2020-2021學年浙江省溫州市永嘉縣東方外國語學校九年級（下）期末數(shù)學復習試卷（附答案詳解）

2020-2021學年浙江省溫州市永嘉縣東方外國語學校九年

級(下)期末數(shù)學復習試卷

一、解答題(本大題共25小題，共200.0分)

1.在屏幕上有如下內(nèi)容:

如圖，△ABC內(nèi)接于。。，直徑4B的長為2,過點C

BD

的切線交ZB的延長線于點D.張老師要求添加條件后，\/

編制一道題目，并解答.'-----/

(1)在屏幕內(nèi)容中添加條件4。=30。，求40的長.請你解答.

(2)以下是小明、小聰?shù)膶υ挘?/p>

小明：我加的條件是BD=1,就可以求出4Z)的長

小聰：你這樣太簡單了，我加的是乙4=30。，連結(jié)OC,就可以證明A/ICB與△CC。

全等.

參考此對話，在屏幕內(nèi)容中添加條件，編制一道題目(可以添線添字母)，并解答.

2.如圖，在等腰AABC中，AB=AC,以AC為直徑作A

。。交BC于點D,過點。作DEJ.AB,垂足為E.

(1)求證：DE是00的切線.B

D

(2)若。E=V5,NC=30。，求助的長.

3.如圖，在“MBC中，以。為圓心，。4為半徑的圓與

BC相切于點8,與0C相交于點。.

(1)求助的度數(shù).

(2)如圖，點E在。。上，連結(jié)CE與。。交于點F,

若EF=4B,求NOCE的度數(shù).

如圖，4B為半圓。的直徑，C為B4延長線上一點，CD

切半圓。于點D,連接。D.作BE1CD于點E,交半圓0

于點尸.己知CE=12,BE=9.

(1)求證：ACODfCBE.

(2)求半圓0的半徑r的長.

5.如圖，。是AABC的8C邊上一點，連接4D,作△ABD的外

接圓，將△4DC沿直線折疊，點C的對應點E落在。。上.

(1)求證：AE=AB.

第頁，共頁

246AB

(2)若/CAB=90°,cos^ADB=1,BE=2,求BC的長.

6.如圖，AB是半圓。的直徑，CDLAB于點C,交半圓于點E,DF切半圓于點F.已知

2LAEF=135°.

(1)求證：DF//AB,

(2)若OC=CE,BF=2V2，求DE的長.

7.如圖，在ZiaBC中，^BAC=90°,點E在8c邊上，且

CA=CE,過4,C,E三點的。。交4B于另一點F,作

直徑4。，連結(jié)。E并延長交4B于點G,連結(jié)CD,CF.

(1)求證：四邊形CCFG是平行四邊形.

(2)當BE=4,CD=]4B時，求。。的直徑長.

O

8.如圖，在RtAABC中，點0在斜邊AB上，以。為圓心，

0B為半徑作圓，分另IJ與BC,AB相交于點D,E,連結(jié)AD.

已知NCAD=ZB.

(1)求證：AO是。。的切線.

(2)若BC=8,tanB=求。。的半徑.

9.如圖，。為Rt△4BC的直角邊AC上一點，以。C為半徑的

。。與斜邊相切于點。，交04于點E.已知BC=百，

AC=3.

(1)求4。的長；

(2)求圖中陰影部分的面積.

第4頁，共46頁

10.如圖，已知等腰直角三角形4BC,點P是斜邊BC上一點(不與B,

C重合)，PE是AABP的外接圓。。的直徑.\//\

(1)求證：△APE是等腰直角三角形；{/,

(2)若。。的直徑為2,求PC2+PB2的值.

11.如圖1,。。經(jīng)過等邊△ABC的頂點A,C(圓心。在△A8C內(nèi))，分別與4B,CB的延

長線交于點D,E,連結(jié)CE,8尸上后。交4后于點尸.

(1)求證：BD=BE.

(2)當4F：EF=3：2,4c=6時，求4E的長.

AC

(3)設&=%,tan^DAE=y.

EF

①求y關于x的函數(shù)表達式；

②如圖2,連結(jié)OF,OB,若△4EC的面積是△。尸B面積的10倍，求y的值.

AA

圖1圖2

12.如圖，△ABC是00的內(nèi)接三角形，點。在詫上，點E在

弦力B上(E不與4重合)，且四邊形BDCE為菱形.

(1)求證：AC=CE；

(2)求證：BC2-AC2=AB-AC；

(3)已知。。的半徑為3.

①若襄=|，求BC的長;

②當繁為何值時，4BMC的值最大?

13.如圖，在RtAABC中，/C=90。，以BC為直徑的。。交4B于

點。，切線DE交AC于點E.

第6頁，共46頁

(1)求證：N4=乙4DE；

(2)若4。=16,DE=10,求BC的長.

