2021屆高考理數(shù)二輪七 解析幾何（理） 教師版

專題7解析幾何

⑥一―

命題趨勢

1.直線與圓的考查也是高考的熱點內(nèi)容，多以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，有時還會作為條件結(jié)合圓錐

曲線進行考查；

2.圓錐曲線的定義、方程、與性質(zhì)是每年的必考熱點，多以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，主要考查圓錐

曲線的幾何性質(zhì)與標準方程的求法；

3.解析幾何還會考一道解答題，通常難度較大，主要考直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及最值范圍，定點、

定值問題等，綜合性比較強.

考點清單

1.直線方程與圓的方程

(1)直線方程的五種形式

名稱方程形式適用條件

點斜式y(tǒng)_%=k(x_Xo)

不能表示斜率不存在的直線

斜截式y(tǒng)=kx+b

二二7|

兩點式不能表示平行于坐標軸的直線

%—X々一%

不能表示平行于坐標軸的直線

截距式W

ab和過原點的直線

+By+C=0(4,B

一般式可以表示所有類型的直線

不同時為零)

(2)兩條直線平行與垂直的判定

①兩條直線平行：

對于兩條不重合的直線小12,若其斜率分別為七，k2,則有匕〃/20kl=心；

當直線k，%不重合且斜率都不存在時，1/匕

②兩條直線垂直：

如果兩條直線，1,。的斜率存在，設(shè)為自，k2,則有，11，20kl/2=-1；

當其中一條直線的斜率不存在，而另一條直線的斜率為0時，

（3）兩條直線的交點的求法

直線%:Axx+Bry+=0,l2:A2X+B2y+C2=0,

A,x+B,y+C.=0

則，i與，2的交點坐標就是方程組〈二?J八的解.

A,x+B2y+C2=0

（4）三種距離公式

①P1（X1，yi）,P2Q2,丫2）兩點之間的距離：島「2|=1（X2-*1）2+（、2-%）2.

|Ar+By+C\

②點P0Q0,yo）到直線1：Ax+By+C=0的距離：d=1<0JQ].

VA2+B2

1

③平行線4%+By+Ci=。與Ax+By+C2=0間距離：d=—文.

7A2+B2

（5）圓的定義及方程

定義平面內(nèi)與定點的距離等于定長的點的集合（軌跡）

標準方程(%—a)2+(y-b)2=r2(r>0)圓心：（a,b）,半徑：r

0,6:("f'"f)1

?+y2+0%+4+尸=o,

一般方程

(D2+F2-4F>0)

半徑：-VD2+E2-4F

2

（6）點與圓的位置關(guān)系

點MQo，y。）與圓（x-a）2+（y-b）2="的位置關(guān)系:

①若MQo,%)在圓外，貝1(久0-a)2+So-b)2>r2.

②若M(出,%)在圓上,則(&-砌2+(%-5)2=產(chǎn).

③若MQo，%）在圓內(nèi)，貝ijQo-+So-

2.直線、圓的位置關(guān)系

（1）直線與圓的位置關(guān)系（半徑為r,圓心到直線的距離為d）

相離相切相交

G

圖形0\&

量方程觀點4Vo4=04>0

化幾何觀點d>rd=rd<r

(2)圓與圓的位置關(guān)系

設(shè)兩圓的圓心距為d,兩圓的半徑分別為R,r(/?>r),則

位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含

公共點個數(shù)01210

R—r<d

d,R,r的關(guān)系d>/?-+-rd=R+rd=R-rd<R—r

VR+r

公切線條數(shù)43210

3.圓錐曲線及其性質(zhì)

(1)橢圓的標準方程及幾何性質(zhì)

焦點在X軸上焦點在y軸上

22v2Y

標準方程力>。)-+-=Ka>b>0)

圖形5

A\FIO\^/A2

焦點坐標Fi(-c,0),尸2(c,0)&(0，-C),尸2(0,C)

(o,a),

4(一。,0),A2(a,0),B1(0,—b)4(0,-a),A2

頂點坐標

4(-b,0),BCb,

S2(0,b)20)

