2021年中考數學熱點沖刺1 新定義型

考向1定義新概念

1.對于一個函數，自變量x取a時，函數值y也等于a,我們稱a為這個函數的不動點.如果二次函數y=x?+2x+c

有兩個相異的不動點XI、X2,且Xl<l〈X2,則C的取值范圍是()

1

A.eV—3B.eV—2C.C<—D.cVl

4

【答案】B

Xi+X)=-1

【解析】當y=x時，x=x?+2x+c,即為x2+x+c=0,由題意可知：X1,X2是該方程的兩個實數根，所以《

x^x2=c

?；X1V1VX2,???(XI—1)(X2-1)V0,即X]X2—(X1+x2)+I<0,

???c—(—l)+lV0,???cV—2.又知方程有兩個不相等的實數根，故△>(),

即卜一4c>0,解得：<：<1；.(；的取值范圍為￡：<—2.

4

2.一般地，如果x4=a(a20),則稱x為a的四次方根，一個正數a的四次方根有兩個.它們互為相反數，

記為土折，若取了二10，則m=.

【答案】±10

【解析】?.?冊彳=10,...1114=104,.?.m=±10.故答案為：±10.

3.對于實數a,b,定義運算如下：a?b=(a+b)2-(a-b)2.若(m+2)?(m-3)=24,貝!Jm=.

【答案】-3或4

【解析】根據題意得[(m+2)+(m-3)]2-[(m+2)-(m-3)]2=24,

(2m-1)2-49=0,

(2m-1+7)(2m-1-7)=0,

2m-1+7=0或2m-1-7=0,

所以mi=-3,m2=4.

故答案為：-3或4.

4.規(guī)定：如果一個四邊形有一組對邊平行，一組鄰邊相等，那么四邊形為廣義菱形.根據規(guī)定判斷下面四個

結論：①正方形和菱形都是廣義菱形；②平行四邊形是廣義菱形；③對角線互相垂直，且兩組鄰邊分別相

等的四邊形是廣義菱形；④若M、N的坐標分別為(0,1),(0,-1),P是二次函數y=1x2的圖象上在第一

4

象限內的任意一點,PQ垂直直線y=-1于點Q.則四邊形PMNQ是廣義菱形.其中正確的是.(填

序號)

【答案】①④

【解析】正方形和菱形滿足一組對邊平行，一組鄰邊相等，故都是廣義菱形，故①正確；平行四邊形雖然

滿足一組對邊平行，但是鄰邊不一定相等，因此不是廣義菱形，故②錯誤；對角線互相垂直，且兩組鄰邊

分別相等的四邊形的對邊不一定平行，鄰邊也不一定相等，因此不是廣義菱形，故③錯誤；④中的四邊形

PMNQ滿足MN〃PQ,設P(m,0)(m>0),VPM=J/n2+(-/w2-I)2=-/n2+1,PQ=-m2-(-l)=-m2+

V4444

1,，PM=PQ,故四邊形PMNQ是廣義菱形.綜上所述正確的是①④.

5.定義：等腰三角形的頂角與其一個底角的度數的比值k稱為這個等腰三角形的“特征值”.若等腰AABC

中，/A=80。，則它的特征值k=.

Q1

【答案】一或一.

54

QQ°Q90°1

【解析】當/A是頂角時，底角是50。，則1<=絲=2；當NA是底角時，則底角是20。，k=—故

50°580°4

Q1

答案為：—或一.

54

6.《道德經》中的“道生一，一生二，二生三，三生萬物”道出了自然數的特征.在數的學習過程中，我們會

對其中一些具有某種特性的數進行研究，如學習自然數時，我們研究了奇數、偶數、質數、合數等.現在

我們來研究另一種特珠的自然數一“純數”.

定義：對于自然數n,在計算n+(n+l)+(n+2)時，各數位都不產生進位，則稱這個自然數n為“純數”，

例如：32是“純數”，因為計算32+33+34時，各數位都不產生進位；23不是“純數”，因為計算23+24+

25時，個位產生了進位.

