2022年浙江省寧波市高中數(shù)學(xué)競賽試題（含答案解析）

2022年浙江省寧波市高中數(shù)學(xué)競賽試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知正方形的邊長為1,則IA8+28C+AC|=（）

A.1B.mC.77D.713

2.己知a,6eA,則是“同＞?！钡模ǎ?/p>

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.勒洛四面體是一個非常神奇的“四面體”，它是以正四面體的四個頂點為球心，以正

四面體的棱長為半徑的四個球的公共部分.如圖，在勒洛四面體ABC。中，設(shè)弧

的中點分別為M,N,若線段AB的長度為“，則（）

N

A.弧AC的長度為分

B.線段MN的長度為a

C.勒洛四面體ABC。能置于一個直徑為a的球內(nèi)

D.勒洛四面體A8C。的體積大于回

12

4.已知4,B分別在兩圓6：/+丫2=|6：/+丁=4上運動，且在C|上存在點P,使

得則線段A3中點M軌跡的面積為（）

八5萬八一c97r

A.nB.—C.2兀D.—

44

二、多選題

5.一個裝有8個球的口袋中，有標號分別為1,2的2個紅球和標號分別為1,2,3,

4,5,6的6個藍球，除顏色和標號外沒有其他差異.從中任意摸1個球，設(shè)事件A="摸

出的球是紅球”,事件B=”摸出的球標號為偶數(shù)”,事件C=”摸出的球標號為3的倍數(shù)”,

則()

A.事件4與事件C互斥

B.事件B與事件C互斥

C.事件A與事件B相互獨立

D.事件8與事件C相互獨立

6.已知且關(guān)于x的不等式/>3a-l,下列結(jié)論正確的是()

A.存在m使得該不等式的解集是R

B.存在a,使得該不等式的解集是0

C.存在a,使得該不等式的解集是(f,2022)

D,存在a,使得該不等式的解集是(2022,+co)

7.已知函數(shù)/(x),g(x)的定義域均為R,

/(l-x)+g(l+x)=2,g(x)-/(x-2)=2,g(4-x)-f(x)=2,且當xe(O,l］時，

f(x)=x2+l,則()

A.g(2022)=2

B.g(x)+g(x+2)=。

C.函數(shù)/(x)在(1,3)上單調(diào)遞減

D.方程/(x+2022)=x有且只有1個實根

8.設(shè)函數(shù)/*)的定義域為/,區(qū)間如果對于任意的常數(shù)M>0,都存在實數(shù)

%,當，,滿足4<占<<x?<b,且￡|/(七+1)-/(巧)|>M,那么稱/(x)是區(qū)間

i=l

(。向上的“絕對差發(fā)散函數(shù)則下列函數(shù)是區(qū)間(0,1)上的“絕對差發(fā)散函數(shù)''的是()

A./,(%)=—+—^—B./(x)=tan—

2x+12

c“、為無理數(shù)，r、冗

C./(x)=',小天詢有D./(x)=xcos—

為有理數(shù).2x

三、填空題

9.設(shè)。為坐標原點,F是拋物線丁=4x的焦點，若P是該拋物線上一點,且NPFO=y,

則點尸到y(tǒng)軸的距離為.

10.已知實數(shù)占,占滿足2七+lnXI=3,ln(l-％)-2X2=1,則芭+七=.

11.在4x4的16個方格中填上實數(shù)，使得各行各列都成等差數(shù)列.若其中4個方格中

試卷第2頁，共4頁

所填的數(shù)如圖所示，則圖中打*號的方格填的數(shù)是

12.已知正三棱柱ABC-ABC的各棱長均為2,M,N分別為棱8片,CG上的點.若平

面4WN將三棱柱分為上、下體積相等的兩部分，則40N的面積的最小值為.

13.已知“eN*,集合A.={(x,琲-l|"+|2)，-2|"<l,x,yeR},記4=八4,則集合A

n=l

中的點組成圖形的面積為.

14.已知meR,關(guān)于z的方程卜?+z+〃?)卜？+z+2/”)=0有四個復(fù)數(shù)根馬?1小.若

這四個復(fù)數(shù)根在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點是一個正方形的四個頂點，則實數(shù)機的值為

四、解答題

15.如圖，在ABC^,ZACB=2ZABC.設(shè)點。是BC邊上一點，滿足2N84D=NABC.

