高二數(shù)學(xué)選擇性必修二同步檢測試卷與答案解析

高二數(shù)學(xué)選擇性必修二同步檢測試卷全套《4.1數(shù)列的概念》同步檢測試卷注意事項：本試卷滿分100分，考試時間45分鐘，試題共16題．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、單選題1．下列說法正確的是()A．?dāng)?shù)列1,3,5,7與數(shù)集{1,3,5,7}是一樣的B．?dāng)?shù)列1,2,3與數(shù)列3,2,1是相同的C．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列D．?dāng)?shù)列是擺動數(shù)列2．已知數(shù)列，，，…，，則0.96是該數(shù)列的()A．第20項B．第22項C．第24項D．第26項3．在數(shù)列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55中，x等于()A．11B．12C．13D．144．已知數(shù)列{an}的通項公式an＝log(n＋1)(n＋2)，則它的前30項之積是()A.B．5C．6D．5．已知遞減數(shù)列{an}中，an＝kn(k為常數(shù))，則實數(shù)k的取值范圍是()A．RB．(0，＋∞)C．(－∞，0)D．(－∞，0]6．?dāng)?shù)列{an}中，an＝－n2＋11n，則此數(shù)列最大項是()A．第4項B．第6項C．第5項D．第5項和第6項7．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，有已知長方形面積求一邊的算法，其方法的前兩步為：第一步：構(gòu)造數(shù)列1，，，，…，.①第二步：將數(shù)列①的各項乘n，得到數(shù)列(記為)a1，a2，a3，…，an.則n≥2時，a1a2＋a2a3＋…＋an－1an＝()A．n2B．(n－1)2C．n(n－1)D．n(n＋1)8．由1,3,5，…，2n－1，…構(gòu)成數(shù)列{an}，數(shù)列{bn}滿足b1＝2，當(dāng)n≥2時，bn＝aeq\a\vs4\al(bn－1)，則b6的值是()A．9B．17C．33D．65二、多選題9．(多選)一個無窮數(shù)列{an}的前三項是1,2,3，下列可以作為其通項公式的是()A．a(chǎn)n＝nB．a(chǎn)n＝n3－6n2－12n－6C．a(chǎn)n＝n2－n＋1D．a(chǎn)n＝10．(多選)數(shù)列{Fn}：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…稱為斐波那契數(shù)列，是由十三世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例子而引入的，故又稱為“兔子數(shù)列”．該數(shù)列從第三項開始，每項等于其前相鄰兩項之和．記數(shù)列{Fn}的前n項和為Sn，則下列結(jié)論正確的是()A．S5＝F7－1B．S5＝S6－1C．S2019＝F2021－1D．S2019＝F2020－111．已知數(shù)列的前4項為2，0，2，0，則該數(shù)列的通項公式可能為（）A． B．C． D．12．“太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦……”大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對《易傳》“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題．大衍數(shù)列中的每一項都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，從第一項起依次為0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……．記大衍數(shù)列為，其前n項和為，則（）A．B．C．D．三、填空題13．已知數(shù)列{an}的通項公式an＝19－2n，則使an>0成立的最大正整數(shù)n的值為________．14．已知數(shù)列{an}的通項公式an＝，則an·an＋1·an＋2＝________.15.數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若Sn＋Sn－1＝2n－1(n≥2)，且S2＝3，則a1＋a3的值為________．16.如圖(1)是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會(簡稱ICME-7)的會徽圖案，會徽的主體圖案是由如圖(2)的一連串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把圖(2)中的直角三角形繼續(xù)作下去，記OA1，OA2，…，OAn，…的長度構(gòu)成數(shù)列{an}，則此數(shù)列的通項公式為an＝________.四、解答題17．已知數(shù)列的前項和，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前多少項和最大．18．在數(shù)列中，.（1）-107是不是該數(shù)列中的某一項？若是，其為第幾項？（2）求數(shù)列中的最大項.19．?dāng)?shù)列{an}滿足a1=1,an+1+2anan+1-an=0.（1）寫出數(shù)列的前5項；（2）由（1）寫出數(shù)列{an}的一個通項公式；（3）實數(shù)是否為這個數(shù)列中的一項？若是,應(yīng)為第幾項？20．已知數(shù)列.(1)求這個數(shù)列的第10項；(2)是不是該數(shù)列中的項，為什么？(3)求證：數(shù)列中的各項都在區(qū)間(0,1)內(nèi)；(4)在區(qū)間內(nèi)有無數(shù)列中的項？若有，是第幾項？若沒有，說明理由．21．已知函數(shù)f(x)＝x－.數(shù)列{an}滿足f(an)＝－2n，且an>0.求數(shù)列{an}的通項公式．22．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝(n∈N*)，則這個數(shù)列是否存在最大項？若存在，請求出最大項；若不存在，請說明理由．答案解析一、單選題1．下列說法正確的是()A．?dāng)?shù)列1,3,5,7與數(shù)集{1,3,5,7}是一樣的B．?dāng)?shù)列1,2,3與數(shù)列3,2,1是相同的C．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列D．?dāng)?shù)列是擺動數(shù)列【答案】D【解析】數(shù)列是有序的，而數(shù)集是無序的，所以A，B不正確；選項C中的數(shù)列是遞減數(shù)列；選項D中的數(shù)列是擺動數(shù)列．2．已知數(shù)列，，，…，，則0.96是該數(shù)列的()A．第20項B．第22項C．第24項D．第26項【答案】C【解析】由＝0.96，解得n＝24.3．在數(shù)列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55中，x等于()A．11B．12C．13D．14【答案】C【解析】觀察數(shù)列可知，后一項是前兩項的和，故x＝5＋8＝13.4．已知數(shù)列{an}的通項公式an＝log(n＋1)(n＋2)，則它的前30項之積是()A.B．5C．6D．【答案】B【解析】a1·a2·a3·…·a30＝log23×log34×log45×…×log3132＝log232＝log225＝5.5．已知遞減數(shù)列{an}中，an＝kn(k為常數(shù))，則實數(shù)k的取值范圍是()A．RB．(0，＋∞)C．(－∞，0)D．(－∞，0]【答案】C【解析】an＋1－an＝k(n＋1)－kn＝k<0.6．?dāng)?shù)列{an}中，an＝－n2＋11n，則此數(shù)列最大項是()A．第4項B．第6項C．第5項D．第5項和第6項【答案】D【解析】an＝－n2＋11n＝－＋，∵n∈N＋，∴當(dāng)n＝5或n＝6時，an取最大值．故選D.7．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，有已知長方形面積求一邊的算法，其方法的前兩步為：第一步：構(gòu)造數(shù)列1，，，，…，.①第二步：將數(shù)列①的各項乘n，得到數(shù)列(記為)a1，a2，a3，…，an.則n≥2時，a1a2＋a2a3＋…＋an－1an＝()A．n2B．(n－1)2C．n(n－1)D．n(n＋1)【答案】C【解析】由題意得ak＝.k≥2時，ak－1ak＝.∴n≥2時，a1a2＋a2a3＋…＋an－1an＝n2＝n2＝n(n－1)．故選C.8．由1,3,5，…，2n－1，…構(gòu)成數(shù)列{an}，數(shù)列{bn}滿足b1＝2，當(dāng)n≥2時，bn＝aeq\a\vs4\al(bn－1)，則b6的值是()A．9B．17C．33D．65【答案】C【解析】∵bn＝aeq\a\vs4\al(bn－1)，∴b2＝aeq\a\vs4\al(b1)＝a2＝3，b3＝aeq\a\vs4\al(b2)＝a3＝5，b4＝aeq\a\vs4\al(b3)＝a5＝9，b5＝aeq\a\vs4\al(b4)＝a9＝17，b6＝aeq\a\vs4\al(b5)＝a17＝33.二、多選題9．(多選)一個無窮數(shù)列{an}的前三項是1,2,3，下列可以作為其通項公式的是()A．