14.如圖，已知銳角三角形ZBC內(nèi)接于圓。，。。_1.8。于點。，連接。4

(1)若484c=60°,

①求證：OD=^OA.

②當。4=1時，求AABC面積的最大值.

(2)點E在線段。4上，OE=OD,連接DE,設立ABC=m^OED,4ACB=nzOED(m,n

是正數(shù))，若乙48。＜乙4。8,求證：m-n4-2=0.

A

15.如圖，在△ABC中，4c=90。，。是BC邊上一點，以。8為

直徑的O。經(jīng)過4B的中點E,交/。的延長線于點尸，連結(jié)

EF.

(1)求證：zl=ZF.

(2)若sinB=f,EF=2遍，求CD的長.

16.如圖，在△ABC中，AC=BC,乙ACB=90°,O。(圓

心。在△48C內(nèi)部)經(jīng)過8、C兩點，交4B于點E,過

點E作。。的切線交4c于點凡延長C。交4B于點G,

作E。//4c交CG于點。

(1)求證：四邊形CDEF是平行四邊形；

(2)若BC=3,tanzDEF=2,求BG的值.

第8頁，共46頁

E

17.如圖，4B為。。的直徑，點C在。。上，延長BC至

點D,使DC=CB,延長D4與00的另一個交點為

E,連接AC,CE.

(1)求證：LB=￡D；

(2)若力B=4,BC-AC=2,求CE的長.

18.如圖，己知4B是。。的直徑，C,D是。。上的點，0C//BD,

交力。于點E,連結(jié)BC.

(1)求證：AE=ED；

(2)若4B=10,乙CBD=36。，求父的長.

19.如圖，已知4B為。。直徑，AC是。。的切線，連接BC交。。于點F,取好的中點。,

連接4D交BC于點E,過點E作EH14B于H.

⑴求證：AHBEFABC；

(2)若CF=4,BF=5,求AC和E”的長.

20.如圖1,直線，：y=+b與％軸交于點4(4,0),與y軸交于點B,點C是線段0A上

一動點(0<4C<￡).以點4為圓心，AC長為半徑作。4交x軸于另一點D,交線段

4B于點E,連結(jié)OE并延長交04于點F.

⑴求直線，的函數(shù)表達式和tan/BA。的值；

(2)如圖2,連結(jié)CE,當)E=E/時,

①求證：△OCE-A0EA；

②求點E的坐標；

(3)當點C在線段04上運動時，求0E-EF的最大值.

第10頁，共46頁

21.有兩個內(nèi)角分別是它們對角的一半的四邊形叫做半對角四邊形.

(1)如圖1,在半對角四邊形ZBCD中，ZB=T乙4，求NB與“的度數(shù)

之和；

(2)如圖2,銳角ZSMBC內(nèi)接于。0,若邊AB上存在一點D,使得BD=BO,乙。84的

平分線交。4于點E,連結(jié)DE并延長交AC于點F/4FE=2/E4足求證：四邊形DBCF

是半對角四邊形；

(3)如圖3,在(2)的條件下，過點。作DG10B于點H,交BC于點G,當DH=BG時，

求^BG〃與△4BC的面積之比.

22.如圖，已知△力BC內(nèi)接于00,點C在劣引L4B上(不與點4B重合)，點。為弦BC的

中點，DE1BC,0E與AC的延長線交于點E,射線4。與射線EB交于點F,與O。交

于點G,設NG4B=a,乙ACB=0,/.EAG+Z.EBA=y,

(1)點點同學通過畫圖和測量得到以下近似數(shù)據(jù)：

Q30°40°50°60°

120°130°140°150°

Y150°140°130°120°

猜想：0關于a的函數(shù)表達式，y關于a的函數(shù)表達式，并

給出證明；

(2)若y=135。，CD=3,△4BE的面積為△ABC的面積

的4倍，求。。半徑的長.

23.如圖，4B是。。的切線，A為切點，AC是。。的弦，過。作

OHJ.AC于點H.若0H=2,AB=12,B0=13.

求：(1)0。的半徑；

(2)sinz。4c的值；

(3)弦AC的長.(結(jié)果保留兩個有效數(shù)字)

24.如圖，A4BC中，44cB=90。，。是邊4B上一點，且

&=2NDCB.E是BC邊上的一點，以EC為直徑的。0

經(jīng)過點D.

(1)求證：4B是。。的切線；

(2)若C。的弦心距為1,BE=E0,求8。的長.

第12頁，共46頁

25.如圖，己知：AB是。。的直徑，點C在。。上，CD是

。0的切線，力。，。。于點。，E是AB延長線上一點,

CE交。。于點F,連接OC、AC.

⑴求證：4c平分mi。.

(2)若乙。4。=105°,4E=30°

①求NOCE的度數(shù)；

②若。。的半徑為2夜，求線段EF的長.

