2019年高考全國Ⅲ卷理數(shù)真題試題(含答案與解析)

2019年高考理數(shù)真題試卷（全國m卷）原卷+解析

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。

1.（2019?全國III）已知集合A={T,0,1,2）,B={X|X2?1},則AClB=（）

A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{-1,1}D.{0,1,2}

【答案】A

【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算

【解析】【解答】解：...集合我、=；"LQL嚼瘴=卻一】莖冢<電

則捻門囁=；"乙可』，

故答案為：A.

【分析】先求出集合B,再利用交集的運(yùn)算即可得結(jié)果.

2.（2019?全國HI）若z（1+i）=2i,則2=（）

A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i

【答案】D

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算

式MW班噂,?

【解析】【解答】解：?..或1*祕=’第，貝工五一仕喊上中一&',

故答案為：D.

【分析】利用復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算，即可求出復(fù)數(shù)z的代數(shù)式.

3.（2019?全國m）《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學(xué)瑰寶，并成為

中國古典小說四大名著。某中學(xué)為了了解本小學(xué)生閱讀四大名著的情況，隨機(jī)調(diào)查看了100位學(xué)生，

期中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學(xué)生共有90位，閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有80位，閱讀過

《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有60位，則該學(xué)校閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該學(xué)校

學(xué)生總數(shù)比值的估計值為（）

A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8

【答案】C

【考點(diǎn)】集合中元素個數(shù)的最值

【解析】【解答】解：設(shè)集合A表示閱讀過《西游記》的學(xué)生，集合B表示閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生,

依題意，可得學(xué)生人數(shù)分別為W瓊=觀，sra:建敏=韻，f1咸=窿Q,

EW威溫U蹴=宜工窺菊T：蜉敲遨毓一:短觥述溫f\或

.?.90=婷酊:心4+80-90,貯笄1：心370,

，該校閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計值為獺=6叫

故答案為：c.

【分析】利用集合中元素個數(shù)的關(guān)系式敢=翻1就需頡鼠-宜1：延或J〕威列式，

得到閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)，即可求出與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計值.

4.（2019?全國III）（1+2x2）（l+x）z的展開式中4的系數(shù)為（）

A.12B.16C.20D.24

【答案】A

【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理的應(yīng)用

【解析】【解答】解：???C+版廣的通項(xiàng)公式為q7=0次果

...展開式中x，的系數(shù)為1寓煜+啰402=44霍=12,

故答案為：A.

【分析】由已知利用怎的通項(xiàng)公式為17=戚褻，結(jié)合口+當(dāng)內(nèi)即可求出展開式中x，的系數(shù).

5.（2019?全國山）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛劣｝的前4項(xiàng)和為15,且23=323+4@],貝Ua3=（）

A.16B.8C.4D.2

【答案】C

【考點(diǎn)】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

【解析】【解答】解：???as=3a3+4ai,則欺貯=觸喇”書憶?.?砌丹Q,.?.短一購，一斗=。

解得0=4或出=一】（舍），?.?各項(xiàng)均為正數(shù)，圖=三又?.?等比數(shù)列⑸｝的前4項(xiàng)為和為15,

:城『哂—

‘卜電一":解得乳1=1；.強(qiáng)=窗；：球=4,

故答案為：C.

【分析】由已知利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列式，得到q=2,再由前4項(xiàng)為和為15列式，解得的=J,

即可求出期的值.

6.（2019?全國HI）已知曲線y=aex+xlnx在點(diǎn)（1,ae）處的切線方程為y=2x+b,則（）

A.a=e,b=-lB.a=e,b=lC.a=e1,b=lD.a=e1,b=-l

【答案】D

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

【解析】【解答】解：依題意，點(diǎn)（1,ae）在已知曲線下=儻殖士恭1煦上，

?.?鏟=位軟=]：1蛾+1,.?.切線的斜率上=乳聲=輜*】，...切線方程為y=2x+b,

f據(jù)Tl=2f標(biāo)=J

我解得心=-i,即式=好!小=-1,

故答案為：D.

【分析】由已知可得點(diǎn)（1,ae）在曲線拶=■陲T/bn：匕求導(dǎo)并代入x=l得到切線斜率的表達(dá)式,

《峻=1

利用切線的斜率和點(diǎn)（1,ae）在切線上列式，解得U=即可得結(jié)果.