a(chǎn)n＝nB．a(chǎn)n＝n3－6n2－12n－6C．a(chǎn)n＝n2－n＋1D．a(chǎn)n＝【答案】AD【解析】對于A，若an＝n，則a1＝1，a2＝2，a3＝3，符合題意；對于B，若an＝n3－6n2－12n＋6，則a1＝－11，不符合題意；對于C，若an＝n2－n＋1，當(dāng)n＝3時，a3＝4≠3，不符合題意；對于D，若an＝，則a1＝1，a2＝2，a3＝3，符合題意．故選A、D.10．(多選)數(shù)列{Fn}：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…稱為斐波那契數(shù)列，是由十三世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例子而引入的，故又稱為“兔子數(shù)列”．該數(shù)列從第三項開始，每項等于其前相鄰兩項之和．記數(shù)列{Fn}的前n項和為Sn，則下列結(jié)論正確的是()A．S5＝F7－1B．S5＝S6－1C．S2019＝F2021－1D．S2019＝F2020－1【答案】AC【解析】根據(jù)題意有Fn＝Fn－1＋Fn－2(n≥3)，所以S3＝F1＋F2＋F3＝1＋F1＋F2＋F3－1＝F3＋F2＋F3－1＝F4＋F3－1＝F5－1，S4＝F4＋S3＝F4＋F5－1＝F6－1，S5＝F5＋S4＝F5＋F6－1＝F7－1，…，所以S2019＝F2021－1.故選A、C.11．已知數(shù)列的前4項為2，0，2，0，則該數(shù)列的通項公式可能為（）A． B．C． D．【答案】BD【解析】因為數(shù)列的前4項為2，0，2，0，選項A：不符合題設(shè)；選項B：，符合題設(shè)；選項C：，不符合題設(shè)；選項D：，符合題設(shè).故選：BD.12．“太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦……”大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對《易傳》“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題．大衍數(shù)列中的每一項都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，從第一項起依次為0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……．記大衍數(shù)列為，其前n項和為，則（）A．B．C．D．【答案】BCD【解析】根據(jù)數(shù)列前項依次是，則奇數(shù)項為：，，，，，，偶數(shù)項為：，，，，，，所以通項公式為，對于A，，故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，，由，所以，故C正確；對于D，，故D正確.故選：BCD三、填空題13．已知數(shù)列{an}的通項公式an＝19－2n，則使an>0成立的最大正整數(shù)n的值為________．【答案】9【解析】由an＝19－2n>0，得n<.∵n∈N*，∴n≤9.14．已知數(shù)列{an}的通項公式an＝，則an·an＋1·an＋2＝________.【答案】【解析】an·an＋1·an＋2＝··＝.15.數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若Sn＋Sn－1＝2n－1(n≥2)，且S2＝3，則a1＋a3的值為________．【答案】-1【解析】∵Sn＋Sn－1＝2n－1(n≥2)，令n＝2，得S2＋S1＝3，由S2＝3得a1＝S1＝0，令n＝3，得S3＋S2＝5，所以S3＝2，則a3＝S3－S2＝－1，所以a1＋a3＝0＋(－1)＝－1.16.如圖(1)是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會(簡稱ICME-7)的會徽圖案，會徽的主體圖案是由如圖(2)的一連串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把圖(2)中的直角三角形繼續(xù)作下去，記OA1，OA2，…，OAn，…的長度構(gòu)成數(shù)列{an}，則此數(shù)列的通項公式為an＝________.【答案】【解析】因為OA1＝1，OA2＝，OA3＝，…，OAn＝，…，所以a1＝1，a2＝，a3＝，…，an＝.四、解答題17．已知數(shù)列的前項和，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前多少項和最大．【解析】（1）當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以：；（2）因為；所以前16項的和最大．18．在數(shù)列中，.（1）-107是不是該數(shù)列中的某一項？若是，其為第幾項？（2）求數(shù)列中的最大項.【解析】（1）令，解得或（舍去）.所以（2），由于，所以最大項為19．?dāng)?shù)列{an}滿足a1=1,an+1+2anan+1-an=0.（1）寫出數(shù)列的前5項；（2）由（1）寫出數(shù)列{an}的一個通項公式；（3）實數(shù)是否為這個數(shù)列中的一項？若是,應(yīng)為第幾項？【答案】(1)見解析（2）（3）50【解析】（1）由已知可得，，，，.（2）由（1）可得數(shù)列的每一項的分子均為1，分母分別為1，3，5，7，9，…，所以它的一個通項公式為.（3）令，解得，故是這個數(shù)列的第項.20．已知數(shù)列.(1)求這個數(shù)列的第10項；(2)是不是該數(shù)列中的項，為什么？(3)求證：數(shù)列中的各項都在區(qū)間(0,1)內(nèi)；(4)在區(qū)間內(nèi)有無數(shù)列中的項？若有，是第幾項？若沒有，說明理由．【解析】(1)設(shè)an＝f(n)＝＝＝.令n＝10，得第10項a10＝f(10)＝.(2)令＝，得9n＝300.此方程無正整數(shù)解，所以不是該數(shù)列中的項．(3)證明：∵an＝＝1－，且n∈N*，∴0<1－<1，∴0<an<1.∴數(shù)列中的各項都在區(qū)間(0,1)內(nèi)．(4)令<an＝<，∴∴∴當(dāng)且僅當(dāng)n＝2時，上式成立，故在區(qū)間內(nèi)有數(shù)列中的項，且只有一項為a2＝.21．已知函數(shù)f(x)＝x－.數(shù)列{an}滿足f(an)＝－2n，且an>0.求數(shù)列{an}的通項公式．【解析】∵f(x)＝x－，∴f(an)＝an－，∵f(an)＝－2n.∴an－＝－2n，即＋2nan－1＝0.∴an＝－n±.∵an>0，∴an＝－n.22．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝(n∈N*)，則這個數(shù)列是否存在最大項？若存在，請求出最大項；若不存在，請說明理由．【解析】存在最大項．理由：a1＝，a2＝＝1，a3＝＝，a4＝＝1，a5＝＝，….∵當(dāng)n≥3時，＝2<1，∴an＋1<an，即n≥3時，{an}是遞減數(shù)列．又∵a1<a3，a2<a3，∴an≤a3＝.∴當(dāng)n＝3時，a3＝為這個數(shù)列的最大項．《4.2等差數(shù)列》同步檢測試卷注意事項：本試卷滿分100分，考試時間45分鐘，試題共16題．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、單選題1．在項數(shù)為2n＋1的等差數(shù)列中，所有奇數(shù)項的和為165，所有偶數(shù)項的和為150，則n等于()A．9B．10C．11D．122．?dāng)?shù)列{an}為等差數(shù)列，它的前n項和為Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，則λ的值是()A．－2B．－1C．0D．13．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若，且A，B，C三點共線(該直線不過點O)，則S200等于()A．100B．101C．200D．2014．若數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝n2－4n＋2，則|a1|＋|a2|＋…＋|a10|等于()A．15B．35C．66D．1005．設(shè)數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示{an}的前n項和，則使Sn達(dá)到最大值的n是()A．18B．19C．20D．216.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，則m等于()A．3B．4C．5D．67．現(xiàn)有200根相同的鋼管，把它們堆成一個正三角形垛，要使剩余的鋼管盡可能少，那么剩余鋼管的根數(shù)為()A．9B．10C．19D．298．已知命題：“在等差數(shù)列{an}中，若4a2＋a10＋a()＝24，則S11為定值”為真命題，由于印刷問題，括號處的數(shù)模糊不清，可推得括號內(nèi)的數(shù)為()A．15B．24C．18D．28二、多選題9．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，公差為d.已知a3＝12，S12>0，a7<0，則()A．a(chǎn)6>0B．－<d<－3C．Sn<0時，n的最小值為13D．?dāng)?shù)列中最小項為第7項10.