高二數(shù)學(xué)選擇性必修二課后分層作業(yè)與答案解析

高二數(shù)學(xué)選擇性必修二課后分層作業(yè)全套《4．1數(shù)列的概念》課后分層作業(yè)（第一課時(shí)）[A級(jí)基礎(chǔ)鞏固]1．下列說(shuō)法正確的是()A．?dāng)?shù)列1,3,5,7與數(shù)集{1,3,5,7}是一樣的B．?dāng)?shù)列1,2,3與數(shù)列3,2,1是相同的C．?dāng)?shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n)))是遞增數(shù)列D．?dāng)?shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1＋\f(－1n,n)))是擺動(dòng)數(shù)列2．已知數(shù)列eq\f(1,2)，eq\f(2,3)，eq\f(3,4)，…，eq\f(n,n＋1)，則0.96是該數(shù)列的()A．第20項(xiàng)B．第22項(xiàng)C．第24項(xiàng)D．第26項(xiàng)3．在數(shù)列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55中，x等于()A．11B．12C．13D．144．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝log(n＋1)(n＋2)，則它的前30項(xiàng)之積是()A.eq\f(1,5)B．5C．6D．eq\f(log23＋log3132,5)5．已知遞減數(shù)列{an}中，an＝kn(k為常數(shù))，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A．RB．(0，＋∞)C．(－∞，0)D．(－∞，0]6．?dāng)?shù)列－1,1，－2,2，－3,3，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為_(kāi)_______．7．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝19－2n，則使an>0成立的最大正整數(shù)n的值為_(kāi)_______．8．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝eq\f(n,n＋1)，則an·an＋1·an＋2＝________.9．觀(guān)察下面數(shù)列的特點(diǎn)，用適當(dāng)?shù)臄?shù)填空，并寫(xiě)出每個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：(1)eq\f(3,4)，eq\f(2,3)，eq\f(7,12)，________，eq\f(5,12)，eq\f(1,3)，…；(2)eq\f(\r(5),3)，________，eq\f(\r(17),15)，eq\f(\r(26),24)，eq\f(\r(37),35)，…；(3)2,1，________，eq\f(1,2)，…；(4)eq\f(3,2)，eq\f(9,4)，________，eq\f(65,16)，….10．根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式，寫(xiě)出數(shù)列的前5項(xiàng)，并用圖象表示出來(lái)：(1)an＝(－1)n＋2；(2)an＝eq\f(n＋1,n).[B級(jí)綜合運(yùn)用]11．(多選)一個(gè)無(wú)窮數(shù)列{an}的前三項(xiàng)是1,2,3，下列可以作為其通項(xiàng)公式的是()A．a(chǎn)n＝nB．a(chǎn)n＝n3－6n2－12n－6C．a(chǎn)n＝eq\f(1,2)n2－eq\f(1,2)n＋1D．a(chǎn)n＝eq\f(6,n2－6n＋11)12．對(duì)任意的a1∈(0,1)，由關(guān)系式an＋1＝f(an)得到的數(shù)列滿(mǎn)足an＋1>an(n∈N*)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象是()13．已知數(shù)列2，eq\f(7,4)，2，…的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(an2＋b,cn)，則a4＝________，a5＝________.14．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝pn＋q(p，q∈R)，且a1＝－eq\f(1,2)，a2＝－eq\f(3,4).(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)－eq\f(255,256)是{an}中的第幾項(xiàng)？(3)該數(shù)列是遞增數(shù)列還是遞減數(shù)列？[C級(jí)拓展探究]15．已知數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(9n2－9n＋2,9n2－1))).(1)求這個(gè)數(shù)列的第10項(xiàng)；(2)eq\f(98,101)是不是該數(shù)列中的項(xiàng)，為什么？(3)求證：數(shù)列中的各項(xiàng)都在區(qū)間(0,1)內(nèi)；(4)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)))內(nèi)有無(wú)數(shù)列中的項(xiàng)？若有，是第幾項(xiàng)？若沒(méi)有，說(shuō)明理由．答案解析[A級(jí)基礎(chǔ)鞏固]1．下列說(shuō)法正確的是()A．?dāng)?shù)列1,3,5,7與數(shù)集{1,3,5,7}是一樣的B．?dāng)?shù)列1,2,3與數(shù)列3,2,1是相同的C．?dāng)?shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n)))是遞增數(shù)列D．?dāng)?shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1＋\f(－1n,n)))是擺動(dòng)數(shù)列解析：選D數(shù)列是有序的，而數(shù)集是無(wú)序的，所以A，B不正確；選項(xiàng)C中的數(shù)列是遞減數(shù)列；選項(xiàng)D中的數(shù)列是擺動(dòng)數(shù)列．2．已知數(shù)列eq\f(1,2)，eq\f(2,3)，eq\f(3,4)，…，eq\f(n,n＋1)，則0.96是該數(shù)列的()A．第20項(xiàng)B．第22項(xiàng)C．第24項(xiàng)D．第26項(xiàng)解析：選C由eq\f(n,n＋1)＝0.96，解得n＝24.3．在數(shù)列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55中，x等于()A．11B．12C．13D．14解析：選C觀(guān)察數(shù)列可知，后一項(xiàng)是前兩項(xiàng)的和，故x＝5＋8＝13.4．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝log(n＋1)(n＋2)，則它的前30項(xiàng)之積是()A.eq\f(1,5)B．5C．6D．eq\f(log23＋log3132,5)解析：選Ba1·a2·a3·…·a30＝log23×log34×log45×…×log3132＝log232＝log225＝5.5．已知遞減數(shù)列{an}中，an＝kn(k為常數(shù))，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A．RB．(0，＋∞)C．(－∞，0)D．(－∞，0]解析：選Can＋1－an＝k(n＋1)－kn＝k<0.6．?dāng)?shù)列－1,1，－2,2，－3,3，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為_(kāi)_______．解析：注意到數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)的特點(diǎn)即可得an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(n＋1,2)，n＝2k－1k∈N*，,\f(n,2)，n＝2kk∈N*.))答案：an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(n＋1,2)，n＝2k－1k∈N*，,\f(n,2)，n＝2kk∈N*))7．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝19－2n，則使an>0成立的最大正整數(shù)n的值為_(kāi)_______．解析：由an＝19－2n>0，得n<eq\f(19,2).∵n∈N*，∴n≤9.答案：98．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝eq\f(n,n＋1)，則an·an＋1·an＋2＝________.解析：an·an＋1·an＋2＝eq\f(n,n＋1)·eq\f(n＋1,n＋2)·eq\f(n＋2,n＋3)＝eq\f(n,n＋3).答案：eq\f(n,n＋3)9．觀(guān)察下面數(shù)列的特點(diǎn)，用適當(dāng)?shù)臄?shù)填空，并寫(xiě)出每個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：(1)eq\f(3,4)，eq\f(2,3)，eq\f(7,12)，________，eq\f(5,12)，eq\f(1,3)，…；(2)eq\f(\r(5),3)，________，eq\f(\r(17),15)，eq\f(\r(26),24)，eq\f(\r(37),35)，…；(3)2,1，________，eq\f(1,2)，…；(4)eq\f(3,2)，eq\f(9,4)，________，eq\f(65,16)，….