2022屆四川大學附中高三壓軸卷數(shù)學試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學模擬試卷

注意事項

1.考生要認真填寫考場號和座位序號。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.方程2（x-l）sinzv+l=0在區(qū)間［-2,4］內的所有解之和等于（）

A.4B.6C.8D.10

2.已知集合4=卜卜<1},6={%卜<1},貝I］（）

A.AcB={xk<l}B.AuB={x|x<e}

C.A<JB-^x\x<11D.AcB={x［0<x<l}

3.已知AABC是邊長為1的等邊三角形，點O,E分別是邊AB,的中點，連接。E并延長到點尸，使得

Z）E=2￡F,則赤?配的值為（）

11511

A.—B.-C.—D.一

8448

4.如圖所示，已知雙曲線C:《-4=1（。>0力>0）的右焦點為尸，雙曲線C的右支上一點A,它關于原點0的對稱

ab~

點為8,滿足NAEB=120°,且|8用=2|4用，則雙曲線C的離心率是（）.

A.—B.—C.百D.77

32

5.若函數(shù)/（x）=Asin（s：+。）（其中A>0,1夕1<1）圖象的一個對稱中心為（。，0）,其相鄰一條對稱軸方程為

77r

x=—,該對稱軸處所對應的函數(shù)值為-1,為了得到g（x）=cos2x的圖象，則只要將/（X）的圖象（）

12

A.向右平移?個單位長度B.向左平移三個單位長度

612

C.向左平移?個單位長度D.向右平移三個單位長度

o12

2+3/,、

6.

1-z

15.1.

A.----F—1—i

22222

7.某幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體的外接球表面積為（）

6瓜

tWE

A.12萬B.16%

C.24〃D.48乃

2

且與雙曲線r三-丁=1的漸近線相同，則雙曲線。的標準方程為（

8.已知雙曲線C的一個焦點為（0,5）,)

4

222

2y.B.匕-二=1D.)/一土=1

X----=1

45202054

9.設集合A={1,2,6},8={-2,2,4},C={xe/?|—2<x<6},貝|J(AUB)nC=()

A.{2}B.{1,2,4)

C.{1,2,4,6)D.{A:eR|-1<x<5}

10.已知集合{/={1,2,3,4,5,6},A={2,4},5={3,4},則(板)0(/)=()

A.{3,5,6}B.{1,5,6}C.{2,3,4}D.{1,2,3,5,6}

11.某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm),則該幾何體的表面積是()

便視圖

伯視圖

22

A.8cmB.12c/C.[有+2）cMD.（4^+4）c/n

12.某設備使用年限x（年）與所支出的維修費用y（萬元）的統(tǒng)計數(shù)據(jù)（X,y）分別為（2,1.5）,（3,4.5）,（4,5.5）,（5,6.5）,

由最小二乘法得到回歸直線方程為9=L6x+6,若計劃維修費用超過15萬元將該設備報廢，則該設備的使用年限為

（）

A.8年B.9年C.10年D.11年

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知實數(shù)X、y滿足1,且可行域表示的區(qū)域為三角形，則實數(shù)〃?的取值范圍為,若目標函數(shù)

y<m

2=%一丁的最小值為-1,則實數(shù)加等于.

14.已知數(shù)列｛《,｝的前”項滿足q+2a2+3q+…+=2C，（〃eN*）,則an=.

15.直線/nx-政一1=0（機>0,〃>O）過圓C:x2+y2—2x+2y—l=0的圓心，則，+’的最小值是.

mn

16.已知函數(shù)=則過原點且與曲線y=/（x）相切的直線方程為.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）已知函數(shù)/（x）=*—x（acR,e為自然對數(shù)的底數(shù)），g（x）=lnx+〃ix+l.

（1）若/（x）有兩個零點，求實數(shù)”的取值范圍；

（2）當a=l時，^[/⑺+可"⑴對任意的反他^^功恒成立，求實數(shù)"?的取值范圍.

18.（12分）設函數(shù)二（二）=sin（2Z-j）+sin（2Z+5Z6Z.

⑺求二（二）的最小正周期；

（〃）若二e（1,Z）fiZ（1）=<求sin（2口+1的值.

19.（12分）已知數(shù)列｛可｝的前〃項和為S“，且滿足4=一1,%>0（〃N2）,S"=向$，”eN*,各項均為正

數(shù)的等比數(shù)列也,｝滿足偽=4也=/

（1）求數(shù)列｛叫,也｝的通項公式；

（2）若配=g%%求數(shù)列匕,｝的前"項和7；

20.（12分）如圖，在直三棱柱ABC—中，A8=AC=&，6c=A4=2,。為BC的中點，點V在線

段AA1上，且。0〃平面C4A.