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S7＝a4，則()A．a(chǎn)1＋a3＝0B．a(chǎn)3＋a5＝0C．S3＝S4D．S4＝S511．等差數(shù)列是遞增數(shù)列，滿足，前項和為，下列選項正確的是（）A． B．C．當(dāng)時最小 D．時的最小值為12．在等差數(shù)列中每相鄰兩項之間都插入個數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個新的等差數(shù)列.若是數(shù)列的項，則k的值可能為（）A．1B．3C．5D．7三、填空題13．已知等差數(shù)列{an}中，Sn為其前n項和，已知S3＝9，a4＋a5＋a6＝7，則S9－S6＝________.14．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2－9n，第k項滿足5＜ak＜8，則k＝________.15．若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，首項a1<0，a203＋a204>0，a203·a204<0，則使前n項和Sn<0的最大自然數(shù)n是________．16.已知等差數(shù)列{an}的公差d>0，前n項和為Sn，且a2a3＝45，S4＝28.(1)則數(shù)列{an}的通項公式為an＝________；(2)若bn＝(c為非零常數(shù))，且數(shù)列{bn}也是等差數(shù)列，則c＝________.四、解答題17．若等差數(shù)列{an}的首項a1＝13，d＝－4，記Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.18．在等差數(shù)列{an}中，a10＝23，a25＝－22.(1)數(shù)列{an}前多少項和最大？(2)求{|an|}的前n項和Sn.19．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a1＝12，d＝－2.(1)求Sn，并畫出{Sn}(1≤n≤13)的圖象；(2)分別求{Sn}單調(diào)遞增、單調(diào)遞減的n的取值范圍，并求{Sn}的最大(或最小)的項；(3){Sn}有多少項大于零？20．已知等差數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2－2n，求a2＋a3－a4＋a5＋a6.21．設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項和且n∈N*，所有項an＞0，且Sn＝aeq\o\al(2,n)＋an－.(1)證明：{an}是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的通項公式．22．求等差數(shù)列{4n＋1}(1≤n≤200)與{6m－3}(1≤m≤200)的公共項之和．答案解析一、單選題1．在項數(shù)為2n＋1的等差數(shù)列中，所有奇數(shù)項的和為165，所有偶數(shù)項的和為150，則n等于()A．9B．10C．11D．12【答案】B【解析】∵，∴.∴n＝10，故選B.2．?dāng)?shù)列{an}為等差數(shù)列，它的前n項和為Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，則λ的值是()A．－2B．－1C．0D．1【答案】B【解析】等差數(shù)列前n項和Sn的形式為Sn＝an2＋bn，∴λ＝－1.3．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若，且A，B，C三點共線(該直線不過點O)，則S200等于()A．100B．101C．200D．201【答案】A【解析】由A，B，C三點共線得a1＋a200＝1，∴S200＝(a1＋a200)＝100.4．若數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝n2－4n＋2，則|a1|＋|a2|＋…＋|a10|等于()A．15B．35C．66D．100【答案】C【解析】易得an＝|a1|＝1，|a2|＝1，|a3|＝1，令an＞0則2n－5＞0，∴n≥3.∴|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝1＋1＋a3＋…＋a10＝2＋(S10－S2)＝2＋[(102－4×10＋2)－(22－4×2＋2)]＝66.5．設(shè)數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示{an}的前n項和，則使Sn達(dá)到最大值的n是()A．18B．19C．20D．21【答案】C【解析】∵a1＋a3＋a5＝105＝3a3，∴a3＝35，∵a2＋a4＋a6＝99＝3a4，∴a4＝33，∴d＝a4－a3＝－2，∴an＝a3＋(n－3)d＝41－2n，令an＞0，∴41－2n＞0，∴n＜，∴n≤20.6.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，則m等于()A．3B．4C．5D．6【答案】C【解析】am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，所以公差d＝am＋1－am＝1，由Sm＝＝0，得a1＝－2，所以am＝－2＋(m－1)·1＝2，解得m＝5，故選C.7．現(xiàn)有200根相同的鋼管，把它們堆成一個正三角形垛，要使剩余的鋼管盡可能少，那么剩余鋼管的根數(shù)為()A．9B．10C．19D．29【答案】B【解析】鋼管排列方式是從上到下各層鋼管數(shù)組成了一個等差數(shù)列，最上面一層鋼管數(shù)為1，逐層增加1個．∴鋼管總數(shù)為：1＋2＋3＋…＋n＝.當(dāng)n＝19時，S19＝190.當(dāng)n＝20時，S20＝210＞200.∴n＝19時，剩余鋼管根數(shù)最少，為10根．8．已知命題：“在等差數(shù)列{an}中，若4a2＋a10＋a()＝24，則S11為定值”為真命題，由于印刷問題，括號處的數(shù)模糊不清，可推得括號內(nèi)的數(shù)為()A．15B．24C．18D．28【答案】C【解析】設(shè)括號內(nèi)的數(shù)為n，則4a2＋a10＋a(n)＝24，即6a1＋(n＋12)d＝24.又因為S11＝11a1＋55d＝11(a1＋5d)為定值，所以a1＋5d為定值．所以＝5，解得n＝18.二、多選題9．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，公差為d.已知a3＝12，S12>0，a7<0，則()A．a(chǎn)6>0B．－<d<－3C．Sn<0時，n的最小值為13D．?dāng)?shù)列中最小項為第7項【答案】ABCD【解析】依題意得a3＝a1＋2d＝12，a1＝12－2d，S12＝×12＝6(a6＋a7)．而a7<0，所以a6>0，a1>0，d<0，A選項正確．且解得－<d<－3，B選項正確．由于S13＝×13＝13a7<0，而S12>0，所以Sn<0時，n的最小值為13.由上述分析可知，n∈[1,6]時，an>0，n≥7時，an<0；當(dāng)n∈[1,12]時，Sn>0，當(dāng)n≥13時，Sn<0.所以當(dāng)n∈[7,12]時，an<0，Sn>0，<0，且當(dāng)n∈[7,12]時，|an|為遞增數(shù)列，Sn為正數(shù)且為遞減數(shù)列，所以數(shù)列中最小項為第7項．故選A、B、C、D.10.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S7＝a4，則()A．a(chǎn)1＋a3＝0B．a(chǎn)3＋a5＝0C．S3＝S4D．S4＝S5【答案】BC【解析】由S7＝＝7a4＝a4，得a4＝0，所以a3＋a5＝2a4＝0，S3＝S4，故選B、C.11．等差數(shù)列是遞增數(shù)列，滿足，前項和為，下列選項正確的是（）A． B．C．當(dāng)時最小 D．時的最小值為【答案】ABD【解析】由題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，可得，解得，又由等差數(shù)列是遞增數(shù)列，可知，則，故A、B正確；因為，由可知，當(dāng)或4時最小，故C錯誤，令，解得或，即時的最小值為8，故D正確．故選：ABD．12．在等差數(shù)列中每相鄰兩項之間都插入個數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個新的等差數(shù)列.若是數(shù)列的項，則k的值可能為（）A．1B．3C．5D．7【答案】ABD【解析】由題意得：插入個數(shù)，則，，，所以等差數(shù)列中的項在新的等差數(shù)列中間隔排列，且角標(biāo)是以1為首項，k+1為公差的等差數(shù)列，所以，因為是數(shù)列的項，所以令，當(dāng)時，解得，當(dāng)時，解得，當(dāng)時，解得，故k的值可能為1,3,7，故選：ABD三、填空題13．已知等差數(shù)列{an}中，Sn為其前n項和，已知S3＝9，a4＋a5＋a6＝7，則S9－S6＝________.【答案】5【解析】∵S3，S6－S3，S9－S6成等差數(shù)列，而S3＝9，S6－S3＝a4＋a5＋a6＝7，∴S9－S6＝5.14．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2－9n，第k項滿足5＜ak＜8，則k＝________.【答案】8【解析】∵an＝∴an＝2n－10.