解：(1)根據(jù)觀(guān)察：分母的最小公倍數(shù)為12，把各項(xiàng)都改寫(xiě)成以12為分母的分?jǐn)?shù)，則序號(hào)123456↓↓↓↓↓↓eq\f(9,12)eq\f(8,12)eq\f(7,12)________eq\f(5,12)eq\f(4,12)于是應(yīng)填eq\f(6,12)，而分子恰為10減序號(hào)，故應(yīng)填eq\f(1,2)，通項(xiàng)公式為an＝eq\f(10－n,12).(2)eq\f(\r(5),3)＝eq\f(\r(4＋1),4－1)，eq\f(\r(17),15)＝eq\f(\r(16＋1),16－1)，eq\f(\r(26),24)＝eq\f(\r(25＋1),25－1)，eq\f(\r(37),35)＝eq\f(\r(36＋1),36－1).只要按上面形式把原數(shù)改寫(xiě)，便可發(fā)現(xiàn)各項(xiàng)與序號(hào)的對(duì)應(yīng)關(guān)系：分子為序號(hào)加1的平方與1的和的算術(shù)平方根，分母為序號(hào)加1的平方與1的差．故應(yīng)填eq\f(\r(10),8)，通項(xiàng)公式為an＝eq\f(\r(n＋12＋1),n＋12－1).(3)因?yàn)?＝eq\f(2,1)，1＝eq\f(2,2)，eq\f(1,2)＝eq\f(2,4)，所以數(shù)列缺少部分為eq\f(2,3)，數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(2,n).(4)先將原數(shù)列變形為1eq\f(1,2)，2eq\f(1,4)，___，4eq\f(1,16)，…，所以應(yīng)填3eq\f(1,8)，數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝n＋eq\f(1,2n).10．根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式，寫(xiě)出數(shù)列的前5項(xiàng)，并用圖象表示出來(lái)：(1)an＝(－1)n＋2；(2)an＝eq\f(n＋1,n).解：(1)a1＝1，a2＝3，a3＝1，a4＝3，a5＝1.圖象如圖①.(2)a1＝2，a2＝eq\f(3,2)，a3＝eq\f(4,3)，a4＝eq\f(5,4)，a5＝eq\f(6,5).圖象如圖②.[B級(jí)綜合運(yùn)用]11．(多選)一個(gè)無(wú)窮數(shù)列{an}的前三項(xiàng)是1,2,3，下列可以作為其通項(xiàng)公式的是()A．a(chǎn)n＝nB．a(chǎn)n＝n3－6n2－12n－6C．a(chǎn)n＝eq\f(1,2)n2－eq\f(1,2)n＋1D．a(chǎn)n＝eq\f(6,n2－6n＋11)解析：選AD對(duì)于A(yíng)，若an＝n，則a1＝1，a2＝2，a3＝3，符合題意；對(duì)于B，若an＝n3－6n2－12n＋6，則a1＝－11，不符合題意；對(duì)于C，若an＝eq\f(1,2)n2－eq\f(1,2)n＋1，當(dāng)n＝3時(shí)，a3＝4≠3，不符合題意；對(duì)于D，若an＝eq\f(6,n2－6n＋11)，則a1＝1，a2＝2，a3＝3，符合題意．故選A、D.12．對(duì)任意的a1∈(0,1)，由關(guān)系式an＋1＝f(an)得到的數(shù)列滿(mǎn)足an＋1>an(n∈N*)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象是()解析：選A據(jù)題意，由關(guān)系式an＋1＝f(an)得到的數(shù)列{an}，滿(mǎn)足an＋1>an，即該函數(shù)y＝f(x)的圖象上任一點(diǎn)(x，y)都滿(mǎn)足y>x，結(jié)合圖象，只有A滿(mǎn)足，故選A.13．已知數(shù)列2，eq\f(7,4)，2，…的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(an2＋b,cn)，則a4＝________，a5＝________.解析：將a1＝2，a2＝eq\f(7,4)代入通項(xiàng)公式，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,c)＝2，,\f(4a＋b,2c)＝\f(7,4)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝3a，,c＝2a，))∴an＝eq\f(n2＋3,2n)，∴a4＝eq\f(42＋3,2×4)＝eq\f(19,8)，a5＝eq\f(52＋3,2×5)＝eq\f(14,5).答案：eq\f(19,8)eq\f(14,5)14．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝pn＋q(p，q∈R)，且a1＝－eq\f(1,2)，a2＝－eq\f(3,4).(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)－eq\f(255,256)是{an}中的第幾項(xiàng)？(3)該數(shù)列是遞增數(shù)列還是遞減數(shù)列？解：(1)∵an＝pn＋q，且a1＝－eq\f(1,2)，a2＝－eq\f(3,4)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＋q＝－\f(1,2)，,p2＋q＝－\f(3,4)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝\f(1,2)，,q＝－1，))因此{(lán)an}的通項(xiàng)公式是an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1.(2)令an＝－eq\f(255,256)，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1＝－eq\f(255,256)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n＝eq\f(1,256)，解得n＝8.故－eq\f(255,256)是{an}中的第8項(xiàng)．(3)由于an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1，且eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n隨n的增大而減小，因此an的值隨n的增大而減小，故{an}是遞減數(shù)列．[C級(jí)拓展探究]15．已知數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(9n2－9n＋2,9n2－1))).(1)求這個(gè)數(shù)列的第10項(xiàng)；(2)eq\f(98,101)是不是該數(shù)列中的項(xiàng)，為什么？(3)求證：數(shù)列中的各項(xiàng)都在區(qū)間(0,1)內(nèi)；(4)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)))內(nèi)有無(wú)數(shù)列中的項(xiàng)？若有，是第幾項(xiàng)？若沒(méi)有，說(shuō)明理由．解：(1)設(shè)an＝f(n)＝eq\f(9n2－9n＋2,9n2－1)＝eq\f(3n－13n－2,3n－13n＋1)＝eq\f(3n－2,3n＋1).令n＝10，得第10項(xiàng)a10＝f(10)＝eq\f(28,31).(2)令eq\f(3n－2,3n＋1)＝eq\f(98,101)，得9n＝300.此方程無(wú)正整數(shù)解，所以eq\f(98,101)不是該數(shù)列中的項(xiàng)．(3)證明：∵an＝eq\f(3n－2,3n＋1)＝1－eq\f(3,3n＋1)，且n∈N*，∴0<1－eq\f(3,3n＋1)<1，∴0<an<1.∴數(shù)列中的各項(xiàng)都在區(qū)間(0,1)內(nèi)．(4)令eq\f(1,3)<an＝eq\f(3n－2,3n＋1)<eq\f(2,3)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3n＋1<9n－6，,9n－6<6n＋2，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n>\f(7,6)，,n<\f(8,3).))∴當(dāng)且僅當(dāng)n＝2時(shí)，上式成立，故在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)))內(nèi)有數(shù)列中的項(xiàng)，且只有一項(xiàng)為a2＝eq\f(4,7).4．1第二課時(shí)數(shù)列的遞推公式與前n項(xiàng)和[A級(jí)基礎(chǔ)鞏固]1．已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝1，an＋1＝2an＋1，則a5等于()A．15B．16C．31D．322．若數(shù)列{an}滿(mǎn)足an＋1＝eq\f(4an＋3,4)(n∈N*)，且a1＝1，則a17＝()A．13B．14C．15D．163．(多選)數(shù)列{an}中，an＝－n2＋11n，則此數(shù)列最大項(xiàng)是()A．第4項(xiàng)B．第5項(xiàng)C．第6項(xiàng)D．第7項(xiàng)4．