答案和解析

1.【答案】解：（1）連接。C,如圖,

???CD為切線，

:.0C1CD,

???Z.OCD=90°,

???乙D=30°,

???OD=2OC=2,

??.40=/。+。。=1+2=3；

(2)添加40c8=30。，求4c的長，

解：MB為直徑，

:.乙ACB=90°,

v/.ACO+Z-OCB=90°,Z-OCB+乙DCB=90°,

???Z-ACO=乙DCB,

vZ.ACO=

:.=乙DCB=30°,

在RM4CB中，BC=\AB=1,

AC==V3-

【解析】（1）連接OC,如圖，利用切線的性質(zhì)得4OCD=90。，再根據(jù)含30。的直角三角

形三邊的關系得到0。=2,然后計算。4+。。即可；

（2）添加NOCB=30。，求AC的長，利用圓周角定理得到乙4cB=90。，再證明乙4=

乙DCB=30°,然后根據(jù)含30。的直角三角形三邊的關系求4c的長.

本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.若出現(xiàn)圓的切線，必連過切

點的半徑，得出垂直關系.

2.【答案】（1）證明：連接OD；

vOD—0C,

B

D

第14頁，共46頁

???乙C=Z-ODC,

-AB=AC,

:.乙B=乙C,

???LB=Z-ODC，

:.OD//AB,

:.乙ODE=乙DEB；

vDE1AB,

???乙DEB=90°,

???乙ODE=90°,

即DE1OD,

.,.OE是。。的切線.

(2)解:連接4D,

v4c是直徑，

Z.ADC=90°,

■:AB=AC,

???乙B=乙C=30°,BD=CD,

Z-OAD=60°,

vOA=OD,

??.△AOD是等邊三角形，

:.Z.AOD=60°,

???DE=百，=30°,乙BED=90°,

CD=BD=2DE=2技

OD=AD=tan30°?CO=gx26=2,

二益的長為：喏=拳

【解析】(1)連接OD，只要證明ODIDE即可；

(2)連接4。，根據(jù)4c是直徑，得到N4DC=90。，利用AB=4C得到BD=CD,解直角

三角形求得BD,在Rt^AB。中，解直角三角形求得4D,根據(jù)題意證得△40。是等邊三

角形，即可。。=4。，然后利用弧長公式求得即可.

本題考查了切線的判定.要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點

（即為半徑），再證垂直即可.

3.【答案】解：（1）連接。8,

???8。是圓的切線，二。3,8。，

???四邊形O4BC是平行四邊形，

OA//BC,OBLOA,

是等腰直角三角形，

???Z.ABO=45°,

筋的度數(shù)為45。；

（2）連接。E,過點。作。H1EC于點H,設EH=3

???OH1EC,

???EF=2HE=2t,

?.?四邊形OABC是平行四邊形，

AB=CO=EF=2t,

???△40B是等腰直角三角形，

?1?0A—V2t，

則H。=VOE2-EH2=V2t2-t2=t,

???OC=20H,

■■乙OCE=30°.

第16頁，共46頁

【解析】(1)連接。8,證明△AOB是等腰直角三角形，即可求解;

(2)△4。8是等腰直角二角形，則04=或3HO=y/OE2—EH2=V2t2-t2=t>即

可求解.

本題主要利用了切線和平行四邊形的性質(zhì)，其中(2),要利用(1)中AAOB是等腰直角三

角形結(jié)論.

4.【答案】（1）證明：「CD切半圓。于點D,

???CD10D,

乙CDO=90°,

vBE±CD,

乙E=90°=4CDO,

又：”=”，

C0Ds&CBE.

（2）解：^.Rt^BEC^p,CE=12,BE=9,

BC=y/CE2+BE2=15，

???△C0Ds&CBE.

【解析】(1)由切線的性質(zhì)和垂直的定義得出NE=90。=NCDO,再由NC=NC,得出

△COD^hCBE.

(2)由勾股定理求出BC=WE?+BE?=15,由相似三角形的性質(zhì)得出比例式，即可得

出答案.

本題考查了切線的性質(zhì)、相似三角形的判定及其性質(zhì)、勾股定理；熟練掌握相似三角形

的判定與性質(zhì)是解決問題的關鍵.

5.【答案】解：（1）由折疊的性質(zhì)可知，△4OEmA4DC,

???Z.AED=Z.ACD,AE=AC,

4ABD=Z.AED,

???Z.ABD=Z.ACD,

???AB=AC,

???AE=AB；

(2)如圖，過4作4"1BE于點H,

vAB-AE,BE=2,

，BH=EH=I,

???Z.ABE=Z.AEB=Z.ADB,cosZ-ADB=i,

3

???cosZ-ABE=cos乙ADB=

3

BH1

A—=

AB3

：?AC=AB=3,

???/.BAC=90°,AC=AB,

：.BC=3V2.