由5＜2k－10＜8，得7.5＜k＜9，又k∈N*，∴k＝8.15．若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，首項a1<0，a203＋a204>0，a203·a204<0，則使前n項和Sn<0的最大自然數(shù)n是________．【答案】405【解析】由a203＋a204>0知a1＋a406>0，即S406>0，又由a1<0且a203·a204<0，知a203<0，a204>0，所以公差d>0，則數(shù)列{an}的前203項都是負(fù)數(shù)，那么2a203＝a1＋a405<0，所以S405<0，所以使前n項和Sn<0的最大自然數(shù)n＝405.16.已知等差數(shù)列{an}的公差d>0，前n項和為Sn，且a2a3＝45，S4＝28.(1)則數(shù)列{an}的通項公式為an＝________；(2)若bn＝(c為非零常數(shù))，且數(shù)列{bn}也是等差數(shù)列，則c＝________.【答案】(1)4n－3(2)－【解析】(1)∵S4＝28，∴＝28，a1＋a4＝14，a2＋a3＝14，又∵a2a3＝45，公差d>0，∴a2<a3，∴a2＝5，a3＝9，∴解得∴an＝4n－3.(2)由(1)，知Sn＝2n2－n，∴bn＝＝，∴b1＝，b2＝，b3＝.又∵{bn}也是等差數(shù)列，∴b1＋b3＝2b2，即2×＝＋，解得c＝－(c＝0舍去)．四、解答題17．若等差數(shù)列{an}的首項a1＝13，d＝－4，記Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.【解析】∵a1＝13，d＝－4，∴an＝17－4n.當(dāng)n≤4時，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝na1＋d＝13n＋×(－4)＝15n－2n2；當(dāng)n≥5時，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝(a1＋a2＋a3＋a4)－(a5＋a6＋…＋an)＝S4－(Sn－S4)＝2S4－Sn＝2×－(15n－2n2)＝2n2－15n＋56.∴Tn＝18．在等差數(shù)列{an}中，a10＝23，a25＝－22.(1)數(shù)列{an}前多少項和最大？(2)求{|an|}的前n項和Sn.【解析】(1)由得∴an＝a1＋(n－1)d＝－3n＋53.令an>0，得n<，∴當(dāng)n≤17，n∈N*時，an>0；當(dāng)n≥18，n∈N*時，an<0，∴{an}的前17項和最大．(2)當(dāng)n≤17，n∈N*時，|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝na1＋d＝－n2＋n.當(dāng)n≥18，n∈N*時，|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a17－a18－a19－…－an＝2(a1＋a2＋…＋a17)－(a1＋a2＋…＋an)＝2＝n2－n＋884.∴Sn＝19．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a1＝12，d＝－2.(1)求Sn，并畫出{Sn}(1≤n≤13)的圖象；(2)分別求{Sn}單調(diào)遞增、單調(diào)遞減的n的取值范圍，并求{Sn}的最大(或最小)的項；(3){Sn}有多少項大于零？【解析】(1)Sn＝na1＋d＝12n＋×(－2)＝－n2＋13n.圖象如圖．(2)Sn＝－n2＋13n＝－＋，n∈N*，∴當(dāng)n＝6或n＝7時，Sn最大；當(dāng)1≤n≤6時，{Sn}單調(diào)遞增；當(dāng)n≥7時，{Sn}單調(diào)遞減．{Sn}有最大值，最大項是S6，S7，S6＝S7＝42.(3)由圖象得{Sn}中有12項大于零．20．已知等差數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2－2n，求a2＋a3－a4＋a5＋a6.【解析】∵Sn＝n2－2n，∴當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n2－2n－[(n－1)2－2(n－1)]＝n2－2n－(n－1)2＋2(n－1)＝2n－3，∴a2＋a3－a4＋a5＋a6＝(a2＋a6)＋(a3＋a5)－a4＝2a4＋2a4－a4＝3a4＝3×(2×4－3)＝15.21．設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項和且n∈N*，所有項an＞0，且Sn＝aeq\o\al(2,n)＋an－.(1)證明：{an}是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的通項公式．【解析】(1)證明：當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝aeq\o\al(2,1)＋a1－，解得a1＝3或a1＝－1(舍去)．當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(aeq\o\al(2,n)＋2an－3)－(aeq\o\al(2,n－1)＋2an－1－3)．所以4an＝aeq\o\al(2,n)－aeq\o\al(2,n－1)＋2an－2an－1，即(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0，因為an＋an－1＞0，所以an－an－1＝2(n≥2)．所以數(shù)列{an}是以3為首項，2為公差的等差數(shù)列．(2)由(1)知an＝3＋2(n－1)＝2n＋1.22．求等差數(shù)列{4n＋1}(1≤n≤200)與{6m－3}(1≤m≤200)的公共項之和．【解析】由4n＋1＝6m－3(m，n∈N*且1≤m≤200,1≤n≤200)，可得(t∈N*且≤t≤67)．則等差數(shù)列{4n＋1}(1≤n≤200)，{6m－3}(1≤m≤200)的公共項按從小到大的順序組成的數(shù)列是等差數(shù)列{4(3t－1)＋1}(t∈N*且≤t≤67)，即{12t－3}(t∈N*且≤t≤67)，各項之和為67×9＋×12＝27135.《4.3等比數(shù)列》同步檢測試卷注意事項：本試卷滿分100分，考試時間45分鐘，試題共16題．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、單選題1．等比數(shù)列x,3x＋3,6x＋6，…的第四項等于()A．－24B．0C．12D．242．在正項等比數(shù)列{an}中，an＋1<an，a2·a8＝6，a4＋a6＝5，則等于()A.D．C.D．3．已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，lg(a3a8a13)＝6，則a1·a15的值為()A．100B．－100C．10000D．－100004．在等比數(shù)列{an}中，Tn表示前n項的積，若T5＝1，則()A．a(chǎn)1＝1B．a(chǎn)3＝1C．a(chǎn)4＝1D．a(chǎn)5＝15．已知等比數(shù)列{an}中，a3a11＝4a7，數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，且b7＝a7，則b5＋b9等于()A．2B．4C．8D．166．一座七層的塔，每層所點的燈的盞數(shù)都等于上面一層的2倍，一共點381盞燈，則底層所點燈的盞數(shù)是()A．190B．191C．192D．193【答案】C7．設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，且8a2＋a5＝0，則等于()A．11B．5C．－8D．－118．等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S5＝2，S10＝6，則a16＋a17＋a18＋a19＋a20等于()A．8B．12C．16D．24二、多選題9．設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，其前n項和為Sn，前n項積為Tn，并且滿足條件a1>1，a7a8>1，<0.則下列結(jié)論正確的是()A．0<q<1B．a(chǎn)7a9<1C．Tn的最大值為T7D．Sn的最大值為S710．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足a6＝8a3，則()A．?dāng)?shù)列{an}的公比為2B．?dāng)?shù)列{an}的公比為8C.＝8D．＝911．下列說法正確的是（）A．若為等差數(shù)列，為其前項和，則，，，…仍為等差數(shù)列B．若為等比數(shù)列，為其前項和，則，，，仍為等比數(shù)列C．若為等差數(shù)列，，，則前項和有最大值D．若數(shù)列滿足，則12．在數(shù)列中，和是關(guān)于的一元二次方程的兩個根，下列說法正確的是（）A．實數(shù)的取值范圍是或B．若數(shù)列為等差數(shù)列，則數(shù)列的前7項和為C．若數(shù)列為等比數(shù)列且，則D．若數(shù)列為等比數(shù)列且，則的最小值為4三、填空題13．在3和一個未知數(shù)間填上一個數(shù)，使三數(shù)成等差數(shù)列，若中間項減去6，成等比數(shù)列，則此未知數(shù)是________．14．設(shè)數(shù)列{an}為公比q>1的等比數(shù)列，若a4，a5是方程4x2－8x＋3＝0的兩根，則a6＋a7＝________.15．