(1)記NABC=J,用。表示一；

(2)#—+—=1,求肛

ABAC

16.已知。20,設(shè)函數(shù).f(x)=|x-a|+|or-l|.

(1)判斷函數(shù).f(x)的奇偶性;

(2)若對任意的xeR,不等式/(x)Nx(2a-x)恒成立，求。的取值范圍.

17.設(shè)點A(0,2),B(0,—2)產(chǎn)(0,T),過點尸作斜率為人的直線/交橢圓I；：《+工=1于

164

c,C兩點.

⑴記直線AC,AD,BC,BD的斜率分別為勺次人.從下列①②③三個式子中任選其一,

當上變化時，判斷該式子是否為定值，若是，求出定值；若不是，請說明理由.

①&「明②3③》.

(2)當直線分別交雙曲線r：3一片=1的下支于P,。兩點(異于點8)時，求

412

IPFI+IQFI的取值范圍.

z、2?！?2022/\

18.已知無窮正整數(shù)數(shù)列｛%｝滿足?！?2=；+2(〃-N).

(1)右。2=1，求“2022!

⑵求4+%022的取值的集合.

19.甲、乙兩人分別進行投硬幣和擲圖釘試驗，每人各進行100次試驗.設(shè)4為前k

次試驗中硬幣正面向上的次數(shù)，仇為前％次試驗中圖釘針尖朝下的次數(shù)，記

/=半，必=與刈=1,2,3,,100).

(1)若歷=0,%)0=0.5,問是否存在常數(shù)已不論試驗過程中心如何變化，均存在某個

/(1<%<100)，使得以=尸？若存在，求出所有P的可能值；若不存在，請說明理由：

(2)若［=0,9m=。7,問是否存在常數(shù)Q,不論試驗過程中必如何變化，均存在某個

使得%,=。？若存在，求出所有。的可能值；若不存在，請說明理由.

試卷第4頁，共4頁

參考答案：

1.D

【分析】利用向量的線性運算和垂直向量的數(shù)量積為0可求題設(shè)中向量的模.

【詳解】|AB+23C+AC|=|248+33C|=J4A￡+98C2=屈，

故選：D.

2.A

【分析】判斷條件間的推出關(guān)系，根據(jù)充分必要性的定義判斷即可.

【詳解】當a＞b：

若。力異號,即。＞0＞從顯然時＞。成立；

若或0?ah,均有同＞6成立；

所以充分性成立；

當問＞）：若。=-2,b=l,顯然不成立，故必要性不成立.

所以“。＞夕'是'同＞b”的充分不必要條件.

故選：A

3.D

【分析】根據(jù)球的對稱性可得球心AC到弧AC所在的平面的距離為三，從而可求弧AC所

在的平面與球的截面圓的半徑，故可判斷A；設(shè)AC,3。的中點為分別為瓦尸，由球的對稱

性可得M,旦共線，連接計算可得線段MN的長度，故可得判斷BC,計算出

正四面體的體積后可判斷D的正誤.

【詳解】選項A,弧AC為兩個半徑為八球心距為。的球面相交所得的小圓中的弧，

根據(jù)球的對稱性，球心AC到弧AC所在的平面的距離為

因球的半徑為a，故弧AC所在的平面與球的截面圓的半徑為無〃，

2

因為弦AC的長度為a＞Ba,故弧AC所對的圓心角為大于?，

23

jr

故弧AC長不為.故A錯誤；

選項B,

答案第1頁，共17頁

A

設(shè)AC,8。的中點為分別為E,F,由球的對稱性可得M,E,F,N共線，連接BE,OE.

由A—BCD為正四面體可得A￡=￡>E=，故EF=J3a?一,f=^~a，

2V442

而弧A。所在的平面與球的截面圓的半徑為立a,

2

故MN=2~^a~~^2'a+^~a=6一故B錯誤；

選項C,由故C錯誤；

選項D,設(shè)△8CQ的外接圓的圓心為0,連接A0,則A0J_平面BCD

而°吟、方邛。，故Ao=n=爭，

T

故由四面體A8CD的體積為L@a?、逅0=變/,故D正確.