飛④

7.（2019?全國HI）函數(shù)”‘誓+2］至，在［-6,6］的圖像大致為（）

【答案】B

【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象

【解析】【解答】解：：*："=廠+好=―番時"里...此函數(shù)是奇函數(shù)，排除選項(xiàng)C；

又?.?當(dāng)x=4時，喇=m盲*密，排除選項(xiàng)A,D,

故答案為：B.

【分析】先利用函數(shù)的奇偶性排除選項(xiàng)C,再把x=4代入求值，利用特值法排除選項(xiàng)A,D,即可判斷

得到函數(shù)的大致圖象.

8.（2019?全國HI）如圖，點(diǎn)NN為正方形ABCD的中心，^EDC為正三角形，平面EDCJ_平面ABCD,M

是線段ED的中點(diǎn)，則（）

A.BM=EN,且直線BM,EN是相交直線B.BM子EN,且直線BM,EN是相交直線

C.BM=EN,且直線BM,EN是異面直線I）.B以EN,且直線BM,EN是異面直線

【答案】B

【考點(diǎn)】平面的基本性質(zhì)及推論

【解析】【解答】解：連接BD,BE,MN,如圖：

H

VM,N分別是線段ED,BD的中點(diǎn)，???MN〃BE,???直線MN,BE確定一個平面,

直線BM,EN是相交直線，設(shè)正方形ABCD的的邊長為a,則DE=a,DB=技a,

VDE^DB,.?.△BMD與AEND不全等，；.BMWEN,

故答案為：B.

【分析】由已知可證MN〃BE,得到直線MN,BE確定一個平面，可證直線BM,EN是相交直線，再由

△BMD與不全等，得到BMWEN,即可判斷得結(jié)論.

9.（2019?全國m）執(zhí)行右邊的程序框圖，如果輸入的W為0.01,則輸出的值等于（）

,1

」短

A.B.C.2D.

【答案】c

【考點(diǎn)】程序框圖

【解析】【解答】解：執(zhí)行已知程序框圖，第1次：籍=1：太=號，不滿足條件，繼續(xù)循環(huán)；第2

電二）1Ji波您=1▲鷲=▲

次：,步"T,不滿足條件，繼續(xù)循環(huán)；第3次：,&寸5f,不滿足條件,

翡=143-4--4-C-A4X=

繼續(xù)循環(huán)；…；第7次：'3,一，耍"3."滿足條件，結(jié)束循環(huán)，輸出S的值，即

IrI

蕊&--I_I'i-t一—/_費(fèi)/，

故答案為：C.

11

遏=1~j*—七

直到滿足條件，結(jié)束循環(huán)，由'呼，即

【分析】執(zhí)行已知程序框圖，進(jìn)行循環(huán)計算H

可求出輸出S的值.

^2.于士

10.（2019?全國W）雙曲線"氣百~［的右焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P在C的一條漸近線上,0為坐標(biāo)原點(diǎn),

若|P0|=|PF|,則aPFO的面積為（）

娟幸

A.’丁B.飛一C.垂D.事

【答案】A

【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)

恭q7=1,則a=lb=1,.?.穹=亞可菽㈤，漸近

【解析】【解答】解：?.?雙曲線C：守一,

志

線方程為擘=上虧式，

設(shè)P在漸進(jìn)線貧=汽飛上，過P作^.±.OF,如圖：

/

F4

噌司，代入漸進(jìn)線方程,=總中，可得則=￡

?明封，.?.△POF是等腰三角形，，

故答案為：A.

【分析】由已知得到可菽:oj,過P作砥1_1_q既，由護(hù)心aW,得到APOF是等腰三角形，求出

則=專，即可求出△PFO的面積.

11.（2019?全國m）設(shè)f（x）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且在（0,+8）單調(diào)遞減，則（)

B我麴冕白》冰麴■■務(wù)酊手召嗎

A.

.舉f朝其"狀擲嗨出D.綽備割我3%麴嘴點(diǎn)

C.

【答案】C

【考點(diǎn)】不等式比較大小

【解析】【解答】解：?.?晶a是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，僅一成=備丈

峰晶3.卜4-】嗨斗卜峰則，

又?.?一虹一4?,H”=i,?.?5四扁號=】，.?.■1小昭

,幣*is

?.?式式在也就單調(diào)遞減，夕（-H）＞f（-H）＞f（iog34'），

故答案為：c.

