2018年中考數(shù)學(xué)試卷分類匯編 四邊形(菱形)_第1頁
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文檔簡(jiǎn)介

菱形

1、(綿陽市2018年)如圖,四邊形4靦是菱形,對(duì)角線力信8c如8廬6CR,力〃_48于點(diǎn)〃,

且DH與然交于G,則而=(B)

.28C.型如25

A.—cmB.—cmD.—cm

25201521

[解析]0A=4,OB=3,AB=5,△BDH^ABOA,

BD/AB=BH/OB=DH/OA,6/5=BH/3,BH=18/5,

A1I=AB-BII=5-18/5=7/5,AAGH^AABO,

GH/BO=AH/AO,GH/3-7/5/4,GH=21/20。

10題圖

2、(2018?曲靖)如圖,在nABCD中,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)0,過點(diǎn)0作EF±AC交BC

于點(diǎn)E,交AD于點(diǎn)F,連接AE、CF.則四邊形AECF是()

C.菱形D.正方形

考點(diǎn):菱形的判定;平行四邊形的性質(zhì).

分析:首先利用平行四邊形的性質(zhì)得出AO=CO,ZAFO=ZCEO,進(jìn)而得出△?1「()也△CEO,再利

用平行四邊形和菱形的判定得出即可.

解答:解:四邊形AECF是菱形,

理由:?.?在S\BCD中,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)0,

.,.AO=CO,ZAF0=ZCE0,

...在aAFO和中

"ZAF0=ZCE0

,ZF0A=ZE0C>

,AO=CO

/.△AFO^ACEO(AAS),

.?.FO=EO,

二四邊形AECF平行四邊形,

VEF±AC,

,平行四邊形AECF是菱形.

故選:C.

點(diǎn)評(píng):此題主要考查了菱形的判定以及平行四邊形的判定與性質(zhì),根據(jù)已知得出EO=FO是解

題關(guān)鍵.

3、(2018涼山州)如圖,菱形ABCD中,ZB=60°,AB=4,則以AC為邊長(zhǎng)的正方形ACEF的

周長(zhǎng)為()

A.14B.15C.16D.17

考點(diǎn):菱形的性質(zhì);等邊三角形的判定與性質(zhì);正方形的性質(zhì).

分析:根據(jù)菱形得出AB=BC,得出等邊三角形ABC,求出AC,長(zhǎng),根據(jù)正方形的性質(zhì)得出

AF=EF=EC=AC=4,求出即可.

解答:解:?.?四邊形ABCD是菱形,

;.AB=BC,

VZB=60°,

?,.△ABC是等邊三角形,

.\AC=AB=4,

正方形ACEF的周長(zhǎng)是AC+CE+EF+AF=4X4=16,

故選C.

點(diǎn)評(píng):本題考查了菱形性質(zhì),正方形性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用,關(guān)鍵是求出

AC的長(zhǎng).

4、(2012?瀘州)如圖,菱形ABCD的兩條對(duì)角線相交于0,若AC=6,BD=4,則菱形ABCD的

周長(zhǎng)是()

D

A.24B.16C.45/13D.2M

考點(diǎn):菱形的性質(zhì);勾股定理.

分析:由菱形ABCD的兩條對(duì)角線相交于0,AC=6,BD=4,即可得ACLBD,求得0A與0B的

長(zhǎng),然后利用勾股定理,求得AB的長(zhǎng),繼而求得答案.

解答:解:???四邊形ABCD是菱形,AC=6,BD=4,

/.ACXBD,0A=AC=3,0B=BD=2,AB=BC=CD=AD,

.?.在RtZWB中,2-V13.

AB=^QA2+OB

???菱形的周長(zhǎng)是:4AB=lV13.

故選C.

點(diǎn)評(píng):此題考查了菱形的性質(zhì)與勾股定理.此題難度不大,注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

5、(2018菊澤)如圖,把一個(gè)長(zhǎng)方形的紙片對(duì)折兩次,然后剪下一個(gè)角,為了得到一個(gè)鈍

角為120°的菱形,剪口與第二次折痕所成角的度數(shù)應(yīng)為()

或30°B.30°或45°C.45°或60°D.30°或60°

考點(diǎn):剪紙問題.

分析:折痕為AC與BD,ZBAD=120°,根據(jù)菱形的性質(zhì):菱形的對(duì)角線平分對(duì)角,可得

ZABD=30°,易得NBAC=60°,所以剪口與折痕所成的角a的度數(shù)應(yīng)為30°或60°.

解答:解:???四邊形ABCD是菱形,

AZABD=ZABC,ZBAC=ZBAD,AD〃BC,

VZBAD=120",

/ABC=180°-ZBAD=180°-120°=60°,

AZABD=30°,ZBAC=60°.

,剪口與折痕所成的角a的度數(shù)應(yīng)為30°或60°.

故選D.

點(diǎn)評(píng):此題主要考查菱形的判定以及折疊問題,關(guān)鍵是熟練掌握菱形的性質(zhì):菱形的對(duì)角線

平分每一組對(duì)角.

6、(2018?玉林)如圖,在給定的一張平行四邊形紙片上作一個(gè)菱形.甲、乙兩人的作法如

下:

甲:連接AC,作AC的垂直平分線MN分別交AD,AC,BC于M,0,N,連接AN,CM,則四邊

形ANCM是菱形.

乙:分別作/A,NB的平分線AE,BF,分別交BC,AD于E,F,連接EF,則四邊形ABEF

是菱形.

根據(jù)兩人的作法可判斷()

考點(diǎn):菱形的判定.

