河北省張家口市尚義縣第一中學(xué)等校2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期開學(xué)收心聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

2023—2024學(xué)年第二學(xué)期高三年級收心考試數(shù)學(xué)考試說明：1.本試卷共150分.考試時間120分鐘.2.請將各題答案填在答題卡上.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.2.已知復(fù)數(shù)，則為（）A.i B. C.7 D.13.已知，是第四象限角，則（）A. B. C. D.4.已知平面向量，.若，則（）A.或1 B. C.1 D.5.“”是“直線與曲線相切”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件6.已知，分別為雙曲線的上、下焦點(diǎn)，過作與軸平行的直線分別交雙曲線的漸近線于，兩點(diǎn)，若為等邊三角形，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.7.若是函數(shù)的一個極值點(diǎn)，是函數(shù)的一個零點(diǎn)，則（）A.4 B.3 C.2 D.18.已知直三棱柱的各頂點(diǎn)都在同一個球面上，，，，，的中點(diǎn)分別為，，則直線被該球面截得的弦長為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知數(shù)列是公比大于1的等比數(shù)列，下面敘述正確的是（）A.當(dāng)時，數(shù)列是遞增數(shù)列 B.當(dāng)時，數(shù)列是遞減數(shù)列C.當(dāng)時，數(shù)列是遞增數(shù)列 D.當(dāng)時，數(shù)列是遞減數(shù)列10.若四面體的三組對棱分別相等，即，，，則（）A.四面體每組對棱互相垂直B.四面體每個面的面積相等C.從四面體每個頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩夾角之和大于90°而小于180°D.連接四面體每組對棱中點(diǎn)的線段互相垂直平分11.已知函數(shù)，則（）A.的圖象關(guān)于對稱 B.的圖象關(guān)于直線對稱C.的最大值是3 D.的最小值是12.已知，，且，則（）A. B. C. D.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.的二項展開式中，的系數(shù)與的系數(shù)之差為______.14.若函數(shù)是上的偶函數(shù)，則實數(shù)______.15.已知圓的半徑為2，圓心在軸的正半軸上，直線與圓相切，則圓的方程為______.16.為了篩查出人群中感染某種病毒的個體，需要檢測每個人的某種生物樣本，檢測結(jié)果若為陰性，說明人體未被感染，若為陽性，則需進(jìn)一步做出醫(yī)學(xué)判斷.為提高檢測效率，降低檢測成本，可采用10人一組的混采檢測方法：將10人的該種生物樣本合入同一管中進(jìn)行檢測，若該管結(jié)果為陰性，則判斷這10人均未被感染，若結(jié)果為陽性，則對該管中的每個人的樣本分別進(jìn)行單管檢測.若按此方法進(jìn)行檢測，設(shè)待檢人數(shù)為，其中感染該病毒的人數(shù)為.當(dāng)時，檢測的次數(shù)為______；當(dāng)時，檢測次數(shù)的估計值為______（結(jié)果取整數(shù)）.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（本題滿分10分）記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知，.（1）求；（2）若，求的面積.18.（本題滿分12分）為了研究體育鍛煉對某年齡段的人患某種慢性病的影響，某人隨機(jī)走訪了200個該年齡段的人，得到的數(shù)據(jù)如下：慢性病體育鍛煉合計經(jīng)常不經(jīng)常未患病10070170患病102030合計11090200（1）定義分類變量，如下：，，以頻率估計概率，求條件概率與的值；（2）根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗，分析經(jīng)常進(jìn)行體育鍛煉是否對患該種慢性病有影響.附：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82819.（本小題滿分12分）已知數(shù)列滿足，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項和滿足，對任意正整數(shù)，試比較與的大小.20.（本題滿分12分）如圖，在矩形中，，.沿對角線折起，形成一個四面體，且.（1）是否存在，使得，同時成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.（2）求當(dāng)二面角的正弦值為多少時，四面體的體積最大.21.（本題滿分12分）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，且橢圓經(jīng)過點(diǎn).過右焦點(diǎn)作直線交橢圓于，兩點(diǎn)，是直線上任意一點(diǎn).（1）求的方程；（2）設(shè)直線，，的斜率分別為，，，證明.22.（本題滿分12分）已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù).（1）證明：；（2）設(shè)函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，.①求實數(shù)的取值范圍；②證明：.

