拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)學(xué)案和教案2

拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)〔學(xué)案〕陳紹楠〔第一課時(shí)〕學(xué)習(xí)重點(diǎn)：掌握拋物線的幾何性質(zhì)，能應(yīng)用拋物線的幾何性質(zhì)解決問(wèn)題．學(xué)習(xí)難點(diǎn)：拋物線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用復(fù)習(xí)回憶_________________________________________________________________叫做拋物線；_______________叫做拋物線的焦點(diǎn)，________________叫做拋物線的準(zhǔn)線；2.完成下表：標(biāo)準(zhǔn)方程xxyOFxyOFxyOFxyOF圖象焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程p的幾何意義探究新知根據(jù)拋物線圖像及標(biāo)準(zhǔn)方程探究拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)：閱讀教材68頁(yè)的內(nèi)容，研究拋物線的簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)，以y2=2px(p＞0)為例①范圍：；②對(duì)稱性：；③頂點(diǎn)：；④離心率：；補(bǔ)充：通徑：通過(guò)焦點(diǎn)且垂直對(duì)稱軸的直線，與拋物線相交于兩點(diǎn)，連接這兩點(diǎn)的線段叫做拋物線的通徑?！?〕小結(jié)：拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)一覽表標(biāo)準(zhǔn)方程xyOFxyOFxyOFxyOFxyOFy2＝－2px〔p＞0〕X2＝2py〔p＞0〕x2＝－2py〔p＞0〕圖象范圍焦點(diǎn)坐標(biāo)頂點(diǎn)坐標(biāo)離心率對(duì)稱軸焦半徑通徑典例精析【題型一】利用拋物線的性質(zhì)求拋物線的方程【例1】拋物線關(guān)于軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過(guò)，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程?！咀兪接?xùn)練】拋物線關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過(guò)，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程?！绢}型二】有關(guān)焦點(diǎn)弦的問(wèn)題【例2】斜率為1的直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng).【變式訓(xùn)練】：拋物線截直線y=x+b所得弦長(zhǎng)為4,求b的值.【題型三】中點(diǎn)弦問(wèn)題【例3】:求直線y=x-1被拋物線截得線段的中點(diǎn)坐標(biāo).【變式訓(xùn)練】：拋物線C：，設(shè)直線與拋物線兩交點(diǎn)為A、B，且線段AB中點(diǎn)為M〔2，1〕，求直線l的方程.【題型四】直線與拋物線的位置關(guān)系直線與拋物線相切：直線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，但不平行于拋物線的對(duì)稱軸。即把x＝my＋n代入y2＝2px〔p＞0〕消去x得：y2－2pmy－2pn＝0①，當(dāng)方程①的判別式△＝0直線與拋物線相切；直線與拋物線相交：〔1〕直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)：直線與拋物線的對(duì)稱軸平行；〔2〕直線與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)方程①的判別式△＞0；直線與拋物線相離方程①的判別式△＜0?！纠?】：拋物線的方程為,直線l過(guò)定點(diǎn)P(-2,1)，斜率為k,k為何值時(shí)，直線l與拋物線y2=4x:只有一個(gè)公共點(diǎn)；有兩個(gè)公共點(diǎn)；沒(méi)有公共點(diǎn)？【課堂練習(xí)】:過(guò)點(diǎn)且和拋物線C:僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線的方程是__________________________.歸納小結(jié)：拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)〔教案〕陳紹楠〔第一課時(shí)〕教學(xué)重點(diǎn)：掌握拋物線的幾何性質(zhì)，能應(yīng)用拋物線的幾何性質(zhì)解決問(wèn)題．教學(xué)難點(diǎn)：拋物線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用教學(xué)方法：多媒體課件和學(xué)案探究相結(jié)合復(fù)習(xí)回憶1.