第七章(第一,二節(jié))

朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。PAGE第頁/共頁統(tǒng)計(jì)量及其分布數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)初步統(tǒng)計(jì)學(xué)的研究對象是各種各樣的總體的數(shù)量指標(biāo)。數(shù)理統(tǒng)計(jì)是以概率論作為理論基礎(chǔ)，利用實(shí)際觀測到的數(shù)據(jù)，研究總體變量的分布和特征，并舉行統(tǒng)計(jì)判斷的一門學(xué)科。因此，數(shù)理統(tǒng)計(jì)的任務(wù)包括收集數(shù)據(jù)和分析數(shù)據(jù)。收集數(shù)據(jù)指研究如何對總體舉行觀測、實(shí)驗(yàn)，以合理有效地取得有代表性的觀測值，包括實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)、抽樣主意等，稱為描述統(tǒng)計(jì)學(xué)。分析數(shù)據(jù)指對已取得的觀測值舉行收拾、分析，從而找出所研究的對象的邏輯性，并對總體信息舉行判斷、決策，包括參數(shù)預(yù)計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)等，稱為判斷統(tǒng)計(jì)學(xué)。作為數(shù)理統(tǒng)計(jì)的初步推薦，本書僅包含判斷統(tǒng)計(jì)學(xué)中的參數(shù)預(yù)計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)部分。本章先推薦數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中的基本概念，即總體和樣本及常用統(tǒng)計(jì)量的分布。數(shù)理統(tǒng)計(jì)的主意應(yīng)用異常廣泛，目前已應(yīng)用于教誨科學(xué)、工程技術(shù)、管理科學(xué)、天然科學(xué)以及社會科學(xué)等領(lǐng)域。例如，教誨科學(xué)中的教學(xué)質(zhì)量評估、預(yù)測以及試卷質(zhì)量的評價(jià)，工業(yè)生產(chǎn)中的產(chǎn)品質(zhì)量控制于抽樣檢查，氣象學(xué)中的天氣預(yù)告，地震學(xué)中地震預(yù)告，醫(yī)學(xué)中的疾病分析、藥品療效檢驗(yàn)，農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中的產(chǎn)品預(yù)計(jì)于種子優(yōu)選，人口學(xué)中的優(yōu)生學(xué)和人口控制等等都滲透了數(shù)理統(tǒng)計(jì)的主意?？傮w與樣本一、總體與個體統(tǒng)計(jì)問題是實(shí)際中常常碰到的問題。概念：在一個統(tǒng)計(jì)問題中，我們把研究對象的全體稱為總體，而把組成總體的每一個單元稱為個體。（宛若集合與元素的概念）。總體通常用或用表示。例如，我們要研究某大學(xué)大學(xué)生一周中用于自習(xí)的時(shí)光總數(shù)，該校的全體學(xué)生就組成了總體，而其中每個學(xué)生就是個體。在研究某城市居民家庭一年的收入情況時(shí)，該城市的全體家庭就組成一個總體，而每一戶家庭就組成一個個體。在實(shí)際中，我們主要協(xié)助的常常是研究對象的某個數(shù)據(jù)指標(biāo)（如自習(xí)時(shí)光數(shù)，收入數(shù)額），它是一個隨機(jī)變量。例如,總體表示參加高考的全體考生,表示考生的高考總分?jǐn)?shù)，因此，與數(shù)量有對應(yīng)關(guān)系。各種需要轉(zhuǎn)化為考察分?jǐn)?shù)集.總體的某數(shù)量指標(biāo)，隨機(jī)變量取值的全體，從而研究總體的數(shù)量指標(biāo)，只要研究隨機(jī)變量或取值的全體。因此，總體通常是指某個隨機(jī)變量取值的全體，其中每一個體都是一個實(shí)數(shù)。以后我們就把總體和數(shù)量指標(biāo)可能取值的全體組成的集合等同起來。隨機(jī)變量的分布就是總體的分布?？傮w就是指隨機(jī)變量或的取值集合。樣本與樣本值在決定需要研究的統(tǒng)計(jì)總體后，如何對總體舉行統(tǒng)計(jì)研究呢。固然可以對總體舉行全統(tǒng)計(jì)，然而這種所有舉行統(tǒng)計(jì)的主意在實(shí)際中難于辦到。一個簡便主意就是對總體舉行部分統(tǒng)計(jì)，由此來判斷總體信息。數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中我們總是通過觀測和實(shí)驗(yàn)以取得信息.我們可從客觀存在的總體(母體)中按機(jī)會均等的原則隨機(jī)地抽取一些個體,然后對這些個體舉行觀測或測試某一指標(biāo)的數(shù)值.這種按機(jī)會均等的原則選取一些個體舉行觀測或測試的過程稱為隨機(jī)抽樣.從一個總體中（它是數(shù)值集合）,隨機(jī)的抽取個個體(有放回的重復(fù)的抽樣),其中每個是一次抽樣看見（記錄）值結(jié)果。我們稱為總體的一組樣本看見值，對于某一次抽樣結(jié)果來說，它是徹低決定的一組數(shù)。但因?yàn)槌闃拥碾S機(jī)性，所以它又是隨每次抽樣看見而改變的。記，令，則都是隨機(jī)變量；這樣每個都可以看作隨機(jī)變量（）所取的看見值。我們將稱為總體的樣本,樣本中個體的數(shù)目稱為樣本容量，就是樣本的一組看見值，稱為樣本值。