優(yōu)秀有影響，所以采用分層抽樣按男女生比例抽取一定的學(xué)生，這樣得到的結(jié)果對學(xué)生在該維度的總體表現(xiàn)情況會(huì)比較符合實(shí)際情況.【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)，考查分層抽樣的性質(zhì)．考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力．屬于中檔題．20、（1）（2）【解析】

（1）根據(jù)三角形面積公式和正弦定理可得答案；（2）根據(jù)兩角余弦公式可得，即可求出，再根據(jù)正弦定理可得，根據(jù)余弦定理即可求出，問題得以解決．【詳解】（1）由三角形的面積公式可得，，由正弦定理可得，，；（2），，，，，則由，可得：，由，可得：，，可得：，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，三角形的周長．（實(shí)際上可解得，符合三邊關(guān)系）．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積公式、兩角和的余弦公式、誘導(dǎo)公式，考查正弦定理，余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．21、（Ⅰ）證明見解析（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）由平面，可得，又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，即得證；（Ⅱ）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，計(jì)