拋物線的定義是什么？“平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線．”2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？y2＝2px〔p＞0〕y2＝－2px〔p＞0〕X2＝2py〔p＞0〕x2＝－2py〔p＞0〕怎樣由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程確定它的幾何性質(zhì)？以y2=2px(p＞0)為例，課件展示給出下表，請(qǐng)學(xué)生比照、研究和填寫．2.完成下表：標(biāo)準(zhǔn)方程xxyOFxyOFxyOFxyOF圖象焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程p的幾何意義探究新知一、拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)1.范圍：，2.對(duì)稱軸：以代方程不變，所以這條拋物線關(guān)于軸對(duì)稱，我們把拋物線的對(duì)稱軸叫做拋物線的軸。3．頂點(diǎn)：拋物線與它的對(duì)稱軸的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn).4.離心率：拋物線上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離的比，叫做拋物線的離心率，拋物線的離心率.同理可得其它三種拋物線簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)。二、小結(jié)：拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)一覽表標(biāo)準(zhǔn)方程xyOFxyOFxyOFxyOFxyOFy2＝－2px〔p＞0〕X2＝2py〔p＞0〕x2＝－2py〔p＞0〕圖象范圍x≥0x≤0y≥0y≤0焦點(diǎn)坐標(biāo)F〔eq\f(p,2)，0〕F〔－eq\f(p,2)，0〕F〔0，eq\f(p,2)〕F〔0，－eq\f(p,2)〕頂點(diǎn)坐標(biāo)O〔0，0〕O〔0，0〕O〔0，0〕O〔0，0〕離心率e＝1e＝1e＝1e＝1對(duì)稱軸x軸x軸y軸y軸焦半徑|PF|＝x0＋eq\f(p,2)|PF|＝－x0＋eq\f(p,2)|PF|＝y(tǒng)0＋eq\f(p,2)|PF|＝－y0＋eq\f(p,2)準(zhǔn)線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)p的幾何意義拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，p越大張口就越大通徑過(guò)焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的直線與拋物線兩交點(diǎn)間的線段叫做拋物線的通徑，其長(zhǎng)為2p通過(guò)表格的填寫，我們知道，四種形式拋物線頂點(diǎn)相同，均為，離心率均為,它們都是對(duì)稱圖形，但是對(duì)稱軸不同.3.和橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)相比：它們都是對(duì)稱圖形；橢圓、雙曲線又是對(duì)稱圖形，拋物線不是;頂點(diǎn)個(gè)數(shù)不同:橢圓有,雙曲線有,拋物線由一個(gè)頂點(diǎn);焦點(diǎn)個(gè)數(shù)不同:橢圓和雙曲線各有焦點(diǎn),拋物線只有一個(gè)焦點(diǎn);離心率取值范圍不同:橢圓的離心率范圍是,雙曲線的離心率范圍是,拋物線的離心率是.三、焦點(diǎn)弦及其性質(zhì)(現(xiàn)將一局部)1．拋物線焦點(diǎn)弦的定義：過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)這兩點(diǎn)間的線段叫做拋物線的焦點(diǎn)弦。2．拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)：假設(shè)拋物線的方程為y2＝2px〔p＞0〕，過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F〔eq\f(p,2)，0〕的直線交拋物線與A〔x1，y1〕、B〔x2，y2〕兩點(diǎn)，那么y1y2＝－p2；x1x2＝eq\f(p2,4)；|AB|＝x1＋x2＋p；|AB|＝eq\f(2p,sin2θ)〔其中θ為直線的傾斜角〕；eq\f(1,|AF|)＋\f(1,|BF|)＝\f(2,p)；過(guò)A、B兩點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為A/、B/，F(xiàn)拋物線的焦點(diǎn)，那么∠A/FB/＝900；以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切。