分析:首先證明AAOM絲ZSCON(ASA),可得MO=N(),再根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行

四邊形可判定判定四邊形ANCM是平行四邊形,再由ACLMN,可根據(jù)對(duì)角線互相垂宜

的四邊形是菱形判定出ANCM是菱形;四邊形ABCD是平行四邊形,可根據(jù)角平分線的

定義和平行線的定義,求得AB=AF,所以四邊形ABEF是菱形.

解答:解:甲的作法正確;

?.?四邊形ABCD是平行四邊形,

,AD〃BC,

ZDAC=ZACN,

是AC的垂直平分線,

.".AO=CO,

'NMAO=NNCO

在△AOM和ACON中,AO=CO

,ZAOM=ZCON

.?.△AOM絲△CON(ASA),

.,.MO=NO,

四邊形ANCM是平行四邊形,

VAC±MN,

二四邊形ANCM是菱形;

乙的作法正確;

:AD〃BC,

,N1=N2,N6=/7,

YBF平分/ABC,AE平分/BAD,

N2=N3,/5=/6,

.*.Z1=Z3,Z5=Z7,

,?.AB=AF,AB=BE,

,AF=BE

VAF/ZBE,且AF=BE,

...四邊形ABEF是平行四邊形,

VAB=AE,

平行四邊形ABEF是菱形;

點(diǎn)評(píng):此題主要考查了菱形形的判定,關(guān)鍵是掌握菱形的判定方法:①菱形定義:一組鄰邊

相等的平行四邊形是菱形(平行四邊形+一組鄰邊相等=菱形);

②四條邊都相等的四邊形是菱形.

③對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形(或“對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱

形”).

7、(2018年濰坊市)如圖,ABCD是對(duì)角線互相垂直的四邊形,且OB=OD,請(qǐng)你添加一個(gè)適

當(dāng)?shù)臈l件使ABCD成為菱形.(只需添加一個(gè)即可)

答案:OA=OC或AD=BC或AD〃BC或AB=BC等

考點(diǎn):菱形的判別方法.

點(diǎn)評(píng):此題屬于開放題型,答案不唯一.主要考查了菱形的判定,關(guān)鍵是掌握菱形的判定定

理.

/)D

C

8、(2018?攀枝花)如圖,在菱形ABCD中,DELAB于點(diǎn)E,cosA=&BE=4,則tan/DBE的

考點(diǎn):菱形的性質(zhì);解直角三角形.

分析:求出AD=AB,設(shè)AD=AB=5x,AE=3x,則5x-3x=4,求出x,得出AD=10,AE=6,在RtAADE

中,由勾股定理求出DE=8,在RtaBDE中得出tanNDBE=1?,代入求出即可,

BE

解答:解:;四邊形ABCD是菱形,

;.AD=AB,

VcosA=3,BE=4,DE1AB,

5

.?.設(shè)AD=AB=5x,AE=3x,

則5x-3x=4,

x=2,

HPAD=10,AE=6,

在RtAADE中,由勾股定理得:DE=.o2_

在RtZ\BDE中,tanNDBE=些92,

BE4

故答案為:2.

點(diǎn)評(píng):本題考查了菱形的性質(zhì),勾股定理,解直角三角形的應(yīng)用,關(guān)鍵是求出DE的長(zhǎng).

9、(2018年臨沂)如圖,菱形切中,AB=\,N8=6O",AEJ.BC,A尸_LCD,垂足分別

為E,F,連接EF,則的4AEF的面積是

答案:3#)

解析:依題可求得:ZBAD=120°,ZBAE=ZDAF

=30°,BE=DF=2,AE=AF=26,所以,三角

(第17題圖)

形AEF為等邊三角形,高為3,面積S=Lx3x2G=3g

2

10、(2018?泰州)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.

考點(diǎn):菱形的判定.

分析:菱形的判定定理有①有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形,②對(duì)角線互相垂直的平行

四邊形是菱形,③四條邊都相等的四邊形是菱形,根據(jù)以上內(nèi)容填上即可.

解答:解:對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形,

故答案為:垂直.

點(diǎn)評(píng):本題考查了對(duì)菱形的判定的應(yīng)用,注意:菱形的判定定理有①有一組鄰邊相等的平行

四邊形是菱形,②對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形,③四條邊都相等的四邊形是

菱形.

11、(2018年南京)如圖,將菱形紙片ABCD折迭,使點(diǎn)A恰好落在菱形的對(duì)稱中心。處,折

痕為EFo若菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2cm,NA=120。,則EF=cm。

答案:qr

解析:點(diǎn)A恰好落在菱形的對(duì)稱中心0處,如圖,P為A0中點(diǎn),所以E為A職點(diǎn),AE=1,

ZEA0=60°,EP=1g-,所以,即=小~

12、(2018?淮安)若菱形的兩條對(duì)角線分別為2和3,則此菱形的面積是3

考點(diǎn):菱形的性質(zhì).

分析:菱形的面積是對(duì)角線乘積的一半,由此可得出結(jié)果即可.

解合:解:由題意,知:S?=lx2X3=3,

2

故答案為:3.

點(diǎn)評(píng):本題考查了菱形的面積兩種求法:(1)利用底乘以相應(yīng)底上的高;(2)利用菱形的特

殊性,菱形面積=lx兩條對(duì)角線的乘積:具體用哪種方法要看已知條件來選擇.

2

13、(2018?牡丹江)如圖,邊長(zhǎng)為1的菱形ABCD中,ZDAB=60°.連結(jié)對(duì)角線AC,以AC

為邊作第二個(gè)菱形ACEF,使NFAC=60°.連結(jié)AE,再以AE為邊作第三個(gè)菱形AEGH使

NHAE=60°…按此規(guī)律所作的第n個(gè)菱形的邊長(zhǎng)是_"".

考點(diǎn):菱形的性質(zhì).

專題:規(guī)律型.

