高中數(shù)學(xué)《第五章 一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用》單元檢測試卷與答案解析（共四套）

高中數(shù)學(xué)選擇性必修二《第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用》單元檢測試卷（一）第Ⅰ卷（選擇題）一．選擇題（共10小題，滿分50分，每小題5分）1．已知函數(shù)，則（）A．B．C．D．2．函數(shù)的圖象在點處的切線斜率為（）A．2B．-2C．4D．3．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A．B．C．D．4．曲線在點處的切線方程為（）A．B．C．D．5．已知函數(shù)的圖象如圖所示（其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），下面四個圖象中的圖象大致是（）A．B．C．D．6．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A．B．C．D．7．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足關(guān)系式，則的值等于（）A．B．C．D．8．已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，下列數(shù)值的排序正確的是（）A．B．C．D．9．函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的圖象如圖所示，則下列結(jié)論成立的是（）A．a(chǎn)>0，b<0，c>0，d>0B．a(chǎn)>0，b<0，c<0，d>0C．a(chǎn)<0，b<0，c>0，d>0D．a(chǎn)>0，b>0，c>0，d<010．已知實數(shù)x、y滿足，則（）A．B．C．D．x、y大小不確定二．填空題（共7小題，單空每小題4分，兩空每小題6分，共36分）11．若函數(shù)在內(nèi)是增函數(shù)，則實數(shù)b的取值范圍是_________．12．若函數(shù)在處取得極值，則________.13．曲線的一條切線的斜率為2，則切點坐標(biāo)為_________．14．把長為60m的鐵絲圍成矩形,當(dāng)長為___m,寬為___m時,矩形的面積最大.15．函數(shù)在上的最小值為__________,此時__________.16．已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）的圖象恒過定點，（1）則點的坐標(biāo)為__________；（2）若在點處的切線方程，則__________.17．已知函數(shù)則函數(shù)的最大值為______，最小值為_____三．解答題（共5小題，滿分64分，18--20每小題12分，21,22每小題14分）18．設(shè)與是函數(shù)的兩個極值點.（1）試確定常數(shù)和的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；19.已知函數(shù)f(x)=x3-3x2-9x+2.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)在區(qū)間[-2，2]上的最小值.20．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)在上的最大值和最小值．（2）過點作曲線的切線，求此切線的方程．21．已知函數(shù)與函數(shù)在處有公共的切線.（1）求實數(shù)a，b的值；（2）記，求的極值.22．已知函數(shù)在與時都取得極值．（1）求的值與函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若對,不等式恒成立，求的取值范圍．答案解析第Ⅰ卷（選擇題）一．選擇題（共10小題，滿分50分，每小題5分）1．已知函數(shù)，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，，因此，.故選：D.2．函數(shù)的圖象在點處的切線斜率為（）A．2B．-2C．4D．【答案】D【解析】因為，所以，.故選：D3．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】函數(shù)的定義域是，，令，解得，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，選：D.4．曲線在點處的切線方程為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知曲線在處的切線的斜率，所以曲線在點處的切線方程為，即.故選：A5．已知函數(shù)的圖象如圖所示（其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），下面四個圖象中的圖象大致是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由函數(shù)的圖象可知：當(dāng)時，，，此時單調(diào)遞增；當(dāng)時，，，此時單調(diào)遞減；當(dāng)時，，，此時單調(diào)遞減；當(dāng)時，，，此時單調(diào)遞增．故選：C6．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】在區(qū)間上恒成立，則在區(qū)間上恒成立即故選：A7．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足關(guān)系式，則的值等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】依題意，令得，，故選D.8．已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，下列數(shù)值的排序正確的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由圖可知：，即.故選：B9．函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的圖象如圖所示，則下列結(jié)論成立的是（）A．a(chǎn)>0，b<0，c>0，d>0B．a(chǎn)>0，b<0，c<0，d>0C．a(chǎn)<0，b<0，c>0，d>0D．a(chǎn)>0，b>0，c>0，d<0【答案】A【解析】由圖像知f(0)＝d>0，因為有兩個不相等的正實根，且在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以a>0，所以b<0，c>0，所以a>0，b<0，c>0，d>0.故選：A10．已知實數(shù)x、y滿足，則（）A．B．C．D．x、y大小不確定【答案】C【解析】設(shè)，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，由題得，所以.故選：C第Ⅱ卷（非選擇題）二．填空題（共7小題，單空每小題4分，兩空每小題6分，共36分）11．若函數(shù)在內(nèi)是增函數(shù)，則實數(shù)b的取值范圍是_________．【答案】【解析】由題意得在內(nèi)恒成立，即在內(nèi)恒成立，所以．故答案為：12．若函數(shù)在處取得極值，則________.【答案】【解析】由題意，函數(shù)，可得，因為是函數(shù)的極值點，可得，所以，解得.故答案為：.13．曲線的一條切線的斜率為2，則切點坐標(biāo)為_________．【答案】【解析】由，得，設(shè)切點坐標(biāo)為，，則，解得，．則切點坐標(biāo)為．故答案為：．14．把長為60m的鐵絲圍成矩形,當(dāng)長為___m,寬為___m時,矩形的面積最大.【答案】1515【解析】設(shè)矩形的長為xm,則寬為(30-x)m,矩形面積S=30x-x2(0<x<30),由S′=30-2x=0,得x=15,易知x=15時,S取得最大值.故答案為:15；15.15．函數(shù)在上的最小值為__________,此時__________.【答案】【解析】由題得令得函數(shù)在(2,+∞)單調(diào)遞增,令得函數(shù)在(0,2)單調(diào)遞減,所以當(dāng)x=2時，函數(shù)取最小值4.故答案為(1).(2).(可利用基本不等式)16．已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）的圖象恒過定點，（1）則點的坐標(biāo)為__________；（2）若在點處的切線方程，則__________.【答案】【解析】當(dāng)時，，點的坐標(biāo)為；，，解得：.故答案為：；.17．已知函數(shù)則函數(shù)的最大值為______，最小值為_____【答案】（1）.【解析】∵函數(shù)y，（x∈[3，7]），∴當(dāng)x∈[3，7]時，f′（x）＜0恒成立故函數(shù)y，x∈[3，7]為減函數(shù)故當(dāng)x＝3時函數(shù)取最大值；當(dāng)x＝7時函數(shù)取最小值．故答案為．三．解答題（共5小題，滿分64分，18--20每小題12分，21,22每小題14分）18．設(shè)與是函數(shù)的兩個極值點.（1）試確定常數(shù)和的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由題意可知：（2）19.已知函數(shù)f(x)=x3-3x2-9x+2.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)在區(qū)間[-2，2]上的最小值.