(1)判斷2019和2020是否是“純數”？請說明理由；(2)求出不大于100的“純數”的個數.

【答案】(1)2019不是“純數”，2020是“純數”,理由如下：；在計算2019+2020+2021時，個位產生了

進位，而計算2020+2021+2022時，各數位都不產生進位，，2019不是“純數”，2020是“純數”.

(2)由題意可知，連續(xù)三個自然數的個位不同，其他位都相同，并且連續(xù)的三個自然數個位為0、1、2時，

不會產生進位；其他位的數字為0、1、2、3時，不會產生進位.現分三種情況討論如下：

①當這個數為一位自然數時，只能是0、1、2,共3個；②當這個數為二位自然數時，十位只能為1、2、3,

個位只能為0、1、2,即10、11、12、20、21、22、30、31、32共9個；③當這個數為100時，易知100

是“純數”.綜上，不大于100的“純數”的個數為3+9+1=13.

7.定義:有兩個相鄰內角互余的四邊形稱為鄰余四邊形，這兩個角的夾邊稱為鄰余線.

(1)如圖1,在AABC中,AB=AC,AD是AABC的角平分線,E,F分別是BD,AD匕的點.求證:四邊形ABEF是鄰余

四邊形;(2)如圖2,在5x4的方格紙中,A,B在格點上,請畫出一個符合條件的鄰余四邊形ABEF,使AB是鄰余

線,E,F在格點上;(3)如圖3,在(1)的條件下，取EF中點M,連接DM并延長交AB于點Q,延長EF交AC于點

N.若N為AC的中點,DE=2BE,求鄰余線AB的長.

【答案】：（1）；AB=AC,AD是AABC的角平分線,AD_LBC,.\NADB=90。,；.NDAB+/DBA=90。,

/.ZFAB與NEBA互余四邊形ABEF是鄰余四邊形;⑵如圖所示,四邊形ABEF即為所求.(答案不唯一)

（3）VAB=AC,AD是AABC的角平分線，，BD=CD,：DE=2BE,工BD=CD=3BE,CE=CD+DE=5BE.；Z

EDF=90°,M為EF的中點,DM=ME.NMDE=/MED.：AB=AC,二NB=NC,二ZXDBQsZXECN,

OBBD3

-=-=二，：QB=3,二NC=5,VAN=CN,，AC=2CN=10,.\AB=AC=10.

NCCE5

8.箭頭四角形模型規(guī)律，如圖1,延長CO交AB于點D,則NBOC=N1+/B=NA+NC+NB.因為凹四邊

形ABOC形似箭頭，其四角具有2BOC=NA+/C+/B”這個規(guī)律，所以我們把這個模型叫做“箭頭四角形”

模型應用：

（1）直接應用：

①如圖2,ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=

②如圖3,NABE、/ACE的2等分線(即角平分線)BF、CF交于點F,已知NBEC=120o/BAC=50。，則

NBFC=.

③如圖4,BO-CO2分別為/ABO、NACO的2019等分線(i=l,2,3,…，2017,2018),它們的交

點從上到下依次為Oi，02,03,...?O2018.已知/BOC=m。，ZBAC=n°,則/BO|o(x)C=度

(2)拓展應用：如圖5,在四邊形ABCD中，BC=CD,ZBCD=2ZBAD.O是四邊形ABCD內的一點,

且OA=OB=OD.求證：四邊形OBCD是菱形.

【答案】(1)①?；NA+NB+/C=Na,ZD+ZE+ZF=Z?AZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=2Ztt

II

@VZBEC=ZA+ZABC+ZACBZBFC=ZA+-ZABC+-ZACB,ZBEC=120°ZBAC=50°

22

111111

二-NBEC=-ZA+-ZABC+-ZACBA60°=25°+-ZABC+-ZACB

222222

II11

:.-ZABC+-ZACB=35°.\ZBFC=ZA+-ZABC+-ZACB=500+35°=85°.\NBFC=85°

2222

③幽W+3”。

20192019

(2)證明：(1)如圖，延長AO到E,

*.?OA=OB,：.ZABO=ZBAO.