長軸長軸4遇2=2心a是長半軸的長

短軸短軸8i&=2b,b是短半軸的長

焦距焦距F/2=2C,c是半焦距

范圍|x|<a,|y|<b|x|<^,|y|<a

cI

e=-=Jl--T(0<e<l)te越接近1,橢圓越扁；e越接近0,橢圓越

離心率a\a

圓

(2)雙曲線的標準方程及幾何性質(zhì)

2222

標準方程^--p-=l(?>0^>0)

圖形

一般方程mx2+ny2=l(mn<0)

范圍\x\>a,yeR|y|>a,xeR

焦點

&(-c,0),F2(C,0)F1(O,-C),尸2(0,c)

頂點人1（一a,0）,42（。，0）4(0,-a),A2(0,a)

對稱性關(guān)于X軸、y軸對稱，關(guān)于原點中心對稱

幾

線段&&叫做雙曲線的實軸，它的長Mi&l=2a；線段當口2

何

實、虛軸長叫做雙曲線的虛軸，它的長|BiBz|=2b（a叫做雙曲線的實半

性

軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長）

質(zhì)

焦距焦距|F/2|=2c,c是半焦距

離心率=-=J1+—(e>l)

a\a

,a

漸近線方程y=±—x

ah

（3）拋物線的標準方程及其幾何性質(zhì)

y2=2pxy2=-2pxx2—2pyx2=-2py

方程標準(P>0)(P>0)(P>0)(P>0)

P的幾何意義：焦點F到準線，的距離

y

圖形uzi

f。/N

頂點0(0,0)

對稱軸y=0。軸）x=0(y軸)

焦點FFH'°)

離心率e=1

準線方程r-pX-P1y/

2222

范圍%>0,yeR%<0,yGRy>0,xERy<0,xeR

焦半徑(其

|PF1=f+5陽=)'。+與

中P(&,附=\PF\=-yo+^

%)

4.圓錐曲線的綜合問題

(1)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

判斷直線，與圓錐曲線C的位置關(guān)系時，通常將直線，的方程4x+By+C=0(A,B不同時為0)代入圓錐曲線C

的方程F(x,y)=0,消去y(也可以消去x)得到一個關(guān)于變量x(或變量y)的一元方程.

Ax+By+C=0

即聯(lián)立《消去y,得a/+bx+c=0.

F（x,y）=0

①當a*0時，設(shè)一元二次方程ax?+bx+c=0的判別式為4,

則/>0=直線與圓錐曲線C相交；

4=0=直線與圓錐曲線C相切；

4<0=直線與圓錐曲線C相離.

②當a=0,bHO時，即得到一個一次方程，則直線/與圓錐曲線C相交，且只有一個交點，此時,

若C為雙曲線，則直線，與雙曲線的漸近線的位置關(guān)系是平行；

若C為拋物線，則直線1與拋物線的對稱軸的位置關(guān)系是平行或重合.

(2)圓錐曲線的弦長

設(shè)斜率為k(/c。0)的直線，與圓錐曲線C相交于M,N兩點，M(Xi,%),N(X2,y2),

2

則=y/l+k1%1-x2|=+%2)2-4中2］或

刖|=，+和「%|=』1+犯(兇+%)2-4%火

精題集訓］（70分鐘）

?經(jīng)典訓練題

一、選擇題.

1.已知直線。:。％+（。+2）、+1=0,/2:x+ay+2=0（a6R）,貝lj"e"=1”是的（）

e

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】】?直線ax+（a+2）y+1=0,l2：x+ay+2=0,

當"a=-2”時，直線，i：-2x+l=0,l2:x-2y+2=O,不滿足

當“a=0”時，直線，i：2y+l=0,l2:x+2=0,不滿足匕〃",

.?.當人〃/,時，則/=〃+2w）,解得。=-1或。=2.

1a2

而由e"=1，解得。=-1,

e

所以由"e"=1'能推出“/1〃/2”；由“4〃/,”不能推出“e"=’"，

ee

所以“e"=-”是"I,//1,”充分不必要條件，故選A.

e

【點評】本題考查了直線平行的條件，屬于基礎(chǔ)題.

