必修2第二章點、直線、平面之間測試題

必修2第二章測驗題〔一〕時間120分鐘，總分值150分。一、選擇題(本大題共12個小題，每題5分，共60分，在每題給出的四個選項中只有一個是符合題目要求的)1．假設直線和沒有公共點，那么與的位置關系是()A．相交 B．平行C．異面 D．平行或異面2．平行六面體中，既與共面也與共面的棱的條數為()A．3B．4C．5D．63．平面和直線l，那么內至少有一條直線與l()A．平行B．相交C．垂直D．異面4．長方體中，異面直線，所成的角等于()A．30°B．45°C．60°D．90°5．對兩條不相交的空間直線a與，必存在平面，使得()A．， B．，∥C．， D．，6．下面四個命題：①假設直線，異面，b，異面，那么，異面；②假設直線，相交，b，相交，那么，相交；③假設∥b，那么，與所成的角相等；④假設，，那么∥，其中真命題的個數為()A．4B．3C．2D．17．在正方體中，E，F(xiàn)分別是線段，上的不與端點重合的動點，如果，有下面四個結論：①；②EF∥AC；③EF與AC異面；④EF∥平面ABCD，其中一定正確的有()A．①②B．②③C．②④D．①④8．設，為兩條不重合的直線，，為兩個不重合的平面，以下命題中為真命題的是()A．假設，與所成的角相等，那么∥B．假設a∥，∥，∥，那么a∥C．假設，，a∥，那么∥D．假設，，，那么9．平面平面，，點，，直線AB∥l，直線AC⊥l，直線m∥，n∥，那么以下四種位置關系中，不一定成立的是()A．AB∥ B．C．AB∥ D．10．(2012·大綱版數學(文科))正方體中，E、F分別為、的中點，那么直線AE與所成角的余弦值為()A． B.C. D．11．三棱錐D－ABC的三個側面與底面全等，且，，那么以為棱，以面BCD與面BCA為面的二面角的余弦值為()A.B.C．0D．12．如下圖，點P在正方形所在平面外，PA⊥平面，，那么PB與所成的角是()A．90°B.60°C．45°D.30°二、填空題(本大題共5小題，每題5分，共25分．把答案填在題中的橫線上)13．以下圖形可用符號表示為________．14．正方體中，二面角的平面角等于________15．設平面∥平面，，，直線AB與CD交于點S，且點S位于平面，之間，，，，那么________.16．將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角A－BD－C，有如下四個結論：①AC⊥BD；②是等邊三角形；③與平面BCD成60°的角；④與CD所成的角是60°，其中正確結論的序號是________．三、解答題(本大題共6個大題，共70分，解容許寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17．(10分)如以下圖，在三棱柱中，與都為正三角形且面ABC，、分別是，的中點．求證：(1)平面∥平面；(2)平面平面.18．(本小題總分值12分)如下圖，在四棱錐中，平面，，，，，是的中點．(1)證明：平面；(2)假設直線與平面所成的角和與平面所成的角相等，求四棱錐的體積．19．(12分)如下圖，邊長為2的等邊所在的平面垂直于矩形所在的平面，，為的中點．(1)證明：；(2)求二面角的大小．20．(12分)(2010·遼寧文，19)如圖，棱柱的側面是菱形，.(1)證明：平面平面；(2)設是上的點，且∥平面，求，的值．21．(12分)如圖，中，，是邊長為1的正方形，平面底面，假設，分別是，的中點．(1)求證：∥底面；(2)求證：平面；(3)求幾何體的體積V.22．(12分)如以下圖所示，在直三棱柱中，，，，，點是的中點．(1)求證：；(2)求證：∥平面；(3)求異面直線與所成角的余弦值．第二章參考答案〔一〕一、選擇題1[答案]D2[答案]C[解析]AB與CC1為異面直線，故棱中不存在同時與兩者平行的直線，因此只有兩類：第一類與AB平行與CC1相交的有：CD、C1D1與CC1平行且與AB相交的有：BB1、AA1，第二類與兩者都相交的只有BC，故共有5條．3[答案]C[解析]1°直線l與平面α斜交時，在平面α內不存在與l平行的直線，∴A錯；2°l?α時，在α內不存在直線與l異面，∴D錯；3°l∥α時，在α內不存在直線與l相交．無論哪種情形在平面α內都有無數條直線與l垂直．4[答案]D[解析]由于AD∥A1D1，那么∠BAD是異面直線AB，A1D1所成的角，很明顯∠BAD＝90°.5[答案]B[解析]對于選項A，當a與b是異面直線時，A錯誤；對于選項B，假設a，b不相交，那么a與b平行或異面，都存在α，使a?