分析:連接DB于AC相交于M,根據(jù)已知和菱形的性質(zhì)可分別求得AC,AE,AG的長(zhǎng),從而可

發(fā)現(xiàn)規(guī)律根據(jù)規(guī)律不難求得第n個(gè)菱形的邊長(zhǎng).

解答:解:連接DB,

???四邊形ABCD是菱形,

.\AD=AB.AC1DB,

VZDAB-600,

...△ADB是等邊三角形,

:.DB=AD=1,

2

;.AM=近,

2

;.AC=V5,

同理可得AE=V^\C=(我)2,AG二技E=3后(V3)

按此規(guī)律所作的第n個(gè)菱形的邊長(zhǎng)為(畬)…,

故答案為(V3)

點(diǎn)評(píng):此題主要考查菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)以及學(xué)生探索規(guī)律的能力.

14、(2018?寧夏)如圖,菱形0ABC的頂點(diǎn)0是原點(diǎn),頂點(diǎn)B在y軸上,菱形的兩條對(duì)角線

(x<0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)C,則k的值為-6

考點(diǎn):反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征;菱形的性質(zhì).

專題:探究型.

分析:先根據(jù)菱形的性質(zhì)求出C點(diǎn)坐標(biāo),再把C點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式即可得出k

的值.

解答:解:;菱形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別是6和4,

AA(-3,2),

?.?點(diǎn)A在反比例函數(shù)丫=細(xì)圖象上,

X

解得k=-6.

-3

故答案為:-6.

點(diǎn)評(píng):本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn),即反比例函數(shù)圖象上各點(diǎn)的坐標(biāo)一定

適合此函數(shù)的解析式.

15、(2018?攀枝花)如圖,分別以直角△ABC的斜邊AB,直角邊AC為邊向aABC外作等邊

△ABD和等邊4ACE,F為AB的中點(diǎn),DE與AB交于點(diǎn)G,EF與AC交于點(diǎn)H,ZACB=90°,

ZBAC=30°.給出如下結(jié)論:

①EFLAC;②四邊形ADFE為菱形;③AD=4AG;④FH=2BD

4

其中正確結(jié)論的為①③④(請(qǐng)將所有正確的序號(hào)都填上).

考點(diǎn):菱形的判定;等邊三角形的性質(zhì);含30度角的直角三角形.

分析:根據(jù)已知先判斷△ABC/4EFA,則NAEF=NBAC,得出EFJ_AC,由等邊三角形的性質(zhì)

得出NBDF=30°,從而證得△DBF<△EFA,則AE=DF,再由FE=AB,得出四邊形ADFE

為平行四邊形而不是菱形,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AD=4AG,從而得到答案.

解答:解::△ACE是等邊三角形,

AZEAC=60°,AE=AC,

VZBAC=30°,

AZFAE=ZACB=90°,AB=2BC,

???F為AB的中點(diǎn),

???AB=2AF,

.\BC=AF,

AAABC^AEFA,

AFE=AB,

AZAEF=ZBAC=30°,

AEF1AC,故①正確,

VEF1AC,ZACB=90°,

???HF〃BC,

???F是AB的中點(diǎn),

123

1A

2AB=BD,

134

故④說法正確;

VAD=BD,BF=AF,

???NDFB=90°,ZBDF=30°,

VZFAE=ZBAC+ZCAE=90°,

AZDFB=ZEAF,

VEF1AC,

/.ZAEF=30°,

JZBDF=ZAEF,

/.△DBF^AEFA(AAS),

AAE=DF,

VFE=AB,

???四邊形ADFE為平行四邊形,

VAE^EF,

???四邊形ADFE不是菱形;

故②說法不正確;

.?.AGJAF,

2

??.AGJAB,

4

VAD=AB,

則AD二%G,故③說法正確,

4

故答案為①③④.

點(diǎn)評(píng):本題考查了菱形的判定和性質(zhì),以及全等三角形的判定和性質(zhì),解決本題需先根據(jù)己

知條件先判斷出一對(duì)全等三角形,然后按排除法來進(jìn)行選擇.

16、(2018?內(nèi)江)已知菱形ABCD的兩條對(duì)角線分別為6和8,M、N分別是邊BC、CD的中點(diǎn),

P是對(duì)角線BD上一點(diǎn),則PM+PN的最小值=5?

考點(diǎn):軸對(duì)稱-最短路線問題;菱形的性質(zhì).

分析:作M關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)Q,連接NQ,交BD于P,連接MP,此時(shí)MP+NP的值最小,連接

AC,求出0C、0B,根據(jù)勾股定理求出BC長(zhǎng),證出MP+NP=QN=BC,即可得出答案.

作M關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)Q,連接NQ,交BD于P,連接MP,此時(shí),MP+NP的值最小,連接

AC,

???四邊形ABCD是菱形,

.\AC±BD,/QBP=NMBP,

即Q在AB上,

VMQ1BD,

;.AC〃MQ,

VM為BC中點(diǎn),

;.Q為AB中點(diǎn),

,/N為CD中點(diǎn),四邊形ABCI)是菱形,

ABQ//CD,BQ=CN,

四邊形BQNC是平行四邊形,

:.NQ=BC,

?.?四邊形ABCD是菱形,

.*.C0=AC=3,B0=BD=4,

在RtaBOC中,由勾股定理得:BC=5,

即NQ=5,

;.MP+NP=QP+NP=QN=5,

故答案為:5.

點(diǎn)評(píng):本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問題,平行四邊形的性質(zhì)和判定,菱形的性質(zhì),勾股定

理的應(yīng)用,解此題的關(guān)鍵是能根據(jù)軸對(duì)稱找出P的位置.

17、(2018?黔西南州)如圖所示,菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4,且AE±BC于E,AF±CD于F,NB=60°,

則菱形的面積為足.