乂■:NBOE=NAB()+NBAO,：.ZBOE=2ZBAO,

同理/QOE=2/D4。,

：.ZBOE+ZDOE=2ZBAO+2ZDAO=2(ZBAO+ZDAO),即/8OD=2NR4D.又：/8C￡)=2N3AZ),AZ

B()D=NBCD.

(2)如圖，連接。C,VOB^OD,CB=CD,OC=OC,

/.△OBgAODC,NOBC=NODC.

又?:NBOD=NBCD,：.四邊形03CD是平行四邊形.

又???OB=OD,：.四邊形OBCD是菱形.

A

9.如圖，平面內的兩條直線4、12,點A，3在直線4上，點C、Z)在直線4上，過A、3兩點分別作直

線4的垂線，垂足分別為4,用，我們把線段44叫做線段45在直線4上的正投影，其長度可記作皿

或Zw2)，特別地線段AC在直線4上的正投影就是線段AC.請依據上述定義解決如下問題：

(1)如圖1,在銳角AABC中，AB=5,Qc,.=3,則工叱謝=;

(2)如圖2,在RIAABC中，NACB=90°,T(ACAB)=4,T(BCAI))==9,求AAfiC的面積；

(3)如圖3,在鈍角△鉆C中，NA=60。，點。在43邊上，/48=90。,ZAP.AC)=2,1①刖~6,求,

【答案】(1)如圖1中，作C，_LA5.

Gc=3,:.AH=3,-AB=5,

,-.BH=5-3=2,..TiBCAB)=BH=2,故答案為2.

(2)如圖2中，作于〃.

?,^(AC.AB)=4,T(BCAB>=9,.?.AH=4,BH=9,

ZACB=NCHA=/CHB=90。，

/.Z4+ZACW=90°,ZACH+ZBCW=90。，:.ZA=NBCH,

CHAHCH4

??,MCHSACBH,

：,CH=6,

S"BC=—^'ABCH=—xl3x6=39.

MBC22

(3)如圖3中，作于//,BKLCD于■K.

o

vZ4CD=90,T(Al)AC)=2,.-.AC=2,

vZA=60o,:.ZADC=ZBDK=30°,

，；

:.CD=6AC=24AO=2AC=4,AH=AC=1,DH=AD-AH3,

CHAB,:.BH=6,：.DB=BH-DH=3,

在RtABDK中，?.?NK=90。，BD=3,ZBOK=30。，

：.DK=BDQ:os30°=—,:.CK=CD+DK=2-^3+—=—,

222

BC.CD)=CK=2~-

考向2定義新運算

1111

1.已知有理數a聲1,我們把——稱為a的差倒數,如：2的差倒數是——=-1,-1的差倒數是——-=彳.如

1-21-(-1)2

果ai=-2,a2是小的差倒數，6是az的差倒數，是a3的差倒數，…，依此類推，那么ai+az+…+awo

的值是()

A.-7.5B.7.5C.5.5D.-5.5

【答案】A

.11-^―3

11

【解析】由題意知：32=；~~-T-=-：33=1--,34=.3=-2;a5=-__rr=-；...；可知經過3次

1-(-2)31--21--1一（-2）3

13131

開始循環(huán)，所以ai+az+…+aioo=-2H---1-----2H----1---F...—2=—x33—2=—7.5.

32326

aIm

2.定義一種新運算：3n=d」例如：Q2=12-****732=1-9=-8,若6-1=-2,則01=()

22

A.12B.---C.2D.一

55

【答案】B

112

【解析】由題意得次|一(5加)1=-—-=-2,則0!=——，故選B.

m5m5

a

3.(2019?襄陽)定義：a*b=b，則方程2*(x+3)=l*(2x)的解為.