α，b∥α，B正確；對于選項C，a⊥α，b⊥α，一定有a∥b，C錯誤；對于選項D，a?α，b⊥α，一定有a⊥b，D錯誤．6[答案]D[解析]異面、相交關系在空間中不能傳遞，故①②錯；根據等角定理，可知③正確；對于④，在平面內，a∥c，而在空間中，a與c可以平行，可以相交，也可以異面，故④錯誤．7[答案]D[解析]如下圖．由于AA1⊥平面A1B1C1D1，EF?平面A1B1C1D1，那么EF⊥AA1，所以①正確；當E，F(xiàn)分別是線段A1B1，B1C1的中點時，EF∥A1C1，又AC∥A1C1，那么EF∥AC，所以③不正確；當E，F(xiàn)分別不是線段A1B1，B1C1的中點時，EF與AC異面，所以②不正確；由于平面A1B1C1D1∥平面ABCD，EF?平面A1B1C1D18[答案]D[解析]選項A中，a，b還可能相交或異面，所以A是假命題；選項B中，a，b還可能相交或異面，所以B是假命題；選項C中，α，β還可能相交，所以C是假命題；選項D中，由于a⊥α，α⊥β，那么a∥β或a?β，那么β內存在直線l∥a，又b⊥β，那么b⊥l，所以a⊥b.9[答案]D[解析]如下圖：AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l?AC⊥m；AB∥l?AB∥β.10[答案]eq\f(3,5)命題意圖]本試題考查了正方體中異面直線的所成角的求解的運用．[解析]首先根據條件，連接DF，然后那么角DFD1即為異面直線所成的角，設邊長為2，那么可以求解得到eq\r(5)＝DF＝D1F，DD1＝2，結合余弦定理得到結論．11[答案]C[解析]取BC中點E，連AE、DE，可證BC⊥AE，BC⊥DE，∴∠AED為二面角A－BC－D的平面角又AE＝ED＝eq\r(2)，AD＝2，∴∠AED＝90°，應選C.12[答案]B[解析]將其復原成正方體ABCD－PQRS，顯見PB∥SC，△ACS為正三角形，∴∠ACS＝60°.二、填空題13[答案]α∩β＝AB14[答案]45°[解析]如下圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，由于BC⊥AB，BC1⊥AB，那么∠C1BC是二面角C1－AB－C的平面角．又△BCC1是等腰直角三角形，那么∠C1BC15[答案]9[解析]如以下圖所示，連接AC，BD，那么直線AB，CD確定一個平面ACBD.∵α∥β，∴AC∥BD，那么eq\f(AS,SB)＝eq\f(CS,SD)，∴eq\f(8,6)＝eq\f(12,SD)，解得SD＝9.16[答案]①②④[解析]如下圖，①取BD中點，E連接AE，CE，那么BD⊥AE，BD⊥CE，而AE∩CE＝E，∴BD⊥平面AEC，AC?平面AEC，故AC⊥BD，故①正確．②設正方形的邊長為a，那么AE＝CE＝eq\f(\r(2),2)a.由①知∠AEC＝90°是直二面角A－BD－C的平面角，且∠AEC＝90°，∴AC＝a，∴△ACD是等邊三角形，故②正確．③由題意及①知，AE⊥平面BCD，故∠ABE是AB與平面BCD所成的角，而∠ABE＝45°，所以③不正確．④分別取BC，AC的中點為M，N，連接ME，NE，MN.那么MN∥AB，且MN＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)a，ME∥CD，且ME＝eq\f(1,2)CD＝eq\f(1,2)a，∴∠EMN是異面直線AB，CD所成的角．在Rt△AEC中，AE＝CE＝eq\f(\r(2),2)a，AC＝a，∴NE＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)a.∴△MEN是正三角形，∴∠EMN＝60°，故④正確．三、解答題17[證明](1)在正三棱柱ABC－A1B1C1∵F、F1分別是AC、A1C1∴B1F1∥BF，AF1∥C1又∵B1F1∩AF1＝F1，C1F∩BF＝∴平面AB1F1∥平面C1BF(2)在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，∴B1F1⊥又B1F1⊥A1C1，A1C1∩AA1＝∴B1F1⊥平面ACC1A1，而B1F1?