2023-2024學(xué)年第二學(xué)期高三年級收心考試數(shù)學(xué)參考答案1.C【解析】，則.故選：C.2.B【解析】，，.故選B.3.D【解析】，，是第二或第四象限角，∴.故選：D.4.B【解析】，，由解得，或，∵，∴.故選：B.5.C【解析】若直線與曲線相切，設(shè)切點(diǎn)為，則解得反之，若，可知直線與曲線相切.故選：C.6.B【解析】雙曲線的漸近線方程為，，，.若為等邊三角形，則，，∴，.故選：B.7.C【解析】由得可知和都是函數(shù)的零點(diǎn)，因為函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，所以，.故選：C.8.A【解析】將直三棱柱擴(kuò)展為一個正四棱柱，可求出球半徑.球心到直線的距離為，則直線被該球面截得的弦長為.故選：A.9.AD【解析】當(dāng)時，，數(shù)列是遞增數(shù)列；當(dāng)時，，數(shù)列是遞減數(shù)列，故選：AD.10.BD【解析】A.四面體每組對棱不一定相互垂直，錯誤；B.四面體每個面都全等，面積相等，正確；C.從四面體每個頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩夾角之和等于180°，錯誤；D.連接四面體每兩組對棱中點(diǎn)組成菱形，對角線相互垂直平分，正確.故選：BD.11.BC【解析】令，，，.對，不恒成立，A錯誤；對，恒成立，B正確.故選：BC.12.BCD【解析】，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；，，因為，，，，注意到，所以.所以A錯誤，BCD正確.故選：BCD.13.0【解析】14.1【解析】由題意得函數(shù)是上的奇函數(shù)，則，∴.15.【解析】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由，解得，∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.16.；25【解析】（1）待檢人數(shù)為，需要先檢測次，再檢測結(jié)果為陽性的小組，10人檢測10次，共需要檢測次數(shù)為；（2）設(shè)檢測次數(shù)為，則，23，33.，，，.17.【解析】（1）因為，，.所以，即，所以……3分于是.因為，所以……5分（2）由（1）可知，于是.根據(jù)正弦定理，，得，因此……8分故的面積……10分18.【解析】（1）……3分.……6分（2）將列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計算得……10分根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗，我們推斷經(jīng)常鍛煉對患有某種慢性病有影響，此推斷犯錯誤的概率不大于0.01……12分19.【解析】（1）由已知，所以……3分所以數(shù)列是首項為，公比的等比數(shù)列，所以，即……6分（2）已知，①當(dāng)時，.當(dāng)時，，②①-②得，也適合，所以……8分設(shè)函數(shù)，則函數(shù)是上的減函數(shù)，且，，所以當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，即.因此，當(dāng)時，；當(dāng)時，.……12分20.【解析】（1）若，因為，，所以平面，所以.有，即，所以；若，因為，，所以平面，所以.有，即，所以，無解.故不成立.所以不存在，使得，同時成立.……4分（2）要使四面體的體積最大，因為的面積為定值，所以只需三棱錐的高最大即可，此時平面平面，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則平面，以為原點(diǎn)分別以，為軸軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，……6分顯然平面的法向量為.設(shè)平面的一個法向量為，，由得得……9分取，得，，∴.∴，……11分所以二面角的正弦值為：.……12分21.【解析】（1）由已知得..把點(diǎn)代入橢圓的方程得.解得，.所以橢圓的方程為.……4分（2）當(dāng)直線的斜率為0時，的方程：，不妨設(shè)，，，，，，，所以……6分當(dāng)直線的斜率不為0時