【分析】由已知怨a是偶函數(shù)，得到由嘴弟=巾嗨產(chǎn)J,利用過我的單調(diào)性，即可比較大小.

12.（2019?全國m）設(shè)函數(shù)f（x）=sin（?x+裊）（?＞0）,已如f（x）在［0,2n］有且僅有5

個零點(diǎn)，下述四個結(jié)論：①f（x）在（0,2n）有且僅有3個極大值點(diǎn)②f（x）在（0,2n）有且僅

工要：箜

有2個極小值點(diǎn)③f（x）在（0,1.0）單調(diào)遞增④3的取值范圍［5-,10）其中所有正確結(jié)

論的編號是（）

A.①④B.②③C.①②③D.①③④

【答案】D

【考點(diǎn)】由丫=人$儲（3X+6）的部分圖象確定其解析式

【解析】【解答】解：由已知畫出函數(shù)的大致圖象，如圖:

由圖可知式工I在（Q3%）有且僅有3個極大值點(diǎn)，故①正確；多I,在E,F之間，靠近點(diǎn)E,有且

僅有2個極小值點(diǎn)，靠近點(diǎn)F,有且僅有3個極小值點(diǎn)，故②錯誤；令式工1=0,可得E,F的橫坐標(biāo)

燮工…」；2&,13.融.

分別為寶/「烹，則:量三2癖蒐六解得的取值范圍是［.3口號），故④正確；由④可取

級的最大值夠=3,得到函數(shù)在一考啰1套樣1單調(diào)遞增，即組證（露同）單調(diào)遞增，故③

正確，

故答案為：D.

【分析】由已知畫出函數(shù)的大致圖象，利用圖象得到①正確，②錯誤，再利用函數(shù)式好的性質(zhì)得到

③④正確，即可得結(jié)論.

二、填空題:本題共4小題,每小題5分，共20分.

13.（2019?全國HI）已知a,b為單位向量，且a-b=0,若c=2a-因b,則cos（a,c）=。

飛

【答案】f

【考點(diǎn)】數(shù)量積表示兩個向量的夾角

【解析】【解答】解：；崗=國=1,/%=%.?..=｛底一嬴［展開整理可得尚=更

又...蕭苜=林心速—胸=林=工J=證口,

故答案為：f.

【分析】由已知才.=：&宓一茜n‘，展開整理可得忸|=若，再求出這西=?曳代入向量的夾角公

式即可.

14.（2019?全國m）記S0為等整數(shù)列｛a“｝項(xiàng)和，若aiWO,a2=3a.,貝ij晶=

【答案】4

【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

【解析】【解答】解：；等差數(shù)列瓜｝中儆聲?溜，=眺，，&=今的，

:知i,,期］fa鶴飄

或='軸+速'=1ST=t

故答案為：4.

【分析】由已知得到&利用等差數(shù)列的求和公式，代入化簡即可求值.

婷..妙,

15.（2019?全國HI）設(shè)R,Fz為橢圓C：冠,蜀=1的兩個焦點(diǎn)，M為C上一點(diǎn)且在第一象限,

若△MFE為等腰三角形，則M的坐標(biāo)為。

【答案】①由前

【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)

賊］之Jr-8.

【解析】【解答】解：,??橢圓c：弼+窈=1,則鼠=醺卜=冤5：,二資=%時-4蹴忸聞=超,

設(shè)可巡警j狗網(wǎng)浮產(chǎn)Q,...急升蓊=1①，；乙初瑪瑪為等腰三角形，W=M,

...際*&：=盤②,由①②解得殉=今禹=亞貝上"的坐標(biāo)為（莓有1

故答案為：'司.

罐

【分析】由已知材為C上一點(diǎn)，得到螃T夠4=1,再由△初產(chǎn)［瑪為等腰三角形，得到

長叫|=帆瑜，利用兩點(diǎn)間的距離公式，得到褊斗嶄斗照由①②即可解出"的坐標(biāo).

16.（2019?全國m）學(xué)生到工廠勞動實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型，如圖，該模型為長方體

ABCD-ABCD,挖去四棱推0—EFGH后所得的幾何體，其中0為長方體的中心，E,F,G,H,分

別為所在棱的中點(diǎn)，AB=BC=6cm,AA,=4cm,3D打印所用原料密度為0.gg/cm?,不考慮打印損耗，

制作該模型所需原料的質(zhì)量為g.