平面AB∴平面AB1F1⊥平面ACC1A18[解析](1)如下圖，連接AC，由AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，得AC＝5.又AD＝5，E是CD的中點，所以CD⊥AE.∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，所以PA⊥CD.而PA，AE是平面PAE內的兩條相交直線，所以CD⊥平面PAE.(2)過點B作BG∥CD，分別與AE，AD相交于F，G，連接PF.由(1)CD⊥平面PAE知，BG⊥平面PAE.于是∠BPF為直線PB與平面PAE所成的角，且BG⊥AE.由PA⊥平面ABCD知，∠PBA為直線PB與平面ABCD所成的角．AB＝4，AG＝2，BG⊥AF，由題意，知∠PBA＝∠BPF，因為sin∠PBA＝eq\f(PA,PB)，sin∠BPF＝eq\f(BF,PB)，所以PA＝BF.由∠DAB＝∠ABC＝90°知，AD∥BC，又BG∥CD，所以四邊形BCDG是平行四邊形，故GD＝BCAG＝2.在Rt△BAG中，AB＝4，AG＝2，BG⊥AF，所以BG＝eq\r(AB2＋AG2)＝2eq\r(5)，BF＝eq\f(AB2,BG)＝eq\f(16,2\r(5))＝eq\f(8\r(5),5).于是PA＝BF＝eq\f(8\r(5),5).又梯形ABCD的面積為S＝eq\f(1,2)×(5＋3)×4＝16，所以四棱錐P－ABCD的體積為V＝eq\f(1,3)×S×PA＝eq\f(1,3)×16×eq\f(8\r(5),5)＝eq\f(128\r(5),15).19[解析](1)證明：如下圖，取CD的中點E，連接PE，EM，EA，∵△PCD為正三角形，∴PE⊥CD，PE＝PDsin∠PDE＝2sin60°＝eq\r(3).∵平面PCD⊥平面ABCD，∴PE⊥平面ABCD，而AM?平面ABCD，∴PE⊥AM.∵四邊形ABCD是矩形，∴△ADE，△ECM，△ABM均為直角三角形，由勾股定理可求得EM＝eq\r(3)，AM＝eq\r(6)，AE＝3，∴EM2＋AM2＝AE2.∴AM⊥EM.又PE∩EM＝E，∴AM⊥平面PEM，∴AM⊥PM.(2)解：由(1)可知EM⊥AM，PM⊥AM，∴∠PME是二面角P－AM－D的平面角．∴tan∠PME＝eq\f(PE,EM)＝eq\f(\r(3),\r(3))＝1，∴∠PME＝45°.∴二面角P－AM－D的大小為45°.20[解析](1)因為側面BCC1B1是菱形，所以B1C⊥BC1又B1C⊥A1B，且A1B∩BC1＝B所以B1C⊥平面A1BC1，又B1C?平面所以平面AB1C⊥平面A1BC1(2)設BC1交B1C于點E，連接DE，那么DE是平面A1BC1B1CD的交線．因為A1B∥平面B1CD，A1B?平面A1BC1，平面A1BC1∩平面B1CD＝DE，所以A1B∥DE.又E是BC1的中點，所以D為A1C1即A1D=DC1＝1.21[解](1)證明：連接AE，如以下圖所示．∵ADEB為正方形，∴AE∩BD＝F，且F是AE的中點，又G是EC的中點，∴GF∥AC，又AC?平面ABC，GF?平面ABC，∴GF∥平面ABC.(2)證明：∵ADEB為正方形，∴EB⊥AB，又∵平面ABED⊥平面ABC，平面ABED∩平面ABC＝AB，EB?平面ABED，∴BE⊥平面ABC，∴BE⊥AC.又∵AC＝BC＝eq\f(\r(2),2)AB，∴CA2＋CB2＝AB2，∴AC⊥BC.又∵BC∩BE＝B，∴AC⊥平面BCE.(3)取AB的中點H，連CH，∵BC＝AC＝eq\f(\r(2),2)AB＝eq\f(\r(2),2)，∴CH⊥AB，且CH＝eq\f(1,2)，又平面ABED⊥平面ABC∴CH⊥平面ABED，∴V＝eq\f(1,3)×1×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6).22[解析](1)證明：在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三邊長AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC⊥BC又∵C1C⊥AC.∴AC⊥平面BCC1B1∵BC1?平面BCC1B，∴AC⊥BC1.(2)證明：設CB1與C1B的交點為E，連接DE，又四邊形BCC1B1為正方形．∵D是AB的中點，E是BC1的中點，∴DE∥AC1.∵DE?