【解析】(1)由折疊得出N4ED=^.ACD.AE=AC,結(jié)合N4BD=ZJ1ED知/ABD=/.ACD,

從而得出AB=AC,據(jù)此得證；

(2)作4"1BE,由4B=AES.BE=2知BH=EH=1,根據(jù)Z718E=Z.AEB=知

cos/ABE=cos乙4DB=警=；,據(jù)此得4c=48=3,利用勾股定理可得答案.

AB3

本題主要考查三角形的外接圓，解題的關鍵是掌握折疊的性質(zhì)、圓周角定理、等腰三角

形的性質(zhì)及三角函數(shù)的應用等知識點.

6.【答案】(1)證明：連接OF,

圖1

第18頁，共46頁

???4、E、/、B四點共圓，

/.Z.AEF+Z.B=180°,

???￡.AEF=135°,

???乙B=45°,

:.Z-AOF=2/-B=90°,

???川徹0。于不

:.Z.DFO=90°,

DC1AB,

???乙DCO=90°,

BPzDCO=Z-FOC=4DFO=90°,

???四邊形DCOF是矩形，

???DF//AB；

(2)解：過E作EMJ.BF于M,

???四邊形DC。尸是矩形，

???OF=DC=OAf

???OC=CE,

:.AC=DE,

設則=

???在Rt△FOB中，(FOB=90°,OF=OB,BF=2/，由勾股定理得：OF=OB=2,

則力B=4,BC=4-x,

??AC=DE,DF=CE,

???由勾股定理得：AE=EF,

???Z,ABE=乙FBE,

?:ECLAB,EM1BF

???EC=EM,乙ECB==90°,

LECA^WRtLEMF^

(AE=EF

VEC=EM

???Rt△ECA^Rt△EMF(HL),

???AC=MF=DE=x,

在RtZkECB和RtZkEMB中，由勾股定理得：BC=BM,

BF=BM-MF=BC-MF=4-x-x=2&,

解得：x=2-V2>

即。E=2-V2.

【解析】(1)證明：連接OF,根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到乙4EF+NB=180。，由于

乙4EF=135°,得出NB=45°,于是得到乙4。尸=2乙B=90°,由CF切。。于F，得到

ADFO=90°,由于DC14B,得到NDC。=90。，于是結(jié)論可得；

(2)過E作EM1.BF于M,由四邊形DCOF是矩形，得到OF=DC=。4,由于OC=CE,

推出AC=DE,設DE=X,則4c=x,在Rt△FOBdp,Z.FOB=90°,OF=OB,BF=2近,

由勾股定理得：。尸=OB=2,則AB=4,BC=4-x,由于4c=OE,DF=CE,由

勾股定理得：AE=EF,通過Rt^ECA三RtAEMF,得出AC=MF=DE=無，在Rt△

ECB和RtAEMB中，由勾股定理得：BC=BM,問題可得.

本題考查了圓周角性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，角平分線的

性質(zhì)，矩形的性質(zhì)和判定的應用，正確的作出輔助線是解題的關鍵.

7【答案】(1)證明:連接4E,

vABAC=90°,

???CF是0。的直徑，

?:AC=EC,

???CF1AE,

???4。是。。的直徑，

:./-AED=90°,

即GOLAE,

ACF//DG,

???4。是。。的直徑，

???乙ACD=90°,

A/LACD+Z.BAC=180°,

第20頁，共46頁

:?AB"CD,

???四邊形DCFG是平行四邊形;

(2)解：由CD=gAB,

O

設CO=3%,AB=8x,

???CD=FG=3x,

vZ-AOF=乙COD,

:.AF=CD=3%,

:.BG=8x—3x—3x=2x,

???GE//CFf

.BE_BG_2

,?EC-GF-3’

vBE=4,

???AC=CE=6,

'?BC=6+4=10,

???AB=V102—62=8=8%，

???%=1,

在中，AF=3,AC=6,

???CF=V32+62=3V5.

即O。的直徑長為3遍.

【解析】(1)連接4E,由NB4C=90。，得到CF是0。的直徑，根據(jù)圓周角定理得到

/.AED=90°,即G014E,推出CF〃OG,推出AB〃C。，于是得到結(jié)論；

(2)設C。=3x,AB=8x,得到C。=FG=3x,于是得到4尸=CD=3x,求得BG=8x-

3x-3x=2x,求得BC=6+4=10,根據(jù)勾股定理得到力B=V102-62=8=8x,

求得x=1,在Rt△4CF中，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

本題考查了三角形的外接圓與外心，平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，

熟練掌握平行四邊形的判定定理是解題的關鍵.

8.【答案】(1)證明：連接OD,

vOB=OD,

:.Z.3=(B,

v乙B=乙1,

:.zl=z.3,

在中，41+42=90。，

??.Z4=180°-(z2+z3)=90°,

???ODLAD,

則/D為圓。的切線；

(2)設圓。的半徑為r,

在Rt△48c中，AC=BCtanB=4,

根據(jù)勾股定理得：AB=V42+82=4\/5?

