三次函數(shù)的性質(zhì)-總結(jié)練習(xí)

./三次函數(shù)的性質(zhì)三次函數(shù)f<x>=ax3+bx2+cx+d〔a≠0在高中階段學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)后頻繁出現(xiàn),同時(shí)也是其他復(fù)雜函數(shù)的重要組成部分,因此有必要對(duì)其性質(zhì)有所了解,才可以做到知己知彼,百戰(zhàn)不殆．性質(zhì)一

單調(diào)性以a>0為例,如圖1,記Δ=b2?3ac圖1

用判別式判斷函數(shù)圖象當(dāng)Δ?0時(shí),f<x>為R上的單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)Δ>0時(shí),f<x>會(huì)在中間一段單調(diào)遞減,形成三個(gè)單調(diào)區(qū)間以及兩個(gè)極值．性質(zhì)一的證明f<x>的導(dǎo)函數(shù)為f′<x>=3ax3+2bx+c,其判別式為4<b2?3ac>例1

設(shè)直線l與曲線y=x3+x+1有三個(gè)不同的交點(diǎn)A,B,C,且|AB|=|BC|=5√,求直線l的方程．解

由|AB|=|BC|可知B為三次函數(shù)的對(duì)稱中心,由性質(zhì)一可得B<0,1>,進(jìn)而不難求得直線l的方程y=2x+1．性質(zhì)二

對(duì)稱性如圖2,f<x>的圖象關(guān)于點(diǎn)P<?b3a,f<?b3a>>對(duì)稱〔特別地,極值點(diǎn)以及極值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的圖象上的點(diǎn)也關(guān)于圖2

圖象的對(duì)稱性反之,若三次函數(shù)的對(duì)稱中心為<m,n>,則其解析式可以設(shè)為f<x>=α?<x?m>3+β?<x?m>+n,其中α≠0．性質(zhì)二的證明

由于f<x>=a<x+b3a>3+<c?b23a><x+b3a>?bc3a+2b即f<x>=<x+b3a>3+<c?b23a><x+b3a>+f<?于是性質(zhì)二得證．例2

設(shè)函數(shù)f<x>=x<x?1><x?a>,a>1．〔1求導(dǎo)數(shù)f′<x>,并證明f<x>有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)x1,x2；〔2若不等式f<x1>+f<x2>?0成立,求a的取值范圍．〔1解f<x>的導(dǎo)函數(shù)f′<x>=<x?1><x?a>+x<x?a>+x<x?1>=3x2?2<a+2>x+a,而f′<0>f′<1>f′<a>=a>0,=1?a<0,=a<a?1>>0,于是f′<x>有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn),從而f<x>有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)．〔2解

根據(jù)性質(zhì)二,三次函數(shù)的對(duì)稱中心<a+13,f<a+13>>是兩個(gè)極值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象上的點(diǎn)的中點(diǎn)．于是f<x1>+f<x2>=2f<a+13>?即2?a+13?a?23??2a+13?結(jié)合a>1,可得a的取值范圍是[2,+∞>．注

本題為20XX高考XX卷理科數(shù)學(xué)第20題．性質(zhì)三

切割線性質(zhì)如圖3,設(shè)P是f<x>上任意一點(diǎn)〔非對(duì)稱中心,過P作函數(shù)f<x>圖象的一條割線AB與一條切線PT〔P點(diǎn)不為切點(diǎn),A、B、T均在f<x>的圖象上,則T點(diǎn)的橫坐標(biāo)平分A、B點(diǎn)的橫坐標(biāo)．圖3

切割線性質(zhì)推論1設(shè)P是f<x>上任意一點(diǎn)〔非對(duì)稱中心,過P作函數(shù)f<x>圖象的兩條切線PM、PN,切點(diǎn)分別為M、P,如圖．則M點(diǎn)的橫坐標(biāo)平分P、N點(diǎn)的橫坐標(biāo),如圖4．圖4

切割線性質(zhì)推論一推論2設(shè)f<x>的極大值為M,方程f<x>=M的兩根為x1、x2〔x1<x2,則區(qū)間[x1,x2]被?b3a圖5

切割線性質(zhì)推論二性質(zhì)三的證明

設(shè)f<x>=ax3+bx2+cx+d〔a≠0,直線PT:y=k0x+m0,直線PAB:y=kx+m,則分別將直線PT與直線PAB的方程與三次函數(shù)的解析式聯(lián)立,得ax3+bx2+<c?k0>x+d?m0=0,ax3+bx2+<c?k>x+d?m=0,于是根據(jù)三次方程的韋達(dá)定理可得2xT+xP=xA+xB+xP,即xT=xA+xB2,于是命題得證．推論1和推論2的證明留給讀者．例3