(1)求證：AM=A{M；

(2)求平面例0q與平面4所成二面角的正弦值.

21.(12分)如圖，橢圓。：1+與=1(。＞方＞0)的左、右頂點分別為4,A,上、下頂點分別為用，&,且4(0,1),

ab~

△48由2為等邊三角形，過點(1,0)的直線與橢圓。在》軸右側的部分交于M、N兩點.

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)求四邊形為MNg面積的取值范圍.

10

22.(10分)已知矩陣加=,MN=

01

(1)求矩陣N；

(2)求矩陣N的特征值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.C

【解析】

畫出函數(shù)'=5由值和>=一察一1的圖像，y=sinnx^n^=——~均關于點0，°）中心對稱，計算得到答案?

2（x-1）2（x—1）

【詳解】

2(x-l)sin;rx+l=0,驗證知x=l不成立，故sin〃x=—~-

2(x-l)

1

畫出函數(shù)〉=5由心和^=的圖像,

2(1)

易知：y=sin?和y=一371y均關于點（1,0）中心對稱，圖像共有8個交點,

故所有解之和等于4x2=8.

本題考查了方程解的問題，意在考查學生的計算能力和應用能力，確定函數(shù)關于點（1,0）中心對稱是解題的關鍵.

2.C

【解析】

求出集合3,計算出ACB和AU8,即可得出結論.

【詳解】

?.?A={x|x<l},B=［卜'<1}={x|x<0},Ac3={xk<0},ADB={X|X<1}.

故選：C.

【點睛】

本題考查交集和并集的計算，考查計算能力，屬于基礎題.

3.D

【解析】

設麗=￡，BC=b>作為一個基底，表示向量OE=gAC=g(B-a),DF^DE=,

AF=XD+DF=--a+-(b-a]=--a+-b,然后再用數(shù)量積公式求解.

24、'44

【詳解】

設麗=a-BC-b，

所以詼=，*=，仿—￡),DF^-DE^-(b-a),AF=AD+DF^-La+l(b-a\^--a+-b,

22、/24^>24、,44

531

7尻

所以至4-4-8-

故選：D

【點睛】

本題主要考查平面向量的基本運算，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.

4.C

【解析】

易得|4F|=2a,|3E|=4a,又時=g（而+麗），平方計算即可得到答案.

【詳解】

設雙曲線C的左焦點為E,易得AEBF為平行四邊形，

所以|8巴一|AFH8F|-|B?=2a,又|8尸|=2|AF|,

故|AF|=2a,|8/q=4a,FO=-（FB+FA）,

2

所以c2=—（4cz2+16a2-2ax4a）,即2=3a2，

4c

故離心率為e=G.

故選：C.

【點睛】

本題考查求雙曲線離心率的問題，關鍵是建立a,4c的方程或不等關系，是一道中檔題.

5.B

【解析】

由函數(shù)的圖象的頂點坐標求出4,由周期求出①，由五點法作圖求出。的值，可得/（X）的解析式，再根據(jù)函數(shù)

>=Asin（5+°）的圖象變換規(guī)律，誘導公式，得出結論.

【詳解】

根據(jù)已知函數(shù)/(x)=Asin(s+e)

(其中A〉0,憫＜g)的圖象過點,［［于一1］，

-312〃7〃*萬

可得A=l,-...=-,

46yl23

解得：。=2.

再根據(jù)五點法作圖可得2?方+9=萬，

可得：夕=工，

3

可得函數(shù)解析式為：/(x)=sin(2x+q).

故把/(x)=sin(2x+g］的圖象向左平移g個單位長度,

可得y=5布12%+(+看)=以為2》的圖象，

故選&

【點睛】

本題主要考查由函數(shù)y=4sin(a)x+e)的部分圖象求解析式，由函數(shù)的圖象的頂點坐標求出4,由周期求出0,由五

點法作圖求出。的值，函數(shù)y=Asin(5+0)的圖象變換規(guī)律，誘導公式的應用，屬于中檔題.

6.A

【解析】

分子分母同乘1+z?，即根據(jù)復數(shù)的除法法則求解即可.

【詳解】

2+3，(2+30(1+015.

解.-----=------------=----1--1

1-z(l-z)(l+z)22'

故選:A

【點睛】

本題考查復數(shù)的除法運算,屬于基礎題.

7.A

【解析】

由三視圖知：幾何體為三棱錐，且三棱錐的一條側棱垂直于底面，結合直觀圖判斷外接球球心的位置，求出半徑，代

入求得表面積公式計算.

