拋物線中焦點(diǎn)弦的有關(guān)問題

拋物線中焦點(diǎn)弦的有關(guān)問題------新疆實(shí)驗(yàn)中學(xué)強(qiáng)少華一直以來，焦點(diǎn)弦都是《圓錐曲線》中的重要知識點(diǎn)，也是高考中的熱點(diǎn)問題，針對“拋物線的幾何性質(zhì)”這節(jié)課，筆者認(rèn)為，教師在講完之后，可適當(dāng)延伸一些有關(guān)“焦點(diǎn)弦”的問題：F知識點(diǎn)1：假設(shè)是過拋物線的焦點(diǎn)的弦。設(shè)，那么〔1〕；〔2〕F證明：如圖，〔1〕假設(shè)的斜率不存在時(shí)，依題意假設(shè)的斜率存在時(shí)，設(shè)為那么，與聯(lián)立，得綜上：〔2〕接上，，但〔2〕另證：設(shè)與聯(lián)立，得F知識點(diǎn)2：假設(shè)是過拋物線的焦點(diǎn)的弦。設(shè)，那么〔1〕〔2〕設(shè)直線的傾斜角為，那么。F證明：〔1〕由拋物線的定義知〔2〕假設(shè)由〔1〕知假設(shè)聯(lián)立，得，而，F(xiàn)知識點(diǎn)3：假設(shè)是過拋物線的焦點(diǎn)的弦，那么以為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切。F證明：過點(diǎn)分別向拋物線的準(zhǔn)線引垂線，垂足分別為過中點(diǎn)向準(zhǔn)線引垂線，垂足為設(shè)以為直徑的圓的半徑為以為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切。F知識點(diǎn)4：假設(shè)是過拋物線的焦點(diǎn)的弦。過點(diǎn)分別向拋物線的準(zhǔn)線引垂線，垂足分別為那么。F證明略F知識點(diǎn)5：假設(shè)是過拋物線的焦點(diǎn)的弦，拋物線的準(zhǔn)線與軸相交于點(diǎn)，那么F證明：過點(diǎn)分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，而∽F知識點(diǎn)6：假設(shè)是過拋物線的焦點(diǎn)的弦，為拋物線的頂點(diǎn)，連接并延長交該拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)那么F證明：設(shè)，那么由知識點(diǎn)1知逆定理：假設(shè)是過拋物線的焦點(diǎn)的弦，過點(diǎn)作交拋物線準(zhǔn)線于點(diǎn)那么三點(diǎn)共線。證明略F知識點(diǎn)7：假設(shè)是過拋物線的焦點(diǎn)的弦，設(shè)那么F證法一：〔1〕假設(shè)軸，那么為通徑，而〔2〕假設(shè)與軸不垂直，設(shè)，的斜率為，那么與聯(lián)立，得由拋物線的定義知方法二：利用極坐標(biāo)系下拋物線的方程設(shè)那么知識點(diǎn)8：拋物線中，為其過焦點(diǎn)的弦，那么FF證明：設(shè)那么而逆定理：拋物線中，為其弦且與軸相交于點(diǎn)，假設(shè)且那么弦過焦點(diǎn)。證明：設(shè)，，那么=而而①又可設(shè)②由①②得恒過焦點(diǎn)可配套練習(xí)：1．過拋物線的焦點(diǎn)作一直線交拋物線于兩點(diǎn)，假設(shè)與的長度分別為那么〔〕A．B．C．D．2．直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線交于兩點(diǎn)，由分別向其準(zhǔn)線引垂線垂足分別為如果，為的中點(diǎn)，那么〔〕A．B．C．D．3．直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線交于兩點(diǎn)，與其準(zhǔn)線相交于點(diǎn)假設(shè)那么此拋物線方程可能為〔〕A．B．C．D．4．經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)作一直線與拋物線交于兩點(diǎn)，為其準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，記假設(shè)那么與的大小關(guān)系為〔〕A．B．C．D．不確定5．設(shè)為拋物線的頂點(diǎn)，為其過焦點(diǎn)的弦，假設(shè)，求6．以拋物線的一條焦點(diǎn)弦為直徑的圓與準(zhǔn)線相切于點(diǎn)，求此拋物線和圓的方程。當(dāng)然，在高考中，直線與拋物線的位置關(guān)系不僅僅考查焦點(diǎn)弦問