如圖6,記三次函數(shù)f<x>=ax3+bx2+cx+d〔a≠0的圖象為C,若對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)x1,曲線C與其在點(diǎn)P1<x1,f<x1>>處的切線交于另一點(diǎn)P2<x2,f<x2>>,曲線C與其在點(diǎn)P2處的切線交于另一點(diǎn)P3<x3,f<x3>>,線段P1P2、P2P3與曲線C所圍成的封閉圖形的面積分別記為S1、S2．求證：S1S2是定值．圖6解

由性質(zhì)二,任意三次函數(shù)f<x>都可以通過平移變化變成g<x>=px3+qx,然后可以作伸縮變換變成h<x>=x3+rx,而無論平移還是伸縮,題中的S1S2均保持不變,因此只需要證明命題對(duì)三次函數(shù)h<x>=x3+rx成立即可．根據(jù)題意,聯(lián)立函數(shù)h<x>=x3+rx與函數(shù)h<x>在P1處的切線方程得<x?x1>2?<x?x2>=0,于是2x1+x2=0,即x2=?2x1.又由性質(zhì)三的推論1,可得2x1=x2+x3,即x3=4x1.于是,線段P1P2與曲線C所圍成的封閉圖形的面積S1=∣∣∣∫x2x1<x?x1>2?<x?x2>dx∣∣∣=∣∣∣∫?2x1x1<x3?3x21x+2x31>dx∣∣∣=∣∣∣<14x4?32x21x2+2x31x>∣∣∣?2x1x1∣∣∣=274x41,類似的,線段P2P3與曲線C所圍成圖形的面積S2=274x42,于是所求的面積之比為S1S2=<x1x2>4=116.注

此題即20XX高考XX卷理科數(shù)學(xué)第20題第〔2小問〔第〔1小問要求證明該結(jié)論對(duì)f<x>=x3?x成立．性質(zhì)四

切線條數(shù)如圖7,過f<x>的對(duì)稱中心作切線l,則坐標(biāo)平面被切線l和函數(shù)f<x>的圖象分割為四個(gè)區(qū)域,有以下結(jié)論：圖7

切線條數(shù)①過區(qū)域I、III內(nèi)的點(diǎn)作y=f<x>的切線,有且僅有三條；②過區(qū)域II、IV內(nèi)的點(diǎn)以及對(duì)稱中心作y=f<x>的切線,有且僅有一條；③過切線l或函數(shù)f<x>圖象〔除去對(duì)稱中心上的點(diǎn)作y=f<x>的切線,有且僅有兩條．性質(zhì)四的證明

由性質(zhì)二,不妨設(shè)f<x>=x3+mx,坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)P<a,b>．三次函數(shù)圖象上x=t處的切線方程為y=<3t2+m><x?t>+t3+mt,即y=<3t2+m>x?3t3,切線過點(diǎn)P<a,b>,即b=?3t3+3at2+ma.而三次函數(shù)對(duì)稱中心處的切線方程為y=mx,于是考慮直線y=b?ma與函數(shù)y=?3t3+3at2的圖象公共點(diǎn)個(gè)數(shù)．當(dāng)a=0時(shí),無論b取何值,均為1個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)a>0時(shí),b?ma>0時(shí)為1個(gè)公共點(diǎn),b?ma=0時(shí)為2個(gè)公共點(diǎn),b?ma<0時(shí)為3個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)a<0時(shí),b?ma>0時(shí)為3個(gè)公共點(diǎn),b?ma=0時(shí)為2個(gè)公共點(diǎn),b?ma<0時(shí)為1個(gè)公共點(diǎn)．綜上,性質(zhì)四得證．在高考中,對(duì)結(jié)論①的考察最為常見,例如20XX高考全國II卷理科數(shù)學(xué)第22題〔壓軸題就是證明性質(zhì)四的結(jié)論①：已知函數(shù)f<x>=x3?x．〔1求曲線y=f<x>在點(diǎn)M<t,f<t>>處的切線方程；〔2設(shè)a>0,如果過點(diǎn)<a,b>可作曲線y=f<x>的三條切線,證明：?a<b<f<a>．例4設(shè)函數(shù)f<x>=13x3?a2x2+bx+c,其中a>0．曲線y=f<x>在點(diǎn)P<0,f<0>>處的切線方程為y=1．〔1確定b,c的值；〔2設(shè)曲線y=f<x>在點(diǎn)<x1,f<x1>>及<x2,f<x2>>處的切線都過點(diǎn)<0,2>．證明：當(dāng)x1≠x2時(shí),f′<x1>≠f′<x2>；〔3若過點(diǎn)<0,2>可作曲線y=f<x>的三條不同切線,求a的取值范圍．解