考點(diǎn):菱形的性質(zhì).

分析:根據(jù)已知條件解直角三角形ABE可求出AE的長(zhǎng),再由菱形的面積等于底X高計(jì)算即

可.

解答:解:???菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4,

.?.AB=BC=4,

VAEXBC-TE,ZB=600,

AB2

,菱形的面積=4X2行8,三,

故答案為8y.

點(diǎn)評(píng):本題考查了菱形的性質(zhì):四邊相等以及特殊角的三角函數(shù)值和菱形面積公式的運(yùn)用.

18、(2018?衢州)如圖,在菱形ABCD中,邊長(zhǎng)為10,ZA=60°.順次連結(jié)菱形ABCD各邊

中點(diǎn),可得四邊形ABCD:順次連結(jié)四邊形ABCD各邊中點(diǎn),可得四邊形由B2C2D2;順次連

結(jié)四邊

形ABCD各邊中點(diǎn),可得四邊形A3BGD3;按此規(guī)律繼續(xù)下去….則四邊形ABC2D2的周長(zhǎng)

是20;四邊形AzOlsB2018c2018口2018的周長(zhǎng)是——殳后.

-----------21005

考點(diǎn):中點(diǎn)四邊形;菱形的性質(zhì).

專題:規(guī)律型.

分析:根據(jù)菱形的性質(zhì)以及三角形中位線的性質(zhì)以及勾股定理求出四邊形各邊長(zhǎng)得出規(guī)律

求出即可.

解答:解::菱形ABCD中,邊長(zhǎng)為10,ZA=60°,順次連結(jié)菱形ABCD各邊中點(diǎn),

...△AAD是等邊三角形,四邊形ABCD2是菱形,

AiDi=5>CiDi=AC=5^3,AzBpuCzD^CzB產(chǎn)A?D2=5,

二四邊形ABC4的周長(zhǎng)是:5X4=20,

同理可得出:A近;=5X,C:1D3=AC=X5A/3-

AsDs=5X()2,CsDs=AC=()2X5V3-

四邊形A刈4刈疝。疝刈,的周長(zhǎng)是:215+5近]咨叵

21006.OOS

故答案為:20,空坐.

21005

點(diǎn)評(píng):此題主要考查了菱形的性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)和中點(diǎn)四邊形的性質(zhì)等知識(shí),根據(jù)已知得

出邊長(zhǎng)變化規(guī)律是解題關(guān)鍵.

19、(2018四川宜賓)如圖,在△46C中,N48090°,即為47的中線,過點(diǎn)C作第

于點(diǎn)發(fā)過點(diǎn)4作劭的平行線,交座的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R在〃'的延長(zhǎng)線上截取陷劭,連接

BG、DF.若4CM3,訴6,則四邊形即方的周長(zhǎng)為20

考點(diǎn):菱形的判定與性質(zhì);直角三角形斜邊上的中線;勾股定理.

分析:首先可判斷四邊形%力是平行四邊形,再由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半,

可得BD=FD,則可判斷四邊形BGFD是菱形,設(shè)G戶x,則{戶13-x,AC=2x,在RtlXACF

中利用勾股定理可求出x的值.

解答:解:':AG//BD,BD=FG,

,四邊形8。。是平行四邊形,

■:CF1BD,

:.CFLAG,

又???點(diǎn)〃是”1中點(diǎn),

:.BD-DI^AC,

.?.四邊形而7刃是菱形,

設(shè)上X,貝ij4fc13-x,AC=2x,

在心△/⑦中,A#+g心即(13-x)2+6=(2x)2,

解得:產(chǎn)5,

故四邊形Me的周長(zhǎng)=4華20.

故答案為:20.

點(diǎn)評(píng):本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、勾股定理及直角三角形的斜邊中線的性質(zhì),解答本題

的關(guān)鍵是判斷出四邊形麗是菱形.

20、(2018?黃岡)如圖,四邊形ABCD是菱形,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)0,DH_LAB于H,連

接0H,求證:ZDH0=ZDC0.

考點(diǎn):菱形的性質(zhì).3481324

專題:證明題.

分析:根據(jù)菱形的對(duì)角線互相平分可得0D=0B,再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的

一半可得0H=0B,然后根據(jù)等邊對(duì)等角求出/0HB=N0BH,根據(jù)兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相

等求出N0BII=/0DC,然后根據(jù)等角的余角相等證明即可.

解答:證明:???四邊形ABCD是菱形,

/.OD=OB,ZC0D=90°,

VDH1AB,

.*.OH=OB,

ZOHB=ZOBH,

又;AB〃CD,

NOBH=NODC,

在RtZXCOD中,Z0DC+ZDC0=90°,

在RtZXGHB中,ZDH0+Z0HB=90°,

ZDH0=ZDC0.

點(diǎn)評(píng):本題考查了菱形的對(duì)角線互相垂直平分的性質(zhì),直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的

一半的性質(zhì),以及等角的余角相等,熟記各性質(zhì)并理清圖中角度的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

21、(2018?十堰)如圖,已知正比例函數(shù)y=2x和反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A(m,-2).

(1)求反比例函數(shù)的解析式;

(2)觀察圖象,直接寫出正比例函數(shù)值大于反比例函數(shù)值時(shí)自變量x的取值范圍:

(3)若雙曲線上點(diǎn)C(2,n)沿0A方向平移依個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)B,判斷四邊形OABC的

形狀并證明你的結(jié)論.

考點(diǎn):反比例函數(shù)綜合題.