2

2.直線y=x+2和雙曲線,一寸=1的漸近線相交于4,B兩點，則線段4B的長度為（）

A.276B.41C.2A/3D.￡

【答案】A

VJi

【解析】雙曲線萬一＞2=1的漸近線為了=±彳_X，

設(shè)y=%+2與丁=三不相交于4點，與＞=--1工相較于3點，

y=x+2

由，6,解得a(一3-遮，-V3-i)；

y=——x

-3

y=x+2

由＜6，解得B(遮—3,V3-1),

v=----x

-3

1(-3-V3-V3+3)2+(-V3-1-V3+I)2=V24=2V6,故選A.

所以=

【點評】該題考查的是有關(guān)兩點間距離問題，解題方法如下:

(1)先根據(jù)雙曲線的漸近線方程求得,一產(chǎn)=1的漸近線；

(2)聯(lián)立方程組，分別求得對應的交點坐標；

(3)利用兩點間距離公式求得結(jié)果.

3.已知。M經(jīng)過坐標原點，半徑r=注，且與直線y=x+2相切，則G)M的方程為()

A.(%+1)2+(y+I)2=2或(x-I)2+(y—I/=2

B.(%4-1)2+(y—I)2=2或(x-I)2+(y+=2

C.(%—1)2+(y+l)2=2或(％+V2)2+y2=2

D.(x-1)2+(y+l)2=2或(％-V2)2+y2=2

【答案】A

【解析】設(shè)圓心坐標為(a,b),半徑r=&,

因為圓M過坐標原點，且與直線y=x+2相切,

|?-/>+2|

所以,旨+人=6,所以a=b=+1,

即圓心為(1,1)或(一1,-1),

圓M的方程為(x-I)2+⑶—I)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2,故選A.

【點評】處理直線與圓的位置關(guān)系時，若兩方程已知或圓心到直線的距離易表達，則用幾何法；若方程中含

有參數(shù)，或圓心到直線的距離的表達較繁瑣，則用代數(shù)法.

4.已知直線，:mx+y+3巾-=0與圓然+y2=12交于A,B兩點.且A,8在x軸同側(cè)，過A,B分別

做x軸的垂線交x軸于C,。兩點，。是坐標原點，若|CD|=3,則N40B=()

TCnTC24

A.—B.—c.——D.

632T

【答案】B

【解析】因為直線的方程+y+3m-V3=0化為zn（x+3）+y-V3=0,

所以直線］恒過點（一3,V3）,

而點（-3,V5）滿足/+y2=12,所以點（一3,遍）在圓/+y2=12上，

不妨設(shè)點4（一3,V3）,

又|CD|=3,所以點B（0,2V3）,所以|A卻=J（—3『+（石—26）2=2拒,

jr

又圓/+/=12的半徑為2次，所以A/lOB是等邊三角形，所以NAQB=g.

故選B.

【點評】求直線恒過點的方法：方法一（換元法）：根據(jù)直線方程的點斜式直線的方程變成y=k（x-a）+

b,將x=a帶入原方程之后，所以直線過定點（a,b）；方法二（特殊引路法）：因為直線的中的，"是取不同

值變化而變化，但是一定是圍繞一個點進行旋轉(zhuǎn)，需要將兩條直線相交就能得到一個定點.取兩個〃?的值帶

入原方程得到兩個方程，對兩個方程求解可得定點.

5.設(shè)4（-2,0）,B（2,0）,。為坐標原點，點尸滿足|PA|2+|PB『W16,若直線此一y+6=0上存在點

71

。使得/尸。。=二，則實數(shù)k的取值范圍為（）

6

A.[-4立4回B.(-oo,-4V2][4后,+oo)

(6][石]\舊后

I2JL2)[22

【答案】C

【解析】設(shè)P(x,y),則|P川2+|PB|2=(x+2)2+y2+(x-2)2+y2wi6,

整理可得標+丫2式4,故|0P|W2,

國一1。尸1

在^PQ。中，

sinNQPOsinZPQO

則吹嚓翳

=2|OqsinNQPO42x2xl=4

設(shè)原點到直線的距離為d,則需滿足dW4,

d—/6<4,解得k<-或左N,故選C.

VF7T22

【點評】本題考查直線中參數(shù)范圍的求解，解題的關(guān)鍵是得出I0QI=2|0P|sin/QP。W4,利用原點到直線

的距離小于等于4求解.