???OA=4A/5—r?

在RtaACD中,tanz.1=tanB=p

???CD=i4Ctanzl=2,

根據(jù)勾股定理得：AD2=AC2+CD2=164-4=20,

在RtZkAOO中，。/2=。。2+力。2,即(44_廠)2="+20,

解得：r=延.

2

【解析】(1)連接。D,由。。=。8,利用等邊對等角得到一對角相等，再由已知角相等，

等量代換得到41=43,求出N4為90。，即可得證；

(2)設圓的半徑為r,利用銳角三角函數(shù)定義求出4B的長，再利用勾股定理列出關于r的

方程，求出方程的解即可得到結(jié)果.

此題考查了切線的判定與性質(zhì)，以及勾股定理，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)是解本題的

關鍵.

9.【答案】解：

⑴在Rt/MBC中，?；BC=V5，AC=3.

AB=y/AC2+BC2=2V3.

vBC1OC,

BC是圓的切線，

???0。與斜邊48相切于點D,

???BD=BC,

AD=AB—BD=2也一陋=回

第22頁，共46頁

(2)在ABC中，

.ABCV31

■:sinA=—=—7==一,

AB2V32

:.=30°,

???。0與斜邊48相切于點D,

???OD1AB,

:./-AOD=90。一44=60°,

v—=tanA=tan30°,

AD

ODV3

'kT

:.OD=1,

S_607rxi2_n

'、陰影=/^~=%

【解析】(1)首先利用勾股定理求出SB的長，再證明BD=BC,進而由4D=AB-BD可

求出；

(2)利用特殊角的銳角三角函數(shù)可求出N4的度數(shù)，則圓心角的度數(shù)可求出，在直

角三角形。D4中求出OD的長，最后利用扇形的面積公式即可求出陰影部分的面積.

本題考查了切線的性質(zhì)定理、切線長定理以及勾股定理的運用，熟記和圓有關的各種性

質(zhì)定理是解題的關鍵.

10.【答案】(1)證明：VAB=AC,Z.BAC=90%

ZC=乙ABC=45°,

^AEP=乙ABP=45°,

???PE是直徑，

APAB=90°,

Z.APE=Z.AEP=45°,

???AP=AE,

??.△P4E是等腰直角三角形.

(2)???AC=AB.AP=AEfZ.CAB=^PAE=90°,

???匕CAP=/-BAE,

CAP=^BAE,

44cp=/.ABE=45°,PC=EB,

???乙PBE=2.ABC+/.ABE=90°,

PB2+PC2=PB2+BE2=PE2=22=4.

【解析】⑴只要證明乙4EP=ZABP=45°,APAB=90。即可解決問題；

(2)作PM1AC于M,PN1AB于N,則四邊形PM4N是矩形，可得PM=AN,由4PCM,

△PNB都是等腰直角三角形，推出PC=&PM,PB=V2PN,可得PC2+P^2=

2(P"2+pW)=2(AN2+PN2)=2PA2=PE2=22=4；

本題考查三角形的外接圓與外心、勾股定理、矩形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性

質(zhì)等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造特殊四邊形解決問題，屬于中考常

考題型.

11.【答案】證明：(1)???△48C是等邊三角形，

???4BAC=NC=60°,

vZ.DEB=Z.BAC=60°,4。=NC=60°,

???Z-DEB=乙D,

BD=BE；

(2)如圖1,過點4作4G_LBC于點G,

???△4BC是等邊三角形，AC=6,

???BG=-BC=-AC=3,

22

???在RtZkABG中，AG=V3BG=373，

???BF1EC,

???BF”AG,

tAF_BG

**EF―茄’

vAF：EF=3：2,

2

???BE=-BG=2,

3

???EG=BE+BG=3+2=5,

在RtA/lEG中，AE=y/AG2+EG2=J(3V3)2+52=2V13；

(3)①如圖1,過點E作EHJ.AC于點H,

第24頁，共46頁

A

/B

H

圖1

???Z.EBD=/.ABC=60°,

:?在RtABEH中,—=sin600=—,

BE2

EH=—BE，BH=*E,

22

BGAF

—=—=X,

EBEF

???BG=xBE,

:.AB=BC=2BG=2xBE,

AH=AB+BH=2xBE+^BE=(2x+》BE,

在Rt△AHE中，tan^EAD=—=鄴=-

AH(2%)BE4x

V3；

AJV=-4-x-+--l

②如圖2,過點。作。MLBC于點M,

____A

圖2

設BE=a,

BGAF

—=—=X

EBEF

CG=BG=xBE=ax.

???EC=CG+BG+BE=a+2ax,

??.EM=-EC=-a+ax,

：?BM=EM-BE=ax--a,

2

???BF//AG,

EBF~>EGA,

.B.F—.B.E.-----a-------1-

AGEGa+ax1+x*

vAG=V3BG=V3ax?

