2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸納與達(dá)標(biāo)檢測第47講直線與圓圓與圓的位置關(guān)系（講）（原卷版）

第47講直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系（講）思維導(dǎo)圖知識梳理1．直線與圓的位置關(guān)系(半徑為r，圓心到直線的距離為d)相離相切相交圖形量化方程觀點Δeq\a\vs4\al(＜)0Δeq\a\vs4\al(＝)0Δeq\a\vs4\al(＞)0幾何觀點deq\a\vs4\al(＞)rdeq\a\vs4\al(＝)rdeq\a\vs4\al(＜)r2．圓與圓的位置關(guān)系(兩圓半徑為r1，r2，d＝|O1O2|)相離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖形量的關(guān)系d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|d＜|r1－r2|[常用結(jié)論]1．圓的切線方程常用結(jié)論(1)過圓x2＋y2＝r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.(2)過圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)過圓x2＋y2＝r2外一點M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為x0x＋y0y＝r2.2．圓系方程(1)同心圓系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中a，b是定值，r是參數(shù)；(2)過直線Ax＋By＋C＝0與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交點的圓系方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；(3)過圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交點的圓系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(該圓系不含圓C2，解題時，注意檢驗圓C2是否滿足題意，以防漏解)．題型歸納題型1直線與圓的位置關(guān)系的判斷【例11】（2020?廣州一模）直線kx﹣y+1＝0與圓x2+y2+2x﹣4y+1＝0的位置關(guān)系是（）A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定【例12】（2020?廣安模擬）若無論實數(shù)a取何值時，直線ax+y+a+1＝0與圓x2+y2﹣2x﹣2y+b＝0都相交，則實數(shù)b的取值范圍．（）A．（﹣∞，2） B．（2，+∞） C．（﹣∞，﹣6） D．（﹣6，+∞）【例13】（2020?湖北模擬）已知圓O：x2+y2＝1上恰有兩個點到直線l：y＝kx+1的距離為，則直線l的傾斜角的取值范圍為（）A．[0，）∪（，） B．[0，）∪（，π） C．（，）∪（，） D．（，）∪（，π）【跟蹤訓(xùn)練11】（2019秋?內(nèi)江期末）方程（a﹣1）x﹣y+2a+1＝0（a∈R）所表示的直線與圓（x+1）2+y2＝25的位置關(guān)系是（）A．相離 B．相切 C．相交 D．不能確定【跟蹤訓(xùn)練12】（2020春?鼓樓區(qū)校級期末）若直線l：y+1＝k（x+）與圓C：x2+y2＝1有公共點，則實數(shù)k的最大值為（）A． B．1 C． D．【跟蹤訓(xùn)練13】（2020?武昌區(qū)模擬）若直線y＝kx+1與圓（x﹣2）2+y2＝4相交，且兩個交點位于坐標(biāo)平面的同一象限，則k的取值范圍是（）A．（0，） B．（﹣，） C．（0，） D．（﹣，）【名師指導(dǎo)】判斷直線與圓的位置關(guān)系的一般方法幾何法圓心到直線的距離與圓半徑比較大小，即可判斷直線與圓的位置關(guān)系．這種方法的特點是計算量較小代數(shù)法將直線方程與圓方程聯(lián)立方程組，再將二次方程組轉(zhuǎn)化為一元二次方程，該方程解的情況即對應(yīng)直線與圓的位置關(guān)系．這種方法具有一般性，適合于判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系題型2圓的弦長問題【例21】（2020春?河池期末）直線y＝x+1被圓x2+y2＝4截得的弦長為（）A． B．2 C． D．【例22】（2020春?龍崗區(qū)期末）設(shè)直線y＝x+2a與圓C：x2+y2﹣2ay﹣2＝0相交于A，B兩點，若|AB|＝2，則圓C的面積為（）A．4π B．6π C．8π D．π【跟蹤訓(xùn)練11】（2020春?云南期末）已知圓x2+y2﹣2x+2y+a＝0截直線x+y﹣2＝0所得弦的長度為4，則實數(shù)a的值是（）A．﹣8 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣4【跟蹤訓(xùn)練12】（2020春?廣州期末）已知圓C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25，直線l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4＝0，則直線l被圓C截得的弦長的最小值為（）A．2 B．4 C．6 D．8【名師指導(dǎo)】有關(guān)弦長問題的2種求法幾何法直線被圓截得的半弦長eq\f(l,2)，弦心距d和圓的半徑r構(gòu)成直角三角形，即r2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2)))2＋d2代數(shù)法聯(lián)立直線方程和圓的方程，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系即可求得弦長|AB|＝eq\r(1＋k2)·|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)eq\r(x1＋x22－4x1x2)或|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))·|y1－y2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))eq\r(y1＋y22－4y1y2)題型3圓的切線問題【例31】（2019秋?長安區(qū)校級月考）已知點P（1，﹣2），點M（3，1），圓C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4．①求過點P的圓C的切線方程；②求過點M的圓C的切線方程．【跟蹤訓(xùn)練31】（2020春?新華區(qū)校級期末）過點P（2，﹣1）的直線與圓C：（x+1）2+（y﹣1）2＝5相切，則切線長為（）A． B． C． D．【跟蹤訓(xùn)練32】（2020?紅崗區(qū)校級模擬）過原點O作圓C：x2+y2+4x+4y+5＝0的兩條切線，設(shè)切點分別為A，B，則直線AB的方程為（）A．2x+2y﹣5＝0 B．4x+4y﹣5＝0 C．2x+2y+5＝0 D．4x+4y+5＝0【跟蹤訓(xùn)練33】（2019秋?四川期中）已知圓C經(jīng)過M（3，0），N（2，1）兩點，且圓心在直線l：2x+y﹣4＝0上．（1）求圓C的方程；（2）從y軸上一個動點P向圓C作切線，求切線長的最小值及對應(yīng)切線方程．【名師指導(dǎo)】1．求過圓上的一點(x0，y0)的切線方程的方法先求切點與圓心連線的斜率k，若k不存在，則結(jié)合圖形可直接寫出切線方程為y＝y(tǒng)0；若k＝0，則結(jié)合圖形可直接寫出切線方程為x＝x0；若k存在且k≠0，則由垂直關(guān)系知切線的斜率為－eq\f(1,k)，由點斜式可寫出切線方程．2．求過圓外一點(x0，y0)的圓的切線方程的2種方法幾何法當(dāng)斜率存在時，設(shè)為k，則切線方程為y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圓心到直線的距離等于半徑，即可求出k的值，進(jìn)而寫出切線方程代數(shù)法當(dāng)斜率存在時，設(shè)為k，則切線方程為y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圓的方程，得到一個關(guān)于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切線方程即可求出題型4圓與圓的位置關(guān)系【例41】（2020?道里區(qū)校級模擬）若圓C1：x2+y2＝4與圓C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m＝0外切，則實數(shù)m＝（）A．﹣24 B．﹣16 C．24 D．16【例42】（2020?東湖區(qū)校級三模）已知圓的圓心到直線x﹣y﹣2＝0的距離為，則圓C1與圓的位置關(guān)系是（）A．相交 B．內(nèi)切 C．外切 D．相離【跟蹤訓(xùn)練41】（2020春?保山期末）已知圓C1：x2+y2+2x+8y﹣8＝0和圓C2：（x﹣5）2+（y﹣4）2＝25，則圓C1與圓C2的位置關(guān)系為（）A．外切 B．內(nèi)切 C．相交 D．相離【跟蹤訓(xùn)練42】（2020春?湖北期末）已知圓C1：x2+y2+2ax﹣9+a2＝0和圓C2：x2+y2