畫一個邊長為2厘米的正方形，再以這個正方形的對角線為邊畫第2個正方形，以第2個正方形的對角線為邊畫第3個正方形，這樣一共畫了10個正方形，則第10個正方形的面積等于________平方厘米．16．等比數(shù)列{an}中，若a1＋a3＋…＋a99＝150，且公比q＝2，則數(shù)列{an}的前100項和為________．四、解答題17．已知等比數(shù)列{an}中，a1＝，公比q＝.(1)Sn為數(shù)列{an}的前n項和，證明：Sn＝；(2)設(shè)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求數(shù)列{bn}的通項公式．18．容器A中盛有濃度為a%的農(nóng)藥mL，容器B中盛有濃度為b%的同種農(nóng)藥mL，A，B兩容器中農(nóng)藥的濃度差為20%(a>b)，先將A中農(nóng)藥的倒入B中，混合均勻后，再由B倒入一部分到A中，恰好使A中保持mL，問至少經(jīng)過多少次這樣的操作，兩容器中農(nóng)藥的濃度差小于1%?19．已知等差數(shù)列中，，.（1）求的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前n項和.20．?dāng)?shù)列的前項和為，且，數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（3）設(shè)數(shù)列滿足，其前項和為，證明：.21．已知等比數(shù)列的前項和為，且.（1）求與；（2）記，求數(shù)列的前項和.22．已知數(shù)列滿足：，.（Ⅰ）證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）記，求使成立的最大正整數(shù)n的值.（其中，符號表示不超過x的最大整數(shù)）答案解析一、單選題1．等比數(shù)列x,3x＋3,6x＋6，…的第四項等于()A．－24B．0C．12D．24【答案】A【解析】由題意知(3x＋3)2＝x(6x＋6)，即x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1(舍去)，所以等比數(shù)列的前3項是－3，－6，－12，則第四項為－24.2．在正項等比數(shù)列{an}中，an＋1<an，a2·a8＝6，a4＋a6＝5，則等于()A.D．C.D．【答案】D【解析】公比為q，則由等比數(shù)列{an}各項為正數(shù)且an＋1<an知0<q<1，由a2·a8＝6，得aeq\o\al(2,5)＝6.∴a5＝，a4＋a6＝＋q＝5.解得q＝，∴＝＝＝.3．已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，lg(a3a8a13)＝6，則a1·a15的值為()A．100B．－100C．10000D．－10000【答案】C【解析】∵a3a8a13＝aeq\o\al(3,8)，∴l(xiāng)g(a3a8a13)＝lgaeq\o\al(3,8)＝3lga8＝6.∴a8＝100.∴a1a15＝aeq\o\al(2,8)＝10000，故選C.4．在等比數(shù)列{an}中，Tn表示前n項的積，若T5＝1，則()A．a(chǎn)1＝1B．a(chǎn)3＝1C．a(chǎn)4＝1D．a(chǎn)5＝1【答案】B【解析】由題意，可得a1·a2·a3·a4·a5＝1，即(a1·a5)·(a2·a4)·a3＝1，又因為a1·a5＝a2·a4＝aeq\o\al(2,3)，所以aeq\o\al(5,3)＝1，得a3＝1.5．已知等比數(shù)列{an}中，a3a11＝4a7，數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，且b7＝a7，則b5＋b9等于()A．2B．4C．8D．16【答案】C【解析】等比數(shù)列{an}中，a3a11＝aeq\o\al(2,7)＝4a7，解得a7＝4，等差數(shù)列{bn}中，b5＋b9＝2b7＝2a7＝8.6．一座七層的塔，每層所點的燈的盞數(shù)都等于上面一層的2倍，一共點381盞燈，則底層所點燈的盞數(shù)是()A．190B．191C．192D．193【答案】C【解析】設(shè)最下面一層燈的盞數(shù)為a1，則公比q＝，n＝7，由＝381，解得a1＝192.7．設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，且8a2＋a5＝0，則等于()A．11B．5C．－8D．－11【答案】D【解析】設(shè){an}的公比為q.因為8a2＋a5＝0.所以8a2＋a2·q3＝0.所以a2(8＋q3)＝0.因為a2≠0，所以q3＝－8.所以q＝－2.所以＝＝＝＝＝－11.故選D.8．等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S5＝2，S10＝6，則a16＋a17＋a18＋a19＋a20等于()A．8B．12C．16D．24【解析】選C設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因為S2n－Sn＝qnSn，所以S10－S5＝q5S5，所以6－2＝2q5，所以q5＝2，所以a16＋a17＋a18＋a19＋a20＝a1q15＋a2q15＋a3q15＋a4q15＋a5q15＝q15(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)＝q15S5＝23×2＝16.二、多選題9．設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，其前n項和為Sn，前n項積為Tn，并且滿足條件a1>1，a7a8>1，<0.則下列結(jié)論正確的是()A．0<q<1B．a(chǎn)7a9<1C．Tn的最大值為T7D．Sn的最大值為S7【答案】ABC【解析】∵a1>1，a7·a8>1，<0，∴a7>1,0<a8<1，∴0<q<1，故A正確．a(chǎn)7a9＝aeq\o\al(2,8)<1，故B正確；T7是數(shù)列{Tn}中的最大項，故C正確；因為a7>1，0<a8<1，Sn的最大值不是S7，故D不正確；故選A、B、C.10．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足a6＝8a3，則()A．?dāng)?shù)列{an}的公比為2B．?dāng)?shù)列{an}的公比為8C.＝8D．＝9【答案】AD【解析】因為等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足a6＝8a3，所以＝q3＝8，解得q＝2，所以＝＝1＋q3＝9，故選A、D.11．下列說法正確的是（）A．若為等差數(shù)列，為其前項和，則，，，…仍為等差數(shù)列B．若為等比數(shù)列，為其前項和，則，，，仍為等比數(shù)列C．若為等差數(shù)列，，，則前項和有最大值D．若數(shù)列滿足，則【答案】ACD【解析】對于A中，設(shè)數(shù)列的公差為，因為，，，，可得，所以，，，構(gòu)成等差數(shù)列，故A正確；對于B中，設(shè)數(shù)列的公比為，當(dāng)時，取，此時，此時不成等比數(shù)列，故B錯誤；對于C中，當(dāng)，時，等差數(shù)列為遞減數(shù)列，此時所有正數(shù)項的和為的最大值，故C正確；對于D中，由，可得，所以或，則，所以，所以.因為，所以，可得，所以，故D正確.故選：ACD12．在數(shù)列中，和是關(guān)于的一元二次方程的兩個根，下列說法正確的是（）A．實數(shù)的取值范圍是或B．若數(shù)列為等差數(shù)列，則數(shù)列的前7項和為C．若數(shù)列為等比數(shù)列且，則D．若數(shù)列為等比數(shù)列且，則的最小值為4【答案】AD【解析】對A，有兩個根，，解得：或，故A正確；對B，若數(shù)列為等差數(shù)列，和是關(guān)于的一元二次方程的兩個根，，則，故B錯誤；對C，若數(shù)列為等比數(shù)列且，由韋達(dá)定理得：，可得：，，，由等比數(shù)列的性質(zhì)得：，即，故C錯誤；對D，由C可知：，且，，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故D正確.故選AD.三、填空題13．在3和一個未知數(shù)間填上一個數(shù)，使三數(shù)成等差數(shù)列，若中間項減去6，成等比數(shù)列，則此未知數(shù)是________．【答案】3或27【解析】設(shè)此三數(shù)為3，a，b，則解得或所以這個未知數(shù)為3或27.14．設(shè)數(shù)列{an}為公比q>1的等比數(shù)列，若a4，a5是方程4x2－8x＋3＝0的兩根，則a6＋a7＝________.【答案】18【解析】由題意得a4＝，a5＝，∴q＝＝3.∴a6＋a7＝(a4＋a5)q2＝×32＝18.15．畫一個邊長為2厘米的正方形，再以這個正方形的對角線為邊畫第2個正方形，以第2個正方形的對角線為邊畫第3個正方形，這樣一共畫了10個正方形，則第10個正方形的面積等于________平方厘米．【答案】2048【解析】這10個正方形的邊長構(gòu)成以2為首項，為公比的等比數(shù)列{an}(1≤n≤10，n∈N*)，則第10個正方形的面積S＝aeq\o\al(2,10)＝＝211＝2048.16．等比數(shù)列{an}中，若a1＋a3＋…＋a99＝150，且公比q＝2，則數(shù)列{an}的前100項和為________．