【答案】（1）f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞，-1)，(3，+∞)；單調(diào)遞減區(qū)間是(-1，3)；（2）-20.【解析】f′(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3)，令f′(x)=0，得x=-1或x=3，當(dāng)x變化時，f′(x)，f(x)在區(qū)間R上的變化狀態(tài)如下：3+0-0+極大極小所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞，-1)，(3，+∞)；單調(diào)遞減區(qū)間是(-1，3)；（2）解：因為f(-2)=0，f(2)=-20，再結(jié)合f(x)的單調(diào)性可知，函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2，2]上的最小值為-20.20．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)在上的最大值和最小值．（2）過點作曲線的切線，求此切線的方程．【答案】（1）的最小值是，的最大值是；（2）或【解析】（1），，令，解得：或，令，解得：，故在遞增，在遞減，而，，，的最小值是，的最大值是；（2），設(shè)切點坐標(biāo)為，則切線方程為，∵切線過點，∴，化簡得，∴或．∴切線的方程：或．21．已知函數(shù)與函數(shù)在處有公共的切線.（1）求實數(shù)a，b的值；（2）記，求的極值.【答案】（1），．（2）極大值為；無極小值．【解析】（1），，由題意得，，解得，.（2），，，的變化情況如下表：x0+0-極大值由表可知，的極大值為，無極小值.22．已知函數(shù)在與時都取得極值．（1）求的值與函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若對,不等式恒成立，求的取值范圍．【答案】解：（1），遞增區(qū)間是（﹣∞，）和（1，+∞），遞減區(qū)間是（，1）．（2）【解析】（1），f（x）＝3x2+2ax+b由解得，f（x）＝3x2﹣x﹣2＝（3x+2）（x﹣1），函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間如下表：x（﹣∞,）（，1）1（1，+∞）f（x）+0﹣0+f（x）極大值極小值所以函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間是（﹣∞，）和（1，+∞），遞減區(qū)間是（，1）．（2）因為，根據(jù)（1）函數(shù)f（x）的單調(diào)性，得f（x）在（﹣1，）上遞增，在（，1）上遞減，在（1，2）上遞增，所以當(dāng)x時，f（x）為極大值，而f（2）＝，所以f（2）＝2+c為最大值．要使f（x）＜對x∈[﹣1，2]恒成立，須且只需＞f（2）＝2+c．解得c＜﹣1或c＞2．高中數(shù)學(xué)選擇性必修二《第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用》單元檢測試卷（二）第Ⅰ卷（選擇題）一．選擇題（共10小題，滿分50分，每小題5分）1．如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，則函數(shù)的極小值點的個數(shù)為（）A．0B．1C．2D．32．若函數(shù)，滿足，且，則（）A．1B．2C．3D．43.等比數(shù)列中，，，函數(shù)，則（）A．26B．29C．212D．2154．函數(shù)的零點個數(shù)為（）A．B．C．D．5.點是曲線上任意一點，曲線在點處的切線與平行，則的橫坐標(biāo)為（）A．1B．C．D．6．若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．7．若函數(shù)是上的增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．8．已知函數(shù)，且，當(dāng)時，恒成立，則a的取值范圍為（）A．B． C．D．9．設(shè)函數(shù)在區(qū)間上存在零點，則的最小值為（）A．7B．C．D．10．已知為自然對數(shù)的底數(shù)，為實數(shù)，且不等式對任意的恒成立.則當(dāng)取最大值時，的值為（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非選擇題）二．填空題（共7小題，單空每小題4分，兩空每小題6分，共36分）11．函數(shù)，在點處的切線方程為__________.12．某批發(fā)商以每噸20元的價格購進(jìn)一批建筑材料，若以每噸M元零售，銷量N（單位：噸）與零售價M（單位：元）有如下關(guān)系：，則該批材料零售價定為_______元時利潤最大，利潤的最大值為_________元.13．已知函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)有極值，則函數(shù)在上的最大值為_________.14．已知函數(shù)，設(shè)x=1是的極值點，則a=___，的單調(diào)增區(qū)間為___.15.已知函數(shù)，對任意的，當(dāng)時，，則實數(shù)a的取值范圍是________．16．已知函數(shù)有兩個不同的極值點，，則a的取值范圍_____；且不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍______.17．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，的極小值為________；（2）若在上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為___________．三．解答題（共5小題，滿分64分，18--20每小題12分，21,22每小題14分）18．已知函數(shù)f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a.（1）求函數(shù)f(x)＝x＋在上的值域；（2）若?x1∈，?x2∈[2，3]，使得f(x1)≥g(x2)，求實數(shù)a的取值范圍.19.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．（2）若對恒成立，求實數(shù)的取值范圍.20．已知函數(shù).(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(Ⅱ)求證：當(dāng)時，.21.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若對任意，函數(shù)的圖象不在軸上方，求實數(shù)的取值范圍.22．已知函數(shù)，其中為常數(shù)，且.（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若在處取得極值，且在的最大值為1，求的值.答案解析第Ⅰ卷（選擇題）一．選擇題（共10小題，滿分50分，每小題5分）1．如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，則函數(shù)的極小值點的個數(shù)為（）A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】由圖象，設(shè)與軸的兩個交點橫坐標(biāo)分別為、其中，知在，上，所以此時函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上，，此時在上單調(diào)遞減，所以時，函數(shù)取得極大值，時，函數(shù)取得極小值．則函數(shù)的極小值點的個數(shù)為1．故選:B2．若函數(shù)，滿足，且，則（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】因為函數(shù)，滿足，且，所以，則，對兩邊求導(dǎo)，可得，所以，因此.故選：C.3.等比數(shù)列中，，，函數(shù)，則（）A．26B．29C．212D．215【答案】C【解析】等比數(shù)列中，，，所以，因為函數(shù)，，則．故選：C．4．函數(shù)的零點個數(shù)為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由題得，令得或，令得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，減區(qū)間為.所以函數(shù)的極大值為，極小值為，當(dāng)時，當(dāng)時，所以函數(shù)的零點個數(shù)為2.故選：C5.點是曲線上任意一點，曲線在點處的切線與平行，則的橫坐標(biāo)為（）A．1B．C．D．【答案】A【解析】由題意，設(shè)，，由得，則，因為曲線在點處的切線與平行，所以，解得：或（舍）故選：A.6．若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由題意可得：在上恒成立，整理可得：，函數(shù)在上遞減，所以，所以，故選：C.7．若函數(shù)是上的增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因為，所以因為在上的增函數(shù)，所以在R上恒成立，所以，即，所以，解得，故選：B8．