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，有已知長(zhǎng)方形面積求一邊的算法，其方法的前兩步為：第一步：構(gòu)造數(shù)列1，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，…，eq\f(1,n).①第二步：將數(shù)列①的各項(xiàng)乘n，得到數(shù)列(記為)a1，a2，a3，…，an.則n≥2時(shí)，a1a2＋a2a3＋…＋an－1an＝()A．n2B．(n－1)2C．n(n－1)D．n(n＋1)5．由1,3,5，…，2n－1，…構(gòu)成數(shù)列{an}，數(shù)列{bn}滿(mǎn)足b1＝2，當(dāng)n≥2時(shí)，bn＝aeq\a\vs4\al(bn－1)，則b6的值是()A．9B．17C．33D．656．函數(shù)f(x)定義如下表，數(shù)列{xn}滿(mǎn)足x0＝5，且對(duì)任意的自然數(shù)均有xn＋1＝f(xn)，則x2021＝________.x12345f(x)513427．如圖(1)是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)(簡(jiǎn)稱(chēng)ICME-7)的會(huì)徽?qǐng)D案，會(huì)徽的主體圖案是由如圖(2)的一連串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把圖(2)中的直角三角形繼續(xù)作下去，記OA1，OA2，…，OAn，…的長(zhǎng)度構(gòu)成數(shù)列{an}，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝________.8．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn＋Sn－1＝2n－1(n≥2)，且S2＝3，則a1＋a3的值為_(kāi)_______．9．根據(jù)下列條件，寫(xiě)出數(shù)列的前四項(xiàng)，并寫(xiě)出它的一個(gè)通項(xiàng)公式：(1)a1＝0，an＋1＝an＋2n－1(n∈N*)；(2)a1＝1，an＋1＝an＋eq\f(an,n＋1)(n∈N*)；(3)a1＝2，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n∈N*)．10．已知函數(shù)f(x)＝x－eq\f(1,x).數(shù)列{an}滿(mǎn)足f(an)＝－2n，且an>0.求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．[B級(jí)綜合運(yùn)用]11．已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為2，且數(shù)列{an}滿(mǎn)足an＋1＝eq\f(an－1,an＋1)，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn，則S1008等于()A．504B．294C．－294D．－50412．(多選)數(shù)列{Fn}：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…稱(chēng)為斐波那契數(shù)列，是由十三世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例子而引入的，故又稱(chēng)為“兔子數(shù)列”．該數(shù)列從第三項(xiàng)開(kāi)始，每項(xiàng)等于其前相鄰兩項(xiàng)之和．記數(shù)列{Fn}的前n項(xiàng)和為Sn，則下列結(jié)論正確的是()A．S5＝F7－1B．S5＝S6－1C．S2019＝F2021－1D．S2019＝F2020－113．已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝1，an＝aeq\o\al(2,n－1)－1(n＞1)，則a2021＝________，|an＋an＋1|＝________(n＞1)．14．已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝eq\f(1,2)，anan－1＝an－1－an(n≥2)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．[C級(jí)拓展探究]15．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(n2,2n)(n∈N*)，則這個(gè)數(shù)列是否存在最大項(xiàng)？若存在，請(qǐng)求出最大項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．答案解析[A級(jí)基礎(chǔ)鞏固]1．已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝1，an＋1＝2an＋1，則a5等于()A．15B．16C．31D．32解析：選C∵數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝1，an＋1＝2an＋1，∴a2＝2×1＋1＝3，a3＝2×3＋1＝7，a4＝2×7＋1＝15，a5＝2×15＋1＝31.2．若數(shù)列{an}滿(mǎn)足an＋1＝eq\f(4an＋3,4)(n∈N*)，且a1＝1，則a17＝()A．13B．14C．15D．16解析：選A由an＋1＝eq\f(4an＋3,4)得an＋1－an＝eq\f(3,4)，a17＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a17－a16)＝1＋eq\f(3,4)×16＝13，故選A.3．(多選)數(shù)列{an}中，an＝－n2＋11n，則此數(shù)列最大項(xiàng)是()A．第4項(xiàng)B．第5項(xiàng)C．第6項(xiàng)D．第7項(xiàng)解析：選BCan＝－n2＋11n＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(11,2)))2＋eq\f(121,4)，∵n∈N＋，∴當(dāng)n＝5或n＝6時(shí)，an取最大值．故選B、C.4．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，有已知長(zhǎng)方形面積求一邊的算法，其方法的前兩步為：第一步：構(gòu)造數(shù)列1，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，…，eq\f(1,n).①第二步：將數(shù)列①的各項(xiàng)乘n，得到數(shù)列(記為)a1，a2，a3，…，an.則n≥2時(shí)，a1a2＋a2a3＋…＋an－1an＝()A．n2B．(n－1)2C．n(n－1)D．n(n＋1)解析：選C由題意得ak＝eq\f(n,k).k≥2時(shí)，ak－1ak＝eq\f(n2,k－1k)＝n2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k－1)－\f(1,k))).∴n≥2時(shí)，a1a2＋a2a3＋…＋an－1an＝n2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋…＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n－1)－\f(1,n)))))＝n2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,n)))＝n(n－1)．故選C.5．由1,3,5，…，2n－1，…構(gòu)成數(shù)列{an}，數(shù)列{bn}滿(mǎn)足b1＝2，當(dāng)n≥2時(shí)，bn＝aeq\a\vs4\al(bn－1)，則b6的值是()A．9B．17C．33D．65解析：選C∵bn＝aeq\a\vs4\al(bn－1)，∴b2＝aeq\a\vs4\al(b1)＝a2＝3，b3＝aeq\a\vs4\al(b2)＝a3＝5，b4＝aeq\a\vs4\al(b3)＝a5＝9，b5＝aeq\a\vs4\al(b4)＝a9＝17，b6＝aeq\a\vs4\al(b5)＝a17＝33.6．函數(shù)f(x)定義如下表，數(shù)列{xn}滿(mǎn)足x0＝5，且對(duì)任意的自然數(shù)均有xn＋1＝f(xn)，則x2021＝________.x12345f(x)51342解析：根據(jù)定義可得出：x1＝f(x0)＝2，x2＝f(x1)＝1，x3＝f(x2)＝5，x4＝f(x3)＝2，…，所以周期為3，故x2021＝673×3＋x2＝1.答案：17．如圖(1)是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)(簡(jiǎn)稱(chēng)ICME-7)的會(huì)徽?qǐng)D案，會(huì)徽的主體圖案是由如圖(2)的一連串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把圖(2)中的直角三角形繼續(xù)作下去，記OA1，OA2，…，OAn，…的長(zhǎng)度構(gòu)成數(shù)列{an}，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝________.解析：因?yàn)镺A1＝1，OA2＝eq\r(2)，OA3＝eq\r(3)，…，OAn＝eq\r(n)，…，所以a1＝1，a2＝eq\r(2)，a3＝eq\r(3)，…，an＝eq\r(n).答案：eq\r(n)8．