【答案】450【解析】由＝q，q＝2，得＝2?a2＋a4＋…＋a100＝300，則數(shù)列{an}的前100項的和S100＝(a1＋a3＋…＋a99)＋(a2＋a4＋…＋a100)＝150＋300＝450.四、解答題17．已知等比數(shù)列{an}中，a1＝，公比q＝.(1)Sn為數(shù)列{an}的前n項和，證明：Sn＝；(2)設(shè)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求數(shù)列{bn}的通項公式．【解析】(1)證明：因為an＝×n－1＝，Sn＝，所以Sn＝.(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－(1＋2＋…＋n)＝－.所以{bn}的通項公式為bn＝－.18．容器A中盛有濃度為a%的農(nóng)藥mL，容器B中盛有濃度為b%的同種農(nóng)藥mL，A，B兩容器中農(nóng)藥的濃度差為20%(a>b)，先將A中農(nóng)藥的倒入B中，混合均勻后，再由B倒入一部分到A中，恰好使A中保持mL，問至少經(jīng)過多少次這樣的操作，兩容器中農(nóng)藥的濃度差小于1%?【解析】設(shè)第n次操作后，A中農(nóng)藥的濃度為an，B中農(nóng)藥的濃度為bn，則a0＝a%，b0＝b%.b1＝(a0＋4b0)，a1＝a0＋b1＝(4a0＋b0)；b2＝(a1＋4b1)，a2＝a1＋b2＝(4a1＋b1)；…；bn＝(an－1＋4bn－1)，an＝(4an－1＋bn－1)．∴an－bn＝(an－1－bn－1)＝…＝(a0－b0)·n－1.∵a0－b0＝，∴an－bn＝·n.依題意知·n<1%，n∈N*，解得n≥6.故至少經(jīng)過6次這樣的操作，兩容器中農(nóng)藥的濃度差小于1%.19．已知等差數(shù)列中，，.（1）求的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前n項和.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，，所以，解得，所以；（2）由（1）可得，，即數(shù)列為等比數(shù)列，所以數(shù)列的前n項和.20．?dāng)?shù)列的前項和為，且，數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（3）設(shè)數(shù)列滿足，其前項和為，證明：.【解析】（1）當(dāng)時，.當(dāng)時，.檢驗，當(dāng)時符合.所以.（2）當(dāng)時，，而，所以數(shù)列是等比數(shù)列，且首項為3，公比為3.（3）由（1）（2）得，，所以①②由①-②得，所以.因為，所以.21．已知等比數(shù)列的前項和為，且.（1）求與；（2）記，求數(shù)列的前項和.【解析】（1）由，得，當(dāng)時，，得；當(dāng)時，，得，所以數(shù)列是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以.所以.（2）由（1）可得，則，，兩式相減得，所以.22．已知數(shù)列滿足：，.（Ⅰ）證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）記，求使成立的最大正整數(shù)n的值.（其中，符號表示不超過x的最大整數(shù)）【解析】∵，顯然∴，是以為首項，3為公比的等比數(shù)列即，所以.（2）.因為n≥2時，，.所以n≥2時，.又n=1時，，所以；時，，所以時，.由，及，得.所以使成立的最大正整數(shù)n的值為45.《4.4數(shù)學(xué)歸納法》同步檢測試卷注意事項：本試卷滿分100分，考試時間45分鐘，試題共16題．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、單選題1．用數(shù)學(xué)歸納法證明：首項是a1，公差是d的等差數(shù)列的前n項和公式是Sn＝na1＋d時，假設(shè)當(dāng)n＝k時，公式成立，則Sk＝()A．a(chǎn)1＋(k－1)dB．C．ka1＋dD．(k＋1)a1＋d2．已知f(n)＝，則()A．f(n)中共有n項，當(dāng)n＝2時，f(2)＝＋B．f(n)中共有n＋1項，當(dāng)n＝2時，f(2)＝＋＋C．f(n)中共有n2－n項，當(dāng)n＝2時，f(2)＝＋D．f(n)中共有n2－n＋1項，當(dāng)n＝2時，f(2)＝＋＋3．用數(shù)學(xué)歸納法證明n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2(n∈N*)時，若記f(n)＝n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)，則f(k＋1)－f(k)等于()A．3k－1B．3k＋1C．8kD．9k4．證明等式12＋22＋32＋…＋n2＝(n∈N*)時，某學(xué)生的證明過程如下：①當(dāng)n＝1時，12＝，等式成立；②假設(shè)n＝k(k∈N*)時，等式成立，即12＋22＋32＋…＋k2＝，則當(dāng)n＝k＋1時，12＋22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2＝＋(k＋1)2＝＝＝，所以當(dāng)n＝k＋1時，等式也成立，故原式成立．那么上述證明()A．過程全都正確B．當(dāng)n＝1時驗證不正確C．歸納假設(shè)不正確D．從n＝k到n＝k＋1的推理不正確5．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c對一切n∈N*都成立，那么a，b，c的值為()A．a(chǎn)＝，b＝c＝B．a(chǎn)＝b＝c＝C．a(chǎn)＝0，b＝c＝D．不存在這樣的a，b，c6.用數(shù)學(xué)歸納法證明3n≥n3(n≥3,n∈N*),第一步驗證()A.n=1B.n=2C.n=3D.n=47.利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1+12+13+…+12n-1<n(n≥2,n∈N*)的過程中,由n=k變到A.1項B.k項C.2k-1項D.2k項8．觀察下列式子:，，，…，則可歸納出小于（）A． B． C． D．二、多選題9.一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題,當(dāng)n=2時命題成立,且由n=k時命題成立可以推得n=k+2時命題也成立,則下列說法正確的是()A.該命題對于n=6時命題成立B.該命題對于所有的正偶數(shù)都成立C.該命題何時成立與k取值無關(guān)D.以上答案都不對10．在悠久燦爛的中國古代文化中，數(shù)學(xué)文化是其中的一朵絢麗的奇葩．《張丘建算經(jīng)》是我國古代有標(biāo)志性的內(nèi)容豐富的眾多數(shù)學(xué)名著之一，大約創(chuàng)作于公元五世紀(jì)．書中有如下問題：“今有女善織，日益功疾，初日織五尺，今一月織九匹三丈，問日益幾何？”．其大意為：“有一女子擅長織布，織布的速度一天比一天快，從第二天起，每天比前一天多織相同數(shù)量的布，第一天織尺，一個月共織了九匹三丈，問從第二天起，每天比前一天多織多少尺布？”．已知匹丈，丈尺，若這一個月有天，記該女子這一個月中的第天所織布的尺數(shù)為，，對于數(shù)列、，下列選項中正確的為（）A． B．是等比數(shù)列C． D．11．意大利數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契是第一個研究了印度和阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)理論的歐洲人，斐波那契數(shù)列被譽為是最美的數(shù)列，斐波那契數(shù)列滿足：，，.若將數(shù)列的每一項按照下圖方法放進格子里，每一小格子的邊長為1，記前項所占的格子的面積之和為，每段螺旋線與其所在的正方形所圍成的扇形面積為，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．12．用數(shù)學(xué)歸納法證明對任意的自然數(shù)都成立，則以下滿足條件的的值為（）A． B． C． D．三、填空題13．用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時，xn＋yn能被x＋y整除”，當(dāng)?shù)诙郊僭O(shè)n＝2k－1(k∈N*)命題為真時，進而需證n＝________時，命題亦真．14．用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n∈N*時，求證：1＋2＋22＋23＋…＋25n－1是31的倍數(shù)”時，當(dāng)n＝1時，原式為__________，從n＝k到n＝k＋1時需增添的項是________________．16．用數(shù)學(xué)歸納法證明：“兩兩相交且不共點的n條直線把平面分為f(n)部分，則f(n)＝1＋.”證明第二步歸納遞推時，用到f(k＋1)＝f(k)＋________.16.用數(shù)學(xué)歸納法證明1-12+13-14+…+12n-1-12n=1n+1四、解答題17．設(shè)f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)．求證：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．18．