已知函數(shù)，且，當(dāng)時，恒成立，則a的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由題意，，解得，則，則當(dāng)時，，即恒成立，令，則，當(dāng)時，，時，，所以在上是減函數(shù)，在是增函數(shù)，，又因為當(dāng)時，取得最大值1，所以當(dāng)時，取得最大值，所以.故選：B.9．設(shè)函數(shù)在區(qū)間上存在零點，則的最小值為（）A．7B．C．D．【答案】C【解析】由題意，函數(shù)，設(shè)為函數(shù)在上的零點，則，即，即點在直線上，又由表示點到原點的距離的平方，則，即，令，則，因為，所以，可得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，最大值為，所以的最小值為.故選：C.10．已知為自然對數(shù)的底數(shù)，為實數(shù)，且不等式對任意的恒成立.則當(dāng)取最大值時，的值為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】設(shè)，則，當(dāng)時，，所以在上遞增，不符合條件，故，令得，所以在上遞增，上遞增，故有，即，則有，令，，則在上遞減，且，所以在上遞增，上遞減，所以，此時取得最大值，且，所以.故選：D第Ⅱ卷（非選擇題）二．填空題（共7小題，單空每小題4分，兩空每小題6分，共36分）11．函數(shù)，在點處的切線方程為__________.【答案】【解析】，在點處的切線方程為，即故答案為：12．某批發(fā)商以每噸20元的價格購進(jìn)一批建筑材料，若以每噸M元零售，銷量N（單位：噸）與零售價M（單位：元）有如下關(guān)系：，則該批材料零售價定為_______元時利潤最大，利潤的最大值為_________元.【答案】3023000【解析】設(shè)該商品的利潤為y元，由題意知，，則，令，得或（舍去），當(dāng)時，，當(dāng)時，，因此當(dāng)時，y取得極大值，也是最大值，且.故答案為：30，2300013．已知函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)有極值，則函數(shù)在上的最大值為_________.【答案】13【解析】，當(dāng)時，函數(shù)有極值，，解得，，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，在處取得極大值，且，，在上的最大值為13.故答案為：13.14．已知函數(shù)，設(shè)x=1是的極值點，則a=___，的單調(diào)增區(qū)間為___.【答案】【解析】由題意可得：是的極值點即令，可得的單調(diào)遞增區(qū)間為15.已知函數(shù)，對任意的，當(dāng)時，，則實數(shù)a的取值范圍是________．【答案】.【解析】由題意，分式的幾何意義為：表示點與連線的斜率，因為實數(shù)在區(qū)間內(nèi)，故和在區(qū)間內(nèi)，不等式恒成立，所以函數(shù)圖象上在區(qū)間內(nèi)任意兩點連線的斜率大于1，故函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大于1在內(nèi)恒成立，由函數(shù)滿足，即定義域為，即在內(nèi)恒成立，即在內(nèi)恒成立，設(shè)函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)，可得，所以，即實數(shù)的取值范圍是.16．已知函數(shù)有兩個不同的極值點，，則a的取值范圍_____；且不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍______.【答案】【解析】，因為函數(shù)有兩個不同的極值點,所以方程有兩個不相等的正實數(shù)根，于是有：，解得.,設(shè),，故在上單調(diào)遞增，故，所以.因此的取值范圍是故答案為：；17．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，的極小值為________；（2）若在上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為___________．【答案】1【解析】（1）時，，，，，故在單調(diào)遞增，而（1），故時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增，故極小值（1）；（2）若在上恒成立，即在恒成立，①即時，，，，故在恒成立，②即時，即為在恒成立，即，只需求出的最大值即可，，，令，解得：，令，解得：，故在單調(diào)遞增，在，單調(diào)遞減，故，故，綜上，，．故答案為：1，，．三．解答題（共5小題，滿分64分，18--20每小題12分，21,22每小題14分）18．已知函數(shù)f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a.（1）求函數(shù)f(x)＝x＋在上的值域；（2）若?x1∈，?x2∈[2，3]，使得f(x1)≥g(x2)，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1），因為，所以，即函數(shù)為減函數(shù)，因為，所以值域為.（2）因為?x1∈，?x2∈[2，3]，使得f(x1)≥g(x2)，所以，因為，所以，所以，即.19.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．（2）若對恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間單調(diào)減區(qū)間（2）【解析】（1）令，解得或，令，解得：.故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.（2）由（1）知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，∴，∵對恒成立，∴，即，∴20．已知函數(shù).(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(Ⅱ)求證：當(dāng)時，.【答案】(1)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(1，＋∞),單調(diào)減區(qū)間為(0，1)；(2)見解析.【解析】(1)依題意知函數(shù)的定義域為{x|x>0}，∵f′(x)＝2x-2=，由f′(x)>0，得x>1;由f′(x)<0，得0<x<1∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(1，＋∞),單調(diào)減區(qū)間為(0，1)．(2)設(shè)g(x)＝f（x）-3x+1=x2－2lnx-3x+4，∴g′(x)＝2x-2--3=，∵當(dāng)x>2時，g′(x)>0，∴g(x)在(2，＋∞)上為增函數(shù)，∴g(x)>g(2)＝4-2ln2-6+4>0，∴當(dāng)x>2時，x2-2lnx>3x-4,即當(dāng)x>2時..21.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若對任意，函數(shù)的圖象不在軸上方，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）詳見解析；（2）.【解析】（1）函數(shù)定義域為，則，當(dāng)時，，遞增，當(dāng)時，令，解得，令，解得，所以在遞增，在遞減；（2）若對任意，函數(shù)的圖象不在軸上方，則，恒成立，則，恒成立，令，則，令，則，所以在遞減，而，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，取得最大值，所以，所以實數(shù)a的取值范圍是.22．已知函數(shù)，其中為常數(shù)，且.（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若在處取得極值，且在的最大值為1，求的值.【答案】（1）在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）或.【解析】（1），，令，得或1，則列表如下：1+0_0+增極大值減極小值增所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）∵，令，，，因為在處取得極值，所以，①時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上的最大值為，令，解得；②當(dāng)，；(i)當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，所以最大值1可能在或處取得，而，∴，∴，(ii)當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，所以最大值1可能在或處取得而，所以，解得，與矛盾；(iii)當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以最大值1可能在處取得，而，矛盾，綜上所述，或.高中數(shù)學(xué)選擇性必修二《第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用》單元檢測試卷（三）題型：8（單選）+4（多選）+4（填空）+6（解答），滿分150分，時間：120分鐘一、單選題1．設(shè)是可導(dǎo)函數(shù)，且，則（）A．B．-1C．0D．-22．已知函數(shù)y=f(A．B．C．D．3．函數(shù)在上的最小值和最大值分別是A．B．C．D．4．已知函數(shù)（）在上為增函數(shù)，則的取值范圍是（）A．B．C．D．5．