【答案】x=l

21

【解析】本題考查了可化為一元一次的分式方程的解法.按新定義可知：2*(%+3)=-1*(2%)=—,

x+32x

21

可得方程-,解得x=l,經檢驗此解為方程的根.

x+32x

4,對于實數a、b,定義關于的一種運算：agb=2a+b.例如304=2x3+4=10.

⑴求40(—3)的值；

(2)若x?(-y)=2,(2y)?x=-l,求x+y的值.

【答案】⑴根據題意得：4?(-3)=2x4+(—3)=5.(2)Vx0(-y)=2,(2y)?x=-1,

741

J2x+(—y)=2,2x2y+x=—1,解這個二元一次方程組，得,x=-,y=x+y=-

5.某中學數學興趣小組在一次課外學習與探究中遇到一些新的數學符號，他們將其中某些材料摘錄如下：對

于三個實數a,b,。，用b,。｝表示這三個數的平均數，用加〃｛*b,c｝表示這三個數中最小的

數.例如：M{1,2,9)=1-1-9=4,min[\,2,-3}=-3,min[3,1,1}=1.請結合上述材料，解決

下列問題：

(1)①例{(-2尸，2?，-22)=；②相加{sin30°,cos60°,tan45°}=；

(2)若M{—2x,3}=2,求x的值；

(3)若〃?加{3-2x,l+3x,-5)=-5,求x的取值范圍.

41

【答案】(1)①彳；②二;(2)x=—1或3；(3)-2<x<4

32

【解析】解：(1)①/{(—2)2,22，-22}=士空手2=3；

②min{sin30°,cos60°,tan45°}=；；

(2))vM{-2x,3}=2,...3+工、3=2,解得1=_]或3；

3

(3-2XS-5

(3)tnin[i—2x,1+3x,-5}=-5、&>勺，解得：-2<x<4.

?I+JXN-3

6.若一個兩位數十位、個位上的數字分別為m,n,我們可將這個兩位數記為嬴，易知嬴=10m+n,同理,

一個三位數、四位數等均可以用此記法，如詼=100a+10b+c.

(1)解方程填空：①若2X+X3=45,則X=；②若7y—>8=26,則y=；③若簿3+5f8=136，貝！lt=.__；

(2)交換任意一個兩位數嬴的個位數字與十位數字，可得到一個新數嬴，則嬴+嬴一定能被整除，嬴

一嬴一定能被整除，嬴?嬴一mn一定能被整除；(請從大于5的整數中選擇合適的數填空)

(3)北京時間2019年4月10日21時，人類拍攝的首張黑洞照片問世，黑洞是一種引力極大的天體，連光都

逃脫不了它的束縛，數學中也存在有趣的黑洞現象：任選一個三位數，要求個、十、百位的數字各不相同，

把這個三位數的三個數字按大小重新排列，得出一個最大的數和一個最小的數，用得出的最大的數減去最

小的數得到一個新數(例如若選的數為325,則用532—235=297),再將這個新數按上述方式重新排列，再

相減，像這樣運算若干次后一定會得到同一個重復出現的數，這個數稱為“卡普雷卡爾黑洞數”.

①該“卡普雷卡爾黑洞數”為；

②設任選的三位數為嬴(不妨設a>b>c),試說明其均可產生該黑洞數.

【答案】(1)t=7：(2)mn■定被11整除；〃?〃一〃〃?一定被9整除；?“相一mn一定能被10整除；

(3)①反復運算可得495：②證明過程見解析.