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn＋Sn－1＝2n－1(n≥2)，且S2＝3，則a1＋a3的值為_(kāi)_______．解析：∵Sn＋Sn－1＝2n－1(n≥2)，令n＝2，得S2＋S1＝3，由S2＝3得a1＝S1＝0，令n＝3，得S3＋S2＝5，所以S3＝2，則a3＝S3－S2＝－1，所以a1＋a3＝0＋(－1)＝－1.答案：－19．根據(jù)下列條件，寫(xiě)出數(shù)列的前四項(xiàng)，并寫(xiě)出它的一個(gè)通項(xiàng)公式：(1)a1＝0，an＋1＝an＋2n－1(n∈N*)；(2)a1＝1，an＋1＝an＋eq\f(an,n＋1)(n∈N*)；(3)a1＝2，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n∈N*)．解：(1)a1＝0，a2＝1，a3＝4，a4＝9.它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝(n－1)2.(2)a1＝1，a2＝eq\f(3,2)，a3＝eq\f(4,2)，a4＝eq\f(5,2).它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝eq\f(n＋1,2).(3)a1＝2，a2＝3，a3＝5，a4＝9.它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝2n－1＋1.10．已知函數(shù)f(x)＝x－eq\f(1,x).數(shù)列{an}滿(mǎn)足f(an)＝－2n，且an>0.求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．解：∵f(x)＝x－eq\f(1,x)，∴f(an)＝an－eq\f(1,an)，∵f(an)＝－2n.∴an－eq\f(1,an)＝－2n，即aeq\o\al(2,n)＋2nan－1＝0.∴an＝－n±eq\r(n2＋1).∵an>0，∴an＝eq\r(n2＋1)－n.[B級(jí)綜合運(yùn)用]11．已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為2，且數(shù)列{an}滿(mǎn)足an＋1＝eq\f(an－1,an＋1)，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn，則S1008等于()A．504B．294C．－294D．－504解析：選C∵a1＝2，an＋1＝eq\f(an－1,an＋1)，∴a2＝eq\f(1,3)，a3＝－eq\f(1,2)，a4＝－3，a5＝2，…，∴數(shù)列{an}的周期為4，且a1＋a2＋a3＋a4＝－eq\f(7,6)，∴S1008＝S4×252＝252×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,6)))＝－294.12．(多選)數(shù)列{Fn}：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…稱(chēng)為斐波那契數(shù)列，是由十三世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例子而引入的，故又稱(chēng)為“兔子數(shù)列”．該數(shù)列從第三項(xiàng)開(kāi)始，每項(xiàng)等于其前相鄰兩項(xiàng)之和．記數(shù)列{Fn}的前n項(xiàng)和為Sn，則下列結(jié)論正確的是()A．S5＝F7－1B．S5＝S6－1C．S2019＝F2021－1D．S2019＝F2020－1解析：選AC根據(jù)題意有Fn＝Fn－1＋Fn－2(n≥3)，所以S3＝F1＋F2＋F3＝1＋F1＋F2＋F3－1＝F3＋F2＋F3－1＝F4＋F3－1＝F5－1，S4＝F4＋S3＝F4＋F5－1＝F6－1，S5＝F5＋S4＝F5＋F6－1＝F7－1，…，所以S2019＝F2021－1.故選A、C.13．已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝1，an＝aeq\o\al(2,n－1)－1(n＞1)，則a2021＝________，|an＋an＋1|＝________(n＞1)．解析：由a1＝1，an＝aeq\o\al(2,n－1)－1(n＞1)，得a2＝aeq\o\al(2,1)－1＝12－1＝0，a3＝aeq\o\al(2,2)－1＝02－1＝－1，a4＝aeq\o\al(2,3)－1＝(－1)2－1＝0，a5＝aeq\o\al(2,4)－1＝02－1＝－1，由此可猜想當(dāng)n＞1，n為奇數(shù)時(shí)an＝－1，n為偶數(shù)時(shí)an＝0，∴a2021＝－1，|an＋an＋1|＝1.答案：－1114．已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝eq\f(1,2)，anan－1＝an－1－an(n≥2)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．解：∵anan－1＝an－1－an，∴eq\f(1,an)－eq\f(1,an－1)＝1.∴eq\f(1,an)＝eq\f(1,a1)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)－\f(1,a1)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a3)－\f(1,a2)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)－\f(1,an－1)))＝2＋1＋1＋…＋eq\o(1,\s\do4(n－1個(gè)1))＝n＋1.∴eq\f(1,an)＝n＋1，∴an＝eq\f(1,n＋1)(n≥2)．又∵n＝1時(shí)，a1＝eq\f(1,2)，符合上式，∴an＝eq\f(1,n＋1).[C級(jí)拓展探究]15．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(n2,2n)(n∈N*)，則這個(gè)數(shù)列是否存在最大項(xiàng)？若存在，請(qǐng)求出最大項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：存在最大項(xiàng)．理由：a1＝eq\f(1,2)，a2＝eq\f(22,22)＝1，a3＝eq\f(32,23)＝eq\f(9,8)，a4＝eq\f(42,24)＝1，a5＝eq\f(52,25)＝eq\f(25,32)，….∵當(dāng)n≥3時(shí)，eq\f(an＋1,an)＝eq\f(n＋12,2n＋1)×eq\f(2n,n2)＝eq\f(n＋12,2n2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n)))2<1，∴an＋1<an，即n≥3時(shí)，{an}是遞減數(shù)列．又∵a1<a3，a2<a3，∴an≤a3＝eq\f(9,8).∴當(dāng)n＝3時(shí)，a3＝eq\f(9,8)為這個(gè)數(shù)列的最大項(xiàng)．4．2.1第一課時(shí)等差數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式[A級(jí)基礎(chǔ)鞏固]1．在等差數(shù)列{an}中，a2＝2，a3＝4，則a10＝()A．12B．14C．16D．182．若等差數(shù)列{an}中，已知a1＝eq\f(1,3)，a2＋a5＝4，an＝35，則n＝()A．50B．51C．52D．533．(多選)設(shè)x是a與b的等差中項(xiàng)，x2是a2與－b2的等差中項(xiàng)，則a，b的關(guān)系正確的是()A．a(chǎn)＝－bB．a(chǎn)＝3bC．a(chǎn)＝b或a＝－3bD．a(chǎn)＝b＝04．?dāng)?shù)列{an}中，a1＝2,2an＋1＝2an＋1，則a2021的值是()A．1000B．1013C．1011D．10125．已知數(shù)列3,9,15，…，3(2n－1)，…，那么81是數(shù)列的()A．第12項(xiàng)B．第13項(xiàng)C．第14項(xiàng)D．第15項(xiàng)6．已知等差數(shù)列{an}，an＝2－3n，則數(shù)列的公差d＝________.7．在等差數(shù)列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，則a1＝________，a6＝________.8．?dāng)?shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為－2，公差為4的等差數(shù)列．若an＝bn，則n的值為_(kāi)_______．9．已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝2，an＋1＝eq\f(2an,an＋2)，則數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是否為等差數(shù)列？說(shuō)明理由．10．若eq\f(1,b＋c)，eq\f(1,a＋c)，eq\f(1,a＋b)是等差數(shù)列，求證：a2，b2，c2成等差數(shù)列．[B級(jí)綜合運(yùn)用]11．(多選)如果a1，a2，…，a8為各項(xiàng)都大于零的等差數(shù)列，且公差d≠0，則()A．a(chǎn)3a6>a4a5B．a(chǎn)3a6<a4a5C．a(chǎn)3＋a6＝a4＋a5D．a(chǎn)3a6＝a4a512．已知x≠y，且兩個(gè)數(shù)列x，a1，a2，…，am，y與x，b1，b2，…，bn，y各自都成等差數(shù)列，則eq\f(a2－a1,b2－b1)等于()A.eq\f(m,n)D．