高中數(shù)學函數(shù)圖像考點解析和例題梳理

函數(shù)的圖像

高考要求：

1.掌握描繪函數(shù)圖象的兩種基本方法一描點法和圖象變換法.

2.會利用函數(shù)圖象，進一步研究函數(shù)的性質(zhì)，解決方程、不等式中的問題.

3.用數(shù)形結(jié)合的思想、分類討論的思想和轉(zhuǎn)化變換的思想分析解決數(shù)學問題.

4.掌握知識之間的聯(lián)系，進一步培養(yǎng)觀察、分析、歸納、概括和綜合分析能力.

知識點歸納：

1.作圖方法：描點法和利用基本函數(shù)圖象變換作圖；作函數(shù)圖象的步驟：①確定函數(shù)的定

義域；②化簡函數(shù)的解析式；③討論函數(shù)的性質(zhì)即單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值(甚至變

化趨勢)；④描點連線，畫出函數(shù)的圖象。

2.三種圖象變換：平移變換、對稱變換和仰縮變換等等；

3.識圖：分布范圍、變化趨勢、對稱性、周期性等等方面.

4.平移變換：(1)水平平移：函數(shù)y=/(x+a)的圖像可以把函數(shù))，=/")的圖像沿x軸

方向向左(a>0)或向右(。<0)平移IaI個單位即可得到；

(2)豎直平移：函數(shù)y=/(x)+a的圖像可以把函數(shù)y=/(x)的圖像沿x軸方向向上

(a>0)或向下(a<0)平移IaI個單位即可得到.

左移力右移八

①y=f(x)—>y=f(x+h);②y=f(x)Ty=f(x-h);

上移，，下移

③y=f(x)—>y=f(x)+h;④y=f(x)—>y=f(x)-h.

5.對稱變換：(1)函數(shù)y=/(-x)的圖像可以將函數(shù)y=/(x)的圖像關(guān)于y軸對稱即可得

到；

(2)函數(shù)y=-/(x)的圖像可以將函數(shù)y=/(x)的圖像關(guān)于x軸對稱即可得到；

(3)函數(shù)y=—/(—*)的圖像可以將函數(shù)y=/(x)的圖像關(guān)于原點對稱即可得到；

(4)函數(shù)y=f-\x)的圖像可以將函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線y=x對稱得至九

珊y軸

①y=f(x)-y=-f(x);②y=f(x)->y=f(-x);

直線x=a直線y=X

③y=f(x)—>y=f(2a-x);④y=f(x)Ty=fi(x);

原點

⑤y=f(x)->y=-f(-x).

6.翻折變換：(1)函數(shù)y=l/(x)l的圖像可以將函數(shù)y=/(x)的圖像的x軸下方部分沿x

軸翻折到x軸上方，去掉原x軸下方部分，并保留y=/(x)的x軸上方部分即可得到；

(2)函數(shù)y=/(Ixl)的圖像可以將函數(shù)y=/(x)的圖像右邊沿y軸翻折到y(tǒng)軸左邊替代

原y軸左邊部分并保留y=/(x)在y軸右邊部分即可得到.

7.伸縮變換：(1)函數(shù)y=4(x)(a>0)的圖像可以將函數(shù)y=/(x)的圖像中的每一點橫

坐標不變縱坐標伸長(a>1)或壓縮(0<。<1)為原來的。倍得到；

(2)函數(shù)y=/(ax)(a>0)的圖像可以將函數(shù)y=/(x)的圖像中的每一點縱坐標不變橫

坐標伸長(a>1)或壓縮(0<。<1)為原來的,倍得到.

a

xxo)Yyx?

①y=f(x)fy=f(—丫②y=f(x)->y=wf(x).

co

以解析式表示的函數(shù)作圖象的方法有兩種，即列表描點法和圖象變換法，掌握這兩種方

法是本節(jié)的重點.