若曲線在處的切線，也是的切線，則（）A．B．C．D．6．函數(shù)在處取極小值，則（）A．6或2B．或C．6D．7．已知函數(shù)，設(shè)，，，則（）A．B．C．D．8．已知為上的可導(dǎo)函數(shù)，且有，則對于任意的，當(dāng)時，有()A．B．C．D．二、多選題9．若直線是函數(shù)圖像的一條切線，則函數(shù)可以是（）A．B．C．D．10．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖，則下列敘述正確的是（）A．函數(shù)只有一個極值點B．函數(shù)滿足，且在處取得極小值C．函數(shù)在處取得極大值D．函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減11．素數(shù)分布問題是研究素數(shù)性質(zhì)的重要課題，德國數(shù)學(xué)家高斯提出了一個猜想：，其中表示不大于x的素數(shù)的個數(shù)，即隨著x的增大，的值近似接近的值．從猜想出發(fā)，下列推斷正確的是（）A．當(dāng)x很大時，隨著x的增大，的增長速度變慢B．當(dāng)x很大時，隨著x的增大，減小C．當(dāng)x很大時，在區(qū)間（n是一個較大常數(shù)）內(nèi)，素數(shù)的個數(shù)隨x的增大而減少D．因為，所以12．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，．則下列結(jié)論正確的是（）．A．當(dāng)時，B．函數(shù)有五個零點C．若關(guān)于的方程有解，則實數(shù)的取值范圍是D．對，恒成立三、填空題13．若函數(shù)的的導(dǎo)數(shù)為，且則__________14．生活經(jīng)驗告訴我們，當(dāng)水注進(jìn)容器(設(shè)單位時間內(nèi)進(jìn)水量相同)時，水的高度隨著時間的變化而變化，在下圖中請選擇與容器相匹配的圖像，A對應(yīng)______；B對應(yīng)______；C對應(yīng)________；D對應(yīng)________．15．若函數(shù)有且只有一個零點，則實數(shù)的值為_______.16．已知一個圓柱的軸截面是周長為12米的長方形，則滿足這個條件的圓柱的最大體積是______立方米.四、解答題17．已知函數(shù)在與處都取得極值．(1)求函數(shù)的解析式及單調(diào)區(qū)間；(2)求函數(shù)在區(qū)間的最大值與最小值．18．設(shè)函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．（2）若方程有且僅有三個實根，求實數(shù)的取值范圍．19．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；（2）求的單調(diào)區(qū)間．20．某地需要修建一條大型輸油管道通過720千米寬的荒漠地帶，該段輸油管道兩端的輸油站已建好，余下工程只需要在該段兩端已建好的輸油站之間鋪設(shè)輸油管道和等距離修建增壓站（又稱泵站）.經(jīng)預(yù)算，修建一個增壓站的工程費用為108萬元，鋪設(shè)距離為千米的相鄰兩增壓站之間的輸油管道費用為萬元.設(shè)余下工程的總費用為萬元.（1）試將表示成關(guān)于的函數(shù)；（2）需要修建多少個增壓站才能使總費用最??？21．已知函數(shù)(其中)，為的導(dǎo)數(shù).（1）求導(dǎo)數(shù)的最小值；（2）若不等式恒成立，求的取值范圍.22．函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，求證：.答案解析一、單選題1．設(shè)是可導(dǎo)函數(shù)，且，則（）A．B．-1C．0D．-2【答案】B【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，即可求出．【詳解】試題分析：因為所以，故選：B.【點睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．2．已知函數(shù)y=f(A．B．C．D．【答案】D【解析】觀察可知導(dǎo)函數(shù)圖像由正變負(fù)，則原函數(shù)應(yīng)先遞增，后遞減，故選擇D.方法點睛：辨識函數(shù)圖像與導(dǎo)數(shù)圖像主要是依據(jù)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上滿足f'(x)>0，則f(x)3．函數(shù)在上的最小值和最大值分別是A．B．C．D．【答案】A【分析】求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最大值和最小值即可．【詳解】函數(shù)，cosx，令＞0，解得：x，令＜0，解得：0≤x，∴f（x）在[0，）遞減，在（，]遞增，∴f（x）min＝f（），而f（0）＝0，f（）1，故f（x）在區(qū)間[0，]上的最小值和最大值分別是：．故選：A．【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查函數(shù)值的運算，屬于基礎(chǔ)題．4．已知函數(shù)（）在上為增函數(shù)，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】分析：求導(dǎo)，則在恒成立，再分離參數(shù)，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，再利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解．詳解：因為函數(shù)在上為增函數(shù)，所以在恒成立，即在上恒成立，令，則，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即，即.故選A．點睛：1.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求有關(guān)參數(shù)問題，往往轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上恒成立問題進(jìn)行求解；2.解決不等式恒成立問題，往往分離參數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，再利用“恒成立”進(jìn)行求解．5．若曲線在處的切線，也是的切線，則（）A．B．C．D．【答案】C【分析】利用導(dǎo)數(shù)求得曲線在處的切線方程，并設(shè)該切線與曲線切于點，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切點的坐標(biāo)，代入切線方程可求得實數(shù)的值.【詳解】對于函數(shù)，，則，又，所以，曲線在處的切線方程為，即，設(shè)直線與曲線相切于點，對于函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)為，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，得，所以，切點坐標(biāo)為，代入切線方程得.故選：C.【點睛】本題考查利用兩曲線的公切線求參數(shù)，解題時要注意以下兩點：（1）切線的斜率等于函數(shù)在切點處的導(dǎo)數(shù)值；（2）切點為函數(shù)圖象與切線的公共點.6．函數(shù)在處取極小值，則（）A．6或2B．或C．6D．【答案】D【分析】先求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)求得，再代入驗證是否滿足題意.【詳解】或當(dāng)時，，當(dāng)時，當(dāng)時，函數(shù)在處取極大值，不符題意，舍去；當(dāng)時，，當(dāng)時，當(dāng)時，函數(shù)在處取極小值，故選：D【點睛】本題考查函數(shù)極值，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.7．已知函數(shù)，設(shè)，，，則（）A．B．C．D．【答案】D【分析】由題意可得是偶函數(shù)，當(dāng)時，，可得在單調(diào)遞增，又，，，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得出答案.【詳解】由，則是偶函數(shù)，當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞增，由，，，則，所以又，所以故選：D【點睛】本題考查利用單調(diào)性比較函數(shù)值大小，考查利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)單調(diào)性，考查指數(shù)、對數(shù)的的大小的比較，屬于中檔題.8．已知為上的可導(dǎo)函數(shù)，且有，則對于任意的，當(dāng)時，有()A．B．C．D．【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)h（x）=xf（x），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可．【詳解】不妨設(shè)h（x）=xf（x），則h′（x）=f（x）+xf′（x）．∵當(dāng)x＞0，有，∴當(dāng)x＞0時，xf′（x）+f（x）＞0，即h′（x）＞0，此時函數(shù)h（x）單調(diào)遞增，則對于任意的a，b∈（0，+∞），當(dāng)a＞b時，則g（a）＞g（b），即af（a）＞bf（b），故選B．