等比數(shù)列通項公式

等比通項1．在等比數(shù)列{an}中，已知a1a2a12＝64，則a4A．16 B．24C．48 D．128解析：設(shè)公比為q，則a1a2a12＝aeq\o\al(3,1)q12＝64，所以a1q4＝4.所以a4a6＝(a1q4)2答案：A2．已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0，它的第1、5、17項順次成等比數(shù)列，則這個等比數(shù)列的公比是()A．4 B．3C．2 D.eq\f(1,2)解析：設(shè)公差為d，則aeq\o\al(2,5)＝a1a17，即(a1＋4d)2＝a1(a1＋16d)，整理，得a1＝2d.所以eq\f(a5,a1)＝eq\f(a1＋4d,a1)＝eq\f(2d＋4d,2d)＝3.答案：B3．若a、b、c成等比數(shù)列，則函數(shù)y＝ax2＋2bx＋c的圖象與x軸的交點個數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．不確定解析：∵a、b、c成等比數(shù)列，∴b2＝ac，函數(shù)y＝ax2＋2bx＋c的二次項系數(shù)a≠0，且Δ＝(2b)2－4ac＝4(b2－ac)，∴Δ＝4(b2－ac)＝4(ac－ac)＝0.故函數(shù)y＝ax2＋2bx＋c的圖象與x軸只有一個交點．答案：B4．{an}為等比數(shù)列，求下列各值：(1)a6－a4＝24，a3a5＝64，求an(2)已知a2·a8＝36，a3＋a7＝15，求公比q.解：(1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a6－a4＝a1q3q2－1＝24，①,a3a5＝a1q32＝64.②))由②得a1q3＝±8，將a1q3＝－8代入①中得q2＝－2(舍去)．將a1q3＝8代入①中，得q2＝4，q＝±2.當(dāng)q＝2時，a1＝1，∴an＝a1qn－1＝2n－1.當(dāng)q＝－2時，a1＝－1，∴an＝a1qn－1＝－(－2)n－1.∴an＝2n－1或an＝－(－2)n－1.(2)∵a2·a8＝36＝a3·a7，而a3＋a7＝15，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＝3，,a7＝12))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＝12，,a7＝3.))∴q4＝eq\f(a7,a3)＝4或eq\f(1,4).∴q＝±eq\r(2)或q＝±eq\f(\r(2),2).通項性質(zhì)5．等比數(shù)列{an}的各項都為正數(shù)，且a5a6＋a4a7＝18，log3a1＋log3a2＋…＋log3aA．12 B．10C．8 D．2＋log35解析：a5a6＋a4a7＝2a5a6＝18，所以log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10)＝log3[(a1a10)(a2a9)…(a5答案：B6．在等比數(shù)列{an}中，a7·a11＝6，a4＋a14＝5，則eq\f(a20,a10)等于()A.eq\f(2,3) B.eq\f(3,2)C.eq\f(2,3)或eq\f(3,2) D．－eq\f(2,3)或－eq\f(3,2)解析：在等比數(shù)列{an}中，a7·a11＝a4·a14＝6①又a4＋a14＝5②由①、②組成方程組得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a4＝2,a14＝3))，或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a4＝3,a14＝2))∵eq\f(a20,a10)＝eq\f(a14,a4)＝eq\f(2,3)或eq\f(3,2).答案：C7．已知a1，a2，…，an為各項都大于0的等比數(shù)列，公比q≠1，則()A．a(chǎn)1＋a8>a4＋a5B．a(chǎn)1＋a8<a4＋a5C．a(chǎn)1＋a8＝a4＋a5D．a(chǎn)1＋a8與a4＋a5的大小關(guān)系不能確定解析：a1＋a8－(a4＋a5)＝a1＋a1q7－a1q3－a1q4＝a1(1－q3－q4＋q7)＝a1(1－q3)(1－q4)由題意知a1>0，q>0且q≠1，所以，當(dāng)q>1時，1－q3<0,1－q4<0，∴a1(1－q3)(1－q4)>0，即a1＋a8>a4＋a5；當(dāng)0<q<1時，1－q3>0,1－q4>0，∴a1(1－q3)(1－q4)>0即a1＋a8>a4＋a5，綜上可知：a1＋a8>a4＋a5，故應(yīng)選A.答案：A8．若{an}是等比數(shù)列，下列數(shù)列中是等比數(shù)列的代號為________．①{aeq\o\al(2,n)}；②{a2n}；③{eq\f(1,an)}；④{lg|an|}．解析：利用定義eq\f(an＋1,an)＝q(q≠0，n∈N＋)進(jìn)行判斷，可知①②③是等比數(shù)列．答案：①②③11．若a≠c，三數(shù)a、1、c成等差數(shù)列，a2、1、c2成等比數(shù)列，求eq\f(a＋c,a2＋c2).解：∵a,1，c成等差數(shù)列，∴a＋c＝2，又a2,1，c2成等比數(shù)列，∴a2c2＝1，有ac＝1或ac當(dāng)ac＝1時，由a＋c＝2得a＝1，c＝1，與a≠c矛盾，∴ac＝－1，a2＋c2＝(a＋c)2－2ac∴eq\f(a＋c,a2＋c2)＝eq\f(1,3).前n項和9．在等比數(shù)列{an}中，a2＝9，a5＝243，則數(shù)列{an}的前4項和為()A．81 B．120C．168 D．192解析：公比q3＝eq\f(a5,a2)＝eq\f(243,9)＝27，即q＝3，a1＝eq\f(a2,q)＝3，S4＝eq\f(31－34,1－3)＝120.答案：B10．