高等數(shù)學中的兩個重要極限

第5講兩個重要極限兩個重要的極限預備知識1.有關三角函數(shù)的知識2.有關對數(shù)函數(shù)的知識以e為底的指數(shù)函數(shù)y=ex的反函數(shù)y=logex，叫做自然對數(shù)，在工程技術中經(jīng)常被運用，常簡記為y=lnx.數(shù)e

是一個無理數(shù)，它的前八位數(shù)是：e=2.7182818

3.有關指數(shù)運算的知識4.無窮小量定義在某個變化過程中，以0為極限的變量稱為在這個變化過程中的無窮小量，常用字母性質

無窮小量與有界變量的乘積仍為無窮小量.5.極限的運算法那么X10.50.10.010.001….0.841470.958850.998330.999980.9999998X－1－0.5－0.1－0.01－0.001….0.841470.958850.998330.999980.9999998第一個重要極限OxBACD證解這個結果可以作為公式使用例1求例2注：在運算熟練后可不必代換，直接計算：練習1.求以下極限:

例3解例4解思考題練習3：以下等式正確的選項是〔〕

．

練習4：下列等式不正確的是（）練習5.以下極限計算正確的選項是〔〕練習6.當〔〕時，為無窮小量.

，當

時，為無窮小量．

練習7.練習8.練習9.

X-10-100-1000-10000-100000…2.8682.7322.7202.71832.71828

X10100100010000100000…2.5942.7052.7172.7182.71827第二個重要極限解因為所以，有例1例2

解

方法一令u=-x，因為x0時u0，所以方法二掌握熟練后可不設新變量例3解

練習1.解練習2.解練習3.解兩個重要極限:小結練習題思考題解因為所以令u=x

-3

，當x

時u

，因此附錄兩個重要極限的證明OxRABC證

AOB面積<扇形AOB面積<AOC面積,即例兩個重要極限的證明因為所以再次運用定理6即可得≤≤重要極限1

其中的兩個等號只在x=0時成立.證設圓心角過點A作圓的切線與OB的延長線交于點C，又作那么sinx=BD，tanx=AC，這就證明了不等式(7).從而有重要極限2證這是重要極限2常用的另一種形式.分析：此是一個和式的極限，顯然第一項及第二項函數(shù)中分子、分母的極限均存在且分式函數(shù)中分母的極限不等于零，因此可以直接利用極限的運算法那么求解。極限綜合練習題(一)

例3求以下極限：解：當x從0的左側趨于0時，當x從0的右側趨于0時,例5求以下極限分析：本例中均是求分式的極限問題，且在各自的極限過程中，分子、分母的極限均為零，不能直接用極限商的運算法那么。求解此類極限的關鍵是找出分子、分母中共同的致零因式，把它們約去后再求解。尋找致零因式常用的方法為：①假設是有理分式的極限，那么需把分子分母、分別分解因式〔一般采用：“十字相乘法”、公式法、或提取公因式法〕；②假設是無理分式的極限，那么需要把分子、分母有理化。解：〔1〕把分子分母分解因式，消去致零因式，再求極限。求解。又當x→0時，ax→0，bx→0，于是有分析：當x→0時，分子，分母的極限均為0，且分子是一個無理函數(shù)，分母是正弦函數(shù)，于是可先把分子有理化〔分子，分母同乘以，然后看是否可利用第1個重要極限。解法2：分析：當x→0時，分式中分子分母的極限均為0，不能直接使用極限的運算法那么，但前面所介紹“分解因式”、“有理化”的方法在此又不適用。能否利用第1個重要極限呢？這就需要首先利用三角恒等式對函數(shù)進行適當?shù)淖冃巍＝猓阂虍攛→∞時，sinx的極限不存在，故不能用極限的運算法那么求解，考慮到解1.求極限:極限綜合練習題(二)

解:利用第一重要極限和函數(shù)的連續(xù)性計算，即2.求以下極限：解:對分子進行有理化，然后消去零因子，再利用四那么運算法那么和第一重要極限計算，即3.求以下極限：分析：此極限屬于時有理分式的極限問題，且m=n，可直接利用上述結論得出結果，也可用分子、分母同除以x15來計算。解：分子分母同除以x15，有=22+1=5解5.求解6.求極限解：容易算出分式分子的最高次項是，分式分母的最高次項是，所以7.求極限8.求極限9.設函數(shù)問：〔1〕當a為何值時，f(x)在x=0右連續(xù)；〔2〕a,b為何值時，f(x)在x=0處有極限存在；〔3〕當a,b為何值時，f(x)在x=0處連續(xù)。處右連續(xù)。在時，。故當，從而，，又右連續(xù)，須有在要使解：0)(11sin0lim)0()0()(0lim0)(