eq\f(m＋1,n＋1)C.eq\f(n,m)D．eq\f(n＋1,m＋1)13．下表中的數(shù)陣為“森德拉姆素?cái)?shù)篩”，其特點(diǎn)是每行每列都成等差數(shù)列，記第i行第j列的數(shù)為ai，j(i，j∈N*)，則a9,9＝______，數(shù)82共出現(xiàn)______次．234567…35791113…4710131619…5913172125…61116212631…71319253137……14．已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝1，且an＝2an－1＋2n(n≥2，且∈N*)．(1)求a2，a3；(2)證明：數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,2n)))是等差數(shù)列；(3)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an.[C級(jí)拓展探究]15．?dāng)?shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝2，an＋1＝(λ－3)an＋2n(n∈N*)．(1)當(dāng)a2＝－1時(shí)，求λ及a3的值；(2)是否存在λ的值，使數(shù)列{an}為等差數(shù)列？若存在求其通項(xiàng)公式；若不存在說(shuō)明理由．答案解析[A級(jí)基礎(chǔ)鞏固]1．在等差數(shù)列{an}中，a2＝2，a3＝4，則a10＝()A．12B．14C．16D．18解析：選D由題意知，公差d＝4－2＝2，則a1＝0，所以a10＝a1＋9d＝18.故選D.2．若等差數(shù)列{an}中，已知a1＝eq\f(1,3)，a2＋a5＝4，an＝35，則n＝()A．50B．51C．52D．53解析：選D依題意，a2＋a5＝a1＋d＋a1＋4d＝4，代入a1＝eq\f(1,3)，得d＝eq\f(2,3).所以an＝a1＋(n－1)d＝eq\f(1,3)＋(n－1)×eq\f(2,3)＝eq\f(2,3)n－eq\f(1,3)，令an＝35，解得n＝53.3．(多選)設(shè)x是a與b的等差中項(xiàng)，x2是a2與－b2的等差中項(xiàng)，則a，b的關(guān)系正確的是()A．a(chǎn)＝－bB．a(chǎn)＝3bC．a(chǎn)＝b或a＝－3bD．a(chǎn)＝b＝0解析：選AB由等差中項(xiàng)的定義知：x＝eq\f(a＋b,2)，x2＝eq\f(a2－b2,2)，∴eq\f(a2－b2,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，即a2－2ab－3b2＝0.故a＝－b或a＝3b.4．?dāng)?shù)列{an}中，a1＝2,2an＋1＝2an＋1，則a2021的值是()A．1000B．1013C．1011D．1012解析：選D由2an＋1＝2an＋1，得an＋1－an＝eq\f(1,2)，所以{an}是等差數(shù)列，首項(xiàng)a1＝2，公差d＝eq\f(1,2)，所以an＝2＋eq\f(1,2)(n－1)＝eq\f(n＋3,2)，所以a2021＝eq\f(2021＋3,2)＝1012.5．已知數(shù)列3,9,15，…，3(2n－1)，…，那么81是數(shù)列的()A．第12項(xiàng)B．第13項(xiàng)C．第14項(xiàng)D．第15項(xiàng)解析：選Can＝3(2n－1)＝6n－3，由6n－3＝81，得n＝14.6．已知等差數(shù)列{an}，an＝2－3n，則數(shù)列的公差d＝________.解析：根據(jù)等差數(shù)列的概念，d＝an＋1－an＝－3.答案：－37．在等差數(shù)列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，則a1＝________，a6＝________.解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋2d＝7，,a1＋4d＝a1＋d＋6.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝3，,d＝2.))∴an＝a1＋(n－1)d＝3＋(n－1)×2＝2n＋1.∴a6＝2×6＋1＝13.答案：3138．?dāng)?shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為－2，公差為4的等差數(shù)列．若an＝bn，則n的值為_(kāi)_______．解析：an＝2＋(n－1)×3＝3n－1，bn＝－2＋(n－1)×4＝4n－6，令an＝bn，得3n－1＝4n－6，∴n＝5.答案：59．已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝2，an＋1＝eq\f(2an,an＋2)，則數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是否為等差數(shù)列？說(shuō)明理由．解：數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差數(shù)列，理由如下：因?yàn)閍1＝2，an＋1＝eq\f(2an,an＋2)，所以eq\f(1,an＋1)＝eq\f(an＋2,2an)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,an)，所以eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝eq\f(1,2)(常數(shù))．所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是以eq\f(1,a1)＝eq\f(1,2)為首項(xiàng)，公差為eq\f(1,2)的等差數(shù)列．10．若eq\f(1,b＋c)，eq\f(1,a＋c)，eq\f(1,a＋b)是等差數(shù)列，求證：a2，b2，c2成等差數(shù)列．證明：由已知得eq\f(1,b＋c)＋eq\f(1,a＋b)＝eq\f(2,a＋c)，通分有eq\f(2b＋a＋c,b＋ca＋b)＝eq\f(2,a＋c).進(jìn)一步變形有2(b＋c)(a＋b)＝(2b＋a＋c)(a＋c)，整理，得a2＋c2＝2b2，所以a2，b2，c2成等差數(shù)列．[B級(jí)綜合運(yùn)用]11．(多選)如果a1，a2，…，a8為各項(xiàng)都大于零的等差數(shù)列，且公差d≠0，則()A．a(chǎn)3a6>a4a5B．a(chǎn)3a6<a4a5C．a(chǎn)3＋a6＝a4＋a5D．a(chǎn)3a6＝a4a5解析：選BC由通項(xiàng)公式，得a3＝a1＋2d，a6＝a1＋5d，那么a3＋a6＝2a1＋7d，a3a6＝(a1＋2d)(a1＋5d)＝aeq\o\al(2,1)＋7a1d＋10d2，同理a4＋a5＝2a1＋7d，a4a5＝aeq\o\al(2,1)＋7a1d＋12d2，顯然a3a6－a4a5＝－2d2<0，故選B、C.12．已知x≠y，且兩個(gè)數(shù)列x，a1，a2，…，am，y與x，b1，b2，…，bn，y各自都成等差數(shù)列，則eq\f(a2－a1,b2－b1)等于()A.eq\f(m,n)D．eq\f(m＋1,n＋1)C.eq\f(n,m)D．eq\f(n＋1,m＋1)解析：選D設(shè)這兩個(gè)等差數(shù)列公差分別是d1，d2，則a2－a1＝d1，b2－b1＝d2.第一個(gè)數(shù)列共(m＋2)項(xiàng)，∴d1＝eq\f(y－x,m＋1)；第二個(gè)數(shù)列共(n＋2)項(xiàng)，∴d2＝eq\f(y－x,n＋1).這樣可求出eq\f(a2－a1,b2－b1)＝eq\f(d1,d2)＝eq\f(n＋1,m＋1).13．下表中的數(shù)陣為“森德拉姆素?cái)?shù)篩”，其特點(diǎn)是每行每列都成等差數(shù)列，記第i行第j列的數(shù)為ai，j(i，j∈N*)，則a9,9＝______，數(shù)82共出現(xiàn)______次．234567…35791113…4710131619…5913172125…61116212631…71319253137……解析：根據(jù)題意得，第i行的等差數(shù)列的公差為i，第j列等差數(shù)列的公差為j，所以數(shù)列{a1，j}是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，可得a1，j＝2＋(j－1)×1＝j(luò)＋1，又因?yàn)榈趈列數(shù)組成的數(shù)列{ai，j}是以a1，j為首項(xiàng)，j為公差的等差數(shù)列，所以ai，j＝a1，j＋(i－1)j＝(j＋1)＋(i－1)×j＝ij＋1，所以a9,9＝9×9＋1＝82.因?yàn)閍i，j＝ij＋1＝82，所以ij＝81，所以i＝81且j＝1或i＝1且j＝81或i＝3且j＝27或i＝27且j＝3或i＝j(luò)＝9，所以可得數(shù)82共出現(xiàn)5次．答案：82514．已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝1，且an＝2an－1＋2n(n≥2，且∈N*)．(1)求a2，a3；(2)證明：數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,2n)))是等差數(shù)列；(3)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an.解：(1)a2＝2a1＋22＝6，a3＝2a2＋23＝20.(2)證明：∵an＝2an－1＋2n(n≥2，且n∈N*)，∴eq\f(an,2n)＝eq\f(an－1,2n－1)＋1(n≥2，且n∈N*)，即eq\f(an,2n)－eq\f(an－1,2n－1)＝1(n≥2，且n∈N*)，∴數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,2n)))是首項(xiàng)為eq\f(a1,21)＝eq\f(1,2)，公差d＝1的等差數(shù)列．