高一數(shù)學(xué)函數(shù)單調(diào)性考點(diǎn)解析及習(xí)題輔導(dǎo)

第二章函數(shù)——函數(shù)的單調(diào)性

高考要求：

了解函數(shù)單調(diào)性的概念，掌握判斷一些簡單函數(shù)的單調(diào)性的方法。會(huì)用函數(shù)單調(diào)性解決

一些問題.

知識點(diǎn)歸納；

函數(shù)的性質(zhì)是研究初等函數(shù)的基石，也是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容.在復(fù)習(xí)中要肯于在對定

義的深入理解上下功夫.

復(fù)習(xí)函數(shù)的性質(zhì)，可以從“數(shù)”和“形”兩個(gè)方面，從理解函數(shù)的單調(diào)性定義入手，在

判斷和證明函數(shù)的性質(zhì)的問題中得以鞏固，在求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、函數(shù)的最值及應(yīng)用問

題的過程中得以深化.

函數(shù)的單調(diào)性只能在函數(shù)的定義域內(nèi)來討論.函數(shù)y=f(x)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，反映

了函數(shù)在區(qū)間上函數(shù)值的變化趨勢，是函數(shù)在區(qū)間上的整體性質(zhì)，但不一定是函數(shù)在定義域

上的整體性質(zhì).函數(shù)的單調(diào)性是對某個(gè)區(qū)間而言的，所以要受到區(qū)間的限制.

1.函數(shù)單調(diào)性的定義：

2.證明函數(shù)單調(diào)性的?般方法：

①定義法：設(shè)X”X2€A且可<々；作差/(占)一/(巧)(一般結(jié)果要分解為若干個(gè)因式

的乘積，且每個(gè)因式的正或負(fù)號能清楚地判斷出)；判斷正負(fù)號。

②用導(dǎo)數(shù)證明：若/(x)在某個(gè)區(qū)間A內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，則/'(x)20,(xeA)

=/(x)在A內(nèi)為增函數(shù)；f(x)<0,(xeA)o/(x)在A內(nèi)為減函數(shù)。

3.求單調(diào)區(qū)間的方法：定義法、導(dǎo)數(shù)法、圖象法。

4.復(fù)合函數(shù)y=/[g(x)]在公共定義域上的單調(diào)性：

①若f與g的單調(diào)性相同，則/[g(x)]為增函數(shù);

②若f與g的單調(diào)性相反，則/［g(X)］為減函數(shù)。

注意：先求定義域，單調(diào)區(qū)間是定義域的子集。

5.一些有用的結(jié)論：

①奇函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同；

②偶函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反；

③在公共定義域內(nèi)：

增函數(shù)/(x)+增函數(shù)g(x)是增函數(shù)；

減函數(shù)/(X)+減函數(shù)g(x)是減函數(shù)；

增函數(shù)f(x)-減函數(shù)g(x)是增函數(shù)；

減函數(shù)/(X)-增函數(shù)g(x)是減函數(shù)。

④函數(shù)y-ax+—(a>0,b>0)在上單調(diào)遞增在

x

題型講解:

例1若y=log〃(2-ax)在［0,1］上是x的減函數(shù)，則a的取值范圍是

A.(0,1)B.(1,2)C.(0,2)D.［2,+°°)

分析：本題存在多種解法，但不管哪種方法，都必須保證：①使log“(2-ax)有意義，即a>0

且②使在［］上是的減函數(shù).由于所給函數(shù)可分解為

a￥l,2-ax>0.logn(2-ax)0,1xy=log(,u,

u=2-ax,其中u=2-ax在a>0時(shí)為減函數(shù)，所以必須a>l；③［0,1］必須是y=log“(2-ax)定義

域的子集.

解法一：因?yàn)閒(x)在［0,1］上是x的減函數(shù),所以f(0)>f⑴,

即log“2>log〃（2-a）.

k2.-a>0

解法二：由對數(shù)概念顯然有a>0且aWl,因此u=2-ax在［0,1］上是減函數(shù)，y=log”u應(yīng)

2

為增函數(shù)，得a>L排除A,C,再令a=3,則y=log3(2—3x)的定義域?yàn)?-oo,§),但［0,

1］不是該區(qū)間的子集。故排除D,選B.

說明：本題為1995年全國高考試題，綜合了多個(gè)知識點(diǎn)，無論是用直接法，還是用排除法

都需要概念清楚，推理正確.

例2(1)求函數(shù)y=log07(x2—3x+2)的單調(diào)區(qū)間；

(2)已知/(x)=8+2x—x2,若試確定g(x)的單調(diào)區(qū)間和單調(diào)性.

解：(1)單調(diào)增區(qū)間為：(2,+8),單調(diào)減區(qū)間為(—8,1),

(2)g(x)=8+2(2-r)-(2-x~)~=—X，+2x~+8,

g'(x)=-4x3+4x,

令g'(x)〉0,得x<—l或0<x<l,

令g'(x)<0,x>l或-l<x<0

單調(diào)增區(qū)間為(—8,—1),(0/)；單調(diào)減區(qū)間為(1,+00),(—1,0).