6.已知圓C:(x+1>+1)2=1,P是直線x-y-1=0的一點，過點P作圓C的切線，切點為4,B,

則|PC|“AB|的最小值為()

A.714B.2A/7C.3V2D.V1T

【答案】A

【解析】圓C：O+l)2+(y—l)2=1的圓心為C(—1,1),半徑r=l,

設(shè)四邊形P4CB的面積為S,

由題設(shè)及圓的切線性質(zhì)得，|P。?|=2S=2?2sMAC=4--\PA\-\AC\,

,.?|4C|=r=1,

：.\PC\■\AB\=2\PA\=2yJ\PC\2-r2=2y/\PC\2-1,

圓心C(一1,1)到直線x—y—l=0的距離為］=-y-,

??.|PC|的最小值為丁，

2

則|PC|?|4B|的最小值為2/邛-1=714,故選A.

【點評】本題考了直線與圓的位置關(guān)系，難度中等偏易.

7.已知拋物線Oy?=8%上一點4到焦點F的距離等于6,則直線4F的斜率為()

A.2B.±2C.2V2D.±272

【答案】D

【解析】由題意，點尸(2,0),因為|4F|=&+2=6,可得當=4,

又因為點4在拋物線上，所以y2=32,則丫=±4魚，所以點4(4,±4&),

則^AF~=±2夜,故選D.

【點評】本題考了拋物線的定義及其性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

8.已知橢圓C的焦點為尸1(一1,0),F2(l,0),且橢圓與直線1：x+y=7有公共點，則橢圓長軸長的最小

值為()

A.10B.7C.2夕D.2V5

【答案】A

【解析】設(shè)橢圓C與直線珀勺一個公共點為P,則|P娟+儼周=2。(即為長軸長),

問題轉(zhuǎn)化為在直線，上找點P,使得|PFil+IPF2I最小,

上=1

設(shè)尸2關(guān)于，的對稱點E（x,y）,貝卜,可得E點坐標為（7,6）,

-...1--二7

22

22

則IP&I+\PF2\=|P&|+\PE\>|F]E|=V（7+l）+6=10,

當且僅當P,E三點共線時等號成立，即橢圓長軸長2a的最小值為10,故選A.

【點評】本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，橢圓的定義，點關(guān)于直線對稱的點的求法，屬于中檔題.

x2y2

9.已知雙曲線。：靛一臺=1（。＞0,。＞0）上存在兩點4B關(guān)于直線y=x-6對稱，且線段4B的中點坐標

為M（2,-4）,則雙曲線C的離心率為（）

A.V2B.V3C.2D.V5

【答案】B

【解析】設(shè)4（X1，yi）,B（X2,y2）,且線段AB的中點坐標為“（2,-4）,

則X[+&=4,乃+丫2=-8,

又4B關(guān)于直線y=x—6對稱，所以&Z&xl=-l,

石一々

2222

且A,B在雙曲線上，—y—jy=1,-y—yr=1,

abab~

相減可得占;一二或=o,即—十?生一"）_a+1）%—*）=o,

a-b-ab

故提一呆0,即5=2,

離心率為6=Jl+，=6,故選B.

【點評】雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率（或離心率的取值范圍），常見有兩

種方法：

①求出a,c,代入公式e=￡;

a

②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于a,b,c的齊次式，結(jié)合/=/-辟轉(zhuǎn)化為a,c的齊次式，然后等式（不等

式）兩邊分別除以a或次轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范圍）.

10.過拋物線y2=4x的焦點F作斜率為k的直線交拋物線于A、B兩點，若而=3而，則k的值為（）

A.3B.±3C.±百D.+—

3

【答案】C

【解析】若k=0,則直線1與拋物線有且只有一個公共點，不合乎題意；

設(shè)機=（,拋物線y2=4x的焦點為F（l,0）,直線4B的方程為x=my+1,

x-my+1_八

聯(lián)立〈9,消去工可得y2—4my—4=0,A—16m~4-16>0,

y=4x

設(shè)點4（X1，%）、B卜2,、2），由韋達定理可得為+丫2=4m,yry2=-4,

???AF=-yj,FB=（xj-1,y2）,由標=3而，可得一yi=3%,

_2

???+%=—2y2=4m,貝Ijy2=2m,yty2=—3y2=—12m=—4,

解得〃2=±#,

；.k=L=士也,故選C.

m

【點評】利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：

（0設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標為（%i,yj、（%2,yz）；

（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于x（或y）的一元二次方程，必要時計算4;

（3）列出韋達定理；

（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為/+外、X62的形式；

（5）代入韋達定理求解.

