清華大學(xué)彈性力學(xué)馮西橋FQChapter平面問題A課件

清華大學(xué)彈性力學(xué)馮西橋fqchapter平面問題a課件引言基本理論彈性力學(xué)問題平面問題概述彈性力學(xué)問題平面問題解析方法彈性力學(xué)問題平面問題數(shù)值解法彈性力學(xué)問題平面問題實例解析contents目錄引言01彈性力學(xué)是研究彈性物體在外力作用下的變形和內(nèi)力的學(xué)科，是工程設(shè)計的重要基礎(chǔ)。平面問題是彈性力學(xué)中的一類重要問題，具有廣泛的實際應(yīng)用背景。本課程將介紹彈性力學(xué)的基本理論和方法，重點講解平面問題的求解方法和技巧。課程背景平面問題的分類和求解方法彈性力學(xué)的基本概念和方程彈性力學(xué)中的能量方法和變分原理典型例題的講解和實戰(zhàn)練習(xí)01020304課程內(nèi)容概述教學(xué)計劃與安排01第一部分：彈性力學(xué)基本概念和方程（4學(xué)時）02彈性力學(xué)的發(fā)展和應(yīng)用03基本假設(shè)和基本方程03平面的基本問題和求解方法01彈性體的基本性質(zhì)和關(guān)系02第二部分：平面問題的分類和求解方法（6學(xué)時）教學(xué)計劃與安排平面問題的邊界條件和載荷條件第三部分：彈性力學(xué)中的能量方法和變分原理（4學(xué)時）不同類型平面問題的特點和求解技巧教學(xué)計劃與安排能量方法和變分原理的基本概念哈密頓變分原理和里茲方法最小勢能原理和伽遼金方法教學(xué)計劃與安排01第四部分：典型例題的講解和實戰(zhàn)練習(xí)（4學(xué)時）02經(jīng)典例題的講解和解析03學(xué)生自己動手解題，進行實戰(zhàn)練習(xí)04課程總結(jié)和答疑解惑教學(xué)計劃與安排基本理論02描述物體受力后內(nèi)部變形的情況，包括應(yīng)力（單位面積上的力）和應(yīng)變（物體形狀的變化）兩個核心概念。應(yīng)力和應(yīng)變物體在受到外力時，會發(fā)生形狀和尺寸的變化，這種變化稱為變形。彈性體是指受到外力時發(fā)生變形，但當外力去除后能恢復(fù)原來形狀的物體。彈性體的性質(zhì)主要研究彈性體在外力和其他外界因素作用下的響應(yīng)，包括變形、應(yīng)力、應(yīng)變和力等物理量之間的關(guān)系。彈性力學(xué)的研究對象彈性力學(xué)基本概念123描述物體受到的合力為零的情況，即所有作用在物體上的力在總體上達到平衡。平衡方程描述物體的變形情況，即應(yīng)變與位移之間的關(guān)系。幾何方程描述物體的物理性質(zhì)，即應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系。物理方程彈性力學(xué)基本方程對于較簡單的彈性力學(xué)問題，可以通過數(shù)學(xué)解析的方法求解。這種方法通常適用于具有規(guī)則形狀和邊界條件的問題。解析法對于較復(fù)雜的彈性力學(xué)問題，通常需要使用計算機進行數(shù)值模擬。有限元法是一種常用的數(shù)值模擬方法，它將問題分解為許多小的單元，對每個單元進行求解，最終得到整個問題的解。有限元法彈性力學(xué)問題的基本解法彈性力學(xué)問題平面問題概述03彈性力學(xué)問題平面問題是指研究彈性體在二維空間（即平面）中的應(yīng)力、應(yīng)變和位移分布的問題。定義根據(jù)受力狀態(tài)和邊界條件的不同，平面問題可以分為多種類型，如靜力平衡問題、動力響應(yīng)問題、波動問題等。分類平面問題的定義及分類對于復(fù)雜的平面問題，可以采用一些簡化方法，如分離變量法、格林函數(shù)法、變分法等，以簡化問題的求解。求解平面問題通常包括建立數(shù)學(xué)模型、選擇合適的求解方法、進行數(shù)值計算和結(jié)果分析等步驟。平面問題的簡化與求解求解步驟簡化方法VS求解平面問題的基本解法包括直接求解法、逆解法和半逆解法等。其中，直接求解法是通過建立方程組直接求解未知量；逆解法是根據(jù)已知的應(yīng)力或應(yīng)變分布求解位移分布；半逆解法則是先假設(shè)一部分位移分布，再根據(jù)物理條件和邊界條件求解剩余的位移分布。實例以一個具體的拉普拉斯方程為例，介紹如何使用直接求解法求解平面問題。