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)．(1)計算a2，a3，a4；(2)猜想an的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．19．已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且滿足a1＝1，an＋1＝an(4－an)，n∈N*.證明an＜an＋1＜2(n∈N*)．20．平面內(nèi)有n(n≥2)個圓，其中每兩個圓都相交于兩點，并且每三個圓都不相交于同一點，記這n個圓的交點個數(shù)為f(n)，猜想f(n)的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．20．已知f(n)＝1＋＋＋＋＋，－，n∈N*.（1）當(dāng)n＝1，2，3時，試比較f(n)與g(n)的大小關(guān)系；（2）猜想f(n)與g(n)的大小關(guān)系，并給出證明．21．已知數(shù)列中，是的前項和且是與的等差中項，其中是不為的常數(shù).（1）求.（2）猜想的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法進行證明.22．觀察下列等式：．．．．．．按照以上式子的規(guī)律：（1）寫出第5個等式，并猜想第個等式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明上述所猜想的第個等式成立．答案解析一、單選題1．用數(shù)學(xué)歸納法證明：首項是a1，公差是d的等差數(shù)列的前n項和公式是Sn＝na1＋d時，假設(shè)當(dāng)n＝k時，公式成立，則Sk＝()A．a(chǎn)1＋(k－1)dB．C．ka1＋dD．(k＋1)a1＋d【答案】C【解析】假設(shè)當(dāng)n＝k時，公式成立，只需把公式中的n換成k即可，即Sk＝ka1＋d.2．已知f(n)＝，則()A．f(n)中共有n項，當(dāng)n＝2時，f(2)＝＋B．f(n)中共有n＋1項，當(dāng)n＝2時，f(2)＝＋＋C．f(n)中共有n2－n項，當(dāng)n＝2時，f(2)＝＋D．f(n)中共有n2－n＋1項，當(dāng)n＝2時，f(2)＝＋＋【解析】選D由f(n)可知，f(n)中共有n2－n＋1項，且n＝2時，f(2)＝＋＋3．用數(shù)學(xué)歸納法證明n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2(n∈N*)時，若記f(n)＝n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)，則f(k＋1)－f(k)等于()A．3k－1B．3k＋1C．8kD．9k【答案】C【解析】因為f(k)＝k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)，f(k＋1)＝(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＋(3k－1)＋3k＋(3k＋1)，則f(k＋1)－f(k)＝3k－1＋3k＋3k＋1－k＝8k.4．證明等式12＋22＋32＋…＋n2＝(n∈N*)時，某學(xué)生的證明過程如下：①當(dāng)n＝1時，12＝，等式成立；②假設(shè)n＝k(k∈N*)時，等式成立，即12＋22＋32＋…＋k2＝，則當(dāng)n＝k＋1時，12＋22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2＝＋(k＋1)2＝＝＝，所以當(dāng)n＝k＋1時，等式也成立，故原式成立．那么上述證明()A．過程全都正確B．當(dāng)n＝1時驗證不正確C．歸納假設(shè)不正確D．從n＝k到n＝k＋1的推理不正確【答案】A【解析】通過對上述證明的分析驗證知全都正確，故選A.5．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c對一切n∈N*都成立，那么a，b，c的值為()A．a(chǎn)＝，b＝c＝B．a(chǎn)＝b＝c＝C．a(chǎn)＝0，b＝c＝D．不存在這樣的a，b，c【答案】A【解析】令n＝1,2,3，得即解得a＝，b＝，c＝.6.用數(shù)學(xué)歸納法證明3n≥n3(n≥3,n∈N*),第一步驗證()A.n=1B.n=2C.n=3D.n=4【答案】C【解析】由題知,n的最小值為3,所以第一步驗證n=3時不等式是否成立.7.利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1+12+13+…+12n-1<n(n≥2,n∈N*)的過程中,由n=k變到A.1項B.k項C.2k-1項D.2k項【答案】D【解析】當(dāng)n=k時,不等式左邊的最后一項為12k-1,而當(dāng)n=k+1時,最后一項為12k+1-1=8．觀察下列式子:，，，…，則可歸納出小于（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由已知式子可知所猜測分式的分母為，分子第個正奇數(shù)，即，.故選：C.二、多選題9.一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題,當(dāng)n=2時命題成立,且由n=k時命題成立可以推得n=k+2時命題也成立,則下列說法正確的是()A.該命題對于n=6時命題成立B.該命題對于所有的正偶數(shù)都成立C.該命題何時成立與k取值無關(guān)D.以上答案都不對【答案】AB【解析】由n=k時命題成立可以推出n=k+2時命題也成立,且n=2時,命題成立,故對所有的正偶數(shù)都成立.故選AB.10．在悠久燦爛的中國古代文化中，數(shù)學(xué)文化是其中的一朵絢麗的奇葩．《張丘建算經(jīng)》是我國古代有標(biāo)志性的內(nèi)容豐富的眾多數(shù)學(xué)名著之一，大約創(chuàng)作于公元五世紀(jì)．書中有如下問題：“今有女善織，日益功疾，初日織五尺，今一月織九匹三丈，問日益幾何？”．其大意為：“有一女子擅長織布，織布的速度一天比一天快，從第二天起，每天比前一天多織相同數(shù)量的布，第一天織尺，一個月共織了九匹三丈，問從第二天起，每天比前一天多織多少尺布？”．已知匹丈，丈尺，若這一個月有天，記該女子這一個月中的第天所織布的尺數(shù)為，，對于數(shù)列、，下列選項中正確的為（）A． B．是等比數(shù)列C． D．【答案】BD【解析】由題意可知，數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的公差為，，由題意可得，解得，，，（非零常數(shù)），則數(shù)列是等比數(shù)列，選項正確；，，，選項錯誤；，，選項錯誤；，，所以，，選項正確.故選：BD11．意大利數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契是第一個研究了印度和阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)理論的歐洲人，斐波那契數(shù)列被譽為是最美的數(shù)列，斐波那契數(shù)列滿足：，，.若將數(shù)列的每一項按照下圖方法放進格子里，每一小格子的邊長為1，記前項所占的格子的面積之和為，每段螺旋線與其所在的正方形所圍成的扇形面積為，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】對于A選項，因為斐波那契數(shù)列總滿足，所以，，，類似的有，，累加得，由題知，故選項A正確，對于B選項，因為，，，類似的有，累加得，故選項B正確，對于C選項，因為，，，類似的有，累加得，故選項C錯誤，對于D選項，可知扇形面積，故，故選項D正確，故選：ABD.12．用數(shù)學(xué)歸納法證明對任意的自然數(shù)都成立，則以下滿足條件的的值為（）A． B． C． D．【答案】CD【解析】取，則，不成立；取，則，不成立；取，則，成立；取，則，成立；下證：當(dāng)時，成立.當(dāng)，則，成立；設(shè)當(dāng)時，有成立，則當(dāng)時，有，令，則，因為，故，因為，所以，所以當(dāng)時，不等式也成立，由數(shù)學(xué)歸納法可知，對任意的都成立.故選：CD.三、填空題13．用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時，xn＋yn能被x＋y整除”，當(dāng)?shù)诙郊僭O(shè)n＝2k－1(k∈N*)命題為真時，進而需證n＝________時，命題亦真．【答案】2k＋1【解析】∵n為正奇數(shù)，且與2k－1相鄰的下一個奇數(shù)是2k＋1，∴需證n＝2k＋1時，命題成立．14．用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n∈N*時，求證：1＋2＋22＋23＋…＋25n－1是31的倍數(shù)”時，當(dāng)n＝1時，原式為__________，從n＝k到n＝k＋1時需增添的項是________________．【答案】1＋2＋22＋23＋2425k＋25k＋1＋25k＋2＋25k＋3＋25k＋4【解析】當(dāng)n＝1時，原式應(yīng)加到25×1－1＝24，所以原式為1＋2＋22＋23＋24，從n＝k到n＝k＋1時需添25k＋25k＋1＋…＋25(k＋1)－1.16．用數(shù)學(xué)歸納法證明：“兩兩相交且不共點的n條直線把平面分為f(n)部分，則f(n)＝1＋.”證明第二步歸納遞推時，用到f(k＋1)＝f(k)＋________.