平面CDB1，AC1?平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1.(3)解：∵DE∥AC1，∴∠CED為AC1與B1C在△CED中，ED＝eq\f(1,2)AC1＝eq\f(5,2)，CD＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(5,2)，CE＝eq\f(1,2)CB1＝2eq\r(2)，∴cos∠CED＝eq\f(\r(2),\f(5,2))＝eq\f(2\r(2),5).∴異面直線AC1與B1C所成角的余弦值為eq\f(2\r(2),5).必修2第二章測試題〔二〕一、選擇題(本大題共12小題，每題5分，共60分．在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的)1．下面四個命題：①分別在兩個平面內的兩直線是異面直線；②假設兩個平面平行，那么其中一個平面內的任何一條直線必平行于另一個平面；③如果一個平面內的兩條直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行；④如果一個平面內的任何一條直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行．其中正確的命題是()A．①②B．②④C．①③ D．②③2．棱臺的一條側棱所在的直線與不含這條側棱的側面所在平面的位置關系是()A．平行B．相交C．平行或相交 D．不相交3．一直線l與其外三點A，B，C可確定的平面?zhèn)€數是()A．1個 B．3個C．1個或3個 D．1個或3個或4個4．假設三個平面兩兩相交，有三條交線，那么以下命題中正確的選項是()A．三條交線為異面直線B．三條交線兩兩平行C．三條交線交于一點D．三條交線兩兩平行或交于一點5．如圖，在中，，面ABC，，D是BC的中點，那么圖中直角三角形的個數是()A．5B．8C．10D．66．以下命題正確的有()①假設△ABC在平面外，它的三條邊所在直線分別交于P、Q、R，那么P、Q、R三點共線．②假設三條平行線a、b、c都與直線l相交，那么這四條直線共面．③三條直線兩兩相交，那么這三條直線共面．A．0個 B．1個C．2個 D．3個7．假設平面平面，，且點，，那么以下命題中的假命題是()A．過點P且垂直于的直線平行于B．過點P且垂直于l的直線在內C．過點P且垂直于的直線在內D．過點P且垂直于l的平面垂直于8．如右圖，在棱長為2的正方體中，是底面的中心，、分別是棱、的中點，那么直線()A．與、均垂直相交B．與AC垂直，與不垂直C．與垂直，與不垂直D．與、均不垂直9．(2010·江西高考)如圖，M是正方體的棱DD1的中點，給出以下四個命題：①過M點有且只有一條直線與直線，都相交；②過M點有且只有一條直線與直線，都垂直；③過M點有且只有一個平面與直線，都相交；④過M點有且只有一個平面與直線，都平行．其中真命題是()A．②③④ B．①③④C．①②④ D．①②③10．平面外不共線的三點A、B、C到的距離相等，那么正確的結論是()A．平面ABC必平行于B．平面ABC必不垂直于C．平面ABC必與相交D．存在△ABC的一條中位線平行于或在內11．(2009·廣東高考)給定以下四個命題：①假設一個平面內的兩條直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面相互平行；②假設一個平面經過另一個平面的垂線，那么這兩個平面相互垂直；③垂直于同一直線的兩條直線相互平行；④假設兩個平面垂直，那么一個平面內與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直．其中，為真命題的是()A．①和② B．②和③C．③和④ D．②和④12．(2009·海南、寧夏高考)如圖，正方體的棱長為1，線段上有兩個動點、，且，那么以下結論錯誤的選項是()A．B．∥平面C．三棱錐的體積為定值D．的面積與的面積相等二、填空題(本大題共4小題，每題5分，總分值20分．把答案填在題中橫線上)13．A、B、C、D為空間四個點，且A、B、C、D不共面，那么直線AB與CD的位置關系是________．14．在空間四邊形的邊AB、BC、CD、DA上分別取點E、F、G、H，如果EH、FG相交于一點M，那么M一定在直線________上．15．如以下圖所示，以等腰直角三角形斜邊BC上的高AD為折痕．