具體方程為：▽2u(x,y)=f(x,y)，其中u(x,y)為位移分布，f(x,y)為外力分布。通過分離變量法，將u(x,y)表示為u(x,y)=X(x)Y(y)，代入方程得到兩個常微分方程，分別求解X(x)和Y(y)，再通過積分得到u(x,y)的解析解?；窘夥ㄆ矫鎲栴}的基本解法與實例彈性力學(xué)問題平面問題解析方法04010203分離變量法是一種解決偏微分方程的方法，可以將問題分解為相互獨立的變量，從而簡化問題的求解過程。在彈性力學(xué)平面問題中，分離變量法可以將復(fù)雜的邊界條件和連續(xù)性條件轉(zhuǎn)化為簡單的方程式，從而方便求解。該方法適用于某些具有特殊性質(zhì)的偏微分方程，如各向同性、周期性等。分離變量法在彈性力學(xué)平面問題中，傅里葉變換法可以將復(fù)雜的邊界條件和連續(xù)性條件轉(zhuǎn)化為簡單的方程式，從而方便求解。該方法適用于具有周期性結(jié)構(gòu)的物體，如金屬板、半導(dǎo)體等。傅里葉變換是一種將函數(shù)從空間域轉(zhuǎn)換到頻域的數(shù)學(xué)方法，可以用于解決許多物理問題。傅里葉變換法格林函數(shù)是一種解決偏微分方程的方法，可以用于求解某些特定的問題。在彈性力學(xué)平面問題中，格林函數(shù)法可以將復(fù)雜的邊界條件和連續(xù)性條件轉(zhuǎn)化為簡單的方程式，從而方便求解。該方法適用于具有特殊性質(zhì)的偏微分方程，如無界區(qū)域、半無窮大區(qū)域等。格林函數(shù)法彈性力學(xué)問題平面問題數(shù)值解法05缺點有限差分法可能會因為離散化誤差導(dǎo)致精度損失，同時對于復(fù)雜的問題，需要設(shè)計適當?shù)碾x散化方案。定義有限差分法是一種基于數(shù)值計算的方法，它通過離散化連續(xù)的物理問題，將其轉(zhuǎn)化為差分方程，然后求解這些方程以獲得問題的數(shù)值解。適用范圍有限差分法適用于求解各種物理問題，包括彈性力學(xué)問題、流體力學(xué)問題、熱傳導(dǎo)問題等。優(yōu)點有限差分法具有簡單、直觀、易于編程實現(xiàn)等優(yōu)點。有限差分法定義有限元法是一種基于變分原理的數(shù)值計算方法，它將連續(xù)的物理問題離散化為有限個單元，然后通過在這些單元上構(gòu)造近似函數(shù)，獲得問題的數(shù)值解。有限元法適用于求解各種物理問題，包括彈性力學(xué)問題、流體力學(xué)問題、熱傳導(dǎo)問題等。有限元法具有高精度、適用于復(fù)雜形狀和邊界條件的問題等優(yōu)點。有限元法的計算量較大，需要消耗大量的計算資源和時間。適用范圍優(yōu)點缺點有限元法邊界元法是一種基于邊界積分方程的數(shù)值計算方法，它通過將問題轉(zhuǎn)化為邊界積分方程，然后離散化邊界積分方程，獲得問題的數(shù)值解。定義邊界元法適用于求解各種物理問題，包括彈性力學(xué)問題、流體力學(xué)問題、熱傳導(dǎo)問題等。適用范圍邊界元法具有高精度、適用于復(fù)雜形狀和邊界條件的問題等優(yōu)點。優(yōu)點邊界元法的計算量較大，需要消耗大量的計算資源和時間。同時對于某些問題，需要解決奇異積分和輻射條件等問題。缺點邊界元法彈性力學(xué)問題平面問題實例解析06懸臂梁受到集中載荷作用，需要求解其應(yīng)力分布、位移等物理量。定義問題利用彈性力學(xué)基本方程，結(jié)合懸臂梁的邊界條件，建立數(shù)學(xué)模型。建立模型采用有限元方法進行數(shù)值求解，將梁劃分成若干小單元，對每個單元進行應(yīng)力計算，再對整個梁進行匯總。求解方法根據(jù)計算結(jié)果，分析懸臂梁在集中載荷作用下的應(yīng)力分布、位移等物理量的變化規(guī)律。結(jié)果分析懸臂梁受集中載荷作用的問題定義問題圓板受到徑向壓力作用，需要求解其應(yīng)力分布、位移等物理量。求解方法采用有限元方法進行數(shù)值求解，將圓板劃分成若干小單元，對每個單元進行應(yīng)力計算，再對整個圓板進行匯總。建立模型利用彈性力學(xué)基本方程，結(jié)合圓板的邊界條件，建立數(shù)學(xué)模型。結(jié)果分析根據(jù)計算結(jié)果，分析圓板在徑向壓力作用下的應(yīng)力分布、位移等物理量的變化規(guī)律。圓板受徑向壓力作用的問題定義問題建立模型求解方法結(jié)果分析半無限大物體受邊界應(yīng)力作用的問題利用彈性力學(xué)基本方