X2y2

11.如圖，雙曲線「：靛一萬=1（。〉0,。〉0）以梯形A8C。的頂點A,。為焦點，且經(jīng)過點B,C.

其中AB〃C。，ZBAD=6O°,|CD|=4|AB|,貝曠的離心率為（）

6

A,正B.Gc.一

45

【答案】C

【解析】連接C4,BD,

不妨設(shè)|4B|=1,則|CD|=4,|BD|=l+2a,\AC\=4+2a.

在^ABD中，1+4c?-2?1?2c?cos60°=(1+2a)20

在44C0中，16+4c2-2-4-2c?cos120°=(4+2a產(chǎn)②

c6

②一①，得15+10c=12a+15,則e=-=-,故選C.

a5

【點評】本題考查雙曲線離心率的求解，解題的關(guān)鍵是正確利用焦點三角形特點進行計算.

二、解答題.

X2y24

12.若雙曲線x2-y2=9與橢圓。：/+萬=1(。＞。＞0)共頂點，且它們的離心率之積為3.

(1)求橢圓C的標準方程;

(2)若橢圓c的左、右頂點分別為a,A,直線/與橢圓c交于尸、。兩點，設(shè)直線4P與4Q的斜率分別

為ki，k2,且匕-；&=().試問，直線/是否過定點？若是，求出定點的坐標；若不是，請說明理由.

【答案】(1)—+/=1；(2)是過定點，定點為(2,0).

9

【解析】(1)由已知得雙曲線的離心率為企，

42后

又兩曲線離心率之積為］,所以橢圓的離心率為亍，

由題意知a=3,所以c=2企，b=1.

v-2

所以橢圓的標準萬程為k+V=1.

9

(2)當直線/的斜率為零時，由對稱性可知：七=-的力0,不滿足6-2%2=°，

故直線/的斜率不為零;

x-ty+n

設(shè)直線/的方程為x=ty+n,由<x2,得+9)y2+2tny+n2—9=0,

—+y-=1

[9-

因為直線/與橢圓C交于P、Q兩點，所以/=4t2n2-4?2+9)52-9)>0,

整理得12-n2+9>0,

設(shè)p(%i,%)、Q(X2,y2),則%+"7^3'

i1k3+3=乂(％2—3)%(今2+〃—3)

因為勺一￡々2=0，所以￡

為y2a+3)%(電+〃+3)

X1-3

整理得4ty02+5(n-3)%-(n+3)y2=0,

4ty02+5(n-3)(yx+y2)=(6n-12)y2,

n~—9

將X+必=一「；，*必=，代入整理得t(n-2)(n-3)=(2-n)(嚴+9)y,

r+9t+92

要使上式恒成立，只需n=2,此時滿足12-"+9>0,

因此，直線/恒過定點(2,0).

【點評】(1)待定系數(shù)法可以求二次曲線的標準方程；

(2)”設(shè)而不求”是一種在解析幾何中常見的解題方法，可以解決直線與二次曲線相交的問題;

(3)證明直線過定點，通常有兩類：①直線方程整理為斜截式丁=丘+力，過定點(02)；

②直線方程整理為點斜式y(tǒng)—%=左(了一天)，過定點(七,％)?

13.已知橢圓C：鼻+方=1(。>匕>0)的左、右焦點分別為&,F2,短軸長為2百，點P在橢圓上，PF11

3

X軸，且|p用=].

(1)求橢圓c的標準方程;

x=-x

2

(2)將橢圓C按照坐標變換〈廠得到曲線Q,若直線/與曲線G相切且與橢圓C相交于M,N兩點,

[八力

求|MN|的取值范圍.