【答案】k＋1【解析】f(k)＝1＋，f(k＋1)＝1＋，∴f(k＋1)－f(k)＝＝k＋1，∴f(k＋1)＝f(k)＋(k＋1)．16.用數(shù)學(xué)歸納法證明1-12+13-14+…+12n-1-12n=1n+1+1n+2【答案】1-1【解析】當(dāng)n=1時,應(yīng)當(dāng)驗證的第一個式子是1-12=12,從“n=k”到四、解答題17．設(shè)f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)．求證：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．【解析】當(dāng)n＝2時，左邊＝f(1)＝1，右邊＝2×＝1，左邊＝右邊，等式成立．假設(shè)n＝k(k≥2，k∈N*)時，等式成立，即f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]，那么，當(dāng)n＝k＋1時，f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)＝k[f(k)－1]＋f(k)＝(k＋1)f(k)－k＝(k＋1)－k＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1)＝(k＋1)[f(k＋1)－1]，∴當(dāng)n＝k＋1時等式仍然成立．∴f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．18．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)．(1)計算a2，a3，a4；(2)猜想an的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．【解析】(1)a1＝1，a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝.(2)由(1)的計算猜想an＝.下面用數(shù)學(xué)歸納法進行證明．①當(dāng)n＝1時，a1＝1，猜想成立．②假設(shè)當(dāng)n＝k時，猜想成立，即ak＝，那么ak＋1＝，即當(dāng)n＝k＋1時，猜想也成立．根據(jù)①②可知，對任意n∈N*都有an＝.19．已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且滿足a1＝1，an＋1＝an(4－an)，n∈N*.證明an＜an＋1＜2(n∈N*)．【解析】①當(dāng)n＝1時，a1＝1，a2＝a1(4－a1)＝，∴a1＜a2＜2，命題正確．②假設(shè)n＝k時，有ak＜ak＋1＜2，則n＝k＋1時，ak＋1－ak＋2＝ak(4－ak)－ak＋1(4－ak＋1)＝2(ak－ak＋1)－(ak－ak＋1)·(ak＋ak＋1)＝(ak－ak＋1)(4－ak－ak＋1)．而ak－ak＋1＜0,4－ak－ak＋1＞0，∴ak＋1－ak＋2＜0.又ak＋2＝ak＋1(4－ak＋1)＝[4－(ak＋1－2)2]＜2，∴n＝k＋1時命題正確．由①②知，對一切n∈N*都有ak＜ak＋1＜2.20．平面內(nèi)有n(n≥2)個圓，其中每兩個圓都相交于兩點，并且每三個圓都不相交于同一點，記這n個圓的交點個數(shù)為f(n)，猜想f(n)的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．【解析】n＝2時，f(2)＝2＝1×2，n＝3時，f(3)＝2＋4＝6＝2×3，n＝4時，f(4)＝6＋6＝12＝3×4，n＝5時，f(5)＝12＋8＝20＝4×5，猜想f(n)＝n(n－1)(n≥2)．下面用數(shù)學(xué)歸納法給出證明：①當(dāng)n＝2時，f(2)＝2＝2×(2－1)，猜想成立．②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2，k∈N*)，時猜想成立，即f(k)＝k(k－1)，則n＝k＋1時，其中圓O與其余k個圓各有兩個交點，而由假設(shè)知這k個圓有f(k)個交點，所以這k＋1個圓的交點個數(shù)f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k(k－1)＋2k＝k2＋k＝(k＋1)[(k＋1)－1]，即n＝k＋1時猜想也成立．由①②知：f(n)＝n(n－1)(n≥2)．20．已知f(n)＝1＋＋＋＋＋，－，n∈N*.（1）當(dāng)n＝1，2，3時，試比較f(n)與g(n)的大小關(guān)系；（2）猜想f(n)與g(n)的大小關(guān)系，并給出證明．【解析】（1）當(dāng)n＝1時，f(1)＝1，g(1)＝1，所以f(1)＝g(1)；當(dāng)n＝2時，f(2)＝，g(2)＝，所以f(2)＜g(2)；當(dāng)n＝3時，f(3)＝，g(3)＝，所以f(3)＜g(3)．（2）由（1）猜想：f(n)≤g(n)，用數(shù)學(xué)歸納法證明．①當(dāng)n＝1，不等式顯然成立．②假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時不等式成立，即1＋＋＋＋＋－，則當(dāng)n＝k＋1時，f(k＋1)＝f(k)＋－＋，因為－＝－＝＜0，所以f(k＋1)＜－＝g(k＋1)．由①②可知，對一切n∈N*，都有f(n)≤g(n)成立.21．已知數(shù)列中，是的前項和且是與的等差中項，其中是不為的常數(shù).（1）求.（2）猜想的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法進行證明.【解析】（1）由題意知：即，當(dāng)時，，解得.當(dāng)時，，解得.當(dāng)時，，解得.（2）猜想：證明：①當(dāng)時，由（1）知等式成立.②假設(shè)當(dāng)時等式成立，即，則當(dāng)時，又則，，∴，即所以，即當(dāng)時，等式成立.結(jié)合①②得對任意均成立.22．觀察下列等式：．．．．．．按照以上式子的規(guī)律：（1）寫出第5個等式，并猜想第個等式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明上述所猜想的第個等式成立．【解析】（1）第5個等式為．第個等式為，．（2）證明：①當(dāng)時，等式左邊，等式右邊，所以等式成立．②假設(shè)時，命題成立，即，則當(dāng)時，，即時等式成立．根據(jù)①和②，可知對任意等式都成立．《5.1導(dǎo)數(shù)的概念及其意義》同步檢測試卷注意事項：本試卷滿分100分，考試時間45分鐘，試題共16題．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、單選題1．甲、乙兩廠污水的排放量W與時間的關(guān)系如圖所示，則治污效果較好的是（）A．甲廠 B．乙廠 C．兩廠一樣 D．不確定2．已知函數(shù)和在區(qū)間上的圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A．在a到b之間的平均變化率大于在a到b之間的平均變化率B．在a到b之間的平均變化率小于在a到b之間的平均變化率C．對于任意，函數(shù)在處的瞬時變化率總大于函數(shù)在處的瞬時變化率D．存在，使得函數(shù)在處的瞬時變化率小于函數(shù)在處的瞬時變化率3．函數(shù)的圖象如圖所示，則下列數(shù)值排序正確的是（）A． B．C． D．4．函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是（）A．在點處與的圖象只有一個交點的直線的斜率B．過點的切線的斜率C．點與點的連線的斜率D．函數(shù)的圖象在點處的切線的斜率5．某物體的運動方程為（位移單位：m，時間單位：s），若，則下列說法中正確的是（）A．是物體從開始到這段時間內(nèi)的平均速度B．是物體從到這段時間內(nèi)的速度C．是物體在這一時刻的瞬時速度D．是物體從到這段時間內(nèi)的平均速度6．一質(zhì)點的運動方程是，則在時間內(nèi)相應(yīng)的平均速度為（）A． B． C． D．7．已知某質(zhì)點的運動方程為，其中s的單位是m，t的單位是s，則該質(zhì)點在末的瞬時速度為（）A． B． C． D．8．某質(zhì)點的運動規(guī)律為，則在時間內(nèi)，質(zhì)點的位移增量等于（）A． B． C． D．二、多選題9．（多選）已知函數(shù)的定義域為R，其導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則對于任意，下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．10．（多選）下列命題正確的是（）A．若，則函數(shù)在處無切線B．函數(shù)的切線與函數(shù)的圖象可以有兩個公共點C．曲線在處的切線方程為，則當(dāng)時，D．若函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，且，則的圖象在處的切線方程為11．為滿足人民對美好生活的向往，環(huán)保部門要求相關(guān)企業(yè)加強污水治理，排放未達(dá)標(biāo)的企業(yè)要限期整改、設(shè)企業(yè)的污水排放量W與時間t的關(guān)系為，用的大小評價在這段時間內(nèi)企業(yè)污水治理能力的強弱，已知整改期內(nèi)，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時間的關(guān)系如下圖所示.給出下列四個結(jié)論