(3)由(2)，得eq\f(an,2n)＝eq\f(1,2)＋(n－1)×1＝n－eq\f(1,2)，∴an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(1,2)))·2n.[C級(jí)拓展探究]15．?dāng)?shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝2，an＋1＝(λ－3)an＋2n(n∈N*)．(1)當(dāng)a2＝－1時(shí)，求λ及a3的值；(2)是否存在λ的值，使數(shù)列{an}為等差數(shù)列？若存在求其通項(xiàng)公式；若不存在說(shuō)明理由．解：(1)∵a1＝2，a2＝－1，a2＝(λ－3)a1＋2，∴λ＝eq\f(3,2).∴a3＝－eq\f(3,2)a2＋22，∴a3＝eq\f(11,2).(2)不存在λ的值，理由如下：∵a1＝2，an＋1＝(λ－3)an＋2n，∴a2＝(λ－3)a1＋2＝2λ－4.a3＝(λ－3)a2＋4＝2λ2－10λ＋16.若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，則a1＋a3＝2a2.即λ2－7λ＋13＝0.∵Δ＝49－4×13<0，∴方程無(wú)實(shí)數(shù)解．∴λ值不存在．∴不存在λ的值使{an}成等差數(shù)列．4．2.1第二課時(shí)等差數(shù)列的性質(zhì)[A級(jí)基礎(chǔ)鞏固]1．已知等差數(shù)列{an}：1,0，－1，－2，…；等差數(shù)列{bn}：0,20,40,60，…，則數(shù)列{an＋bn}是()A．公差為－1的等差數(shù)列B．公差為20的等差數(shù)列C．公差為－20的等差數(shù)列D．公差為19的等差數(shù)列2．在等差數(shù)列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，則a7＝()A．5B．8C．10D．143．已知等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，則m等于()A．8B．4C．6D．124．已知等差數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，則有()A．a(chǎn)1＋a101＞0B．a(chǎn)2＋a101＜0C．a(chǎn)3＋a99＝0D．a(chǎn)51＝515．《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問(wèn)題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為()A．1升D．eq\f(67,66)升C.eq\f(47,44)升D．eq\f(37,33)升6．若三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為9，平方和為59，則這三個(gè)數(shù)的積為_(kāi)_______．7．若a，b，c成等差數(shù)列，則二次函數(shù)y＝ax2－2bx＋c的圖象與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．8．已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝1，若點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)，\f(an＋1,n＋1)))在直線(xiàn)x－y＋1＝0上，則an＝________.9．在等差數(shù)列{an}中，若a1＋a2＋…＋a5＝30，a6＋a7＋…＋a10＝80，求a11＋a12＋…＋a15.10．有一批豆?jié){機(jī)原銷(xiāo)售價(jià)為每臺(tái)800元，在甲、乙兩家家電商場(chǎng)均有銷(xiāo)售．甲商場(chǎng)用如下的方法促銷(xiāo)：買(mǎi)一臺(tái)單價(jià)為780元，買(mǎi)兩臺(tái)單價(jià)都為760元，依次類(lèi)推，每多買(mǎi)一臺(tái)則所買(mǎi)各臺(tái)單價(jià)均再減少20元，但每臺(tái)最低價(jià)不能低于440元；乙商場(chǎng)一律都按原價(jià)的75%銷(xiāo)售．某單位購(gòu)買(mǎi)一批此類(lèi)豆?jié){機(jī)，問(wèn)去哪家商場(chǎng)買(mǎi)花費(fèi)較少．[B級(jí)綜合運(yùn)用]11．(多選)下面是關(guān)于公差d＞0的等差數(shù)列{an}的四個(gè)命題，正確的是()A．?dāng)?shù)列{an}是遞增數(shù)列B．?dāng)?shù)列{nan}是遞增數(shù)列C．?dāng)?shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是遞增數(shù)列D．?dāng)?shù)列{an＋3nd}是遞增數(shù)列12．若方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四個(gè)根組成一個(gè)首項(xiàng)為eq\f(1,4)的等差數(shù)列，則|m－n|＝()A．1D．eq\f(3,4)C.eq\f(1,2)D．eq\f(3,8)13．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77，則a7＋a9＝________，若ak＝13，則k＝________.14．?dāng)?shù)列{an}為等差數(shù)列，bn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))an，又已知b1＋b2＋b3＝eq\f(21,8)，b1b2b3＝eq\f(1,8)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．[C級(jí)拓展探究]15．下表是一個(gè)“等差數(shù)陣”：47()()()…a1j…712()()()…a2j…()()()()()…a3j…()()()()()…a4j………ai1ai2ai3ai4ai5…aij………其中每行、每列都是等差數(shù)列，aij表示位于第i行第j列的數(shù)．(1)寫(xiě)出a45的值；(2)寫(xiě)出aij的計(jì)算公式，以及2020這個(gè)數(shù)在“等差數(shù)陣”中所在的一個(gè)位置．答案解析[A級(jí)基礎(chǔ)鞏固]1．已知等差數(shù)列{an}：1,0，－1，－2，…；等差數(shù)列{bn}：0,20,40,60，…，則數(shù)列{an＋bn}是()A．公差為－1的等差數(shù)列B．公差為20的等差數(shù)列C．公差為－20的等差數(shù)列D．公差為19的等差數(shù)列解析：選D(a2＋b2)－(a1＋b1)＝(a2－a1)＋(b2－b1)＝－1＋20＝19.2．在等差數(shù)列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，則a7＝()A．5B．8C．10D．14解析：選B由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a1＋a7＝a3＋a5＝10，又因?yàn)閍1＝2，所以a7＝8.3．已知等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，則m等于()A．8B．4C．6D．12解析：選A因?yàn)閍3＋a6＋a10＋a13＝4a8＝32，所以a8＝8，即m＝8.4．已知等差數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，則有()A．a(chǎn)1＋a101＞0B．a(chǎn)2＋a101＜0C．a(chǎn)3＋a99＝0D．a(chǎn)51＝51解析：選C根據(jù)性質(zhì)得：a1＋a101＝a2＋a100＝…＝a50＋a52＝2a51，由于a1＋a2＋…＋a101＝0，所以a51＝0，又因?yàn)閍3＋a99＝2a51＝0，故選C.5．《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問(wèn)題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為()A．1升D．eq\f(67,66)升C.eq\f(47,44)升D．eq\f(37,33)升解析：選B設(shè)所構(gòu)成的等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋a3＋a4＝3，,a7＋a8＋a9＝4，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a1＋6d＝3，,3a1＋21d＝4.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(13,22)，,d＝\f(7,66)，))則a5＝a1＋4d＝eq\f(67,66)，故第5節(jié)的容積為eq\f(67,66)升．6．若三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為9，平方和為59，則這三個(gè)數(shù)的積為_(kāi)_______．解析：設(shè)這三個(gè)數(shù)為a－d，a，a＋d，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－d＋a＋a＋d＝9，,a－d2＋a2＋a＋d2＝59.