34312

故選：D.

4.C

【分析】先考慮尸A//X軸的情形，此時可設(shè)A(cosasine),尸(-cosasin。)，從而可得M的軌

跡為線段X=o(g4y?￡),當弦在圓上轉(zhuǎn)動時，則可得M的軌跡為圓環(huán)，從而可求其

面積，我們也可以作矩形卓。3,利用向量關(guān)系可求可得M的軌跡為圓環(huán)，從而可求其面

積.

【詳解】法一：先考慮R”/x軸時的情形，如圖：設(shè)A(cose,sin6),「(-cos，,sin。)，

答案第2頁，共17頁

2

所以X,”=0,2yM=sin6+>/4-cos0,

設(shè)，=sin<9e|-l,l],則/⑺=/+〃+3,/日一1,),

則/（，）在［0,1］遞增，此時/?）€［△3J；

3

當一1VEW0時，/（0=-r^=—,

\lr+3-1

因為卜=疹&?=-，在［T，0］上均為減函數(shù)，故丫=爐大一在上為減函數(shù),

且y=爐RT在［T，0］上的值域為［6，3］,故/⑺=-在［-1,0］上為增函數(shù),

此時/⑺e［l,右1，所以/。）€口,刃，此時”的軌跡為線段x=0

則當弦AP在圓上轉(zhuǎn)動時，上述線段會掃出一個內(nèi)徑為千，外徑為|的圓環(huán)，易得面積為2%.

法二：如圖，作矩形PACB,其對角線的交點即為連接。4,08,OP,OC,

-2.2

=2OM+2MB,

同理|QP『+1OC|2=20M2+2MC2=1OM'+2MB)

故|0A『+|0例2=|0P『+|0CT,即|OC|=2,即C在圓G上.

答案第3頁，共17頁

則|EM|=；|OC|=1,則點M在OP中點E為圓心，1為半徑的圓上.

若記P(cos仇sin。),E(等,等｝

則點M的軌跡方程為1-等J+卜-等J=l,

即X1+y2--=xcos0+ysind,

4

2,23

當。變化時，x,V需滿足*-，可得〈4尸》

/22-22

,X+曠

所以當P變化時，點M的軌跡為，內(nèi)徑為外徑為|■的一個圓環(huán)，此圓環(huán)的面積為2乃.

故選：C.

5.ACD

【分析】根據(jù)互斥事件的概念可判斷AB的正誤，根據(jù)獨立事件的判斷方法可得CD的正誤.

【詳解】對AB,若摸得的球為紅球，則其標號為1或2,不可能為3的倍數(shù)，

故事件A與事件C互斥，故A正確：

若摸得的球的標號為6,則該標號為3的倍數(shù)，故事件B與事件C不互斥，故B錯誤；

對C,P(A)=|1=P(A)P(B),所以C正確；

o4o2o

211

對D,P(C)=-=-,P(BC)=-=P(B)-P(C),所以D正確；

848

故選：ACD.

6.ACD

【分析】結(jié)合指數(shù)函數(shù)相關(guān)知識對選項逐一進行判定.

【詳解】①故A正確；

②g<a<l,優(yōu)>3〃-1="嗚(31)=》<iog(i(3?-1),又log,,(3a-l)e(log?2,-HX)),

故存在a使得log,,(3。-D=2022,不等式解集為(口,2022)故C正確；

③a>1,/>3。-1=nx>k)g“(3a-1),又log“(3a-l)e(log,,2,+co),

故存在〃使得kg#。-D=2022,不等式解集為(2022,+s)故D正確；

④結(jié)合A、C、D選項，當或；<a<l或時，不等式都存在解集，故不滿足解集

答案第4頁，共17頁

為空集，所以B錯誤.

故選：ACD.

7.ACD

【分析】由題設(shè)中的三個關(guān)系式可得g(x)+g(x+2)=4、g(x)=g(x+4)、

/(2-x)+/(4-x)=0、f(x)=-f(_x),再利用賦值法可判斷AB的正確，最后再結(jié)合xe(O/]

時/。)=/+1可得"X)的圖象，從而可判斷CD的正誤.