【答案】⑴y+y=l；(2)|W|e3,半

b23

【解析】⑴由已知可得，2b=2V5=b=舊，|P用="=]=＞。=2,

V

則橢圓C的標準方程為彳X+彳-=1.

,1

x=-x（2f『回）[

2x=2x'

(2)由《------1-------—1=>x，2+y,2=1,

y=43y'43

>=yy

則曲線G：x2+y2=1,

當直線/斜率存在且為k時，設(shè)I：y=kx+m,由直線/與圓G相切,

貝ijd=J叫=l=>m2=k2+1,

+1

y=kx+m

由，產(chǎn)丁=>（3+4左2）］2+82/依+4加2—12=0

—+—=1

43

-8km

設(shè)M（%i，yj,N（X2,y2））則；,且4>0恒成立,

4m--12

X,=......-

1-3+4/

2

由IMN\=Jl+公XJ（X1+%y-4占=Jl+公x64knr16療一48

（3+4燈23+4F

^^144^92^-48^

3+4二

由m2=/c2+i,則=+12X

令t=3+4卜2,貝ij4k2=t-3,

，網(wǎng)心心尸心用飛”

令s=；e(0,；,則丁=-$2+2$+3,5efo,1,則毛，|MN|e3,±^

2b2

當直線I斜率不存在時，［：%=±1,|MN|=——=3,

a

綜上：|MN|e3,警.

【點評】本題考查了橢圓的標準方程、弦長公式、坐標變換，解題的關(guān)鍵是根據(jù)直線與曲線G相切求出切線

方程中參數(shù)的關(guān)系，化簡后借助二次函數(shù)性質(zhì)求出弦長范圍.

22

14.橢圓。：，+方=1（。>8>0）的左焦點為（一夜，0）,且橢圓C經(jīng)過點P（0,1）,直線y=kx+2k-l

化工0）與。交于4B兩點（異于點P）.

（1）求橢圓C的方程；

（2）證明：直線PA與直線PB的斜率之和為定值，并求出這個定值.

【答案】⑴1+>2=1；（2）證明見解析，定值為1.

【解析】（1）由題意得：C=&,b=1,則M=爐+c2=3,

Xo

??橢圓方程為3-+丁~=1.

⑵解法一（常規(guī)方法）：設(shè)A（%,y）,川孫%），

y=kx-\-2k-\

聯(lián)立《2化簡可得(3k2+i)x2+6k(2k-l)x+12k(k-1)=0,

廠2.

——+V=1

3-

;直線y=kx+2k-l（k+0）與橢圓C交于4、B兩點,

21>0,Bpi2[(3/c2+1)-(2k-l)2]=-48fc(/c-1)>0,解得0<k<l,

6Z(2Z—1)_\2k[k-\)

由韋達定理王+迎=3公+1'"也―3公+1

???“kA丁+、上PB江1+上U工跖+玷-(%+%)=2例%+(2心2)(石+即

XyX2X}X2

―6Z+6M2Z—1)12%2-12Z

12MI)—-12刃-12%

???直線"、PB的斜率和為定值1.

解法二(構(gòu)造齊次式)：由題直線丫=/^+2k一1(/￡羊0)恒過定點(-2,-1),

①當直線4B不過原點時，設(shè)直線4B為巾x+n(y-1)=1(*),

,1_1

則一2根%—2n=1,即m+〃=—,有"2=------n,

由1+丁=1,有/+3(y—1)2+6(y—1)=0,

則一+3(y—I)2+6(y—l)[mx+n(y—1)]=0,

整理成關(guān)于x,曠一1的齊次式：(3+6?)@-1)2+66*3-1)+/=0,

進而兩邊同時除以V,

V—1,6m

令"—k,則「.2%+kpB

x%)%23+6〃3+6n

②當直線AB過原點時，設(shè)直線AB的方程為y=gx,，8(-占,一%)，

??^+^=—+^=—=2x1=1,

/%/2

綜合①②直線P4與直線P8的斜率之和為定值1.

【點評】該題考查的是有關(guān)直線與橢圓的問題，解題方法如下:

(1)根據(jù)題中所給的條件，確定出b,c的值，進而求得a?的值，得到橢圓方程;

(2)將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，韋達定理求得兩根和與兩根積，利用斜率公式證得結(jié)果.