例3設(shè)。>0,/(x)=4+:?是R上的偶函數(shù).

ae

(1)求。的值；(2)證明/(x)在(0,+oo)上為增函數(shù).

解：(1)依題意，對一切xeR,有/(—x)=/(x),即一!一+。/=乙+區(qū)

aexaeA

(a——)(ev——)=0對一切xeR成立，則a—工=0,a=±1,

aexa

tz>0,，q=1.

(2)(定義法)設(shè)0<*<x,,則/(%)—e*+-i——-

ex'eX2

1l-eX2+x,

=(e"一人)(--1)=e*|-1)—，

由%>O,/>0,々一%>0,得X]+%>0，e*2T1—1>0,\-eX1+x'<0,

/(占)-/(々)<0，

即/(X1)</(%2)，，，(x)在(0,+oo)上為增函數(shù)?

(導(dǎo)數(shù)法)Va=1,xe(0,+oo)

x2

f'(x)=(/+15=e—1=山(e}一-1>0

eee

/(x)在(0,+oo)上為增函數(shù).

例4函數(shù)/Ologe+g')在[l,+oo)上是增函數(shù)，求a的取值范圍.

X

分析：由函數(shù)/(X)=log9(X+8-3)在口,+8)上是增函數(shù)可以得到兩個(gè)信息：①對任

X

意的1<玉<%,總有/(%)</(%>)；②當(dāng)時(shí)，x+8—9>0恒成立.

X

解：???函數(shù)/O)=k)g9(X+8-3)在[L+8)上是增函數(shù)，

X

???對任意的1《斗</，有f(占)</。2)，

即k)g9(X]+8--)<log9(x28----)9得

國X?

玉+8----<工2+8----，即(Xj-%2)(1-----)<0>

?.X-/<0，**?1----->0,---->—1,a>-X1%2，

XjX2x}x2

?.?工2>玉21,???要使?！狄话俟?恒成立，只要。21；

又???函數(shù)/(x)=10g9(x+8-與在［1,+00)上是增函數(shù)，1+8-a〉0,

x

即a<9,綜上a的取值范圍為［—1,9).

另解：(用導(dǎo)數(shù)求解)

令g(x)=x+8—3,函數(shù)/(x)=嚏9。+8-與在［1,+8)上是增函數(shù)，

XX

g(x)=x+8-3在［l,+oo)上是增函數(shù)，g'(x)=l+W，

xx

1+8—a〉0,且1+二20在［l,+oo)上恒成立，得—14a<9.

x

學(xué)生練習(xí)；

1.判斷函數(shù)f(x)=ax/(x2-l)(axO)在區(qū)間(-1,1)上的單調(diào)性。

2.已知函數(shù)f(x)=a(ax-a-x)/(a-2)(a>0,fiawl)是R上的增函數(shù),求a的取值范圍。

3.設(shè)函數(shù)f(x)=7x2+1-ax(a>0),求a的取值范圍，使函數(shù)f(x)在區(qū)間［0,+oc)上是單調(diào)函數(shù)。

4.函數(shù)y=ylx2+2x-3的遞減區(qū)間是

5.求y=log°.7(x2-3x+2)的單調(diào)區(qū)間及單調(diào)性

2

6.求y=8+2log0.5x-log05x的單調(diào)區(qū)間及單調(diào)性.

7.函數(shù)y=Incos(x3+M)的遞減區(qū)間是

8.函數(shù)y=loga(2-ax)在［0,1］上是減函數(shù)，則a的取值范圍是

9.已知奇函數(shù)f(x)在定義域［-2,2］上遞減，求滿足f(l-m)+f(l-m2)<0的實(shí)數(shù)m的取值范圍。

10.已知a>0,axl,有f(logaX)=5^.—

(6Z—1)X

⑴求f(x)的表達(dá)式，并證明f(x)在(-00,+00)上是增函數(shù)；

⑵求證：對于任意大于1的自然數(shù)n,f(n)>n成立。

11.寫出函數(shù)f(x)=log0.51X2-X-12I的單調(diào)區(qū)間

_33_3

12.比較下面三個(gè)數(shù)的大?。?16±0.162,0.5-2

13.設(shè)奇函數(shù)f(x)在?+8)上是增函數(shù)，若對于任意實(shí)數(shù)X,不等式f(kx)+f(x-x2-2)<0恒成

立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。

14.已知q>0,且qwl,數(shù)列｛a。｝是首項(xiàng)和公比都為q的等比數(shù)列，設(shè)bn=anlog5an(neN),

⑴當(dāng)4=5時(shí),求數(shù)列品｝的前n項(xiàng)和Sn；

S

(2)在⑴的條件下，求lim-H

“T8叫

⑶在數(shù)列｛b.｝中，對于任意自然數(shù)n,當(dāng)m>n時(shí)，都有%>*求