分析:(1)設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y=X(k>0),然后根據(jù)條件求出A點(diǎn)坐標(biāo),再求出k

x

的值,進(jìn)而求出反比例函數(shù)的解析式;

(2)直接由圖象得出正比例函數(shù)值大于反比例函數(shù)值時(shí)自變量x的取值范圍;

(3)首先求出0A的長(zhǎng)度,結(jié)合題意CB〃OA且CB=遍,判斷出四邊形OABC是平行四

邊形,再證明OA=OC即可判定出四邊形OABC的形狀.

解答:解:(1)設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y=K(k>0),

X

VA(m,-2)在y=2x上,

J-2=2m,

m=-1,

AA(-1,-2),

又;點(diǎn)A在y=X上,

X

Ak=-2,

反比例函數(shù)的解析式為y=2:

(2)觀察圖象可知正比例函數(shù)值大于反比例函數(shù)值時(shí)自變量x的取值范圍為-l<x

<0或x>l;

(3)四邊形0ABC是菱形.

證明:VA(-1,-2),

...oA=dm&,

由題意知:CB〃0A且CB=Jg,

.".CB=0A,

二四邊形0ABC是平行四邊形,

VC(2,n)在y=2匕

X

:.n=l,

AC(2,1),

℃=62+]安泥,

A0C=0A,

???四邊形OABC是菱形.

點(diǎn)評(píng):本題主要考查了反比例函數(shù)的綜合題的知識(shí)點(diǎn),解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握反比例函

數(shù)的性質(zhì)以及菱形的判定定理,此題難度不大,是一道不錯(cuò)的中考試題.

22、(2018年廣州市)如圖8,四邊形力頗是菱形,對(duì)角線4c與劭相交于。"廬5,434,

求劭的長(zhǎng).

分析:根據(jù)菱形的性質(zhì)得出ACLBD,再利用勾股定理求出B0的長(zhǎng),即可得出答案

解:??,四邊形ABCD是菱形,對(duì)角線AC與BD相交于0,

AAC1BD,DO=BO,

VAB=5,A0=4,

???B0=452-42=3,

;.BD=2B0=2X3=6.

點(diǎn)評(píng):此題主要考查了菱形的性質(zhì)以及勾股定理,根據(jù)已知得出

B0的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵

23、(2018?常州)如圖,在AABC中,AB=AC,ZB=60°,NFAC、NECA是△ABC的兩個(gè)外

角,AD平分NFAC,CD平分NECA.

求證:四邊形ABCD是菱形.

考點(diǎn):菱形的判定.

專題:證明題.

分析:根據(jù)平行四邊形的判定方法得出四邊形ABCD是平行四邊形,再利用菱形的判定得出.

解答:證明:VZB=60°,AB=AC,

.?.△ABC為等邊三角形,

;.AB=BC,

/.ZACB=60°,

ZFAC=ZACE=120°,

.*.ZBAD=ZBCD=120°,

AZB=ZD=60°,

四邊形ABCD是平行四邊形,

:AB=BC,

平行四邊形ABCD是菱形.

點(diǎn)評(píng):此題主要考查了平行四邊形的判定以及菱形的判定和角平分線的性質(zhì)等內(nèi)容,注意菱

形與平行四邊形的區(qū)別,得出AB=BC是解決問題的關(guān)鍵.

24、(2018?恩施州)如圖所示,在梯形ABCD中,AD〃BC,AB=CD,E、F、G、H分別為邊AB、

BC、CD、DA的中點(diǎn),求證:四邊形EFGH為菱形.

考點(diǎn):菱形的判定;梯形;中點(diǎn)四邊形.

專題:證明題.

分析:連接AC、BD,根據(jù)等腰梯形的對(duì)角線相等可得AC=BD,再根據(jù)三角形的中位線平行于

第三邊并且等于第三邊的一半求出EF=GH=%C,HE=FG=當(dāng)D,從而得到EF=FG=GH=HE,

22

再根據(jù)四條邊都相等的四邊形是菱形判定即可.

解答:證明:如圖,連接AC、BD,

VAD/7BC,AB=CD,

;.AC=BD,

VE,F、G、H分別為邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn),

在aABC中,EF=1AC,

2

在△ADC中,GH=1AC,

2

.,.EF=GH=1AC,

2

同理可得,HE=FG=1BD,

2

;.EF=FG=GH=HE,

四邊形EFGH為菱形.

點(diǎn)評(píng):本題考查了菱形的判定,等腰梯形的對(duì)角線相等,三角形的中位線平行于第三邊并且

等于第三邊的一半,作輔助線是利用三角形中位線定理的關(guān)鍵,也是本題的難點(diǎn).

25、(2018?宜昌)如圖,點(diǎn)E,F分別是銳角/A兩邊上的點(diǎn),AE=AF,分別以點(diǎn)E,F為圓

心,以AE的長(zhǎng)為半徑畫弧,兩弧相交于點(diǎn)D,連接DE,DF.

(1)請(qǐng)你判斷所畫四邊形的性狀,并說明理由;

(2)連接EF,若AE=8厘米,ZA=60°,求線段EF的長(zhǎng).

考點(diǎn):菱形的判定與性質(zhì);等邊三角形的判定與性質(zhì).

分析:(1)由AE=AF=ED=DF,根據(jù)四條邊都相等的四邊形是菱形,即可證得:四邊形AEDF

是菱形;

(2)苜先連接EF,由AE=AF,ZA=60°,可證得4EAF是等邊三角形,則可求得線段

EF的長(zhǎng).

解答:解:(1)菱形.

理由::根據(jù)題意得:AE=AF=ED=DF,

...四邊形AEDF是菱形;

(2)連接EF,

;AE=AF,/A=60°,

...△EAF是等邊三角形,

;.EF=AE=8厘米.

點(diǎn)評(píng):此題考查了菱形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì).此題比較簡(jiǎn)單,注意掌

握輔助線的作法,注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

26、(2018?雅安)在nABCD中,點(diǎn)E、F分別在AB、CD上,且AE=CF.