使和折成互相垂直的兩個平面，那么：(1)BD與CD的關系為________．(2)________.16．在正方體中，過對角線BD′的一個平面交于E，交于F，那么:①四邊形一定是平行四邊形；②四邊形有可能是正方形；③四邊形在底面ABCD內的投影一定是正方形；④平面有可能垂直于平面以上結論正確的為__________．三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17．(10分)如以下圖，是矩形，E是以CD為直徑的半圓周上一點，且面CDE⊥面.求證：CE⊥平面ADE.18．(12分)求證平行于三棱錐的兩條相對棱的平面截三棱錐所得的截面是平行四邊形．：如圖，三棱錐，∥截面EFGH，∥截面，求證：截面是平行四邊形．19．(12分)正方體的棱長為a，、分別為和上的點，，如圖．(1)求證：∥面；(2)求的長．20．(12分)(2009·浙江高考)如圖，平面，∥，，，P，Q分別為，的中點．(1)證明：∥平面；(2)求與平面所成角的正弦值．21．(12分)如圖，在四面體中，，，點E、F分別是、BD的中點．求證：(1)直線EF∥面ACD；(2)平面EFC⊥平面BCD.22．(12分)(2010·安徽文)如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形是正方形，，EF∥AB，EF⊥FB，，BF＝FC，H為BC的中點．(1)求證：FH∥平面EDB；(2)求證：AC⊥平面EDB；(3)求四面體的體積．第二章測試題參考答案〔二〕一、選擇題1、答案：B2．答案：B3．解析：當A、B、C共線且與l平行或相交時，確定一個平面；當A、B、C共線且與l異面時，可確定3個平面；當A、B、C三點不共線時，可確定4個平面．答案：D4．答案：D5．解析：這些直角三角形是：△PAB，△PAD，△PAC，△BAC，△BAD，△CAD，△PBD，△PCD.共8個．答案：B6．解析：易知①與②正確，③不正確．答案：C7．答案：B8．解析：易證AC⊥面BB1D1D，OM?面BB1D1D，∴AC⊥OM.計算得OM2＋MN2＝ON2＝5，∴OM⊥MN.答案：A9．解析：將過點M的平面CDD1C1繞直線DD1旋轉任意非零的角度，所得平面與直線AB，B1C1都相交，故③錯誤，排除A，B，D.答案：C10．解析：排除A、B、C，應選D.答案：D11．答案：D12．解析：易證AC⊥平面BB1D1D，∴AC⊥BE.∵EF在直線B1D1上，易知B1D1∥面ABCD，∴EF∥面ABCD，VA－BEF＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×1×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),24).∴A、B、C選項都正確，由排除法即選D.答案：D二、填空題(本大題共4小題，每題5分，總分值20分．把答案填在題中橫線上)13．解析：如下圖：由圖知，AB與CD為異面直線．答案：異面14．答案：BD15．解析：(1)AB＝AC，AD⊥BC，∴BD⊥AD，CD⊥AD，∴∠BDC為二面角的平面角，∠BDC＝90°，∴BD⊥DC.(2)設等腰直角三角形的直角邊長為a，那么斜邊長為eq\r(2)a.∴BD＝CD＝eq\f(\r(2),2)a.∴折疊后BC＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))2)＝a.∴折疊后△ABC為等邊三角形．∴∠BAC＝60°.答案：(1)BD⊥CD(2)60°16．解析：如下圖：∵BE＝FD′，ED′＝BF，∴四邊形BFD′E為平行四邊形．∴①正確．②不正確(∠BFD′不可能為直角)．③正確(其射影是正方形ABCD)．④正確．當E、F分別是AA′、CC′中點時正確．答案：①③④三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17．(10分)如以下圖，ABCD是矩形，E是以CD為直徑的半圓周上一點，且面CDE⊥面ABCD.求證：CE⊥平面ADE.證明：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(面ABCD⊥面CED,ABCD為矩形))eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(?AD⊥面CDE?AD⊥CE,點E在直徑為CD的半圓上?CE⊥ED,又AD∩ED＝D))?CE⊥面ADE.18．