【解析】解：(I)mn=1Om+n,/.2x+x3=45=20+x+10x+3=11x+23=45,得x=2,同理可得y=4,t=7；

(2)mn+nm=10m+n+10n+m=l1(m+n)故一定被11整除；同理嬴一嬴一定被9整除;嬴.嬴—mn-

定能被10整除；(3)①反復運算可得495；②..第一次運算得到M)0a+10b+c-(100c+l0b+a)

-99(a—c)?可以看出結果必為99的倍數，,.,a>b>c,...噲b+1,b>c+1,BPa>b+l>c+2,.'.a—c>2,9>a

>c,.*.a-c<9,則a-c=2,3,4,5,6,7,8,9,.?.第一次運算得到99(a-c)可以是198,297,396,

495,594,693,792,891,再讓這些數字依據“卡普雷卡爾黑洞數”的推算規(guī)則進行運算，分別可以得到：

981798=792,972-279=693,963-369=594,954-459=495,954-459=495,以后均重復運算，故可以

得到該黑洞數為495.

考向3定義新函數

1.若二次函數y=ax?+bx+c(a/0)圖象的頂點在一次函數y=kx+t(k^O)的圖象上,則稱y=ax?+bx+c(a#))

^y=kx+t(k^O)的伴隨函數，如：y=x2+l是y=x+l的伴隨函數.

(1)若y=x2-4是y=-x+p的伴隨函數，求直線y=-x+p與兩坐標軸圍成的三角形的面積.

(2)若函數y=mx-3(m和)的伴隨函數y=x?+2x+n與x軸兩個交點間的距離為4,求m,n的值.

【答案】(1)?；y=x2-4,.?.其頂點坐標為(0,-4),：y=x2-4是y=-x+p的伴隨函數，(0,-4)

在一次函數y=-x+p的圖象上，,-4=0+p.；.p=-4,：.一次函數為:y=-x-4,一次函數與坐標軸的

交點分別為(0,-4),(-4,0),.?.直線y=-x+p與兩坐標軸圍成的三角形的兩直角邊都為|-4|=4,

直線y=-x+p與兩坐標軸圍成的三角形的面積為：：x4x4=8.

2

(2)設函數y=x+2x+n與x軸兩個交點的橫坐標分別為xi,X2,則xi+x2=-2,xiX2=n,\xt-x2|=

J(X］+X2)2—4XIX2=—4n,e*,函數y=x2+2x+n與x軸兩個交點間的距離為4,/.V4-4n=4，解得，

n=-3,工函數y=x2+2x+n為：y=x2+2x-3=(x+1)2-4,；?其頂點坐標為(-L-4),y=x2+2x+n是

y=mx-3(m，0)的伴隨函數，

2.閱讀下面材料：如果函數y=f(x)滿足：對于自變量x的取值范圍內的任意X］，X2,(1)若xi<X2,都有

f(xi)<f(X2),則稱f(x)是增函數；(2)若X1VX2,都有f(Xl)>f(X2),則稱f(x)是減函數,例題：證明函數

f(x)=~(X>0)是減函數.

X

?、,，66-6X.6(%2-%.)

證明：設0VX］〈X2,f(xi)-f(X2)=------=---------=----=-----.

V0<X|<X2,**?X2—X|>0,X|X2>0.

6(X-x.)6

---=9----->0,即f(xi)—f(X2)>0./.f(xi)>f(X2),函數f(x)=—(x>0)是減函數.

XyX2X

根據以上材料，解答下面的問題：

Ij7

已知函數y(x)=-l+x(xVO),〃T)=；~^+(T)=0"(—2)=^^+(—2)=-7

x(T)(-2)4

(1)計算：f(—3)=,f(-4)=；

(2)猜想：函數"x)=5+x(x<0)是________函數(填“增”或堿”)；

(3)請仿照例題證明你的猜想.

【答案】⑴"一3)=奇+(-3)=/jR)=奇+(一4)=假

(2)增;

(3)證明：設xi<X2<0,

27

11拔一不

+X+X+XX

f(xi)—f(X2)=-2\~2----------2\~2~o2+玉一九2

5X

\27X|x2X\X2

^(.x+x,)(x-x,)(乙一%1)(%2+%一1)

22~(X2_5)=

9222

%x2%x2

Vxi<X2<0,/.X2—X|>0,X|2X22>0,X2+XJ—KO,

...($一\),?\1)vo,即f(X|)—f(X2)<0./.f(X|)<f(X2),二函數/(x)=4+x是增函數.