?>y2

15.已知橢圓「:x+”=1(。>1)與拋物線。：/=2py(p>0)有相同的焦點尸，拋物線C的準線交橢圓「于

A,B兩點，且|4B|=1.

(1)求橢圓廠與拋物線C的方程；

(2)。為坐標原點，若P為橢圓「上任意一點，以P為圓心，OP為半徑的圓P與橢圓廠的焦點F為圓心，以通

為半徑的圓尸交于M,N兩點，求證：|MN|為定值.

2

【答案】（1）橢圓廠的方程為J=l,拋物線C的方程為/=4百y;（2）證明見解析.

4

【解析】（1）橢圓「：/+’=1（?！?）可得焦點（0,

拋物線C:/=2py（p>0）的焦點為[（）,￡],所以五2_1=￡①,

72)Z

2—1.解得X=±J1—^7,

由＜2，可得

y14a-V4a~

%2+今=1

、a~

所以=g=l②，

由①②可得：Q2=4,p=2A/3,

2y2

所以橢圓廠的方程為廠+一=1,拋物線C的方程為/=46y.

4

2

n

(2)設(shè)P(m,n),則/?9?-+-；-=1,圓P的方程為(x-m)2+(y—8)2=巾2+“2,

4

圓F的方程為：x2+(y-V3)2=5,

所以直線MN的方程為：mx+(n-V3)y-1：=0,

設(shè)點F到直線MN的距離為d,

|0〃-46〃-412曲-4

則d=??=-=J=--------L=

/〃2+(〃-6)2

)2-8+16

|MN|=2。5-d2=2,所以|MN|為定值.

【點評】圓的弦長的求法:

(1)幾何法，設(shè)圓的半徑為r,弦心距為d,弦長為L,貝=/一屋;

y=kx+m

(2)代數(shù)法，設(shè)直線與圓相交于A(%i，yj,B@2,為)，聯(lián)立直線與圓的方程＜

+(y-by=r2

消去y得到一個關(guān)于x的一元二次方程，從而可求出與+久2,根據(jù)弦長公式|4B|=

2

vi+fcV(^i+x2y-4x^2,即可得出結(jié)果.

X"2V2

16.已知橢圓「：下+蕓=1(。＞8＞0)過點(0,2),其長軸長、焦距和短軸長三者的平方依次成等差數(shù)列,

直線，與x軸的正半軸和y軸分別交于點Q、P,與橢圓廠相交于兩點M、N,各點互不重合，且滿足

PM=4MQ,PN=%NQ.

(1)求橢圓廠的標準方程；

(2)若直線1的方程為y=-x+l,求;+；的值；

4A

(3)若/|+，2=-3,試證明直線I恒過定點，并求此定點的坐標.

%22o

【答案】(1)—+y=l；(2)(3)證明見解析，(2,0).

x2y2

【解析】(1)由題意，因為橢圓「：下+白=1(。＞。＞0)過點(0,2),可得匕=2,

設(shè)焦距為2c,又由長軸長、焦距和短軸長三者的平方依次成等差數(shù)列，

可得(2a)2+(2b)2=2(2c)2,即+b2=2c2,

又因為。2=/+?2,解得a?=12,

22

所以橢圓廠的標準方程為J+J=1.

124

(2)由直線［的方程為y=-x+l,可得而尸(0,1),＜2(1,0),

設(shè)丫力，N(%2，先)，因為尸PN=%NQ,

可得Qi，%-1)=%(1一%1，一%),(%2,%-1)="(1一%2，一%),

從而不=%(1-%1),%2=似1-%2)，

lMM~，1111cM+xc

于是4=；----?丸2=；~~=~?所以丁+『=—1-----2=-------7-2,

XX

1一玉l-X244玉友2\2

22

—+2L=139

由《124，整理得4/一6%—9=0,可得工1+&=5，=~~7

y=-x+l

所以L+-!-=~!~+_L一2=^^—2=-?.

44玉々X\X23

(3)顯然直線，的斜率k存在且不為零,

設(shè)直線用勺方程為y=>0),M(xx,%),Ng,%)，

可得P(0,-km),Q(m,0),

由=可得(％,y-i+km)=A^m-x1,