(12分)求證平行于三棱錐的兩條相對棱的平面截三棱錐所得的截面是平行四邊形．：如圖，三棱錐S—ABC，SC∥截面EFGH，AB∥截面EFGH.求證：截面EFGH是平行四邊形．證明：∵SC∥截面EFGH，SC?平面EFGH，SC?平面ASC，且平面ASC∩平面EFGH＝GH，∴SC∥GH.同理可證SC∥EF，∴GH∥EF，同理可證HE∥GF.∴四邊形EFGH是平行四邊形．19．(12分)正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為a，M、N分別為A1B和AC上的點，A1M＝AN＝eq\f(\r(2),3)a，如圖．(1)求證：MN∥面BB1C(2)求MN的長．解：(1)證明：作NP⊥AB于P，連接MP.NP∥BC，∴eq\f(AP,AB)＝eq\f(AN,AC)＝eq\f(A1M,A1B)，∴MP∥AA1∥BB1，∴面MPN∥面BB1C1C.MN?面MPN，∴MN∥面BB1C(2)eq\f(NP,BC)＝eq\f(AN,AC)＝eq\f(\f(\r(2),3)a,\r(2)a)＝eq\f(1,3)，NP＝eq\f(1,3)a，同理MP＝eq\f(2,3)a.又MP∥BB1，∴MP⊥面ABCD，MP⊥PN.在Rt△MPN中MN＝eq\r(\f(4,9)a2＋\f(1,9)a2)＝eq\f(\r(5),3)a.20．(12分)(2009·浙江高考)如圖，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P，Q分別為AE，AB的中點．(1)證明：PQ∥平面ACD；(2)求AD與平面ABE所成角的正弦值．解：(1)證明：因為P，Q分別為AE，AB的中點，所以PQ∥EB.又DC∥EB，因此PQ∥DC，又PQ?平面ACD，從而PQ∥平面ACD.(2)如圖，連接CQ，DP，因為Q為AB的中點，且AC＝BC，所以CQ⊥AB.因為DC⊥平面ABC，EB∥DC，所以EB⊥平面ABC，因此CQ⊥EB.故CQ⊥平面ABE.由(1)有PQ∥DC，又PQ＝eq\f(1,2)EB＝DC，所以四邊形CQPD為平行四邊形，故DP∥CQ，因此DP⊥平面ABE，∠DAP為AD和平面ABE所成的角，在Rt△DPA中，AD＝eq\r(5)，DP＝1，sin∠DAP＝eq\f(\r(5),5)，因此AD和平面ABE所成角的正弦值為eq\f(\r(5),5).21．(12分)如圖，在四面體ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，點E、F分別是AB、BD的中點．求證：(1)直線EF∥面ACD.(2)平面EFC⊥平面BCD.證明：(1)在△ABD中，∵E、F分別是AB、BD的中點，∴EF∥AD.又AD?平面ACD，EF?平面ACD，∴直線EF∥面ACD.(2)在△ABD中，∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD.在△BCD中，∵CD＝CB，F(xiàn)為BD的中點，∴CF⊥BD.∵CF∩EF＝F，∴BD⊥平面EFC，又∵BD?平面BCD，∴平面EFC⊥平面BCD.22．(12分)(2010·安徽文)如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，AB＝2EF＝2，EF∥AB，EF⊥FB，∠BFC＝90°，BF＝FC，H為BC的中點．(1)求證：FH∥平面EDB；(2)求證：AC⊥平面EDB；(3)求四面體B—DEF的體積．解：(1)證明：設AC與BD交于G，那么G為AC中點，連接EG，GH，由于H為BC中點，故GH綊eq\f(1,2)AB.又∵EF綊eq\f(1,2)AB，∴EF綊GH，∴四邊形EFHG為平行四邊形，∴EG∥FH，而EG?平面EDB，F(xiàn)H?平面EDB，∴FH∥平面EDB.(2)證明：由于四邊形ABCD為正方形，∴AB⊥BC，∵EF∥AB，∴EF⊥BC，而EF⊥FB，∴EF⊥平面BFC，∴EF⊥FH，∴AB⊥FH.∵BF＝FC，H為BC中點，∴FH⊥BC，∴FH⊥平面ABCD，∴FH⊥AC，∵FH∥EG，∴AC⊥EG.∵AC⊥BD，EG∩BD＝G，∴AC⊥平面EDB.