???BF^—AG=—，

x+1x+1

OFB的面積="烈=Sx酗g_%),

22x+1'27

4EC的面積=EC^G=|xV3ax(a+2ax),

???△AEC的面積是4。尸B的面積的10倍，

-xV5ax(a+2QX)=10x—x(ax—-a),

???2x2-7x+6=0,

解得：

xx=2,X2=|.

?.?y=不或T

【解析】(i)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和圓周角定理解答即可；

(2)過點4作AG1BC于點G,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理解得即可；

(3)①過點E作EH14。于點H,根據(jù)三角函數(shù)和函數(shù)解析式解得即可；

②過點。作OM1BC于點M,根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)解答即可.

此題是圓的綜合題，關鍵是根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理和相似三角形的判定和性

質(zhì)解答.

12.【答案】解：(1)???四邊形EBDC為菱形，

???乙D=Z.BEC,

???四邊形ABDC是圓的內(nèi)接四邊形，

???乙4+W=180°,

又4BEC+NAEC=180°,

???Z.A=Z.AEC,

AC=AE；

第26頁，共46頁

(2)以點C為圓心，CE長為半徑作OC,與BC交于點F,于BC延長線交于點G,則CF=CG,

由(1)知AC=CE=CD,

:.CF=CG=AC,

??,四邊形4EFG是OC的內(nèi)接四邊形，

/.zG+Z.AEF=180°,

又???Z,AEF+乙BEF=180°,

:.Z.G=乙BEF,

v乙EBF=Z.GBA,

BEF~ABGAy

二些=絲，即BF-BG=BE-AB,

BFBA

?:BF=BC-CF=BC-AC、BG=BC+CG=BC+AC,BE=CE=AC,

■.(BC-AC^BC+AC)=AB-AC,BPBC2-AC2=AB-AC；

(3)設=5k、AC=3k,

vBC2-AC2=AB-AC,

BC=2A/6/C，

連接ED交BC于點M,

???四邊形BDCE是菱形，

DE垂直平分BC,

則點E、。、M、。共線，

在RtDC=AC=3k,MC=加=私,

DM=VCD2-CM2=V3fc，

OM=0D-DM=3-?，

在Rt△COM中，由。"2+MC2=OC2得(3-痘k)2+(V6fc)2=32.

解得：h=手或/￡=0(舍)，

???BC=2佩=4V2;

②設OM=d,則MD=3-d,MC2=OC2-OM2=9-d2,

???BC2=(2MC，=36-4(/2,

AC2=DC2=DM2+CM2=(3-d)2+9-d2,

由(2)得AB-AC=BC2-AC2

=-4d2+6d+18

=—4(d-}2+*

.?.當d=j,即=：時，ZB.AC最大，最大值為當，

444

DC2=y,

AC=DC=—>

2

:.AB=也，此時券=1.

4AC2

【解析】(1)由菱形知N。=乙BEC,由乙4+Z.D=4BEC+Z.AEC=180?？傻靡?=Z.AEC,

據(jù)此得證；

(2)以點C為圓心，CE長為半徑作(DC,與BC交于點F,于BC延長線交于點G,則CF=

CG=AC=CE=CD,證4BEFfBGA得整=獸，即8F-BG=BE-AB,將BF=BC—

BFBA

CF=BC-AC.BG=BC+CG=BC+4c代入可得；

(3)①設48=5k、AC=3k,由BC?-AC2=AB?AC知BC=2私,連接EO交BC于點

M,/?14?！?。中由。。=4。=3/:、MC=3BC=灰k求得DM=近講=^=6k,

可知OM=0。一DM=3-B/c，在RtACOM中，由OM?+MC?=OC?可得答案.(2)

設0M=d,則MD=3-d,MC2=OC2-OM2=9-d2,繼而知BC?=(2MC)2=36-

4d2、AC2=DC2=DM2+CM2=(3-d)24-9-d2,由(2)得4B?AC=BC2-4。2,

據(jù)此得出關于d的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案.

本題主要考查圓的綜合問題，解題的關鍵是掌握圓的有關性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及

菱形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識點.

第28頁，共46頁

13.【答案】(1)證明：連接0D,

???DE是切線,

??.Z.ODE=90°,

???Z.ADE+乙BDO=90°,

???乙ACB=90°,

:.乙4+=90°,

vOD=OB,

乙B=乙BDO,

???Z.ADE=Z.A.

(2)連接CD.

???/,ADE=乙4,

:.AE=DE,

???8。是。。的直徑，乙4cB=90。，

???EC是。。的切線，

?,.ED=EC,

:.AE=EC,

vDE=10,

-?AC=2DE=20,

在RtaADC中，DC=V202-162=12，

設BD=x,在RtZ^BDC中，BC2=x2+122,在RtZkABC中，BC2=(x+16)2-202,

???X2+122=(X+16)2-202,

解得x=9,

???BC=V122+92=15.