川r)+g(W)=2嚴)+g嶺)=2

【詳解】對AB,由

g(4-x)-/(x)=2"寸[g(4-x)—/(x)=2

故g(2-x)+g(4-x)=4,所以g[2_(2_x)]+g[4_(2-x)]=4,

所以g(x)+g(x+2)=4,故B錯誤.

故g(x+2)+g(x+4)=4,故g(x)=g(x+4),

故g(x)為周期函數(shù)，且周期為4,

J/(l-x)+g(l+x)=2J/(x)+g(2-x)=2

[g(x)-.f(x-2)=2[g(x+2)-f(x)=2

故g(x+2)+g(2-x)=4,令x=0可得g(2)=2,所以g(2022)=g(2)=2,故A正確;

/(I—x)+g(l+x)=2f/(2-x)+g(x)=2

對C,g(4-x)-f(x)=2"將[g(x)-f(4-x)=2

故"2—x)+/(4-x)=0,即f(x+2)=—/(x)J(x+4)=/(x),

由[/(1-幻+8(1+無)=2可得!/(1一%)+8(1+幻=2

[gM-f(x-2)=2口,[g(l+x)-/(x-l)=2

/(I—x)+/(x—1)=0,即f(x)=-f(—x),

故〃x)為奇函數(shù)且/(x)為周期函數(shù)且周期為4.

根據(jù)上述性質(zhì)可得，(x)的圖象如下，

故f(x)在(1,3)上單調(diào)遞減，所以C正確；

對D,又f(x+2022)=x即為/(x+2)=x,此方程即為/(x)=x—2的解.

結(jié)合f(x)的圖象可得該方程只有1個解即為x=2,所以D正確.

答案第5頁，共17頁

故選：ACD.

8.BCD

【分析】對于AB,可利用導(dǎo)數(shù)或基本初等函數(shù)的性質(zhì)研究選項中函數(shù)的單調(diào)性，從而可判

斷和的范圍，進而判斷正誤，對于CD,可取特殊序列，結(jié)合放縮法可判斷選項的正誤.

,11(x+lV-2

【詳解】對A,/v)=---一、，，

2(x+1)2(3x+l)

當xe(O,a-l)時，f'(x)<0,當xe(近一1,1)時，/'(x)>0,

故/(x)在(0,&-1)遞減,在(0-1,1)遞增,

對任意的。<%<存在ieN*,使得0<占<苦4加一1<七十|<<x?<l,

所以￡|%〃占)|=-/(xj+)-/(%),

1=1

而當&-g=/(播_l)4/(xJ<max{/(O),/(l)}=l,>/2</(%?)<1,

故加近，A錯誤；

1=1

對B,因為與40,。故/(x)=tan,在(0,1)是遞增的，

對給定的任意的常數(shù)M>0,取玉=g,

考慮5(苫)=1211青-〃-2,、€(；,1),

因為S(gj=-l-M<0,而當x-1時，S(x)mx),

則s(x)=tan￡-M-2在加上有解，設(shè)該解為4，

故此時(%+J—=tan?_tanB=頡等T，

i=\'4'

則=,故B正確；

f=l

對C,對給定的任意的常數(shù)M>0,

答案第6頁，共17頁

設(shè)遞增數(shù)列{七}滿足：x*心樂=1,2,3,

且XZ*T為有理數(shù)，Xlk為無理數(shù)，故g<白_]<<%<g,

則|“々*)-/(%+|)|=匕|f(*2?)-/(%1)|=匕-考*J〉'，

所以￡|“均+1)7&)|>](〃-1)，

1=11N

當”>12M+1時,必有￡|八%+|)-/(七)|>”,

f=l

故C正確；

對D,對給定的任意的常數(shù)例＞0,

則郎(%)一小,)|=(；+{|+&+{|++(貴+!)

111

>—十—++一,

23n

下證：ln(l+x)vx(x>0),

i^w(x)=x-ln(l+x),x>0,貝=—,

故M”)在(0,+e)上為增函數(shù)，故〃(力＞〃(0)=0,

故ln(l+x)vx(x＞。)成立.