【答案】118.8

【考點(diǎn)】組合幾何體的面積、體積問題

【解析】【解答】解：:E,F,G,H分別為所在棱的中點(diǎn)，：弱=馥：=金碑，蚪=斗啊

四棱錐0--EFGH的體積卡1=/與鈿遹涮*?產(chǎn)爭遨尸年

又...長方體息?⑥,一曲夢二圣的體積的=卷吟語過：4=14物吟.?.該模型的體積

審=料一哥=］軍現(xiàn)戚，

，制作該模型所需原料的質(zhì)量為132X0.9=118.8g,

故答案為118.8.

【分析】由已知得到四棱錐O——EFGH和長方體蛙馥：荔-強(qiáng)葩貧品的體積，求出該模型的體積

翌=￥?-￥^=尊顰喊即可求出制作該模型所需原料的質(zhì)量.

三、解答題，共70分，第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，

考生根據(jù)要求作答：

17.（2019?全國HD為了解甲，乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下實(shí)驗(yàn)：將200只小鼠隨

機(jī)分成A、B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液，每只小

鼠給服的溶液體積相同，摩爾濃度相同。經(jīng)過一段時間后用某種科學(xué)方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子

的百分比，根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：

C為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到P（C）的估計值為0.70

（1）求乙離子殘留百分比直方圖中a,b的值；

（2）分別估計甲，乙離子殘留百分比的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）

【答案】（1）解：由已知得0.70=a+0.20+0.15,故a=0.35.

b=l-0.05-0.15-0.70=0.10.

（2）甲離子殘留百分比的平均值的估計值為

2X0.15+3X0.20+4X0.30+5X0.20+6X0.10+7X0.05=4.05.

乙離子殘留百分比的平均值的估計值為

3X0.05+4X0.10+5X0.15+6X0.35+7X0.20+8X0.15=6.00.

【考點(diǎn)】頻率分布直方圖，眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)

【解析】【分析】（1）由己知利用頻率分布直方圖，百分比不低于5.5的估計值為0.70列式，即可

求出a,b的值；（2）由頻率分布直方圖平均數(shù)的計算公式，利用區(qū)間的中點(diǎn)值為代表列式，即可求

出平均值.

廣

94—?1:".J

18.（2019?全國III）Z\ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a,b,c,已知.2

（1）求B；

（2）若aABC為銳角三角形，且c=l,求AABC面積的取值范圍.

【答案】（1）解：由題設(shè)及正弦定理得跡亍'=磁蟠而泡

因?yàn)閟inA=0,所以城》華=麻城.

..史然趣今、..&&

由金43+《;=1卷優(yōu)可得血F=Q滿可，故￡第寫=.漆”哪號.

因?yàn)镵聲&故swf=4因此B=60。.

第

（2）由題設(shè)及（1）知AABC的面積?“泗￡=氣鍛.

sviaJt嗣心GW,i

由正弦定理得此=總5='一通E—'='號.

由于AABC為銳角三角形，故0°<A<90°,0°<C<90°,由（1）知A+C=120°,所以30°<C<90°,

?<S■■■￡

故當(dāng)父瘴R從而學(xué)史加虧\

港電

因此，^ABC面積的取值范圍是!“'21

【考點(diǎn)】正弦定理的應(yīng)用，三角形中的幾何計算

【解析】【分析】（1）由已知利用正弦定理列式，結(jié)合誘導(dǎo)公式化簡，即可求出角B的值；（2）利

用正弦定理列式，結(jié)合△48C為銳角三角形得到工可“班球”Y,即可求出△?!比1面積的取值范圍.

19.（2019?全國III）圖1是由矩形ADEB、RtZ\ABC和菱形BFCC組成的一個平面圖形，其中AB=1,BE=BF=2,

NFBC=60°,將其沿AB,BC折起使得BE與BF重合，連結(jié)DC,如題2.

DA

圖1

圖2

(1)證明：圖2中的A,C,G,D四點(diǎn)共面，且平面ABC,平面BCGE；

(2)求圖2中的二面角B-CG-A的大小.

【答案】(1)解：由已知得ADUBE,CGIBE,所以ADICG,故AD,CG確定一個平面，從而A,

C,G,D四點(diǎn)共面.