X-^X

3.如圖，在平面直角坐標系中，正方形OABC的邊長為4,邊OA,0C分別在x軸，y軸的正半軸上，把正

方形OABC的內部及邊上，橫、縱坐標均為整數的點稱為好點.點P為拋物線y=—(x-2)2+m+2的頂

點.

(1)當m=0時，求該拋物線下放(包括邊界)的好點個數.

(2)當m=3時，求該拋物線上的好點坐標.

(3)若點P在正方形OABC內部，該拋物線下方(包括邊界)恰好存在8個好點，求m的取值范圍.

【答案】（1）當m=0時，二次函數的表達式為y=-x?+2,畫出函數圖象（圖1）,

當x=0時,y=2；當x=l時，y=l；

二拋物線經過點（0,2）和（1,1）.

好點有:(0,0),(0,1),(0,2)(1,0)和(1,1)共5個.

（2）當m=3時，二次函數的表達式為y=-（x-3）2+5,畫出函數圖象（圖2）.

?.?當x=l時，y=l；當x=4時，y=4.

二拋物線上存在好點，坐標分別是（I,1）和（4,4）.

（3）?.?拋物線頂點P的坐標為（m,m+2）,...點P在直線y=x+2上.由于點P在正方形內，則0<m<

2.

如圖3,點E（2,1）,F（2,2）....當頂點P在正方形OABC內，且好點恰好存在8個時，拋物線與線

段EF有交點（點F除外）.當拋物線經過點E（2,I）時，一（2—m）2+m+2=l,解得m產匕叵，

2

m*5+VI5（舍去）.當拋物線經過點F（2,2）時，一（2—m）2+m+2=2,解得mi=l,iri2=4（舍去）.

2

.??當三叵Vm<l時，點尸在正方形。鉆C內部，該拋物線下方（包括邊界）恰好存在8個好點.

2

4.城市的許多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直線行走到達目的地，只能按直角拐彎的方式

行走.可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐標系xOy,對兩點A（xl,yl）和B（x2,y2）,用

以下方式定義兩點間距離：d（A,B）=|xl-x2|+|yl-y2|.

(1)①已知點A(-2,1),則d(O,A).②函數y=-2x+4(0<x<2)的圖象如圖①所示，B

是圖象上一點，d(0,B)=3,則點B的坐標是

(2)函數y=：(x>0)的圖象如圖②所示.求證：該函數的圖象上不存在點C,使d(0,C)=3.

(3)函數y=x2-5x+7(x>0)的圖象如圖③所示，D是圖象上一點，求d(0,D)的最小值及對應的點D

的坐標.

(4)某市要修建一條通往景觀湖的道路，如圖④，道路以M為起點，先沿MN方向到某處，再在該處拐

一次直角彎沿直線到湖邊，如何修建能使道路最短？(要求：建立適當的平面直角坐標系，畫出示意圖并

簡要說明理由)

【答案】解：(I)①由題意得:d(O,A)=|0+2|+|0-1|=2+1=3；

②設B(X,y),由定義兩點間的距離可得：|0-x|+|0-y|=3,

*/0<x<2,/.x+y=3,

譚解得:X=1

V=2

AB(1,2),故答案為：3,(1,2)；

(2)假設函數y=￡(x>0)的圖象上存在點C(x,y)使d(0,C)=3,

根據題意，得|x—0|+|—0|=3,

444.

Vx>0,?>0，|x-0|+|^-0|=x+p

x4--=3,/.x2+4=3x,Ax2-3x+4=0,

AA=b2-4ac=-7<0,

???方程x2-3x+4=0沒有實數根,

,該函數的圖象上不存在點C,使d(O,C)=3.

(3)設D(x,y),

22

根據題意得，d(0,D)=|x-0|+|x-5x+7-0|=|x|+|x-5x+