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,d＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,d＝－4.))∴這三個(gè)數(shù)為－1,3,7或7,3，－1.∴它們的積為－21.答案：－217．若a，b，c成等差數(shù)列，則二次函數(shù)y＝ax2－2bx＋c的圖象與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．解析：∵a，b，c成等差數(shù)列，∴2b＝a＋c，∴Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0.∴二次函數(shù)y＝ax2－2bx＋c的圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1或2.答案：1或28．已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝1，若點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)，\f(an＋1,n＋1)))在直線(xiàn)x－y＋1＝0上，則an＝________.解析：由題設(shè)可得eq\f(an,n)－eq\f(an＋1,n＋1)＋1＝0，即eq\f(an＋1,n＋1)－eq\f(an,n)＝1，所以數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是以1為公差的等差數(shù)列，且首項(xiàng)為1，故通項(xiàng)公式eq\f(an,n)＝n，所以an＝n2.答案：n29．在等差數(shù)列{an}中，若a1＋a2＋…＋a5＝30，a6＋a7＋…＋a10＝80，求a11＋a12＋…＋a15.解：法一：由等差數(shù)列的性質(zhì)得a1＋a11＝2a6，a2＋a12＝2a7，…，a5＋a15＝2a10.∴(a1＋a2＋…＋a5)＋(a11＋a12＋…＋a15)＝2(a6＋a7＋…＋a10)．∴a11＋a12＋…＋a15＝2(a6＋a7＋…＋a10)－(a1＋a2＋…＋a5)＝2×80－30＝130.法二：∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列，∴a1＋a2＋…＋a5，a6＋a7＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a15也成等差數(shù)列，即30,80，a11＋a12＋…＋a15成等差數(shù)列．∴30＋(a11＋a12＋…＋a15)＝2×80，∴a11＋a12＋…＋a15＝130.10．有一批豆?jié){機(jī)原銷(xiāo)售價(jià)為每臺(tái)800元，在甲、乙兩家家電商場(chǎng)均有銷(xiāo)售．甲商場(chǎng)用如下的方法促銷(xiāo)：買(mǎi)一臺(tái)單價(jià)為780元，買(mǎi)兩臺(tái)單價(jià)都為760元，依次類(lèi)推，每多買(mǎi)一臺(tái)則所買(mǎi)各臺(tái)單價(jià)均再減少20元，但每臺(tái)最低價(jià)不能低于440元；乙商場(chǎng)一律都按原價(jià)的75%銷(xiāo)售．某單位購(gòu)買(mǎi)一批此類(lèi)豆?jié){機(jī)，問(wèn)去哪家商場(chǎng)買(mǎi)花費(fèi)較少．解：設(shè)單位需購(gòu)買(mǎi)豆?jié){機(jī)n臺(tái)，在甲商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)每臺(tái)售價(jià)不低于440元，售價(jià)依臺(tái)數(shù)n成等差數(shù)列．設(shè)該數(shù)列為{an}．a(chǎn)n＝780＋(n－1)(－20)＝800－20n，解不等式an≥440，即800－20n≥440，得n≤18.當(dāng)購(gòu)買(mǎi)臺(tái)數(shù)小于等于18臺(tái)時(shí)，每臺(tái)售價(jià)為(800－20n)元，當(dāng)臺(tái)數(shù)大于18臺(tái)時(shí)，每臺(tái)售價(jià)為440元．到乙商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)，每臺(tái)售價(jià)為800×75%＝600元．作差：(800－20n)n－600n＝20n(10－n)，當(dāng)n<10時(shí)，600n<(800－20n)n，當(dāng)n＝10時(shí)，600n＝(800－20n)n，當(dāng)10<n≤18時(shí)，(800－20n)n<600n，當(dāng)n>18時(shí)，440n<600n.即當(dāng)購(gòu)買(mǎi)少于10臺(tái)時(shí)到乙商場(chǎng)花費(fèi)較少，當(dāng)購(gòu)買(mǎi)10臺(tái)時(shí)到兩商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)花費(fèi)相同，當(dāng)購(gòu)買(mǎi)多于10臺(tái)時(shí)到甲商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)花費(fèi)較少．[B級(jí)綜合運(yùn)用]11．(多選)下面是關(guān)于公差d＞0的等差數(shù)列{an}的四個(gè)命題，正確的是()A．?dāng)?shù)列{an}是遞增數(shù)列B．?dāng)?shù)列{nan}是遞增數(shù)列C．?dāng)?shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是遞增數(shù)列D．?dāng)?shù)列{an＋3nd}是遞增數(shù)列解析：選ADan＝a1＋(n－1)d，d＞0，∴an－an－1＝d＞0，A正確；nan＝na1＋n(n－1)d，∴nan－(n－1)an－1＝a1＋2(n－1)d與0的大小關(guān)系和a1的取值情況有關(guān)．故數(shù)列{nan}不一定遞增，B不正確；對(duì)于C：eq\f(an,n)＝eq\f(a1,n)＋eq\f(n－1,n)d，∴eq\f(an,n)－eq\f(an－1,n－1)＝eq\f(－a1＋d,nn－1)，當(dāng)d－a1＞0，即d＞a1時(shí)，數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))遞增，但d＞a1不一定成立，C不正確；對(duì)于D：設(shè)bn＝an＋3nd，則bn＋1－bn＝an＋1－an＋3d＝4d＞0.∴數(shù)列{an＋3nd}是遞增數(shù)列，D正確．12．若方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四個(gè)根組成一個(gè)首項(xiàng)為eq\f(1,4)的等差數(shù)列，則|m－n|＝()A．1D．eq\f(3,4)C.eq\f(1,2)D．eq\f(3,8)解析：選C設(shè)方程的四個(gè)根a1，a2，a3，a4依次成等差數(shù)列，則a1＋a4＝a2＋a3＝2，再設(shè)此等差數(shù)列的公差為d，則2a1＋3d＝2，∵a1＝eq\f(1,4)，∴d＝eq\f(1,2)，∴a2＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,4)，a3＝eq\f(1,4)＋1＝eq\f(5,4)，a4＝eq\f(1,4)＋eq\f(3,2)＝eq\f(7,4)，∴|m－n|＝|a1a4－a2a3|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)×\f(7,4)－\f(3,4)×\f(5,4)))＝eq\f(1,2).13．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77，則a7＋a9＝________，若ak＝13，則k＝________.解析：∵a4＋a7＋a10＝3a7，∴a7＝eq\f(17,3).∵a4＋a5＋…＋a14＝11a9，∴a9＝7，∴a7＋a9＝eq\f(38,3)，d＝eq\f(2,3).∴ak－a9＝(k－9)d，即13－7＝(k－9)×eq\f(2,3)，解得k＝18.答案：eq\f(38,3)1814．?dāng)?shù)列{an}為等差數(shù)列，bn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))an，又已知b1＋b2＋b3＝eq\f(21,8)，b1b2b3＝eq\f(1,8)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．解：∵b1＋b2＋b3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a3＝eq\f(21,8)，b1b2b3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a1＋a2＋a3＝eq\f(1,8)，∴a1＋a2＋a3＝3.∵a1，a2，a3成等差數(shù)列，∴a2＝1，故可設(shè)a1＝1－d，a3＝1＋d，由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1－d＋eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1＋d＝eq\f(21,8)，得2d＋2－d＝eq\f(17,4)，解得d＝2或d＝－2.當(dāng)d＝2時(shí)，a1＝1－d＝－1，an＝－1＋2(n－1)＝2n－3；當(dāng)d＝－2時(shí)，a1＝1－d＝3，an＝3－2(n－1)＝－2n＋5.