(3)∵EF⊥FB，∠BFC＝90°，∴BF⊥平面CDEF，∴BF是四面體B—DEF的高，∵BC＝AB＝2，∴BF＝FC＝eq\r(2).∴VB－DEF＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×eq\r(2)×eq\r(2)＝eq\f(1,3).必修2第二章測驗題〔三〕一、選擇題1．下面四個命題：①分別在兩個平面內的兩直線是異面直線；②假設兩個平面平行，那么其中一個平面內的任何一條直線必平行于另一個平面；③如果一個平面內的兩條直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行；④如果一個平面內的任何一條直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行．其中正確的命題是()A．①②B．②④C．①③ D．②③2.垂直于同一條直線的兩條直線一定()A、平行B、相交C、異面D、以上都有可能3．假設三個平面兩兩相交，有三條交線，那么以下命題中正確的選項是()A．三條交線為異面直線B．三條交線兩兩平行C．三條交線交于一點D．三條交線兩兩平行或交于一點4.在空間四邊形各邊上分別取四點，如果與能相交于點，那么〔〕A、點必在直線上 B、點必在直線BD上C、點必在平面內 D、點必在平面外5．假設平面平面，，且點，，那么以下命題中的假命題是()A．過點P且垂直于的直線平行于B．過點P且垂直于l的直線在內C．過點P且垂直于的直線在內D．過點P且垂直于l的平面垂直于6．設，為兩條不重合的直線，，為兩個不重合的平面，以下命題中為真命題的是()A．假設，與所成的角相等，那么∥B．假設a∥，∥，∥，那么a∥C．假設，，a∥，那么∥D．假設，，，那么7．在正方體中，，分別是線段，上的不與端點重合的動點，如果，有下面四個結論：①；②∥AC；③與AC異面；④∥平面，其中一定正確的有()A．①②B．②③C．②④D．①④8．如圖，在中，，面ABC，，D是BC的中點，那么圖中直角三角形的個數是()A．5B．8C．10D．69．如右圖，在棱長為2的正方體中，是底面的中心，、分別是棱、的中點，那么直線()A．與、均垂直相交B．與AC垂直，與不垂直C．與垂直，與不垂直D．與、均不垂直10、如圖:直三棱柱的體積為V，點P、Q分別在側棱和上，，那么四棱錐的體積為()A、B、C、D、11．(2009·海南、寧夏高考)如圖，正方體的棱長為1，線段上有兩個動點、，且，那么以下結論錯誤的選項是()A．B．∥平面C．三棱錐的體積為定值D．的面積與的面積相等12．將正方形沿對角線折成直二面角，有如下四個結論：①；②是等邊三角形；③與平面成的角；④與所成的角是.其中正確結論的個數是〔〕A.1B.2C.3D.4二、填空題13、垂直平行四邊形所在平面，假設，平行那么四邊形一定是.14．三棱錐的三個側面與底面全等，且，，那么以為棱，以面與面為面的二面角的平面角大小為.15．如以下圖所示，以等腰直角三角形斜邊BC上的高AD為折痕．使和折成互相垂直的兩個平面，那么：(1)BD與CD的關系為________．(2)________.16．在正方體中，過對角線BD′的一個平面交于E，交于F，那么:①四邊形一定是平行四邊形；②四邊形有可能是正方形；③四邊形在底面ABCD內的投影一定是正方形；④平面有可能垂直于平面以上結論正確的為__________．三、解答題17、如圖，在四面體中，，，點、分別是、的中點．求證：(1)直線∥面.(2)平面平面.18．如下圖，邊長為2的等邊所在的平面垂直于矩形所在的平面，，為的中點．(1)證明：；(2)求二面角的大小．19．如以下圖，在三棱柱中，與都為正三角形且面，、分別是，的中點．求證：(1)平面∥平面；(2)平面平面.20．(2009·浙江高考)如圖，平面，∥，，，，分別為，的中點．(1)證明：∥平面；(2)求與平面所成角的正弦值．21．如圖，中，，是邊長為1的正方形，平面底面，假設，分別是，的中點．(1)求證：∥底面；(2)求證：平面；(3)求幾何體的體積V.高二周末檢測題答案2013/10/25一、選擇題1-5BDDAB6-10DDBAB11-12DC二、填空題13、菱形14、90°15、(1)BD⊥CD(2)60°16、①③④三、解答題17、證明：(1)∵E、F分別是AB、BD的中點，∴EF∥AD.又AD?平面ACD，EF?平面ACD，∴直線EF∥面ACD.(2)在△ABD中，∵AD