2022中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)：開放探究題

2022中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)：開放探究題

1.類比、轉(zhuǎn)化、從特殊到一般等思想方法，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中經(jīng)常用到，如下是一個(gè)案例，請補(bǔ)充完

整.

原題：如圖1,在平行四邊形ABCO中，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是線段AE上一點(diǎn)，BF的延長線交射線

CO于點(diǎn)G.若保=3,求察的值.

EFCG

(1)嘗試探究

在圖1中，過點(diǎn)E作EH交BG于點(diǎn)H,則AB和￡”的數(shù)量關(guān)系是,CG和E”的數(shù)量關(guān)

系是_________,段的值是_________.

CG

(2)類比延伸

APcn

如圖2,在原題的條件下，若黑=，〃(〃?＞0),則號的值是_________(用含有加的代數(shù)式表示)，試寫

ErCG

出解答過程.

(3)拓展遷移

AR

如圖3,梯形488中，OC7/AB,點(diǎn)E是8c的延長線上的一點(diǎn)，AE和80相交于點(diǎn)尸.若夫=。，

m二力，(々＞0,。＞0),則再-的值是________(用含。、b的代數(shù)式表示).

DLL匕卜

2.已知DABC為等邊三角形.

D

名三

BDCFBC~DFBC

圖1圖2圖3

(1)如圖1,點(diǎn)D為邊BC上一點(diǎn)，以AD為邊作等邊三角形ADE,連接CE,求證：CE1AB.

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長線上時(shí)，以AD為邊作等邊三角形ADE,求證：無論點(diǎn)D的位置如

何變化，LADE的內(nèi)角平分線的交點(diǎn)P始終在B的角平分線上.

(3)如圖3,以AC為腰作等腰直角三角形ACD,取斜邊CD的中點(diǎn)E,連接AE,交BD于點(diǎn)F試判斷

線段BF,AF,DF之間存在何種數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

3.綜合實(shí)踐

數(shù)學(xué)課上，各小組進(jìn)行了特殊四邊形的探究活動(dòng),如圖所示，在AABC中，分別以AB,AC,BC為邊在

8c的同側(cè)作等邊三角形AQ,等邊三角形ACE,等邊三角形BCF.

(1)奮進(jìn)小組發(fā)現(xiàn)：四邊形D4E尸是平行四邊形，請你完成證明;

(2)當(dāng)四邊形八4環(huán)是矩形時(shí)，求NBAC的度數(shù);

(3)當(dāng)四邊形是菱形時(shí)，若ND4E=120。,請直接寫出BCH。尸之間的數(shù)量關(guān)系.

4.某學(xué)習(xí)小組在探究三角形全等時(shí)，發(fā)現(xiàn)了下列兩種基本圖形，請給予證明.

D

(1)如圖1,AC與BD交于點(diǎn)O,ABHCD,AB=CD,求證：0A=0C.

(2)如圖2,已知：在"/8C中，□比iC=90。，4B=AC,直線/經(jīng)過點(diǎn)48?？谥本€/,CE口直線/,垂

足分別為點(diǎn)。、E.求證：BD=AE.

(3)數(shù)學(xué)老師贊賞了他們的探索精神，并鼓勵(lì)他們用圖1或圖2的基本圖形來解決問題：如圖3,把一塊

含45。的直角三角板48c(即AABC是等腰直角三角形，ZC=90\AC=3C)繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后成為

/SADE,已知點(diǎn)8、C的對應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)。、E.連結(jié)80,并作射線CE交8。于點(diǎn)尸，試探究在旋轉(zhuǎn)過程

中，DF與BF的大小關(guān)系如何，并證明.

5.某學(xué)?；顒?dòng)小組在作三角形的拓展圖形，研究其性質(zhì)時(shí)，經(jīng)歷了如下過程：

操作發(fā)現(xiàn)：

（1）如圖1,分別以和/C為邊向L/8C外側(cè)作等邊口/8。和等邊」4CE,連接8及8,請你完成作

圖并證明BE=CD.（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法但保留作圖痕跡）

類比探究：

（2）如圖2,分別以和4C為動(dòng)向口/BC外側(cè)作正方形Z8DE和正方形4CEG,連接C28G,則線段

C及8G有什么關(guān)系？說明理由.

靈活運(yùn)用：

（3）如圖3,在四邊形/8CZ）中，AC,5。是對角線，AB=BC,UABC=60°,2140c=30。，AD=3,

BD=5,求CO的長.

6.綜合與探究

問題情境：如圖，已知OC平分NAOB,C￡），04于點(diǎn)。，E為。C延長線上一點(diǎn)，EFLOB于點(diǎn)、F,EG

平分乙DEF交0B于點(diǎn)G,ZDEF+ZAOB=180°.