(1)求證:Z\ADE絲ZsCBF;

(2)若DF=BF,求證:四邊形DEBF為菱形.

考點(diǎn):菱形的判定:全等三.角形的判定與性質(zhì);平行四邊形的性質(zhì).

專題:證明題.

分析:(1)首先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AI)=BC,ZA=ZC,再加上條件AE=CE可利用SAS

證明△ADEg^CBF:

(2)首先證明DF=BE,再加上條件AB〃CD可得四邊形DEBF是平行四邊形,又DF=FB,

可根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形為菱形證出結(jié)論.

解答:證明:(1)?.?四邊形ABCD是平行四邊形,

.\AD=BC,ZA=ZC,

?在aADE和△CBF中,

'AD=BC

,ZA=ZC-

AE=CF

/.△ADE^ACBF(SAS);

(2)?.?四邊形ABCD是平行四邊形,

AAB/7CD,AB=CD,

VAE=CF,

/.DF=EB,

...四邊形DEBF是平行四邊形,

又;DF=FB,

...四邊形DEBF為菱形.

點(diǎn)評(píng):此題主要考查「全等三角形的判定,以及菱形的判定,關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定

定理,以及菱形的判定定理,平行四邊形的性質(zhì).

27、(2018?南寧)如圖,在菱形ABCD中,AC為對(duì)角線,點(diǎn)E、F分別是邊BC、AD的中點(diǎn).

(1)求證:AABE絲ZXCDF;

(2)若NB=60°,AB=4,求線段AE的長(zhǎng).

考點(diǎn):菱形的性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì);等邊三角形的判定與性質(zhì).

分析:(1)首先根據(jù)菱形的性質(zhì),得到AB=BC=AD=CD,ZB=ZD,結(jié)合點(diǎn)E、F分別是邊BC、

AD的中點(diǎn),即可證明出aABE絲△□)七

(2)首先證明出aABC是等邊三角形,結(jié)合題干條件在RtZ^AEB中,ZB=60°,AB=4,

即可求出AE的長(zhǎng).

解答:解:(1)???四邊形ABCD是菱形,

.?.AB=BC=AD=CD,NB=N1),

?.?點(diǎn)E、F分別是邊BC、AD的中點(diǎn),

;.BE=DF,

在AABE和4CDF中,

'AB=CD

;NB=ND,

,BE=DF

/.△ABE^ACDF(SAS);

(2)VZB=60°,

.,.△ABC是等邊三角形,

???點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn),

.,.AE±BC,

在RtZ\AEB中,ZB=60°,AB=4,

sin60°=姆鯉,

AB4

解得AE=2我.

點(diǎn)評(píng):本題主要考查菱形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn),解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形的性質(zhì)、全等三

角形的證明以及等邊三角形的性質(zhì),此題難度不大,是一道比較好的中考試題.

28、(2018安順)如圖,在ZkABC中,D、E分別是AB、AC的中點(diǎn),BE=2DE,延長(zhǎng)DE到點(diǎn)F,

使得EF=BE,連接CF.

(1)求證:四邊形BCFE是菱形;

(2)若CE=4,ZBCF=120°,求菱形BCFE的面積.

A

D.

BC

考點(diǎn):菱形的判定與性質(zhì);三角形中位線定理.

分析:從所給的條件可知,DE是AABC中位線,所以DE〃BC且2DE=BC,所以BC和EF平行

且相等,所以四邊形BCFE是平行四邊形,又因?yàn)锽E=FE,所以是菱形;NBCF是120°,所

以NEBC為60°,所以菱形的邊長(zhǎng)也為4,求出菱形的高面積就可求.

解答:(1)證明:??P、E分別是AB、AC的中點(diǎn),

DE〃BC且2DE=BC,

又?;BE=2DE,EF=BE,

;.EF=BC,EF〃BC,

二四邊形BCFE是平行四邊形,

又:BE=FE,

四邊形BCFE是菱形;

(2)解:VZBCF=120°,

AZEBC=60°,

.,.△EBC是等邊三角形,

二菱形的邊長(zhǎng)為4,高為2?,

二菱形的面積為4X2?=8?.

點(diǎn)評(píng):本題考查菱形的判定和性質(zhì)以及三角形中位線定理,以及菱形的面積的計(jì)算等知識(shí)點(diǎn).

29、(2018?婁底)某校九年級(jí)學(xué)習(xí)小組在探究學(xué)習(xí)過程中,用兩塊完全相同的且含60°角

的直角三角板ABC與AFE按如圖(1)所示位置放置放置,現(xiàn)將Rt^AEF繞A點(diǎn)按逆時(shí)針方

向旋轉(zhuǎn)角a(0°<a<90°),如圖(2),AE與BC交于點(diǎn)M,AC與EF交于點(diǎn)N,BC與EF

交于點(diǎn)P.

(1)求證:AM=AN;

(2)當(dāng)旋轉(zhuǎn)角a=30°時(shí),四邊形ABPF是什么樣的特殊四邊形?并說明理由.

考點(diǎn):旋轉(zhuǎn)的性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì);菱形的判定.

分析:(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AB=AF,ZBAM=ZFAN,進(jìn)而得出aABM絲ZiAFN得出答案即

可;

(2)利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出NFAB=120°,ZFPC=ZB=60°,即可得出四邊形ABPF是

平行四邊形,再利用菱形的判定得出答案.

解答:(1)證明:???用兩塊完全相同的且含60°角的直角三角板ABC與AFE按如圖(1)所

示位置放置放置,現(xiàn)將RtAAEF繞A點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角a(00<a<90°),

.?.AB=AF,NBAM=NFAN,

在aABM和AAFN中,

'NFAN=NBAM

,AB=AF-

ZB=ZF

/.△ABM^AAFN(ASA),

/.AM=AN;

(2)解:當(dāng)旋轉(zhuǎn)角a=30°時(shí),四邊形ABPF是菱形.