運用描點法作圖象應(yīng)避免描點前的盲目性，也應(yīng)避免盲目地連點成線.要把表列在關(guān)

鍵處，要把線連在恰當處.這就要求對所要畫圖象的存在范圍、大致特征、變化趨勢等作一

個大概的研究.而這個研究要借助于函數(shù)性質(zhì)、方程、不等式等理論和手段，是一個難點.用

圖象變換法作函數(shù)圖象要確定以哪一種函數(shù)的圖象為基礎(chǔ)進行變換，以及確定怎樣的變

換.這也是個難點.

題型講解：

1.作函數(shù)圖象的一個基本方法

例1函數(shù)y=/(x)與y=g(x)的圖像如下圖：則函數(shù)y=/(x>g(x)的圖像可能是

(4)

解：：函數(shù)y=/(x),g(x)的定義域是函數(shù)y=/(x)與y=g(x)的定義域的交集

(-8,0)U(0,+8)，圖像不經(jīng)過坐標原點，故可以排除C、D。

由于當x為很小的正數(shù)時/(x)>0Kg(x)<0,故/(x>g(x)<0。

.?.選A.

例2說明由函數(shù)y=2'的圖像經(jīng)過怎樣的圖像變換得到函數(shù)y=Tx-3+1的圖像.

解：方法一：

(1)將函數(shù)y=2、的圖像向右平移3個單位，得到函數(shù)y=253的圖像；

(2)作出函數(shù)y=2'-3的圖像關(guān)于y軸對稱的圖像，得到函數(shù)y=2-7的圖像；

3

(3)把函數(shù)y=2-'-的圖像向上平移1個單位，得到函數(shù)y=L+1的圖像.

方法二：

(1)作出函數(shù)y=2’的圖像關(guān)于y軸的對稱圖像，得到丁=2一、的圖像；

(2)把函數(shù)丁=2一，的圖像向左平移3個單位，得到y(tǒng)=的圖像;

(3)把函數(shù)y=2*3的圖像向上平移i個單位，得到函數(shù)y=2*3+i的圖像.

例3設(shè)曲線C的方程是y=》3—x,將。沿x軸、y軸正方向分別平移入sQwO)個

單位長度后得到曲線G,

(1)寫出曲線G的方程；

(2)證明曲線C與G關(guān)于點A(H)對稱；

產(chǎn)

(3)如果曲線C與G有且僅有一個公共點，證明：s=i-"

解：(1)曲線G的方程為y=(x—f)3-(x—f)+s；

(2)證明：在曲線。上任意取一點片區(qū)，％),設(shè)當(々,內(nèi))是用關(guān)于點A的對稱點，則

有七迎=;，弓&=、，...%=f—々，M=s一當代入曲線。的方程，得的方程:

3

s-y2=(^-x2)-(t-x2)

即y2=(》2T)3-(々一f)+s可知點當⑷,當)在曲線G上.

反過來，同樣證明，在曲線G上的點A的對稱點在曲線C上.

因此，曲線。與G關(guān)于點A對稱.

(3)證明：因為曲線C與G有且僅有一個公共點，

3_

.?.方程組4v=xx,有且僅有一組解，

、y=(xT)-(%—/)+5

消去y,整理得3f/一3/％+(-一f—s)=o,這個關(guān)于x的一元二次方程有且僅有一個根,

A=9t4-12t(t3-t-s)=0,即得t(t3-4t-4s)=0,

因為，wO,所以s=---1.

4

例4(1)試作出函數(shù)y=x+，的圖像；

X

(2)對每一個實數(shù)X,三個數(shù)中最大者記為y,試判斷y是否是x的函

數(shù)？若是，作出其圖像，討論其性質(zhì)(包括定義域、值域、單調(diào)性、最值)；若不是，說明

為什么？

解：(I)：/(x)=x+4，.../(x)為奇函數(shù)，從而可以作出x>0時/(x)的圖像，又???x〉0

X

時，/W>2,

，x=l時，/(x)的最小值為2,圖像最低點為(1,2),

又???/(X)在(0,1)上為減函數(shù)，在(1,+8)上是增函數(shù),

同時/(x)=x+，>x(x>0)即以y=x為漸近線，

x

于是x>0時;函數(shù)的圖像應(yīng)為下圖①，/(x)圖象為圖②:

一》&。)=17

的圖像可知，/(x)的圖像是圖③中實線部分.定義域為R；值域為[1,+8)；單調(diào)增區(qū)間為

[-l,0),[l,+oo)；單調(diào)減區(qū)間為(-00,-1),[0,1)；當了=±1時，函數(shù)有最小值1；函數(shù)無最大

值.