[C級(jí)拓展探究]15．下表是一個(gè)“等差數(shù)陣”：47()()()…a1j…712()()()…a2j…()()()()()…a3j…()()()()()…a4j………ai1ai2ai3ai4ai5…aij………其中每行、每列都是等差數(shù)列，aij表示位于第i行第j列的數(shù)．(1)寫(xiě)出a45的值；(2)寫(xiě)出aij的計(jì)算公式，以及2020這個(gè)數(shù)在“等差數(shù)陣”中所在的一個(gè)位置．解：通過(guò)每行、每列都是等差數(shù)列求解．(1)a45表示數(shù)陣中第4行第5列的數(shù)．先看第1行，由題意4,7，…，a15，…成等差數(shù)列，公差d＝7－4＝3，則a15＝4＋(5－1)×3＝16.再看第2行，同理可得a25＝27.最后看第5列，由題意a15，a25，…，a45成等差數(shù)列，所以a45＝a15＋3d＝16＋3×(27－16)＝49.(2)該“等差數(shù)陣“的第1行是首項(xiàng)為4，公差為3的等差數(shù)列a1j＝4＋3(j－1)；第2行是首項(xiàng)為7，公差為5的等差數(shù)列a2j＝7＋5(j－1)；…第i行是首項(xiàng)為4＋3(i－1)，公差為2i＋1的等差數(shù)列，∴aij＝4＋3(i－1)＋(2i＋1)(j－1)＝2ij＋i＋j＝i(2j＋1)＋j.要求2020在該“等差數(shù)陣”中的位置，也就是要找正整數(shù)i，j，使得i(2j＋1)＋j＝2020，∴j＝eq\f(2020－i,2i＋1).又∵j∈N*，∴當(dāng)i＝1時(shí)，得j＝673.∴2020在“等差數(shù)陣”中的一個(gè)位置是第1行第673列．4．2.2第一課時(shí)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式[A級(jí)基礎(chǔ)鞏固]1．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若2a6＝a8＋6，則S7等于()A．49B．42C．35D．282．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a4＝15，S5＝55，則過(guò)點(diǎn)P(3，a3)，Q(4，a4)的直線(xiàn)斜率為()A．4D．eq\f(1,4)C．－4D．－eq\f(1,4)3．在小于100的自然數(shù)中，所有被7除余2的數(shù)之和為()A．765B．665C．763D．6634．設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若eq\f(a5,a3)＝eq\f(5,9)，則eq\f(S9,S5)等于()A．1B．－1C．2D．eq\f(1,2)5．現(xiàn)有200根相同的鋼管，把它們堆成一個(gè)正三角形垛，要使剩余的鋼管盡可能少，那么剩余鋼管的根數(shù)為()A．9B．10C．19D．296．已知{an}是等差數(shù)列，a4＋a6＝6，其前5項(xiàng)和S5＝10，則其公差為d＝________.7．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋eq\f(1,2)(n≥2)，則數(shù)列{an}的前9項(xiàng)和等于________．8．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且6S5－5S3＝5，則a4＝________.9．等差數(shù)列{an}中，a10＝30，a20＝50.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若Sn＝242，求n.10．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2－2n，求a2＋a3－a4＋a5＋a6.[B級(jí)綜合運(yùn)用]11．已知命題：“在等差數(shù)列{an}中，若4a2＋a10＋a()＝24，則S11為定值”為真命題，由于印刷問(wèn)題，括號(hào)處的數(shù)模糊不清，可推得括號(hào)內(nèi)的數(shù)為()A．15B．24C．18D．2812．(多選)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S7＝a4，則()A．a(chǎn)1＋a3＝0B．a(chǎn)3＋a5＝0C．S3＝S4D．S4＝S513．在等差數(shù)列{an}中，前m(m為奇數(shù))項(xiàng)和為135，其中偶數(shù)項(xiàng)之和為63，且am－a1＝14，則m＝________，a100＝________.14．設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和且n∈N*，所有項(xiàng)an＞0，且Sn＝eq\f(1,4)aeq\o\al(2,n)＋eq\f(1,2)an－eq\f(3,4).(1)證明：{an}是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．[C級(jí)拓展探究]15．求等差數(shù)列{4n＋1}(1≤n≤200)與{6m－3}(1≤m≤200)的公共項(xiàng)之和．答案解析[A級(jí)基礎(chǔ)鞏固]1．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若2a6＝a8＋6，則S7等于()A．49B．42C．35D．28解析：選B2a6－a8＝a4＝6，S7＝eq\f(7,2)(a1＋a7)＝7a4＝42.2．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a4＝15，S5＝55，則過(guò)點(diǎn)P(3，a3)，Q(4，a4)的直線(xiàn)斜率為()A．4D．eq\f(1,4)C．－4D．－eq\f(1,4)解析：選A由S5＝eq\f(5a1＋a5,2)＝eq\f(5×2a3,2)＝55，解得a3＝11.∴P(3,11)，Q(4,15)，∴k＝eq\f(15－11,4－3)＝4.故選A.3．在小于100的自然數(shù)中，所有被7除余2的數(shù)之和為()A．765B．665C．763D．663解析：選B∵a1＝2，d＝7，則2＋(n－1)×7＜100，∴n＜15，∴n＝14，S14＝14×2＋eq\f(1,2)×14×13×7＝665.4．設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若eq\f(a5,a3)＝eq\f(5,9)，則eq\f(S9,S5)等于()A．1B．－1C．2D．eq\f(1,2)解析：選Aeq\f(S9,S5)＝eq\f(\f(9,2)a1＋a9,\f(5,2)a1＋a5)＝eq\f(\f(9,2)·2a5,\f(5,2)·2a3)＝eq\f(9a5,5a3)＝eq\f(9,5)·eq\f(a5,a3)＝1.5．現(xiàn)有200根相同的鋼管，把它們堆成一個(gè)正三角形垛，要使剩余的鋼管盡可能少，那么剩余鋼管的根數(shù)為()A．9B．10C．19D．29解析：選B鋼管排列方式是從上到下各層鋼管數(shù)組成了一個(gè)等差數(shù)列，最上面一層鋼管數(shù)為1，逐層增加1個(gè)．∴鋼管總數(shù)為：1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2).當(dāng)n＝19時(shí)，S19＝190.當(dāng)n＝20時(shí)，S20＝210＞200.∴n＝19時(shí)，剩余鋼管根數(shù)最少，為10根．6．已知{an}是等差數(shù)列，a4＋a6＝6，其前5項(xiàng)和S5＝10，則其公差為d＝________.解析：a4＋a6＝a1＋3d＋a1＋5d＝6，①S5＝5a1＋eq\f(1,2)×5×(5－1)d＝10，②由①②聯(lián)立解得a1＝1，d＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)7．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋eq\f(1,2)(n≥2)，則數(shù)列{an}的前9項(xiàng)和等于________．解析：由a1＝1，an＝an－1＋eq\f(1,2)(n≥2)，可知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公差為eq\f(1,2)的等差數(shù)列，故S9＝9a1＋eq\f(9×9－1,2)×eq\f(1,2)＝9＋18＝27.答案：278．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且6S5－5S3＝5，則a4＝________.解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，由6S5－5S3＝5，得3(a1＋3d)＝1，所以a4＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)9．等差數(shù)列{an}中，a10＝30，a20＝50.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若Sn＝242，求n.解：(1)設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d.則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a10＝a1＋9d＝30，,a20＝a1＋19d＝50，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝12，,d＝2，))∴an＝a1＋(n－1)d＝12＋(n－1)×2＝10＋2n.(2)由Sn＝na1＋eq\f(nn－1