問題發(fā)現(xiàn)：（1）如圖1，當(dāng)4403=90。時(shí)，Zl+Z2=°；

（2）如圖2,當(dāng)NA08為銳角時(shí)，N1與Z2有什么數(shù)量關(guān)系，請說明理由；

拓展探究

（3）在（2）的條件下，已知直角三角形中兩個(gè)銳角的和是90。，試探究0C和GE的位置關(guān)系，并證明結(jié)

論；

(4)如圖3,當(dāng)Z4O8為銳角時(shí)，若點(diǎn)E為線段DC上一點(diǎn)，于點(diǎn)F,EH平分NDEF交0A于

點(diǎn)、H,ZZ)EF+ZAO3=18()。.請寫出一個(gè)你發(fā)現(xiàn)的正確結(jié)論.

7.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中有長方形0/8C,點(diǎn)C(0,4),將長方形。/8C沿/C折疊，使得點(diǎn)8落在

點(diǎn)。處，CD邊交x軸于點(diǎn)E,Z€MO=30°.

(1)求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(2)如圖2,在直線NC以及〉軸上是否分別存在點(diǎn)"，N,使得△￡腦V的周長最??？如果存在，求出

△EMM周長的最小值：如果不存在，請說明理由；

(3)點(diǎn)尸為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，作直線/P交直線C。于點(diǎn)。，是否存在點(diǎn)P使得△CPQ為等腰三角形？如果

存在，請求出/O/P的度數(shù)；如果不存在，請說明理由.

8.【原題初探】(1)小明在數(shù)學(xué)作業(yè)本中看到有這樣一道作業(yè)題：如圖1,P是正方形ABCZ)內(nèi)一點(diǎn)，連

結(jié)PA,PB,PC現(xiàn)將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到的APCB,連接PP.若PA=&，PB=3,

ZAPB=135°,求PC的長和正方形ABC。的邊長.

【變式猜想】(2)如圖2,若點(diǎn)P是等邊AA3C內(nèi)的一點(diǎn)，且尸A=3,PB=4,PC=5,請猜想“歸的度

數(shù)，并說明理由.

【拓展應(yīng)用】(3)聰明的小明經(jīng)過上述兩小題的訓(xùn)練后，善于反思的他又提出了如下的問題：如圖3,在

四邊形A8CD中，AD=3,CD=2,ZABC=ZACB=ZADC=45°,請求出BO的長度.

9.問題：如圖（1）,點(diǎn)M、N分別在正方形N8CD的邊8C、CO上，NMAN=45°,試判斷BM、MN、

必之間的數(shù)量關(guān)系.

（1）研究發(fā)現(xiàn)

Q圖3

如圖1,小聰把繞點(diǎn)/順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至AABG,從而發(fā)現(xiàn)8"、MN、ZW之間的數(shù)量關(guān)系為

（直接寫出結(jié)果，不用證明）

（2）類比引申

如圖2,在（1）的條件下，AM、ZN分別交正方形/8CD的對角線80于點(diǎn)E、F.已知即=5,DF=

4.求8E的長.

（3）拓展提升

如圖3,在（2）的條件下，AM,NN分別交正方形N5CZ）的兩個(gè)外角平分線于。、P,連接PQ.請直接

寫出以8。、PQ、DP為邊構(gòu)成的三角形的面積.

四邊形ABC。是菱形，點(diǎn)M在CO邊上，點(diǎn)N在菱形ABCO外部，且滿足MN//AD

CM=MN,連接4V,CN,取AN的中點(diǎn)E,連接BE,AC.

/Vp

ww

BcBCNM

圖1圖2圖3

（1）探究座與4c位置關(guān)系.

（2）若NA8C=120。，探究線段BE、AQ與CM的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

（3）若N/WC=60。，M在。C的延長線上時(shí)，其余條件不變,,CM=\,AD=3,請求出8E的長度.

11.【認(rèn)識新知】對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.

【概念理解】（1）如圖1,在四邊形ABCD中，AB=AD,CB=CD,問四邊形ABCD是垂美四邊形

嗎？請說明理由；

【性質(zhì)探究】(2)如圖2,四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點(diǎn)O,AC1BD.

①若OA=1,0B=5?0C=7,0D=2,則AB^+CD、；AD2+BC2=；

②求證：AB2+CD2=AD2+BC2;

【解決問題】(3)如圖3,AACB中，NACB=90。，AC,AG且AC=AG=4,ABLAE且

AE=AB=5,連結(jié)CE、BG、GE.則GE=.

12.已知，在△ABC中，「ABC=90。，AB=BC=2,點(diǎn)。是邊AC的中點(diǎn)，連接OB,將AAOB繞點(diǎn)A順

時(shí)針旋轉(zhuǎn)a。至AANM,連接CM,點(diǎn)P是線段CM的中點(diǎn)，連接PB,PN.