在上述不等式中令X=L,〃WN*,“N2,貝lJln("+l)_ln〃=Infl+L]＜，，

n\nJn

n-I

故ZI，(七+i)_/(七)|＞In3—In2+In4—In3++ln(n+1)—In〃=ln(n+l)-ln2,

?=i

當時，有(%+J_/(xJ|＞ln(2eM_l+l)_ln2=M,

i=l

故D正確.

故選：BCD.

9.3

【分析】不妨設(shè)尸在第一象限，由題設(shè)條件可得直線P廠的傾斜角，從而可求其直線方程,

聯(lián)立拋物線方程后可求P的坐標，從而可求該點到y(tǒng)軸的距離.

【詳解】由拋物線的對稱性不妨設(shè)尸在第一象限，而尸(1,0).

因為/PFO=,，故直線尸尸的傾斜角為故其斜率為石.

答案第7頁，共17頁

故直線尸尸的方程為：y=G（x—1）,即》=亨丫+1

丁=4x

由，V3可得y2一生反）,一4=0,故力=2g（負解舍去）.

x=-yy+13

故0=3,即P到y(tǒng)軸的距離3.

故答案為：3.

10.1

【分析】令/（x）=2x+lnx,根據(jù)其為增函數(shù)可得為+x?=l.

【詳解】設(shè)/（x）=2x+lnx,則廣（幻=2+；＞0,故人力在（0,+8）上為增函數(shù)，

而111（1_丈2）-2&=［即為2（l_w）+ln（［_X2）=3,

由題可得/（xj=/（l—々），所以％=1-々，即玉+々=1.

故答案為：1

11.5

【分析】設(shè)*號的空格上填的實數(shù)為x,由題設(shè)可得關(guān)于x的一次方程，求出其解后可得*號

的空格上所填之數(shù).

如圖，設(shè)*號的空格上填的實數(shù)為x,第一行第三列所填數(shù)為A,

r+13

第三行第二列、第三列所填數(shù)分別為及C,則A=_^_,8=26-x.

進而有第三列的公差為4=3e9-A/=三65-/x，從而C=A+2d=±x+咨169.

36o

r+169

又13,B,C成等差數(shù)列，得2（26-x）=13+七萼，

答案第8頁，共17頁

解得x=5.

故答案為：5

12.叵##1?

22

【分析】根據(jù)體積相等可得3M+CN=3,設(shè)BM=t,CN=3-t,其中0</<3,利用面積公

式和余弦定理可得5AMN=x一3,+4,據(jù)此可求面積的最小值.

,I/_S四邊形ACNMI/_S四邊形RCNM

.（匕瑪G—匕-4畫G）

VV

田A-HCNM.7A-BCClBl~-7

3四邊形6CG與3四邊形8CGM

S四邊形BCNM

,耳匕5C-A瓦G=5用G，

S四邊形8CG用

331z、

故S四邊形sow=aS四邊形8CGM=W*4=3，從而］(3Af+CN)x2=3，故&V/+C7V=3.

設(shè)BM=z,CN=3—r,其中0</<3.

由正三棱柱可得河2=4+（3_，）2,4〃2=4+產(chǎn),削2=4+（3—2f）2,

故s=-AMxANsinAMAN=-AMxA/VxVl-cos2AMAN

22

=—AMxANx

2N_12AMxAN,

=-X.4AM*2XAN2-(AM2+AN2-MN2)2

4"

而4AM2xAN。一(A何?+AN?-MN2J=748^^1447+192,

答案第9頁，共17頁

故5板=>/^爐與工=/乂3”|1+(2等,等號當且僅當/=|時取到，

所以(S&WN)min=苧,

故答案為：叵.

2

13.1

【分析】先由特殊情形可得情-l|e[0,l),|2y-2|€[0,l),結(jié)合不等式的性質(zhì)可得結(jié)論：“若

(x,y)eA1,(x,y)eA/'，從而可求圖形的面積.

【詳解】若(x,y)eA，則|x-l|+|2y-2|<l,從而|x-l歸[0,l),|2y-2|e[0,l).

所以卜―l|"+|2y—2|”4—1|+|2y—2|<1(〃EN*),即得(x,y)￡4“，

故有A=']A〃=A.

N=l

又A中的點組成圖形為如圖所示的菱形：其中0(2,1),41,小(0,1)小￡|,

該菱形的對角線的交點故菱形的面積為:X2xl=l.