由已知得AB.i.BE,AB.I.BC,故AB.L平面BCGE.

又因?yàn)锳BQ平面ABC,所以平面ABC平面BCGE.

(2)作EH.1.BC,垂足為H.因?yàn)镋H貯平面BCGE,平面BCGE.L平面ABC,所以EH平面ABC.

由已知，菱形BCGE的邊長為2,ZEBC=60°,可求得BH=1,EH=因.

以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，懿的方向?yàn)閤軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系H-xyz,

則A(-1,1,0),C(1,0,0),G⑵0,信,病=(1,0,懿=(2,-1,0).

),

設(shè)平面ACGD的法向量為求=(x,y,z),則

h、*=Q

iff：“寬=Q即hl-5-=^

所以可取走（3,6,-蠢）.

/忒$■_邈-￡

解期如彩網(wǎng)一匚匚^_今

又平面BCGE的法向量可取為赤（0,1,0）,所以5.f就尉“

因此二面角B-CG-A的大小為30°.

【考點(diǎn)】平面與平面垂直的判定，用空間向量求平面間的夾角

【解析】【分析】（1）由已知可證AD1CG,得到AD,CG確定一個平面，即可證明結(jié)論；（2）先

作輔助線，可證EH.1.平面ABC,再建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面ACGD與平面BCGE的法向量，代

入向量的夾角公式，即可求出二面角B-CG-A的大小.

20.（2019?全國III）己知函數(shù)f（x）=2x3-ax2+b.

（1）討論f（x）的單調(diào)性；

（2）是否存在a,b,使得f（x）在區(qū)間［0,1］的最小值為T且最大值為1?若存在，求出a,b的

所有值；若不存在，說明理由。

【答案】（1）解：汽修=6爐-%曦=2■磷氟:一嫡.

令式；?=。得產(chǎn)o或3；=慧

若a>0,則當(dāng).工包-嗎或U：囁什］時，葭森”當(dāng)法收閽時，換3Q故猷在

C-蟀尊壕"叫單調(diào)遞增，在閨單調(diào)遞減;

若京0,羹?在。一弊：4螭單調(diào)遞增；

著水0,則當(dāng)旌卜嗎鷺一孰一嚙時，"?f當(dāng)汨：鼠?時，中注:Q故式:?在

（一嗥氧現(xiàn)，碗單調(diào)遞增，在嗑可單調(diào)遞減.

（2）滿足題設(shè)條件的a,6存在.

（i）當(dāng)a<0時，由（1）知，式期在［0,1］單調(diào)遞增，所以箕?在區(qū)間［0,1］的最小值為然篡4,

最大值為我蒙=今一債一玄.11匕時a,6滿足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)為=-1,2一件*方=1,即a=0,

b-=-1.

（ii）當(dāng)z23時，由（1）知，就◎在［0,1］單調(diào)遞減，所以致媳在區(qū)間［0,1］的最大值為乳外4,

最小值為其◎=2’一債一命.此時a,6滿足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)瓷4■玄=一J,左1,即小4,

ZFI.

（iii）當(dāng)0<a<3時，由（1）知，觀修在［0,1］的最小值為我第=一賓4A最大值為6或金一照+扛

若一堂“a=一〈先1,則0：=寫蜜，與0〈a〈3矛盾.

若一堂+右=一1,=一將+方=1,則此=嶇或@：=一齦或’0,與0<a<3矛盾.

綜上，當(dāng)且僅當(dāng)，0,花=-1或折4,爐1時，式簿在［0,1］的最小值為-1,最大值為1.

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

【解析】【分析】（1）先求導(dǎo)，令於C?=Q得x=0或％?二可，分三種情況討論a,即可求出函數(shù)

我:?的單調(diào)區(qū)間；（2）先判斷滿足題設(shè)條件的a,b存在，再分三種情況討論a,利用（1）中函數(shù)

式期單調(diào)性分別求出a,b的值進(jìn)行判斷，即可得結(jié)論.

：_,2

21.（2019?全國HI）已知曲線C:D為直線y=-虧的動點(diǎn)，過D作C的兩條切線，切點(diǎn)分

別為A,B.

（1）證明：直線AB過定點(diǎn)；

5

（2）若以E（0,為圓心的圓與直線AB相切，且切點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，求四邊形ADBE的面積.