【詳解】

由三視圖知：幾何體為三棱錐，且三棱錐的一條側棱垂直于底面，高為2,

底面為等腰直角三角形，斜邊長為28，如圖：

...AABC的外接圓的圓心為斜邊AC的中點O,OD1AC,且QDu平面SAC,

???S4=AC=2,

SC的中點。為外接球的球心，

，半徑R=y/3>

外接球表面積S=4/X3=12萬.

故選：A

【點睛】

本題考查了由三視圖求幾何體的外接球的表面積，根據(jù)三視圖判斷幾何體的結構特征，利用幾何體的結構特征與數(shù)據(jù)

求得外接球的半徑是解答本題的關鍵.

8.B

【解析】

根據(jù)焦點所在坐標軸和漸近線方程設出雙曲線的標準方程，結合焦點坐標求解.

【詳解】

?.?雙曲線C與土-^=1的漸近線相同，且焦點在》軸上,

4-

22

...可設雙曲線C的方程為菅-a=1，一個焦點為（。，5）'

.?.攵+4左=25,.?.%=5,故C的標準方程為乙一二=1.

520

故選：B

【點睛】

此題考查根據(jù)雙曲線的漸近線和焦點求解雙曲線的標準方程，易錯點在于漏掉考慮焦點所在坐標軸導致方程形式出錯.

9.B

【解析】

直接進行集合的并集、交集的運算即可.

【詳解】

解：AuB={-2,l,2,4,6}；

??.（AuB）cC={l,2,4}.

故選：B.

【點睛】

本題主要考查集合描述法、列舉法的定義，以及交集、并集的運算，是基礎題.

10.B

【解析】

按補集、交集定義，即可求解.

【詳解】

。儲={1,3,5,6},電8={1,2,5,6},

所以（瘩4）0（/）={1，5,6}.

故選：B.

【點睛】

本題考查集合間的運算，屬于基礎題.

11.D

【解析】

根據(jù)三視圖判斷出幾何體為正四棱錐，由此計算出幾何體的表面積.

【詳解】

根據(jù)三視圖可知，該幾何體為正四棱錐.底面積為2x2=4.側面的高為在層=石，所以側面積為

4xlx2xV5=4>/5.所以該幾何體的表面積是（4A/5+4）C/?2.

故選：D

【點睛】

本小題主要考查由三視圖判斷原圖，考查錐體表面積的計算，屬于基礎題.

12.D

【解析】

根據(jù)樣本中心點（x,y）在回歸直線上，求出”，求解y>15,即可求出答案.

【詳解】

依題意還3.5,7=4.5,（3.5,4.5）在回歸直線上，

4.5=1.6x3.5+a,a=—1.1,.1.y=1.6x—1.1，

由_y—1.6%-1.1>15,x>10-j-^,

估計第11年維修費用超過15萬元.

故選:D.

【點睛】

本題考查回歸直線過樣本中心點、以及回歸方程的應用，屬于基礎題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.m>2m-5

【解析】

作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用目標函數(shù)的幾何意義，結合目標函數(shù)z=x-y的最小值，利用數(shù)形結合即可得到

結論.

【詳解】

作出可行域如圖，

則要為三角形需滿足在直線=m下方，即1+1（機，m>2；

目標函數(shù)可視為丁=》-z,貝文為斜率為1的直線縱截距的相反數(shù)，

該直線截距最大在過點A時，此時Zmin=-1,

直線Q4：y=x+l,與A5：丁=2》一1的交點為4（2,3）,

該點也在直線AC：x+y=m±,故加=2+3=5,

故答案為：m>2；m—5.

【點睛】

本題主要考查線性規(guī)劃的應用，利用目標函數(shù)的幾何意義，結合數(shù)形結合的數(shù)學思想是解決此類問題的基本方法，屬

于基礎題.

14.n+\

【解析】

由已知寫出用〃-1代替〃的等式，兩式相減后可得結論，同時要注意外的求解方法.

【詳解】

■:4+2a,+3a3+■??+—2(7；+2(1),

〃〃

22時，q+2a2+3a3+…+(-=2C^+1②，

①一②得nan=2c+2-C,：+1)=2c3=〃(〃+1),

：.q,=〃+1,

又4=2C；=2,

；.=n+1(

故答案為：n+1.

【點睛】

本題考查求數(shù)列通項公式，由已知條件.類比已知S“求鬼的解題方法求解.

15.4

【解析】

直線mx-T=0經(jīng)過圓/+產(chǎn)-2x+2y-1=0的圓心(1,-1),可得,〃+"=1,再利用“乘1法”和

基本不等式的性質即可得出.