【點睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道基礎(chǔ)題．二、多選題9．若直線是函數(shù)圖像的一條切線，則函數(shù)可以是（）A．B．C．D．【答案】BCD【分析】求得已知直線的斜率，對選項中的函數(shù)分別求導(dǎo)，可令導(dǎo)數(shù)為，解方程即可判斷結(jié)論【詳解】解：直線的斜率為，由的導(dǎo)數(shù)為，即切線的斜率小于0，故A不正確；由的導(dǎo)數(shù)為，而，解得，故B正確；由的導(dǎo)數(shù)為，而有解，故C正確；由的導(dǎo)數(shù)為，而，解得，故D正確，故選：BCD【點睛】此題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，正確求導(dǎo)是解題的關(guān)鍵，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題10．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖，則下列敘述正確的是（）A．函數(shù)只有一個極值點B．函數(shù)滿足，且在處取得極小值C．函數(shù)在處取得極大值D．函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減【答案】AC【分析】通過觀察導(dǎo)函數(shù)的圖像及導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)表示原函數(shù)的增減，依次判斷即可得出結(jié)果.【詳解】由導(dǎo)函數(shù)的圖像可得，當(dāng)x<2時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)x>2時，，函數(shù)單調(diào)遞減.所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,只有當(dāng)x=2時函數(shù)取得極大值，無極小值.故選:AC.【點睛】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)的圖像研究函數(shù)的性質(zhì),考查數(shù)形結(jié)合的能力，屬于基礎(chǔ)題.11．素數(shù)分布問題是研究素數(shù)性質(zhì)的重要課題，德國數(shù)學(xué)家高斯提出了一個猜想：，其中表示不大于x的素數(shù)的個數(shù)，即隨著x的增大，的值近似接近的值．從猜想出發(fā)，下列推斷正確的是（）A．當(dāng)x很大時，隨著x的增大，的增長速度變慢B．當(dāng)x很大時，隨著x的增大，減小C．當(dāng)x很大時，在區(qū)間（n是一個較大常數(shù)）內(nèi)，素數(shù)的個數(shù)隨x的增大而減少D．因為，所以【答案】AC【分析】令函數(shù)且，用導(dǎo)數(shù)法逐項判斷.【詳解】設(shè)函數(shù)且，則且，且，當(dāng)時，，所以當(dāng)x很大時，隨著x的增大，的增長速度變慢，故A正確；函數(shù)的圖象如圖所示：由圖象可得隨著x的增大，并不減小，故B錯誤；當(dāng)x很大時，在區(qū)間（n是一個較大常數(shù)）內(nèi)，函數(shù)增長得慢，素數(shù)的個數(shù)隨x的增大而減少，故C正確；，故D錯誤．故選：AC．12．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，．則下列結(jié)論正確的是（）．A．當(dāng)時，B．函數(shù)有五個零點C．若關(guān)于的方程有解，則實數(shù)的取值范圍是D．對，恒成立【答案】AD【分析】根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)，求出時的解析式，可判斷A；利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間及極值，再結(jié)合是奇函數(shù)，可作出函數(shù)在上的大致圖象，從而可逐項判斷B、C、D．【詳解】設(shè)，則，所以，又函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，所以，即故A正確．當(dāng)時，，所以，令，解得，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時，函數(shù)取得極小值，當(dāng)時，，又，故函數(shù)在僅有一個零點．當(dāng)時，，所以函數(shù)在沒有零點，所以函數(shù)在上僅有一個零點，函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，故函數(shù)在上僅有一個零點，又，故函數(shù)是定義在上有3個零點．故B錯誤．作出函數(shù)的大致圖象，由圖可知若關(guān)于的方程有解，則實數(shù)的取值范圍是.故C錯誤．由圖可知，對，故D正確．故選：AD．【點睛】本題主要考查利用函數(shù)奇偶性求函數(shù)解析式；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值；同時也考查函數(shù)的零點，綜合性較強(qiáng)．三、填空題13．若函數(shù)的的導(dǎo)數(shù)為，且則______【答案】12【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，令可求得．【詳解】由題意，∴，∴．故答案為：－12．【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運算，掌握導(dǎo)數(shù)運算法則是解題關(guān)鍵．14．生活經(jīng)驗告訴我們，當(dāng)水注進(jìn)容器(設(shè)單位時間內(nèi)進(jìn)水量相同)時，水的高度隨著時間的變化而變化，在下圖中請選擇與容器相匹配的圖像，A對應(yīng)________；B對應(yīng)________；C對應(yīng)________；D對應(yīng)________．【答案】(4)(1)(3)(2)【詳解】容器下粗上細(xì)，水高度的變化先慢后快，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，函數(shù)圖象切線斜率變化故先慢后快，與(4)對應(yīng)；容器為球形，水高度變化為快—慢—快，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，應(yīng)與(1)對應(yīng)；容器都是柱形的，水高度的變化速度都應(yīng)是直線形，但容器細(xì)，容器粗，故水高度的變化為：容器快，與(3)對應(yīng)，容器慢，與(2)對應(yīng).故答案為(4)；(1)；(3)；(2)．15．若函數(shù)有且只有一個零點，則實數(shù)的值為_______.【答案】1【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系求出單調(diào)區(qū)間，由題意，只需即可求解.【詳解】由，（），則，令，解得，令，解得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在時取得極小值.所以函數(shù)有且只有一個零點，只需，即，解得.故答案為：116．已知一個圓柱的軸截面是周長為12米的長方形，則滿足這個條件的圓柱的最大體積是______立方米.【答案】【分析】設(shè)圓柱的高為，底面圓的半徑為，可得，，圓柱的體積，構(gòu)造函數(shù)，，求導(dǎo)并判斷單調(diào)性，可求出最大值，即可求出答案.【詳解】設(shè)圓柱的高為，底面圓的半徑為，則，即，由，可得，圓柱的體積，將代入，可得，構(gòu)造函數(shù)，，求導(dǎo)得，則時，，函數(shù)單調(diào)遞增；時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以的最大值為.即時，該圓柱的體積最大，最大體積是立方米.故答案為：.【點睛】本題考查柱體體積的計算，考查利用導(dǎo)函數(shù)求最大值，考查學(xué)生的計算求解能力，屬于中檔題.四、解答題17．已知函數(shù)在與處都取得極值．(1)求函數(shù)的解析式及單調(diào)區(qū)間；(2)求函數(shù)在區(qū)間的最大值與最小值．【答案】（1），單調(diào)增區(qū)間是，減區(qū)間是（2），【分析】（1）對求導(dǎo)，根據(jù)在與處都取得極值，得和，建立方程組求得a,b的值，得到的解析式，再分析取得正負(fù)時x的范圍，從而得出相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間，得解；（2）根據(jù)（1）可得出的極值點，再求出邊界點和的值，與極值點的函數(shù)值比較大小可得解.【詳解】（1）因為，所以,因為在與處都取得極值，所以，即，解得即，所以，令或，令，所以的單調(diào)增區(qū)間是，減區(qū)間是.（2）由（1）可知，1+0-0+單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增的極小值，的極大值，而，，可得時，，.故得解.【點睛】本題考查通過導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值，最值的問題，屬于基礎(chǔ)題．18．設(shè)函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．