(1)如圖1,當(dāng)a=180時(shí)，請直接寫出線段PN和PB之間滿足的位置和數(shù)量關(guān)系；

(2)如圖2,當(dāng)0<a<180時(shí).請?zhí)剿骶€段PN和PB之間滿足何位置和數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；

(3)當(dāng)AAOB旋轉(zhuǎn)至C,M,N三點(diǎn)共線時(shí)，線段BP的長為.

13.已知A(m,n),且滿足|吁2|+5-2)2=0,過A作ABCIy軸，垂足為B.

（1）求A點(diǎn)坐標(biāo).

（2）如圖1,分別以AB,A。為邊作等邊A4BC和AAOZ）,試判定線段AC和DC的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)

系，并說明理由；

（3）如圖2,過A作軸，垂足為E,點(diǎn)F、G分別為線段OE、AE上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重

合），滿足〃叼45。，設(shè)。FAAG=b,FG=C,試探究黑的值是否為定值？如果是求此定值；如

果不是，請說明理由.

14.如圖1,已知直角三角形ABC,ZACB=90°,/84C=30。，點(diǎn)。是AC邊上一點(diǎn)，過。作。

于點(diǎn)E,連接80,點(diǎn)尸是BO中點(diǎn)，連接EF,CF.

（1）發(fā)現(xiàn)問題：

線段EF,Cf1之間的數(shù)量關(guān)系為；NEFC的度數(shù)為；

（2）拓展與探究:

若將AAED繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)a角（0°＜。＜30。），如圖2所示，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請說明理

由；

（3）拓展與運(yùn)用：

如圖3所示，若△血＞繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)點(diǎn)。落到A8邊上時(shí)，A8邊上另有一點(diǎn)G,

AD=DG=GB,BC=3,連接EG,請直接寫出EG的長度.

圖1圖2圖3

15.在等邊AABC的兩邊48、/C所在直線上分別有兩點(diǎn)/、N,。為AABC外一點(diǎn)，且NA/rW=60°,

ZBZ)C=120°,BD=DC.探究：當(dāng)V、N分別在直線/8、ZC上移動(dòng)時(shí)，BM、NC、A/N之間的數(shù)量關(guān)系

及AAMN的周長。與等邊AAfiC的周長/的關(guān)系.

圖2

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)〃、N邊4B、/C上，且DW=￡W時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是

此時(shí)%

(2)如圖2,點(diǎn)/、N邊.AB、AC±,且當(dāng)QA/HDN時(shí)，猜想(1)問的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜

想并加以證明;

(3)如圖3,當(dāng)A/、N分別在邊N8、C4的延長線上時(shí)，若AN=x,則。=(用x、L表

16.問題探究：如圖1,在AABC中，點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，。石_1。￡。丘交43于點(diǎn)瓦。尸交47于瓦尸,

連接EF.

(1)BE、CF與EF之間的關(guān)系為：BE+CF_EF；(填“>”、"="或'<")

(2)若44=90。，探索線段BE、CF、所之間的等量關(guān)系，并加以證明.

(3)問題解決:如圖2.在四邊形AMC中，ZB+ZC=180,DB=DC,ZBDC=130°以。為頂點(diǎn)作

NEC尸=65。,NEDF的兩邊分別交4?、AC于E、尸兩點(diǎn)，連接痔，探索線段CF、E尸之間的數(shù)量關(guān)

系，并加以證明.

17.如圖，在矩形ABCD中，AB=a,BC'=人,點(diǎn)尸在OC的延長線上，點(diǎn)E在A￡>上，且有

ZCBE=-ZABF.

2

1

Qr

圖1圖2

(1)如圖1,當(dāng)。=方時(shí)，若NCBE=60。,求證：BE=BF；

3

(2)如圖2,當(dāng)6=彳。時(shí)，

2

口請直接寫出/4BE與N8FC的數(shù)量關(guān)系：

□當(dāng)點(diǎn)E是AD中點(diǎn)時(shí)，求證：CF+BF=2a；

口在口的條件下，請直接寫出sMiCF'S矩形A8CD的值.

18.直線MN與PQ相互垂直，垂足為點(diǎn)。，點(diǎn)A在射線。。上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)8在射線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A、點(diǎn)8

均不與點(diǎn)。重合.

|-v/

1

圖2圖37T

圖1

(1)如圖1,A7平分NB4O,B/平分N43O,若4X40=40。，求N4/5的度數(shù)；

(2)如圖2,4平分N840,8c平分/45A7,BC的反向延長線交可于點(diǎn)O.

口若2840=40。，則44￡>5=度(直接寫出結(jié)果，不需說理)；

□點(diǎn)A、8在運(yùn)動(dòng)的過程中，ZAD3是否發(fā)生變化，若不變，試求NAZ出的度數(shù)：若變化，請說明變化規(guī)

律.

(3)如圖3,已知點(diǎn)E在84的延長線上，/8A0