【詳解】

mx-ny-1=0(m>0,n>0)經(jīng)過圓爐+產(chǎn)-2x+2y-1=0的圓心(1,-1),

/.m+n-1=0,即m+n=l.

1]i:rnn\

-------1—=(1—)(m+n)=24------1>2+2=4,當且僅當機=〃=一時取等號.

mnmnnm2

.?.則的最小值是4.

mn

故答案為：4.

【點睛】

本題考查了圓的標準方程、“乘1法”和基本不等式的性質，屬于基礎題.

16.2ex-y=0

【解析】

設切點坐標為1,e"),利用導數(shù)求出曲線y=/(x)在切點”,e”)的切線方程，將原點代入切線方程，求出/的值,

于此可得出所求的切線方程.

【詳解】

設切點坐標為Qf(x)=e2x,f,(t)=2e2',

則曲線y=〃x)在點)處的切線方程為y—e"=/a7),

由于該直線過原點，則一/'=一2招"，得，=1，

2

因此，則過原點且與曲線y=相切的直線方程為y=2ex,故答案為2ex-)，=0.

【點睛】

本題考查導數(shù)的幾何意義，考查過點作函數(shù)圖象的切線方程，求解思路是：

(1)先設切點坐標，并利用導數(shù)求出切線方程；

(2)將所過點的坐標代入切線方程，求出參數(shù)的值，可得出切點的坐標；

(3)將參數(shù)的值代入切線方程，可得出切線的方程.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

(1、

17.(1)0,--(2)(-co,l]

\e)

【解析】

]nrInV

(D將/(x)有兩個零點轉化為方程。=—有兩個相異實根，令G(x)=—求導，利用其單調性和極值求解；

1nY11nYI

(2)將問題轉化為mW/-一對一切xe(O,”)恒成立，令尸(力="一一--(x>0),求導，研究單調性,

XXXX

求出其最值即可得結果.

【詳解】

(1)/(X)有兩個零點o關于X的方程e-=X有兩個相異實根

由e"'>。，知x>0

二/(x)有兩個零點o。=皿有兩個相異實根.

令G(x)=(，貝=

由G'(x)>0得：Q<x<e,由G'(x)<0得：x>e,

???G(x)在(O,e)單調遞增，在(e,+8)單調遞減

??.G(x)max=G(e)=；,

又?.8)=0

???當Ovxvl時，G(x)<0,當尢>1時，G(x)>0

當％—>+oo時，G(x)f0

???/(x)有兩個零點時，實數(shù)4的取值范圍為10,/);

(2)當a=l時，f(x)=ex-x,

原命題等價于xeA>lnx+mx+l對一切XG(O,-K)O)恒成立

u>m<ex-5f--對一切xe(0,+8)恒成立.

xx

令/(%)="_處_,(%〉0)

:,m<F(x\.

\/mu

P(x)=e，+￥=^ex+In九

2

X

令〃(%)=%2"+1口工，XG(0,+OO),則

〃(x)=2xe+x2ex+—>0

.?.Mx)在(0,+。)上單增

又〃(l)=e>0,/?[!)=e[2_]<e°_]=0

3JT()G|-,1J,使〃($)=0即x；e*+lnxo=0①

當xe（O,Xo）時，〃（x）＜0,當x€（x（）,+oo）時，/i（x）＞0,

即*x）在（0,朝）遞減，在（均+8）遞增，

."（%=小。）=6加-"一

AoAo

由①知=-Inx0

ln

品lnx01i1A11y

/.xQe^=------=一In一=In-e%

X。xoxoI

???函數(shù)0（"=%"在（0,+巧單調遞增

?1

/.x0=In一即%0=-lnx0

x。

:.F（x）.=eTn%—3__L=J_+i_JL=]

、/mmY

人0人Y0人Y0人Y0

m＜\

，實數(shù)，〃的取值范圍為（—co,.

【點睛】

本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，極值，最值問題，考查學生轉化能力和分析能力，是一道難度較大的題目.

18.⑺二；（II）--

【解析】

（/）化簡得到二（二）=Osin（2二+自，得到周期.

（II）二（"）=、，2sm（二+司=%故sm（二+司=￥，根據(jù)范圍判斷cos（二+自=一手，代入計算得到答案.

【詳解】

（Z）二（匚）=sin（2L-j）+sin（2L+1）=sm（2匚一習+cos（22-j）

=\7sin（2二+1），故二=三=二.