所以集合A中的點組成圖形的面積為1.

故答案為：1.

14.1

6

【分析】先判斷判別式中至少有一個為負，若判別式一正一負，則可根據(jù)％-22|=憶-24|可

求，〃=!，當判別式均為負時，可根據(jù)實系數(shù)方程的虛數(shù)根為共軌復(fù)數(shù)可判斷此時不合題設(shè)

條件.

【詳解】設(shè)z'+z+m=O根為Z],Z2，A]=1-4MJ,Z2+Z+2加=0的根為Zs/A=l-8?i,

由題意A=l-4/w片0,2=1-8，〃H0,即團*1且加工」.

84

答案第10頁，共17頁

①當〃?<：時?，4，Z2，Z3，Z,均為實數(shù)，則四個實數(shù)根均在實軸上，矛盾;

O

②當時，Z],Z2為實數(shù)且Z3，Z《為虛數(shù)，H|Z|-z2|=|z,-z4|,

o4

的aV8/n-l1/ci1

所以------=-------=1-4/w=8"?-1=m=一；

6

-2+x/3-2+君

zi=7

6

z2+z+-=0,z2+z+-=0,故?6或，

63-2-6-2-x/3'

Z'=-6

-2+6

6或，

且

一2-百

寸一

x=4>>'=0,對角線的長度為3的

這四個點為以為中心，且對角線的方程分別為

33

正方形的頂點.

（2）當"?>二時，Z[,z2,Z3,均為虛數(shù),

4

因為加為實數(shù)，故為共規(guī)復(fù)數(shù)且Z1+Z2=-1,故4，Z2的實部為-；，

同理Z3，Za的實部為-J,,即四個對應(yīng)點均在直線*=-；，這與題設(shè)矛盾.

綜上：=7?

O

故答案為：m=—.

0

AD

15.（1）---=2cos0+l

BD

(2)1

【分析】（1）利用正弦定理可求2；

BD

（2）利用正弦定理結(jié)合題設(shè)條件可得A3=2cos￡+1,再由（1）中的結(jié)論可求8。的長.

【詳解】（1）由題/區(qū)M）=-,ZAC8=2e.在△A3。中，ZBDA=n一一，

22

.36

ADsinsincos0+cossin。

根據(jù)正弦定理可得—=-f2e2

n

sin—si2-

2

答案第11頁，共17頁

.o.2夕.e

sin—cosun+2cossin°

=---------------------=cos0+2cos2—=2cos。+1.

.02

sin—

2

AQAT1

(2)在A3c中，根據(jù)正弦定理可得，三=今，所以七二^^，

sin26sin。ACAB

所以，+-!-=l+2c°s"=i,可得AB=2cos，+l.

A8ACA8

An

又由(1)^1—=2COS/9+1,所以5O=l.

16.(1)當。=0時，f(x)為偶函數(shù)；當〃>0時，f(x)為非奇非偶函數(shù)

(2)0<?<—.

2

【分析】(1)由〃1)=/(-1)可求4=0,結(jié)合偶函數(shù)定義可得函數(shù)為偶函數(shù)，而/⑴=-『(-1)

不成立，故可判斷了(X)的奇偶性；

(2)利用賦值法可得0<。4立，再證明當0<。4也時題設(shè)中的不等式恒成立，從而可求

22

求。的取值范圍.

【詳解】(1)易知川)=2|a-l|J(—1)=2|。+1|,

若/(1)=/(-1),則2|a-l|=2|a+l|,解得a=0,

此時/(—x)=|r|+l=/(x),而xeR,故此時f(x)為偶函數(shù)；

當4N0時，/(D*/(-I),

而，⑴+/(-I)=2|a-l|+2|a+l|>0,故/(I)豐-/(-I),

故此時f(x)為非奇非偶函數(shù).

綜上，當。=0時，?/'(x)為偶函數(shù)；當。>0時，Ax)為非奇非偶函數(shù).

(2)。=0時，f(x)=|x|+l顯然成立，所以。=0符合.

。>0時,若X€(-oo,0][2a,+00),則x(2a-x)V0V/(x)恒成立,

答案第12頁，共17頁

故只需考慮|x-a|+l?T|^x(2a-x)對任意xe(0,2a)恒成立.(*),

22

取1=〃，^\a-]\>af解得〃即得o<〃"等.