（2）若方程有且僅有三個實根，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）增區(qū)間（-∞,1）和（2，+∞），減區(qū)間為（1，2）;（2）【解析】試題分析：（1），解或的解集；（2）先求極值點，判斷單調(diào)性，然后根據(jù)圖形，判定軸于圖像有三個交點時的位置，從而列不等式.試題解析：（1），當(dāng)時，或.當(dāng)時，.（2）由（1）知，函數(shù)在（-∞,1）為增，為減函數(shù)，為增函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的圖像特征，判斷軸應(yīng)在極值之間，得,考點：1.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用；2.函數(shù)的圖像；3.函數(shù)的零點.19．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；（2）求的單調(diào)區(qū)間．【答案】（1）；（2）當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間是；當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間是；遞增區(qū)間是．【分析】（1）對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，把代入導(dǎo)函數(shù)中，求出在點處的切線的斜率，寫出直線的點斜式方程，最后化為一般方程；（2）對的值，進(jìn)行分類討論，求出的單調(diào)區(qū)間．【詳解】（1）當(dāng)時，，所以．所以，，所以切線方程為．（2）．當(dāng)時，在時，所以的單調(diào)增區(qū)間是；當(dāng)時，函數(shù)與在定義域上的情況如下：所以的單調(diào)遞減區(qū)間是；遞增區(qū)間是．綜上所述：當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間是；當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間是；遞增區(qū)間是．【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、求曲線的切線方程，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.本題考查了分類討論思想.20．某地需要修建一條大型輸油管道通過720千米寬的荒漠地帶，該段輸油管道兩端的輸油站已建好，余下工程只需要在該段兩端已建好的輸油站之間鋪設(shè)輸油管道和等距離修建增壓站（又稱泵站）.經(jīng)預(yù)算，修建一個增壓站的工程費用為108萬元，鋪設(shè)距離為千米的相鄰兩增壓站之間的輸油管道費用為萬元.設(shè)余下工程的總費用為萬元.（1）試將表示成關(guān)于的函數(shù)；（2）需要修建多少個增壓站才能使總費用最?。俊敬鸢浮浚?）；（2）19個【分析】（1）由題可知需要新建個增壓站，即可求得余下工程的總費用，得到函數(shù)的解析式；（2）由（1）可得，利用導(dǎo)數(shù)求出的單調(diào)性與最值，即可得解.【詳解】解：（1）設(shè)需要新建個增壓站，且，即，則關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為；（2）由（1）知，，，令，得，解得，當(dāng)時，，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，當(dāng)時，，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，所以在處取得最小值，此時，即需新建19個增壓站才能使最小.【點睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用問題，其中解答中根據(jù)題意，得出函數(shù)的解析式，合理利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性與最值是解答的關(guān)鍵，著重考查了學(xué)生分析問題和解答問題的能力.21．已知函數(shù)(其中)，為的導(dǎo)數(shù).（1）求導(dǎo)數(shù)的最小值；（2）若不等式恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）1；（2）.【分析】（1）先求導(dǎo)數(shù)，再構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)的最值．（2）令，通過求導(dǎo)分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和最值的關(guān)系即求．【詳解】（1），令，當(dāng)時，則.故時，，為增函數(shù)，故，即導(dǎo)數(shù)的最小值為1.（2）令，，當(dāng)時，若，則由（1）可知，，所以為增函數(shù)，故恒成立，即．當(dāng)時，由（1）可知在上為增函數(shù)，且，，故存在唯一，使得．則當(dāng)時，，為減函數(shù)，所以，此時與恒成立矛盾．綜上所述，．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問題，解題關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù),通過求進(jìn)而得解，考查了學(xué)生的運算求解能力，邏輯推理能力．屬于中檔題．22．函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，求證：.【答案】（1）見解析（2）見解析【分析】（1）對分類討論，利用導(dǎo)數(shù)證明單調(diào)性即可；（2）構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)得出的極值點，根據(jù)極值點得出，再次構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明其單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性得出，結(jié)合得出，再由的單調(diào)性，即可證明.【詳解】（1）函數(shù)，..對分類討論：時，，可得：時，函數(shù)單調(diào)遞減；時，函數(shù)單調(diào)遞增.時，令，.時，，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減.且時，由，解得，..時，，∴函數(shù)在，上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增.時，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）證明：即令∴可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增∴時，函數(shù)取得極小值即最小值，∵，∴設(shè)，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴∴∵，，在上單調(diào)遞增，∴∴【點睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性以及利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題，屬于中檔題.高中數(shù)學(xué)選擇性必修二《第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用》單元檢測試卷（四）題型：8（單選）+4（多選）+4（填空）+6（解答），滿分150分，時間：120分鐘一、單選題1．如圖中的陰影部分由直徑為2的半圓和底為1，高為2，3的兩矩形構(gòu)成，設(shè)函數(shù)S是圖中陰影部分介于平行線和之間的那一部分的面積，那么函數(shù)的圖象大致為()A．B．C．D．2．函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，其圖像如圖所示．記的導(dǎo)函數(shù)為，則不等式的解集為()A．B．C．D．3．曲線上的點到直線的最短距離為（）A．B．C．D．4．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A．B．C．D．5．若函數(shù)與函數(shù)的圖象存在公切線，則正實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．6．已知函數(shù).過點引曲線的兩條切線，這兩條切線與y軸分別交于A，B兩點，若，則的極大值點為（）A．B．C．D．7．已知函數(shù)，其中為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，則（）A．B．C．D．8．已知函數(shù).則下列結(jié)論中錯誤的是（）A．的極值點不止一個B．的最小值為C．的圖象關(guān)于軸對稱D．在上單調(diào)遞減二、多選題9．已知是定義在上的函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，給出如下四個結(jié)論，其中正確的是（）A．若，且，則的解集為B．若，且，則函數(shù)有極小值0C．若，且，則不等式的解集為D．若，則10．若存在，使得對任意恒成立，則函數(shù)在上有下界，其中為函數(shù)的一個下界；若存在，使得對任意恒成立，則函數(shù)在上有上界，其中為函數(shù)的一個上界.