練習:

1.下列每組兩個函數(shù)的圖象中，正確的是()

2.已知函數(shù)f(x)=(x-l)/a(a>O,awl),在同一坐標系中,y=「i(x)與y=a*】i的圖象只可能是()

3.在下列圖象中，二次函數(shù)丫=2*2+6*與指數(shù)函數(shù)y=(2)*的圖象只可能是

a

4.已知函數(shù)丫=2及與y=ax2+bx,則下列圖象正確的是()

5.函數(shù)y=Jll—，I的圖象是()

6.函數(shù)y=(3x-l)/(x+2)的圖象()

A.關(guān)于點(-2,3)對稱B.關(guān)于點(2,-3)對稱

C.關(guān)于直線x=-2對稱D.關(guān)于直線y=-3對稱

7.若第一個函數(shù)y=f(x),它的反函數(shù)是第二個函數(shù)，又第三個函數(shù)圖象與第二個函數(shù)的圖象

關(guān)于直線x+y=O對稱，那么第三個函數(shù)的圖象是()

A.y=-rx(x)B.y=-r2(-x)C.y=-f(x)D.y=-f(-x)

8.設(shè)函數(shù)y=f(x)定義在實數(shù)集上，則函數(shù)丫=?-1)與丫=-出1-刈的圖象關(guān)于()對稱

A.直線x=0B.直線x=lC.點(0,0)D.點(1,0)

9.在以下四個按對應(yīng)圖象關(guān)系式畫出的略圖中，不本砸的是()

B.y=2|x|D.y=|x-W

A.y=|log2x|C.y=log0.5x

10.已知函數(shù)月(x)的圖象如圖，則y=f(l-x)的圖象是()

11.下列命題中：①函數(shù)y=f(x)的圖象與x=f(y)的圖象關(guān)于直線y=x對稱；②若f(x)=-f(-x),

則f(x)的圖象關(guān)于原點對稱；③若f(x)=f(-x)則f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱；④y=f(x)的圖象與y=

-f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，其中真命題是()

(A)②③(B)②③④(C)①②③(D)全都是

12.把函數(shù)y=cosx的圖象向右平移1/2個單位，再把圖象上點的橫坐標縮小到原來的比，

所得圖象的解析式為;

13.畫出下列函數(shù)的圖象：⑴y=lg|x+l|;(2)y=(x+2)/(x+3).

14.若函數(shù)y=log2|ax-l|圖象的對稱軸是x=2,則非零實數(shù)a的值為

15.函數(shù)y=f(|x-m|)的圖象與y=f(|x|)的圖象關(guān)于直線對稱.

16.將函數(shù)y=f(x)的圖象向右平移2個單位，再把圖象上點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，所得圖

象的解析式為.

17.如下圖所示，向高為〃的水瓶

(A)

(5)(C)(0

A,B,C,O同時以等速注水，注滿為止;

(1)若水深〃與注水時間/的函數(shù)圖象是下圖中的。，則水瓶的形狀是一

(2)若水量v與水深力的函數(shù)圖像是下圖中的匕，則水瓶的形狀是

(3)若水深〃與注水時間f的函數(shù)圖象是下圖中的c,則水瓶的形狀是_；

(4)若注水時間f與水深〃的函數(shù)圖象是下圖中的d,則水瓶的形狀是:

18.已知f(x)=ax3+bx2+cx+d的圖象如圖所示，則b