因?yàn)槊看纬槿∈亲粤⒅貜?fù)的(或可以這樣認(rèn)為),所以是互相自立的隨機(jī)變量,與總體有相同的分布.我們把所有可能取值的全體稱為樣本空間。因?yàn)槲覀兂槿颖镜哪康氖菫榱藢傮w的某些特性舉行預(yù)計(jì)、判斷，因而要求抽取的樣本具有：（1）自立性，（2）與總體有相同的分布，這樣的樣本稱為容易隨機(jī)本，獲得容易隨機(jī)樣本的主意稱為容易隨機(jī)抽樣。舉行重復(fù)抽樣所得的隨機(jī)樣本,就是容易隨機(jī)本.今后，如不作異常聲明，所提到的樣本都是容易隨機(jī)樣本。綜上所述，所謂總體就是一個隨機(jī)變量,所謂樣本就是個互相自立且與有相同分布的隨機(jī)變量。顯然，若總體具有分布函數(shù),設(shè)為來自于總體的樣本，則互相自立，的分布函數(shù)，的分布函數(shù)為.例如，設(shè)總體順從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，；為來自于總體的樣本,則的分布函數(shù)為.第二節(jié)樣本矩和統(tǒng)計(jì)量（對樣本的容易加工、以提取信息）樣本矩在考查總體信息時(shí)，從總體中得到的樣本值，是一堆雜亂無章的數(shù)據(jù)，需要對其研究加工，才干提取出實(shí)用的總體信息。普通的作法是首先對樣本舉行容易的加工。設(shè)為來自于總體的一個樣本,稱,(7.1)為樣本均值；,(7.2)為樣本方差;為樣本階矩（或階原點(diǎn)矩）；為樣本階中央矩。顯然，樣本均值，樣本方差，樣本階矩，樣本階中央矩都是隨機(jī)變量。倘若是樣本的一組看見值（稱為樣本值），則,，，，分離是，，，的看見值。總體矩：等稱為總體矩。人們大概會問：樣本矩與相應(yīng)的總體矩有什么關(guān)系？可以證實(shí)，只要總體的階矩存在，樣本階矩依概率收斂于總體的階矩。例如.二、統(tǒng)計(jì)量在研究總體的性質(zhì)時(shí)，除了用到樣本外，還要用到由樣本構(gòu)造的某種函數(shù)。為了通過樣本來了解總體，我們必須對樣本舉行加工，以提取其中有益的信息。所謂對樣本舉行加工，就是針對不同的統(tǒng)計(jì)問題構(gòu)造一個不含未知參數(shù)的樣本的延續(xù)函數(shù)，這樣的函數(shù)在數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱為統(tǒng)計(jì)量。定義1設(shè)為總體的一個樣本，為一個延續(xù)函數(shù)，則稱樣本的函數(shù)為一個統(tǒng)計(jì)量。顯然，是一個隨機(jī)變量。倘若是樣本的看見值（稱為樣本值）,則是的看見值。例如，，都是統(tǒng)計(jì)量。在構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量中，不能含有總體的未知參數(shù)，因?yàn)槿艉锌傮w的未知參數(shù)，則即使得到了樣本的觀測數(shù)據(jù)，依然不能由這些樣本數(shù)據(jù)通過統(tǒng)計(jì)量計(jì)算出要預(yù)計(jì)的量的值。若總體，其中是未知參數(shù)，而為來自的樣本，則，是統(tǒng)計(jì)量；而，不是統(tǒng)計(jì)量。順序統(tǒng)計(jì)量與經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)設(shè)為來自于總體的一個樣本，(可以有相等的)是樣本看見值。將看見值按大小次序羅列，得到。我們規(guī)定取值為，由此得到的，稱為的一組順序統(tǒng)計(jì)量。顯然，有且,.令，，記函數(shù)顯然，是一非減右延續(xù)函數(shù)，且滿意，和，由此可見，是一個分布函數(shù)，稱它為總體的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)或樣本分布函數(shù)。對于每一固定，是事件發(fā)生的頻率，當(dāng)固定時(shí)，是一個隨機(jī)變量。是事件發(fā)生的概率，按照大數(shù)定律，。事件發(fā)生的概率，因?yàn)榛ハ嘧粤⑶矣邢嗤姆植己瘮?shù)，因而它等價(jià)于次自立重復(fù)實(shí)驗(yàn)的貝努利概型中事件發(fā)生次而其余的次不發(fā)生的概率，即有?？梢宰鳛榈奈粗植己瘮?shù)的一個近似，當(dāng)越大時(shí)，近似程度越好。格里汶科在1933年證實(shí)了如下結(jié)果：當(dāng)時(shí)，以概率1關(guān)于勻稱的收斂于,即.于是.例如隨機(jī)地看見總體,得10個數(shù)據(jù)如下:3.2,2.5,-4,2.5,0,3,2,2.5,3.2,2.將它們由小到大羅列為其經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)是:.例如若想了解某個城市居民家庭的收入情況。這是一個典型的客觀存在又有多種需要的統(tǒng)計(jì)問題。要把所有家庭收入的數(shù)據(jù)都得到，顯然是不可能的，也是做不到的。我們只好，通過了解部分家庭的收入情況，來判斷整體的情況。比如，我們通過隨機(jī)抽查的方式，得到了個家庭的收入數(shù)據(jù)：?？吹竭@一堆數(shù)據(jù)，會使人得不到要領(lǐng)而感到討厭。要想利用這些數(shù)據(jù)，形成容易報(bào)告的形式，使人一目了然，并有清晰的印象。普通天然的做法如下將看見值按大小次序羅列，得到從而便可大概推知最高收入，最低收入；對得到的數(shù)據(jù)求出平均值，從而便可大概推知平均收入情況。進(jìn)一步，還可判斷超過平均收入所占的比例等數(shù)據(jù)。還可算出差別大小?，F(xiàn)實(shí)世界上存在著多種多樣的統(tǒng)計(jì)問題，需要去協(xié)助