【解析】(1)只要證明44+NB=90°,/.ADE+/B=90。即可解決問題：

(2)首先證明AC=2DE=20,在中，DC=V202-162=12，設BD=X,在

2222222

Rt△BOC中，BC=x+12,在Rt△ABC中，BC=(x+16)-20,可得/+12=

0+16)2—202,解方程即可解決問題；

本題考查切線的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關鍵是靈活

運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型.

14.【答案】解：(1)①連接OB、0C,

???乙0BC=30°,

=-0/4；

0D=-2O2B

②VBC長度為定值，

求AaBC面積的最大值，要求BC邊上的高最大，

當4D過點。時，40最大，即：AD=A0+0D=1，

根據(jù)勾股定理求出BC=更，

2

△ABC面積的最大值=-xBCxAD=-x2BDx-=—：

2224

(2)如圖2,連接。C,

則乙4BC=mx,Z.ACB=nx,

則NB4C=180°-乙ABC一乙ACB=180°-mx-nx=：(B0C=乙D0C,

?:Z.AOC=2(ABC—2mx,

:.Z.AOD=(COD+Z.AOC—180°—mx—nx4-2mx=180°+mx-nx,

vOE=OD,

???乙4。。=180°-2x,

即：180°4-mx—nx=180°—2x,

第30頁，共46頁

化簡得：m—幾+2=0.

【解析】⑴①連接。B、OC,則NBOC=，BOC=4B4C=60。，即可求解；②BC長

度為定值，△ABC面積的最大值，要求BC邊上的高最大，即可求解；

(2)z_B4C=1800-AABC-4ACB=180°-mx-nx=2OC=乙DOC,而24。0=

乙COD+Z.AOC=180°—mx-nx+2mx=180°+mx—nx,即可求解.

本題為圓的綜合運用題，涉及到30。直角三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和公式，其中

(2)乙40D=乙COD+乙40C是本題容易忽視的地方.

15.【答案】(1)證明:連接DE,

???8。是。。的直徑，

AZ-DEB=90°,

???E是48的中點，

DA=DB,

???Z.1=乙B,

v乙B=(F,

???Z1=乙F；

(2)vzl=ZF,

AE=EF=2V5.

■?■AB=2AE=4V5>

在Rt△ABC中，AC=AB-sinB=4,

BC=y/AB2-AC2=8,

設CD=x,則4D=BD=8-x,

vAC2+CD2=AD2,

即42+/=(8-x)2,

x=3,即CO=3.

【解析】本題考查了圓周角定理，解直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理,

正確的作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關鍵.

(1)連接DE,由BD是。0的直徑，得到40EB=90°,由于E是AB的中點，得到ZM=DB,

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到=4B等量代換即可得到結(jié)論；

(2)根據(jù)等腰三角形的判定定理得到4E=EF=2z，推出力8=24E=4遮，在Rt△

力BC中，根據(jù)勾股定理得到BC=7AB2-AC2=8，設CD=x,則4D=BD=8-x,

根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論.

16.【答案】解：(1)連接CE,

?.?在A/IBC中，AC=BC,44cB=90。，

乙B=45°,

?；EF是。。的切線，

4FEC=Z.5=45°,乙FEO=90。，

???乙CEO=45°,

?:DE//CF,

Z.ECD=乙FEC=45°,

???Z.EOC=90°,

EF//OD,

二四邊形CDE尸是平行四邊形；

(2)過G作GN1BC于N,

是等腰直角三角形，

MB=GM,

???四邊形CDEF是平行四邊形，

???Z.FCD=乙FED,

v/.ACD+乙GCB=乙GCB+ZCGM=90°,

:.Z-CGM=Z.ACD,

???乙CGM=乙DEF,

vtanZ.DEF=2,

???tanzCGM=—=2,

GM

??.CM=2GM,

???CM+BM=2GM+GM=3,

第32頁，共46頁

GM=1,

:.BG=\[2GM=V2.

【解析】(1)連接CE,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到ZB=45。，根據(jù)切線的性質(zhì)得到

乙FEC=4B=45°,Z.FEO=90°,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到“CD=4FEC=45°,得到

NEOC=90。，求得EF〃OD,于是得到結(jié)論；

(2)過G作GN1BC于N,得到△GMB是等腰直角三角形，得到MB=GM,根據(jù)平行四邊

形的性質(zhì)得至此FCD="ED,根據(jù)余角的性質(zhì)得到NCGM=〃CC,等量代換得到

△CGM=LDEF,根據(jù)三角函數(shù)的定義得到CM=2GM,于是得到結(jié)論.

本題考查了切線的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，解

直角三角形，正確的作出輔助線是解題的關鍵.