而當0<aW?,0<x<2cl時，cix-142a2-1W0,

2

故(*)式可化為Ix-al+f-3ax+120對任意xw[0,2a]恒成立，

令g(x)=1x-aI+丁-3ax+1,

①當x￡(0,a]時,g(x)=x2-(3a+l)x+3+1)恒成立；

因為對稱軸犬=即>>“，故g(x)Ng(a)=l—2?2>0.

②當xe[a,2a)時，g(x)=x2-(3a-l)x+(1-a),

因為對稱軸且g(x)2g(a)=l—22之().

故此時Ix-aI+/-3ax+120對任意xe[0,2a]恒成立,

因此0<a4也.

2

綜上：0<a<.

2

3kk

17.⑴均為定值，尢&=彳,言=-3娟=-3；

4K4K3

⑵(A)

【分析】（1）設(shè)ca，x）,￡＞（x2，y2），則可用坐標表示"2,4居，聯(lián)立直線方程和橢圓方程后

結(jié)合韋達定理化簡前者可得它們?yōu)槎ㄖ担瑥亩傻秘?%,2,*均為定值.

（2）聯(lián)立直線PB的方程和雙曲線的方程，求出尤°,再利用公式可求|尸尸|,同理可求|PQ|,

利用&3%=%可求?尸尸?+1QF?的取值范圍.

【詳解】（D由題可得/：y=辰_4,設(shè)C6,%）,￡＞（%,%）.

y=kx-4

/與3聯(lián)立｛X?V=（4〃+1）/_32履+48=0,貝卜

48

1164玉"『E

答案第13頁，共17頁

XA=322Jt2-4x48x（4ft2+l）＞0,故A>蛇或k<-過

22

選擇①：k「k2J—%-2=（腦-6）（姐-6）=心％-6.（再+切+36

中2中2

1248—32k.

kx—z----6Kx--——+3Q6分

4公+14A2+1=3

48-4

妹41

3

故勺?占為定值，且人,42=^，

選擇②："二等X?=^=4-4

i6HW即

而自3歲%+2{kxx-2）（Ax2-2）422/-2Z（X[+w）+41

x2xrx2xxx212

k.1k,\k,k,

則廠=一4心心，所以廠=一4心心=一3,故廠為定值，且廠=-3；

K44k3-k4k44k3M4k4k4

選擇③：同②可得內(nèi)義=-9,則4=-弁==-3,

4h4%.上，

同②可得仁匕=《，故與為定值,且生=-3.

12K323

(2)若選擇①，則

」1

而93=西9x為1=7￥=M尸i才1、"同理&，?匕=-T,

IoI1-4-）4

右選擇②，則層k、=-3,而1/=">再<曰%=9X：=16廠(1_八區(qū))」",

故&&=?

若選擇③，則親=。

…=五3五二=七1=尸2、=:1

而-W入2毛16(1-或［4,故網(wǎng)生=診.

答案第14頁，共17頁

綜上，無論如何選擇，總有勺/=1

此時PB：y=k3x-29QB:y=k4x-2.

'y=^x-2

尸B與「2聯(lián)立x2n(36一1)9-12自》=0=牛=^^

---------=13k，-1

412

而|PF|=JX；+(%+4)2=J12(?-1卜屈+4)2=2%+1|,

因為P為雙曲線下支上的動點，故為4-2,故|PF|=-2%-2,

所以巧=一起T+2--8

3^-1

g

同理可得IQ尸1=-6-素口.

所以3+312川(福1丁昕1卜)38、太3伏；其+硝-印2

15

=-4+---------------------.

-3化：+砌+1

。<同考

因為BC,8力分別交口下支于P,。兩點，所以,且網(wǎng)工悶,

所以后+后=好+在，其中￡<|娟4且忖卜4?

令g(x)=x+--—,xef—,->1,貝ljg[x)=1-----!一=

7‘44”-’,

144/1483/人刃l(wèi)44x2.a

當時，g'(x)<0,當時，g'(x)>0,

4o1212J

故g(x)在(京，意上為減函數(shù),在住,?上為增函數(shù),

故9代+康<*所以后+*《湍