〔1f<x>的導(dǎo)函數(shù)為f′<x>=x2?ax+b,于是該函數(shù)在x=0處的切線方程為y=bx+c,因此b=0,c=1.〔2函數(shù)f<x>在x=t處的切線方程為y=<t2?at><x?t>+13t3?a2t2+1,當(dāng)切線過點(diǎn)<0,2>時(shí)可得23t3?a2t2+1=0,于是x1,x2是該方程的兩個(gè)不等實(shí)根．考慮f′<x1>?f′<x2>=<x21?ax1>?<x22?ax2>=<x1?x2>?<x1+x2?a>,而???????23x31?a2x21+1=0,23x32?a2x22+1=0,兩式相減并約去x1?x2,得x21+x1x2+x22=34a2而x21+x1x2+x22=<x1+x2>2?x1x2><x1+x2>2?14<x1+x2>2=34<x1+x2>2,于是x1+x2≠a,進(jìn)而可得f′<x1>≠f′<x2>.〔3函數(shù)f<x>的對(duì)稱中心為<a2,?a312+1>,于是在對(duì)稱中心處的切線方程為y=?a24<x?a2>?a312+1,根據(jù)性質(zhì)四的結(jié)論①,可得1<2<?a324+1,解得a>23√3,即a的取值范圍是<23√3,+∞>．注

此題為20XX高考XX卷文科數(shù)學(xué)第21題〔壓軸題．練習(xí)題練習(xí)1、已知函數(shù)f<x>=13x3+ax2+bx,且f′<?1>=0．〔1試用含a的代數(shù)式表示b；〔2求f<x>的單調(diào)區(qū)間；〔3令a=?1,設(shè)函數(shù)f<x>在x1,x2〔x1<x2處取得極值,記點(diǎn)M<x1,f<x1>>,N<x2,f<x2>>,證明：線段MN與曲線f<x>存在異于M、N的公共點(diǎn)．練習(xí)2、已知f<x>=x3+bx2+cx+d在<?∞,0>上是增函數(shù),在<0,2>上是減函數(shù),且方程f<x>=0有三個(gè)根,它們分別為從小到大依次為α、2、β．求|α?β|的取值范圍．練習(xí)3、如圖8,記原點(diǎn)為點(diǎn)P1<x1,y1>,由點(diǎn)P1向三次函數(shù)y=x3?3ax2+bx〔a≠0的圖象〔記為曲線C引切線,切于不同于點(diǎn)P1的點(diǎn)P2<x2,y2>,再由點(diǎn)P2引此曲線C的切線,切于不同于點(diǎn)P2的點(diǎn)P3<x3,y3>．如此繼續(xù)作下去,得到點(diǎn)列{Pn<xn,yn>}．試回答下列問題：圖8〔1求數(shù)列{xn}的遞推公式與初始值；〔2求limn→+∞xn,并指出點(diǎn)列{Pn}的極限位置在何處？練習(xí)4、已知f<x>=x3?x,過點(diǎn)<x0,y0>作f<x>圖象的切線,如果可以作出三條切線,當(dāng)x0∈<0,1>時(shí),求點(diǎn)<x0,y0>所在的區(qū)域面積．練習(xí)5、已知函數(shù)f<x>=2x3?3x．〔1求f<x>在區(qū)間[?2,1]上的最大值；〔2若過點(diǎn)P<1,t>存在3條直線與曲線y=f<x>相切,求t的取值范圍；〔3問過點(diǎn)A<?1,2>,B<2,10>,C<0,2>分別存在幾條直線與曲線y=f<x>相切？〔只需寫出結(jié)論練習(xí)6、已知函數(shù)f<x>=13x3+ax2+bx,且f′<?1>=0．〔1試用含a的代數(shù)式表示b,并求f<x>的單調(diào)區(qū)間；〔2令a=?1．設(shè)函數(shù)f<x>在x1,x2〔x1<x2處取值極值,記點(diǎn)M<x1,f<x1>>,N<x2,f<x2>>,P<m,f<m>>,x1<m?x2．請(qǐng)仔細(xì)觀察曲線f<x>在點(diǎn)P處的切線與線段MP的位置變化趨勢(shì),并解答以下問題：①若對(duì)任意的m∈<t,x2],線段MP與曲線f<x>有異于P、Q的公共點(diǎn),試確定t的最小值；②若存在點(diǎn)Q<n,f<n>>,x1?n<m,使得線段PQ與曲線f<x>有異于P、Q的公共點(diǎn),請(qǐng)直接寫出m的取值范圍〔不必寫出求解過程．練習(xí)題的參考答案練習(xí)1、〔1f<x>的導(dǎo)函數(shù)為f′<x>=x2+2ax+b,于是所求的代數(shù)表達(dá)式為b=2a〔2在〔1的基礎(chǔ)上,有f′<x>=<x+1>?<x+2a于是當(dāng)a<1時(shí),函數(shù)f<x>的單調(diào)遞增區(qū)間是<?∞,?1>和<1?2a,+∞>,單調(diào)遞減區(qū)間為<?1,1?2a當(dāng)a=1時(shí),函數(shù)f<x>的單調(diào)遞增區(qū)間是R；當(dāng)a>1時(shí),函數(shù)f<x>的單調(diào)遞增區(qū)間是<?∞1?2a>和<?1,+∞>,單調(diào)遞減區(qū)間是<1?2a〔3此時(shí)f<x>=13x3?x2?3x,而f′<x>=x2?2x?3,于是M<?1,53>,N<3,?9>．根據(jù)性質(zhì)二,該公共點(diǎn)為三次函數(shù)f<x>圖象的對(duì)稱中心<1,?113>．注