如果一個函數(shù)既有上界又有下界，那么稱該函數(shù)有界.下列說法正確的是（）A．2是函數(shù)的一個下界B．函數(shù)有下界，無上界C．函數(shù)有上界，無下界D．函數(shù)有界11．對于三次函數(shù)，給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的“拐點”.探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心，設(shè)函數(shù)，則以下說法正確的是（）A．函數(shù)對稱中心B．的值是99C．函數(shù)對稱中心D．的值是112．如圖，在四面體中，點，，分別在棱，，上，且平面平面，為內(nèi)一點，記三棱錐的體積為，設(shè)，對于函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．當(dāng)時，函數(shù)取到最大值B．函數(shù)在上是減函數(shù)C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱D．不存在，使得(其中為四面體的體積).三、填空題13．設(shè)為可導(dǎo)函數(shù)，且滿足，則曲線在點處的切線的斜率是______.14．在中，分別為角的對邊，若函數(shù)有極值點，則的范圍是__________．15．為迎接2020年奧運會，某商家計劃設(shè)計一圓形圖標(biāo)，圖標(biāo)內(nèi)部有一“杠鈴形圖案”（如圖中陰影部分），圓的半徑為1米，，是圓的直徑，，在弦上，，在弦上，圓心是矩形的中心.若米，，，則“杠鈴形圖案”面積的最小值為______平方米.16．若函數(shù)，對于任意的，（其中）不等式恒成立，則的取值范圍為________．四、解答題17．已知二次函數(shù).（1）求在點處的切線方程；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性18．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若對于任意的，當(dāng)時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．19．如圖，某市地鐵施工隊在自點M向點N直線掘進(jìn)的過程中，因發(fā)現(xiàn)一地下古城(如圖中正方形所示區(qū)域)而被迫改道.原定的改道計劃為：以M點向南，N點向西的交匯點為圓心，為半徑做圓弧，將作為新的線路，但由于弧線施工難度大，于是又決定自點起，改為直道.已知千米，點A到OM，ON的距離分別為千米和1千米，，且千米，記.（1）求的取值范圍；（2）已知弧形線路的造價與弧長成正比，比例系數(shù)為3a，直道PN的造價與長度的平方成正比，比例系數(shù)為a，當(dāng)θ為多少時，總造價最少？20．對于三次函數(shù)，給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的“拐點”.經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心.設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)時，求的值；（2）若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.21．已知函數(shù)（1）若存在極值點1，求的值；（2）若存在兩個不同的零點，求證：22．已知，函數(shù)，（1）求的最小值；（2）若在上為單調(diào)增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；（3）證明：（）答案解析一、單選題1．如圖中的陰影部分由直徑為2的半圓和底為1，高為2，3的兩矩形構(gòu)成，設(shè)函數(shù)S是圖中陰影部分介于平行線和之間的那一部分的面積，那么函數(shù)的圖象大致為()A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)圖象依次分析[0，1]、[1，2]和[2，3]上面積增長速度的變化情況，從而求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)圖象可知在[0，1]上面積增長速度越來越慢，在圖形上反映出切線的斜率在變??；在[1，2]上面積增長速度恒定，在[2，3]上面積增長速度恒定，而在[1，2]上面積增長速度大于在[2，3]上面積增長速度，在圖形上反映出[1，2]上的切線的斜率大于在[2，3]上的切線的斜率，因此C項符合題意.【點睛】本題考查函數(shù)圖象的應(yīng)用和判斷，解題的關(guān)鍵在于得出面積變化速度與函數(shù)圖像的切線斜率的關(guān)系，屬中檔題.2．函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，其圖像如圖所示．記的導(dǎo)函數(shù)為，則不等式的解集為()A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】就是由函數(shù)的減區(qū)間得的解區(qū)間．【詳解】由圖象知和上遞減，因此的解集為．故選A．【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系．的解區(qū)間是的減區(qū)間，的解區(qū)間是的增區(qū)間．3．曲線上的點到直線的最短距離為（）A．B．C．D．【答案】A【分析】設(shè)與直線平行且與曲線相切的直線方程為.設(shè)切點為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切點，再利用點到直線的距離公式即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)與直線平行且與曲線相切的直線方程為.設(shè)切點為，對函數(shù)求導(dǎo)得，由，可得，則，所以，切點為.則點到直線的距離.曲線上的點到直線的最短距離是.故選：A.【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義和兩條平行線之間的距離、點到直線的距離公式，屬于中檔題.4．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，將問題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上恒成立求參數(shù)范圍的問題；再分離參數(shù)，則問題得解.【詳解】因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，故在區(qū)間上恒成立.即在區(qū)間恒成立.故.故選：.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍，屬基礎(chǔ)題.5．若函數(shù)與函數(shù)的圖象存在公切線，則正實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】分別求出兩個函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)出切點，求得切線的斜率，進(jìn)而求得切線方程，通過對比系數(shù)得出等量關(guān)系式，也即原命題的等價命題，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得正實數(shù)的取值范圍.【詳解】的導(dǎo)函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)為.設(shè)切線與相切的切點為，與相切的切點為，所以切線方程為、，即、.所以，所以，由于，所以，即有解即可.令，，所以在上遞增，在上遞減，最大值為，而時，當(dāng)時，，所以，所以.所以正實數(shù)的取值范圍是.故選：D【點睛】本小題主要考查兩條曲線公切線的問題的求解，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.6．已知函數(shù).過點引曲線的兩條切線，這兩條切線與y軸分別交于A，B兩點，若，則的極大值點為（）A．B．C．D．【答案】A【分析】設(shè)切點的橫坐標(biāo)為，利用切點與點連線的斜率等于曲線在切點處切線的斜率，利用導(dǎo)數(shù)建立有關(guān)的方程，得出的值，再由得出兩切線的斜率之和為零，于此得出的值，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極大值點．【詳解】設(shè)切點坐標(biāo)為，∵，∴，即，解得或.∵，∴，即，則，.當(dāng)或時，；當(dāng)時，.故的極大值點為.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值點，在處理過點作函數(shù)的切線時，一般要設(shè)切點坐標(biāo)，利用切線與點連線的斜率等于切線的斜率，考查計算能力，屬于中等題．7．已知函數(shù)，其中為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，則（）A．B．C．D．【答案】B【分析】將函數(shù)解析式變形為，求得，進(jìn)而可求得所求代數(shù)式的值.【詳解】，所以，，，函數(shù)的定義域為，，所以，函數(shù)為偶函數(shù)，因此，.故選：B.