在等比數(shù)列{an}中，a1＝4，q＝5，使Sn>107的最小n值是()A．11 B．10C．12 D．9解析：Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(41－5n,1－5)＝5n－1>107，得n>11，∴選A.答案：A11．等比數(shù)列{an}中，公比q≠1，它的前n項和為M，數(shù)列{eq\f(2,an)}的前n項和為N，則eq\f(M,N)的值為()A．2aeq\o\al(2,1)qn B.eq\f(1,2)a1qn－1C.eq\f(1,2)aeq\o\al(2,1)qn－1 D．2aeq\o\al(2,1)qn－1解析：{an}是公比為q的等比數(shù)列，則{eq\f(2,an)}是首項為eq\f(2,a1)，公比為eq\f(1,q)的等比數(shù)列，由題意得M＝eq\f(a11－qn,1－q)，N＝eq\f(\f(2,a1)[1－\f(1,q)n],1－\f(1,q))，解得eq\f(M,N)＝eq\f(1,2)aeq\o\al(2,1)qn－1.答案：C12．等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知S1,2S2,3S3成等差數(shù)列，則{an}的公比為________．解析：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則S1＝a1,2S2＝2(a1＋a1q)＝2a1(1＋q)，3S3＝3(a1＋a1q＋a1q2)＝3a1(1＋q＋q∵S1,2S2,3S3成等差數(shù)列，∴4S2＝S1＋3S3，∴4a1(1＋q)＝a1＋3a1(1＋q＋q2即3q2－q＝0.解得q＝eq\f(1,3).13．已知等比數(shù)列{an}的各項都是正數(shù)，且a2＝6，a3＋a4＝72.(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式；(Ⅱ)記數(shù)列{an}的前n項和為Sn，證明：Sn＋2·Sn<Seq\o\al(2,n＋1).解：(Ⅰ)an＝2×3n－1；(Ⅱ)Sn＝3n－1?Sn＋2·Sn－Seq\o\al(2,n＋1)＝－4×3n<0?Sn＋2·Sn<Seq\o\al(2,n＋1).答案：eq\f(1,3)14．在公比為整數(shù)的等比數(shù)列{an}中，已知a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，那么a5＋a6＋a7＋a8等于()A．480 B．493C．495 D．498解析：已知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a4＝18，,a2＋a3＝12，))由等比數(shù)列的通項公式得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a11＋q3＝18，,a1q＋q2＝12))?2q3－3q2－3q＋2＝0?(q＋1)(2q2－5q＋2)＝0?q＝－1或q＝2或q＝eq\f(1,2).q＝－1，q＝eq\f(1,2)均與已知矛盾，∴q＝2.a5＋a6＋a7＋a8＝q4(a1＋a2＋a3＋a4)＝24(18＋12)＝480.答案：A15．已知等比數(shù)列{an}的公比q<0，前n項和為Sn，則S4a5與S5a4A．S4a5＝S5a4 B．S4a5>C．S4a5<S5a4解析：S4a5－S5a4＝S4a4q－(a1＋qS4)a4＝S4a4q－a1a4－S4a4q＝－a1a4.∵q<0，∴a1和a4異號，∴S答案：B16．等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知S1，S3，S2成等差數(shù)列．(1)求{an}的公比q；(2)若a1－a3＝3，求Sn.解：(1)依題意有a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)，由于a1≠0，故2q2＋q＝0.又q≠0，從而q＝－eq\f(1,2).(2)由已知可得a1－a1(－eq\f(1,2))2＝3，解得a1＝4.從而Sn＝eq\f(4[1－－\f(1,2)n],1－－\f(1,2))＝eq\f(8,3)[1－(－eq\f(1,2))n]．求和17．1eq\f(1,2)＋3eq\f(1,4)＋5eq\f(1,8)＋…＋15eq\f(1,256)＝________.解析：S＝1eq\f(1,2)＋3eq\f(1,4)＋5eq\f(1,8)＋…＋15eq\f(1,256)＝(1＋3＋5＋…＋15)＋(eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,8)＋…＋eq\f(1,256))＝eq\f(81＋15,2)＋eq\f(\f(1,2)1－\f(1,28),1－\f(1,2))＝64＋(1－eq\f(1,28))＝64eq\f(255,256).18．?dāng)?shù)列的通項公式是，若它的前項和為10，則其項數(shù)為A．11B．99C．120D．12119．的值是A．2525B．5050C．10100D．2020020．在等比數(shù)列{an}中，已知對n∈N＋，a1＋a2＋…＋an＝2n－1，求aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n).解：由a1＋a2＋…＋an＝2n－1，①知a1＝1.且當(dāng)n≥2時，a1＋a2＋…＋an－1＝2n－1－1.②①－②得an＝2n－1，n≥2.又a1＝1，∴an＝2n－1，n∈N＋.eq\f(a\o\al(2,n＋1),a\o\al(2,n))＝eq\f(2n2,2n－12)＝4，即{aeq\o\al(2,n)}為公比為4的等比數(shù)列．∴aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n)＝eq\f(a\o\a