本題為20XX高考XX卷文科數(shù)學(xué)第21題〔壓軸題．練習(xí)2、根據(jù)題意,x=0為f<x>的導(dǎo)函數(shù)f′<x>=3x2+2bx+c的零點(diǎn),于是c=0．又f<2>=0,于是8+4b+d=0,即d=?4b?8,從而f<x>=x3+bx2?<8+4b>=<x?2>?[x2+<b+2>x+2b+4],因此<α?β>2=<α+β>2?4α?β=<2?b>2?16.另一方面,由f<x>在<0,2>上是減函數(shù)得f′<2>?0,即12+4b?0,于是可得b的取值范圍是b<?3.從而|α?β|的取值范圍是[3,+∞>．練習(xí)3、〔1根據(jù)已知,聯(lián)立P1出發(fā)的切線方程與曲線C的方程,得<x?x1><x?x2>2=0,又x1=0,切線方程只能改變左邊三次式的一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng),于是可得x2=32a進(jìn)而由性質(zhì)三的推論1可得?n?3∧n∈N?,2xn=xn?1+xn?2.于是數(shù)列{xn}的遞推公式與初始值為xn=xn?1+xn?22,n?3∧n∈N?,x1=0,x2=32a〔2由數(shù)列的遞推公式不難得到通項(xiàng)?n∈N?,xn=a?[1?<?12>n?1],于是limn→+∞xn=a.因此點(diǎn)列{Pn}的極限位置為<a,?2a3+ab>練習(xí)4、函數(shù)f<x>在對(duì)稱中心<0,0>處的切線方程為y=?x,于是根據(jù)性質(zhì)四的結(jié)論①,我們可得所求區(qū)域面積為∫10[x3?x?<?x>]dx=∫10x3dx=14.練習(xí)5、〔1f<x>的導(dǎo)函數(shù)f′<x>=6x2?3,于是可得f<x>在區(qū)間[?2,1]上的最大值為max{f<?2√2>,f<1>}=2√.〔2函數(shù)f<x>在對(duì)稱中心<0,0>處的切線方程為y=?3x,根據(jù)性質(zhì)四的結(jié)論①,可得?3<t<f<1>,即?3<t<?1,于是t的取值范圍是<?3,?1>．〔3根據(jù)性質(zhì)四,可得過A<?1,2>存在3條直線與曲線y=f<