17.【答案】⑴證明:???48為。。的直徑,

???乙ACB=90°,

AC1BC,

又???DC=CB,

??AD-AB,

???乙B=4D；

(2)解：設BC=x,則)C=x-2,

在RMABC中，AC2+BC2=AB2,

(x-2)2+x2=42,

解得：X[=l+V7,%2=1—近(舍去)，

v乙B=Z.E,4B=Z.D,

:.Z.D—乙E,

■1?CD=CE,

■■■CD=CB,

??CE—CB=1+V7.

【解析】此題考查了圓周角定理、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以

及勾股定理等知識.此題難度適中，注意掌握方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應用.

(1)由AB為O。的直徑，易證得4c1BD,又由OC=CB,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，

可證得4。=AB,即可得：乙B=Z-D；

(2)首先設8C=x,則4c=%—2,由在RtZkABC中，AC2-VBC2=可得方程:

(%-2)2+%2=42,解此方程即可求得CB的長，繼而求得CE的長.

18.【答案】證明：(1)???48是。。的直徑，

???Z.ADB=90°,

???OC//BD,

乙4EO=/LADB=90°,

即。C_LAD,

???AE=ED；

(2)???OCLAD,

???AC=CD,

???乙ABC=Z-CBD=36°,

：?乙4OC=2/.ABC=2x36°=72°,

【解析】此題考查弧長公式，關鍵是根據(jù)弧長公式和垂徑定理解答.

(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)得出乙4￡。=90°,再利用垂徑定理證明即可；

(2)根據(jù)弧長公式解答即可.

19.【答案】解：⑴???4;是00的切線,

???CA1.AB,,:EH1AB,

乙EHB=LCAB,?:乙EBH=CCBA,

*'?△HBEs公ABC.

(2)連接4凡

???AB是直徑，

第34頁，共46頁

???/.AFB=90°,

vZ-C=（C,乙CAB=Z/1FC,

?,.△CAF^ACBA,

???CA2=CF,CB=36,

???CA=6,AB=y/BC2-AC2=3岳,AF=y/AB2-BF2=2通,

DF=

LEAF=Z.EAH,vEFLAFfEHLAB,

:,EF=EH,-AE=AEf

:.Rt△AEF=Rt△AEH,

???AF=AH=2b，設EF=EH=x,

又HB=48-AH=3有一2花=而，

則在中，（5-x）2=%2+（花）2,

x-2,

/.EH=2.

【解析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理、切線的性質(zhì)、角平分線的性

質(zhì)等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，正確尋找相似三角形解決問題.

(1)根據(jù)切線的性質(zhì)即可證明：乙CAB=LEHB,由此即可解決問題；

(2)連接4F.由△(L4FsACB4推出CA?=CF?CB=36,推出C4=6,AB=

y/BC2-AC2=3V5.AF=>JAB2-BF2=2V5>由Rt△AEF三Rt△4E”，推出AF=

AH=2西，設EF=EH=%,在Rt△EHB中,根據(jù)勾股定理列方程(5-彳>=/+(⑥)2,

解方程即可解決問題.

20.【答案】解：???直線1：y=—,%+b與x軸交于點4(4,0),

3

—x4+Z?=0,

4

???b=3,

???直線/的函數(shù)表達式y(tǒng)=-|x+3,

:.5(0,3),

:.OA=4,OB=3,

在Rt△力OB中，tan^BAO=^=-；

OA4

(2)①如圖2,連接DF,???CE=EF,

:.Z-CDE=Z.FDE,

:.乙CDF=2乙CDE,

???Z-OAE=2/-CDE,

:.Z.OAE=乙ODF,

,??四邊形CEFD是。。的圓內(nèi)接四邊形，

:.Z.OEC=乙ODF,

:.Z-OEC=Z.OAE,

vZ-COE=Z-EOA,

???△COE~XEOA,

②過點E10A于M,

由①知，tan/CMB=：,

設EM=3m,則AM=4m,

???OM=4—4m,AE=5m,

???E(4—4m,3m),AC=5m,：?

OC=4—5m,

由①知，△COE-aEOA,

OCOE

??—=—,

OEOA

???OE2=OA-OC=4(4-5m)=16-20m,

vE(4—4m,3m),

...(4-4m)2+97n2=25m2-32m+16,

:.25m2—32m+16=16—20m,

???m=0(舍)或7n=1|,

..52c36

???4—4m=-,3m=—,

2525

???OA=4,OB=3,

第36頁，共46頁

???AB=5,

.---ABxOG=-0AxOB,

22

??.OG=Y，

“OG12416

???AG=-------=—X-=—,

tanz.OAB535

EG=AG-AE=^-r,

連接尸H,

???EH是。。直徑，

EH=2r,乙EFH=90°=Z.EGO,

???"EG=乙HEF,

OEG~2HEF,

.OE__EG

**HE-EF)

OE-EF=HE-EG=2r(y-r)=-2(r-|)2+翳，

???r=g時，OE-EF最大值為詈.

【解析】(1)利用待定系數(shù)法求出b即可得出直線/表達式，即可求出0