證明：①當(dāng)直線過(guò)焦點(diǎn)且垂直于x軸時(shí)，A〔eq\f(p,2)，p〕、B〔eq\f(p,2)，－p〕，因此y1y2＝－p2成立；當(dāng)直線過(guò)焦點(diǎn)且不與x軸垂直時(shí)，顯然直線的斜率k≠0，直線AB的方程為：y＝k〔x－eq\f(p,2)〕；由此的x＝eq\f(y,k)＋eq\f(p,2)；把x＝eq\f(y,k)＋eq\f(p,2)代入y2＝2px消去x得：ky2－2py－kp2＝0，∴y1y2＝－p2②∵A〔x1，y1〕、B〔x2，y2〕兩點(diǎn)都在拋物線y2＝2px〔p＞0〕上，∴y12＝2px1，y22＝2px2；兩式相乘得(y1y2)2＝2px1·2px2∴p4＝4p2x1x2；從而x1x2＝eq\f(p2,4)③過(guò)A、B兩點(diǎn)作準(zhǔn)線x＝－eq\f(p,2)的垂線，垂足分別為A/、B/，那么|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AA/|＋|BB/|＝x1＋eq\f(p,2)＋x2＋eq\f(p,2)＝x1＋x2＋p④當(dāng)θ＝900時(shí)，顯然成立；當(dāng)θ≠900時(shí)，，那么直線AB的方程為：y＝k〔x－eq\f(p,2)〕；把y＝k〔x－eq\f(p,2)〕代入y2＝2px消去y得：k2x2－p(k2＋2)x＋eq\f(k2p2,4)＝0；x1＋x2＝eq\f(p(k2＋2),k2)，x1x2＝eq\f(p2,4)；|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)eq\r((x1＋x2)2－4x1x2)＝eq\f(2p(1＋k2),k2)＝eq\f(2p(1＋tan2θ),tan2θ)＝eq\f(2p,sin2θ)。⑤∵A〔x1，y1〕、B〔x2，y2〕∴eq\f(1,|AF|)＋\f(1,|BF|)＝\f(1,x1＋eq\f(p,2))＋\f(1,x2＋eq\f(p,2))＝eq\f(x1＋x2＋p,x1x2＋eq\f(p,2)(x1＋x2)＋eq\f(p2,4))＝eq\f(x1＋x2＋p,\f(p2,4)＋eq\f(p,2)(x1＋x2)＋eq\f(p2,4))＝eq\f(x1＋x2＋p,\f(p,2)(x1＋x2＋p))＝eq\f(2,p)xyOAA/B/BF⑥xyOAA/B/BF⑥題圖∴∠B/BF＝1800－2∠B/FB，∠A/AF＝1800－2∠A/FA由∵AA/∥BB/∴∠B/BF＋∠A/AF＝1800即：1800－2∠B/FB＋1800－2∠A/FA＝1800∴∠B/FB＋∠A/FA＝900⑦設(shè)N為線段AB的中點(diǎn)，過(guò)A、B、N分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為A/、B/、N/，xyOAA/B/BF⑦題圖NN/xyOAA/B/BF⑦題圖NN/＝eq\f(|AF|＋|BF|,2)＝eq\f(|AB|,2)∴以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切。典例精析【題型一】利用拋物線的性質(zhì)求拋物線的方程【例1】拋物線關(guān)于軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過(guò)，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.解：由題意可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上,所以因此,所求拋物線的方程為【變式訓(xùn)練】拋物線關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過(guò)，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.【題型二】有關(guān)焦點(diǎn)弦的問(wèn)題【例3】斜率為1的直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng).【審題要津】求出拋物線的焦點(diǎn)后,寫出直線方程的點(diǎn)斜式,和拋物線聯(lián)立解交點(diǎn),然后運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式求的長(zhǎng).解：拋物線的焦點(diǎn)為(1,0),直線的方程為,聯(lián)立得設(shè),那么=8.【方法總結(jié)】直線和圓錐曲線的弦長(zhǎng)問(wèn)題,可先聯(lián)立方程組求交點(diǎn)坐標(biāo),然后運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式求解.變式訓(xùn)練：拋物線截直線y=x+b所得弦長(zhǎng)為4,求b的值..【題型三】中點(diǎn)弦問(wèn)題例3:求直線y=x-1被拋物線截得線段的中點(diǎn)坐標(biāo).變式訓(xùn)練：拋物線C：，設(shè)直線與拋物線兩交點(diǎn)為A、B，且線段AB中點(diǎn)為M〔2，1〕，求直線l的方程.答案：【題型四】直線與拋物線的位置關(guān)系直線與拋物線相切：直線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，但不平行于拋物線的對(duì)稱軸。即把x＝my＋n代入y2＝2px〔p＞0〕消去x得：y2－2pm