理由:連接AP,

VZa=30°,

AZFAN=30°,

.,.ZFAB=120",

VZB=60°,

;.AF〃BP,

二NF=/FPC=60°,

AZFPC=ZB=60°,

;.AB〃FP,

...四邊形ABPF是平行四邊形,

VAB=AF,

,平行四邊形ABPF是菱形.

點(diǎn)評(píng):此題主要考查了平行四邊形的判定以及菱形的判定和全等三角形的判定等知識(shí),根據(jù)

旋轉(zhuǎn)前后圖形大小不發(fā)生變化得出是解題關(guān)鍵.

30、(2018?株洲|)已知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形,ZBAD=60°,對(duì)角線AC與BD交于

點(diǎn)0,過點(diǎn)0的直線EF交AD于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F.

(1)求證:Z^AOE絲/XCOF;

(2)若NE0D=30°,求CE的長(zhǎng).

考點(diǎn):菱形的性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì);等邊三角形的判定與性質(zhì);含30度角的直

角三角形;勾股定理.

分析:(1)根據(jù)菱形的對(duì)角線互相平分可得AO=CO,對(duì)邊平行可得AD〃BC,再利用兩直線

平行,內(nèi)錯(cuò)角相等可得/0AE=N0CF,然后利用“角邊角”證明AAOE和△COF全等;

(2)根據(jù)菱形的對(duì)角線平分一組對(duì)角求出NDA0=30°,然后求出NAEF=90°,然后

求出A0的長(zhǎng),再求出EF的長(zhǎng),然后在RtACEF中,利用勾股定理列式計(jì)算即可得解.

解答:(1)證明::四邊形ABCD是菱形,

.\AO=CO,AD//BC,

;./OAE=NOCF,

'NOAE=/OCF

在aAOE和△眈中,<AO=CO,

,ZAOE=ZCOF

/.△AOE^ACOF(ASA);

(2)解:?/ZBAD=60°,

.,.ZDAO=1ZBAD=1X6O°=30°,

22

VZE0D=30°,

:.ZA0E=90°-30°=60°,

.,.ZAEF=1800-ZBOD-ZA0E=180°-30°-60°=90°,

:菱形的邊長(zhǎng)為2,NDA0=30°,

.*.0D=lw=lx2=l,

22

?*-AO=d-Fa,

.?.AE=CF=Cx亞&

22

?.?菱形的邊長(zhǎng)為2,ZBAD=60°,

.,,高EF=2X喙仃

在RtaCEF中,管2+(炳)等.

點(diǎn)評(píng):本題考查了菱形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),直角三角形30°角所對(duì)的直角邊

等于斜邊的一半的性質(zhì),勾股定理的應(yīng)用,(2)求出4CEF是直角三角形是解題的關(guān)

鍵,也是難點(diǎn).

31、(2018?蘇州)如圖,點(diǎn)P是菱形ABCD對(duì)角線AC上的一點(diǎn),連接DP并延長(zhǎng)DP交邊AB

于點(diǎn)E,連接BP并延長(zhǎng)交邊AD于點(diǎn)F,交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.

(1)求證:4APB絲

(2)已知DF:FA=1:2,設(shè)線段DP的長(zhǎng)為x,線段PF的長(zhǎng)為y.

①求y與x的函數(shù)關(guān)系式;

②當(dāng)x=6時(shí),求線段FG的長(zhǎng).

考點(diǎn):相似三角形的判定與性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì);菱形的性質(zhì).

分析:(1)根據(jù)菱形的性質(zhì)得出/DAP=/PAB,AD=AB,再利用全等三角形的判定得出

△APB^AAPD;

(2)①首先證明4DFP絲4BEP,進(jìn)而得出理=』,世上,進(jìn)而得出】E-理,即一星三

AB2AB3PEEB2y

即可得出答案;

②根據(jù)①中所求得出PF=PE=4,DP=PB=6,進(jìn)而得出近二理二工,求出即可.

BFAB2

解答:(1)證明:,??點(diǎn)P是菱形ABCD對(duì)角線AC上的一點(diǎn),

AZDAP=ZPAB,AD=AB,

?..在aAPB和AAPD中

'AD=AB

,ZDAP=ZPAB,

AP=AP

AAAPB^AAPD(SAS);

(2)解:①?二△APB絲/XAPD,

;.DP=PB,ZADP=ZABP,

?.?在ADEP和ABEP中,

"ZFDP=ZEBP

,DP=BP,

,ZFPD=ZEPB

.?.△DFP絲ZXBEP(ASA),

.?.PF=PE,DF=BE,

:GD〃AB,

???DF_GD,

AFAB

VDF:FA=1:2,

...理』理工

"AB2AB3'

?理二旦

"BE2

???,-DP-,DGL*|Ju~n3_x

PEEB2y

;?y二&

3

②當(dāng)x=6時(shí),y=2x6=4,

3

APF=PE=4,DP=PB=6,

??GF—DG—1

BFAB2

?f^=l,

"IO2'

解得:FG=5,

故線段FG的長(zhǎng)為5.

點(diǎn)評(píng):此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí),根據(jù)

平行關(guān)系得出典上廖工是解題關(guān)鍵.

AB2AB3

32、(2018聊城)如圖,AB是。。的直徑,AF是。0切線,CD是垂直于AB的弦,垂足為E,

過點(diǎn)C作DA的平行線與AF相交于點(diǎn)F,CD=4A石,BE=2.求證:(1)四邊形FADC是菱形;

(2)FC是。0的切線.