(//)二(y)=v,jsin(二+/)=g故sin(二+/)=￡cos(.二+jj)=±寧，

口e串口),故口+：e信署),|cos(口+))|>|血(口+凱

故二+*(芋二)，故cos(二+自=-一，

血(2口+鄉(xiāng)=2血(口+初儂(口+5=-9

【點睛】

本題考查了三角函數(shù)的周期，三角恒等變換，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.

nW

19.(1)Q〃=3〃—4；bn=2(2)Tn=(3/i—7)*2+7

【解析】

(1)由S.=生正空?；癁閍“j=6S“+9〃+l,利用數(shù)列的通項公式和前“項和的關系，得到｛%｝是首項為1,

6

公差為3的等差數(shù)列求解.

(2)由(1)得到c.=(3〃-4>2"T,再利用錯位相減法求解.

【詳解】

(1)vS,,="如二9"I可以化為4M2=6S?+9?+1,

6

:.a；=6S,i+9(n-l)+l,

二4+：-a,”6%+9(〃22),

(%+3)2,

又2時，>0

二%+1=4+3(〃N2)

???數(shù)列｛/｝從?2開始成等差數(shù)列，

n2—9〃—1

???4=-1,代入S“=%~

”6

得。2=2,4-4=3

..?{4}是首項為1,公差為3的等差數(shù)列,

?！?3〃-4,

4=%=2,b3=a4=8,bn=2".

(2)由(1)得c“=(3〃—4>2"T,

Tn=-1-2°+2-2'+?-+(3〃-4)-2"T,

27；,^-1^'^2-22+?+(n-)?",

兩式相減得

-7；,=-l+3(2'+22+?--+2,,-1)-(3n-4)-2\

=-l+6(2"T-1)一(3〃-4)2,

.?工=(3〃-7>2"+7.

【點睛】

本題主要考查數(shù)列的通項公式和前〃項和的關系和錯位相減法求和，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.

20.見解析

【解析】

(1)如圖，連接BC，交C用于點N,連接AN,ON,則N為的中點，

因為。為8C的中點，所以ON//BB、,

又M&//BB、,所以ON〃MA，從而。，N,4，加四點共面.

因為〃平面CBM，QV/u平面平面Cl平面C4A=24,,所以。加〃人典.

又ON"M%,所以四邊形ONAM為平行四邊形，

所以腸4,=ON=；BB1=3的，所以AM=4/

(2)因為A8=AC,。為BC的中點，所以AO_L3C,

又三棱柱ABC—4gG是直三棱柱，ON

所以。4,OB,ON互相垂直，分別以前，ON，函的方向為x軸、軸、z軸的正方向，建立如圖所示的空間

直角坐標系。-肛z,

因為A5=AC=g，BC=AAi=2,所以0(0,(),0),B,(1,2,0),"(0,1,1),C(-l,0,0),

所以麗=麗=(0,1,1),西=(1,2,0),函-=(2,2,0).

、\OMm=0fy+z=0

設平面MOg的法向量為血=(x,y,z),貝時一，即｛,

OB,m=0[x+2y=0

令z=l,可得y=T,x=2,所以平面M。片的一個法向量為，”=(2,-U).

n=0b+c=O

設平面A的法向量為〃=3,dC),則

g-n=02。+2/?=0

令c=l,可得匕=一1,a=\,所以平面C4A的一個法向量為〃=(1,T,1),

2xl-lx(-l)+lxl42夜

所以cos〈/n,”〉=

百+㈠>+1.J[2+(_]>+]2第二亍

所以平面MOB,與平面CB]A所成二面角的正弦值為1.

2(3店

21.(1)—+V2=1；(2)—,1+——.

3,[23

【解析】

(1)根據(jù)坐標和的與與為等邊三角形可得a,b,進而得到橢圓方程;

(2)①當直線MN斜率不存在時，易求M,N坐標,從而得到所求面積；②當直線MN的斜率存在時，設方程為

y=1),與橢圓方程聯(lián)立得到韋達定理的形式,并確定k的取值范圍；利用S=S&Y04+S^OMN+S4MOB?代

6

入韋達定理的結論可求得S關于攵的表達式，采用換元法將問題轉化為S，〃€(夜+6,26)的值

"2d----25/3

m

域的求解問題，結合函數(shù)單調性可求得值域；結合兩種情況的結論可得最終結果.

【詳解】

(1)?.?4(0,1),.”=1,

2

???△444為等邊三角形，.”二園二百，.?橢圓的標準方程為,+V=1.

(2)設四邊形的面積為S.

①當直線MN的斜率不存在時，可得M，,-豐)

,N1,

』"2+2司Xl=l+逅

2、3）3

②當直線MN的斜率存在時，設直線MN的方程為y=《(x-1),

設N（x2,y2）,

《+2-1

+>