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二、無窮小的比較一、極限存在準(zhǔn)那么第四節(jié)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束極限存在準(zhǔn)那么無窮小的比較

第一章一、極限存在準(zhǔn)那么準(zhǔn)那么1〔夾逼定理〕滿足條件：(夾)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束那么(逼近)(極限存在且為A)此定理也可推廣到函數(shù)。的某去心鄰域內(nèi)有定義，且滿足條件：(夾)那么(逼近)(畫圖解釋)準(zhǔn)則（夾逼定理）都在點(diǎn)此定理是以為例，對其他極限過程情形仍成立。例1.證明證:令由于由夾逼定理知：例2.證明證:利用夾逼定理.且由①夾的過程不是任意放大、縮小的。還要考慮逼近的的過程。②n項(xiàng)相加的數(shù)列求極限問題常用夾逼定理解決。注意：例如：圓扇形AOB的面積兩個重要極限證:當(dāng)即亦即時，顯然有△AOB

的面積＜＜△AOD的面積故有注目錄上頁下頁返回結(jié)束當(dāng)，由上式由重要極限Ⅰ：即推廣：例3.判斷以下極限哪些是重要極限Ⅰ。例4.

求解:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例5.

求解:例6.

求解:

原式=機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例7.

求解:

令那么因此原式例8.

求解:練習(xí)：1、2、準(zhǔn)那么2〔單調(diào)有界原理〕單調(diào)有界數(shù)列必有極限①②用單調(diào)有界原理可證明數(shù)列有極限，通常用e來表示這個極限，即e為無理數(shù),其值為可把此極限推廣到函數(shù)：重要極限Ⅱ：機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束重要極限Ⅱ：例9.

求解:

說明

：機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束〔k為常數(shù)〕練習(xí)：1、機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2、例10.

求解:

機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束二、無窮小的比較都是無窮小,引例.但可見無窮小趨于0的速度是多樣的.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束定義.假設(shè)那么稱是比高階的無窮小,假設(shè)假設(shè)或設(shè)是同一極限過程下的無窮小,記作那么稱是的同階無窮小;那么稱是的等價無窮小,記作第七節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束當(dāng)時～～～都是無窮小,引例.但～例1.

證明:當(dāng)時,～證:～所以，當(dāng)時,～定理2.

設(shè)且存在,那么證:作用：在求兩個無窮小之比的極限時，分子分母都可以用等價無窮小代換，這往往使計(jì)算得到極大的簡化。例如,說明：，推論：，注意：只有乘法、除法時因式可用等價無窮去替換，加法、減法無等價無窮小的替換?。?！當(dāng)時總結(jié)：～～～～例：求

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