【點睛】結(jié)論點睛：本題考查利用函數(shù)奇偶性求值，關(guān)于奇函數(shù)、偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的奇偶性，有如下結(jié)論：（1）可導(dǎo)的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)；（2）可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù).在應(yīng)用該結(jié)論時，首先應(yīng)對此結(jié)論進(jìn)行證明.8．已知函數(shù).則下列結(jié)論中錯誤的是（）A．的極值點不止一個B．的最小值為C．的圖象關(guān)于軸對稱D．在上單調(diào)遞減【答案】A【分析】判斷函數(shù)的值域以及函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的極值，函數(shù)的奇偶性、對稱性，即可得到結(jié)果.【詳解】因為，，所以，則當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以，且只有一個極值點.因為，所以是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對稱.所以選項BCD正確，選項A錯誤，故選：A【點睛】本題主要考查了函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)的關(guān)系式，主要考查學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于中檔題.二、多選題9．已知是定義在上的函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，給出如下四個結(jié)論，其中正確的是（）A．若，且，則的解集為B．若，且，則函數(shù)有極小值0C．若，且，則不等式的解集為D．若，則【答案】ABD【分析】根據(jù)各選項的條件分別構(gòu)造出函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性和已知條件依次判斷即可得到答案.【詳解】對選項A：設(shè)，因為，且，則，所以在上增函數(shù)，又因為，所以當(dāng)時，，即的解集為，故A正確.對選項B，設(shè)，因為所以當(dāng)時，，為減函數(shù)，當(dāng)時，，為增函數(shù)，故當(dāng)，取得極小值，極小值為，故B正確.對選項C，設(shè)，.因為，，所以，在上增函數(shù).又因為，所以.所以當(dāng)時，，故C錯誤.對選項D，設(shè)，因為，所以，在上增函數(shù).所以，，即.故D正確.故選：ABD【點睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值，同時考查了構(gòu)造函數(shù)，屬于中檔題.10．若存在，使得對任意恒成立，則函數(shù)在上有下界，其中為函數(shù)的一個下界；若存在，使得對任意恒成立，則函數(shù)在上有上界，其中為函數(shù)的一個上界.如果一個函數(shù)既有上界又有下界，那么稱該函數(shù)有界.下列說法正確的是（）A．2是函數(shù)的一個下界B．函數(shù)有下界，無上界C．函數(shù)有上界，無下界D．函數(shù)有界【答案】ABD【分析】由基本不等式可判斷A；利用導(dǎo)數(shù)可確定，即可判斷B；由恒成立即可判斷C；利用放縮法即可判斷D.【詳解】對于A，當(dāng)時，,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，恒成立，是的一個下界，故A正確；對于B，因為，當(dāng)時，；時，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，有下界，又時，，無上界，故B正確；對于C，，，恒成立，有下界，故C錯誤；對于D，，，又，，，既有上界又有下界，即有界，故D正確.故選：ABD.【點睛】本題考查了函數(shù)新定義的應(yīng)用，關(guān)鍵是明確新定義運算實際考查了函數(shù)值域的求解問題，涉及到利用導(dǎo)數(shù)來求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值，屬于中檔題.11．對于三次函數(shù)，給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的“拐點”.探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心，設(shè)函數(shù)，則以下說法正確的是（）A．函數(shù)對稱中心B．的值是99C．函數(shù)對稱中心D．的值是1【答案】BC【分析】根據(jù)題意求出函數(shù)對稱中心，然后根據(jù)函數(shù)對稱中心的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】,令，解得，，由題意可知：函數(shù)的對稱中心為；因為函數(shù)的對稱中心為，所以有，設(shè)，所以有，得，，即的值是99.故選：BC【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的對稱中心，考查了利用函數(shù)的對稱性求函數(shù)值之和問題，考查了數(shù)學(xué)閱讀能力和數(shù)學(xué)運算能力.12．如圖，在四面體中，點，，分別在棱，，上，且平面平面，為內(nèi)一點，記三棱錐的體積為，設(shè)，對于函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．當(dāng)時，函數(shù)取到最大值B．函數(shù)在上是減函數(shù)C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱D．不存在，使得(其中為四面體的體積).【答案】ABD【分析】由題意可知，設(shè)，則.利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求出當(dāng)時，函數(shù)取到最大值.【詳解】在四面體中，點，，分別在棱，，上，且平面平面，由題意可知，，.棱錐與棱錐的高之比為.設(shè)，.，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，函數(shù)取到最大值.故正確；函數(shù)在函數(shù)在上是減函數(shù)，故正確；函數(shù)的圖像不關(guān)于直線對稱，故錯誤；，不存在，使得(其中為四面體的體積).故正確.故選：.【點睛】本題考查相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究幾何體體積最值問題，屬于中檔題三、填空題13．設(shè)為可導(dǎo)函數(shù)，且滿足，則曲線在點處的切線的斜率是______.【答案】【分析】首先根據(jù)極限的運算法則，對所給的極限進(jìn)行整理，寫成符合導(dǎo)數(shù)的定義的形式，寫出導(dǎo)數(shù)的值，即可得到函數(shù)在這一個點處的切線的斜率【詳解】解：因為，所以，所以，所以，所以曲線在點處的切線的斜率為，故答案為：【點睛】此題考查導(dǎo)數(shù)的定義，切線的斜率，以及極限的運算，屬于基礎(chǔ)題14．在中，分別為角的對邊，若函數(shù)有極值點，則的范圍是__________．【答案】【詳解】由題意有兩個不等實根，所以，，所以，所以．故答案為：.【點睛】對定義域內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)來講，導(dǎo)函數(shù)的零點是函數(shù)極值點的必要條件，只有在的兩側(cè)的符號正好相反，都是極值點．本題中導(dǎo)函數(shù)是二次函數(shù)，因此要使得的零點為的極值點，只要求相應(yīng)二次方程有兩個不等實根即可．15．為迎接2020年奧運會，某商家計劃設(shè)計一圓形圖標(biāo)，圖標(biāo)內(nèi)部有一“杠鈴形圖案”（如圖中陰影部分），圓的半徑為1米，，是圓的直徑，，在弦上，，在弦上，圓心是矩形的中心.若米，，，則“杠鈴形圖案”面積的最小值為______平方米.【答案】【分析】先求出面積關(guān)于的函數(shù)解析式，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，再計算函數(shù)最小值．【詳解】設(shè)中點為，連接，則，，則，，所以“杠鈴形圖案”的面積為，則.因為，所以，，單調(diào)遞增.所以當(dāng)時，的最小值.則“杠鈴形圖案”面積的最小值為平方米.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題主要考察實際問題中函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意寫出面積關(guān)于的函數(shù)解析式，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值，難點在于利用導(dǎo)數(shù)求極值，考查了運算能力，屬于中檔題.16．若函數(shù)，對于任意的，（其中）不等式恒成立，則的取值范圍為________．【答案】．【分析】轉(zhuǎn)化條件為在上恒成立，求得即可得解.【詳解】由題意，函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，所以即在上恒成立，因為當(dāng)時，，所以，所以的取值范圍為．故答案為：.四、解答題17．已知二次函數(shù).（1）求在點處的切線方程；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性【答案】（