考點(diǎn):切線的判定與性質(zhì);菱形的判定.

分析:(1)首先連接0C,由垂徑定理,可求得CE的長(zhǎng),又由勾股定理,可求得半徑0C的

長(zhǎng),然后由勾股定理求得AD的長(zhǎng),即可得AD=CD,易證得四邊形FADC是平行四邊形,繼而

證得四邊形FADC是菱形:

(2)苜先連接OF,易證得△AFOZZXCFO,繼而可證得FC是。。的切線.

解答:證明:(1)連接0C,

;AB是。0的直徑,CDXAB,

/.CE=DE=CD=X4后2愿,

設(shè)OC=x,

VBE=2,

:.OE=x-2,

在RtZiOCE中,OC2=OE2+CE2,

x2=(x-2)2+(2</3)",

解得:x=4,

;.0A=0C=4,0E=2,

:.AE=6,

在RSAED中,AD=iyAE2+[)E2=4V3,

;.AD=CD,

;AF是OO切線,

AAFIAB,

VCD±AB,

;.AF〃CD,

VCF/7AD,

四邊形FADC是平行四邊形,

.'.*=FADC是菱形;

(2)連接OF,

:四邊形FADC是菱形,

,*.FA=FC,

在△AFO和ACFO中,

rFA=FC

<OF=OF,

,OA=OC

.?.△AFO絲△CFO(SSS),

AZFC0=ZFA0=90",

即OC±FC,

?.?點(diǎn)C在。0上,

FC是。0的切線.

點(diǎn)評(píng):此題考查了切線的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理以及全等三

角形的判定與性質(zhì).此題難度適中,注意掌握輔助線的作法,注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

33、(2018泰安)如圖,在四邊形ABCD中,AB=AD,CB=CD,E是CD上一點(diǎn),BE交AC于F,

連接DF.

(1)證明:ZBAC=ZDAC,ZAFD=ZCFE.

(2)若AB〃CD,試證明四邊形ABQ)是菱形:

(3)在(2)的條件下,試確定E點(diǎn)的位置,ZEFD=ZBCD,并說明理由.

考點(diǎn):菱形的判定與性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì).

分析:(1)首先利用SSS定理證明aABC^4ADC可得NBAC=/DAC,再證明aABF絲aADF,

可得NAFD=NAFB,進(jìn)而得到NAFD=NCFE;

(2)首先證明/CAD=NACD,再根據(jù)等角對(duì)等邊可得AD=CD,再有條件AB=AD,CB=CD可得

AB=CB=CD=AD,可得四邊形ABCD是菱形;

(3)首先證明△BCF<ZXDCF可得/CBF=NCDF,再根據(jù)BELCD可得NBEC=/DEF=90°,進(jìn)

而得到NEFD=NBCD.

AB=AD

解答:(1)證明:?.,在△ABC和△ADC中<BC=DC,

,AC=AC

AAABC^AADC(SSS),

ZBAC=ZDAC,

'AB=AD

?.?在aABF和AADF中,ZBAF=ZDAF,

,AF=AF

.".△ABF^AADF,

,NAFD=NAFB,

ZAFB=ZAFE,

.\ZAFD=ZCFE;

(2)證明:VAB//CD,

ZBAC=ZACD,

又?.?/BAC=NDAC,

.*.ZCAD=ZACD,

.?,AD=CD,

VAB=AD,CB=CD,

...AB=CB=CD=AD,

四邊形ABCD是菱形;

(3)當(dāng)EB_LCD時(shí),ZEFD=ZBCD,

理由:;四邊形ABCD為菱形,

;.BC=CD,NBCF=/DCF,

'BC=CD

在ABCFWADCF中,ZBCF=ZDCF,

CFXF

.,.△BCF^ADCF(SAS),

.,.ZCBF=ZCDF,

VBE1CD,

.?.ZBEC=ZDEF=90",

.,.ZEFD-ZBCD.

點(diǎn)評(píng):此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì),以及菱形的判定與性質(zhì),全等三角形的判

定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具.

34、(2018?遂寧)如圖,已知四邊形ABCD是平行四邊形,DE1AB,DF1BC,垂足分別是E、

F,并且DE=DF.求證:

(1)AADE^ACDF;

(2)四邊形ABCD是菱形.

考點(diǎn):菱形的判定;全等三角形的判定與性質(zhì);平行四邊形的性質(zhì).

專題:證明題.

分析:(1)首先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出NA=NC,進(jìn)而利用全等三角形的判定得出即可;

(2)根據(jù)菱形的判定得出即可.

解答:解:⑴VDE±AB,DF±BC

AZAED=ZCFD=90°,

?.?四邊形ABCD是平行四邊形

/.ZA=ZC,

:在aAED和aCFD中

'/AED=/CFD

<ZA=ZC

.DE=DF

/.△AED^ACFD(AAS);

(2)VAAED^ACFD,

.\AD=CD,

;四邊形ABCD是平行四邊形,

四邊形ABCD是菱形.

點(diǎn)評(píng):此題主要考查J'菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定等知識(shí),根據(jù)己知得出NA=/C是解

題關(guān)鍵.

35、(2018?舟山)某學(xué)校的校門是伸縮門(如圖1),伸縮門中的每一行菱形有20個(gè),每個(gè)

菱形邊長(zhǎng)為30厘米.校門關(guān)閉時(shí),每個(gè)菱形的銳角度數(shù)為60°(如圖2);校門打開時(shí),每

個(gè)菱形的銳角度數(shù)從60°縮小為10°(如圖3).問:校門打開了多少米?(結(jié)果精確到1

米,參考數(shù)據(jù):sin5°七0.0872,cos5°七0.9962,sinl0°七0.1736,coslO0^0.9848).

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