【答案】⑴解：設(shè)球-理：4國,則硅=鵡.

蛙=.

由于管’=工所以切線處的斜率為/，故無丁=的.

整理得第;1-郅廿J=Q

設(shè)卻苦卜堂J,同理可得冰廠期產(chǎn)=◎.

故直線AB的方程為1=Q

c1

所以直線47過定點(diǎn)做'3

（2）由（1）得直線AB的方程為乎=*^'5.

可得.歲一？=@

于是粒=粒邈=-1：，*4陽=,&*產(chǎn)1加工=軟5T1,

［斌|='&廿遍:一電|=J'l-rF-X：晟*］一以鶉=1）.

嬉=好4期=r

設(shè)&我分別為點(diǎn)〃，￡到直線四的距離，則''找好

*=?竭卜：+dj=｛抖―盥斜+；

因此，四邊形1的面積

設(shè),"為線段四的中點(diǎn)，則癡￡：*4號！

由于貳.1.武，而貳=&一'一里，.或與向量口心平行，所以t'+G-顫=Q解得夕0或

￡=±：1.

當(dāng)工=0時，93；當(dāng)f=土口時，￡二垂.

因此，四邊形加班?的面積為3或星.

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，直線與圓錐曲線的綜合問題

【解析】【分析】（1）先求導(dǎo)，分別得到切線DA和DB的方程，可得直線AB的方程，即可證明直線

AB過定點(diǎn)；（2）由（1）中直線AB的方程與拋物線方程聯(lián)立，利用弦長公式和點(diǎn)到直線的距離公式,

分別得到IABI與點(diǎn)D,E到直線AB的距離，由第與向量與平行列式，即可求出四邊形ADBE的面

積.

四、選考題：共10分，請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。

22.（2019?全國0）［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

仁M-s仁

如圖，在極坐標(biāo)系Ox中，A（2,0）,B（黎,4'）,C（黎,4.'）,D（2,"）,弧S,

添，鐲所在圓的圓心分別是（1,0）,（1,3）,（1,n）,曲線如是弧：贏，曲線曲是弧

添，曲線Ms是弧懣。

（2）曲線由此，M2,構(gòu)亦若點(diǎn)P在M上，且|0P1=$》，求P的極坐標(biāo)。

【答案】（1）解：由題設(shè)可得，?。瑚欤?；核所在圓的極坐標(biāo)方程分別為齡='豪迷溪，禧二'玄i礴,

含,二”徽海里

所以極的極坐標(biāo)方程為耕=’和編建里探畸j,場的極坐標(biāo)方程為渺，如布疊刎韻，

場的極坐標(biāo)方程為洲=-參瞬科號里舞司.

(2)設(shè)屐巡砌，由題設(shè)及(1)知

若Q鶯撩里修，則物磔哪=技解得窗嚏

若曾方莖野，則篆訕梯=亞解得窗小或?qū)?管;

若高逑虜產(chǎn)則-簞?哂=超解得馥=管.

綜上,尸的極坐標(biāo)為廄制或廄制或戰(zhàn)啜或竄空)

【考點(diǎn)】簡單曲線的極坐標(biāo)方程，極坐標(biāo)刻畫點(diǎn)的位置

【解析】【分析】⑴由已知利用圓的極坐標(biāo)方程，即可分別求出弧：馥,‘熊【逾的極坐標(biāo)方程;

(2)由題設(shè)及(1)中?。汗?熊;總溫的極坐標(biāo)方程，分三種情況討論角8,即可求出點(diǎn)P極坐標(biāo).

23.(2019?全國m)［選修4-5：不等式選講］

設(shè)x,y,zeR,且x+y+z=l,

(1)求(x-1)2+(y+1)2+(z-1),的最小值;

i

(2)若(x-2)2+(y-1)2+(z-2)22M成立，證明：aW-3或a2T。

【答案】(1)解：(1)由于傲：一發(fā)一馀升值+救卡工獷

=敖一小一春Tr+W-W+D中便T璞1號救打海一期

自射一射中休+1小+救卡班，

故由已知得取—資理”^4MMf堂堂

當(dāng)且僅當(dāng)產(chǎn)至,尸-*二一望時等號成立.

所以僅一：位+才+你十始的最小值為常

(2)由于

盤-怎+鍍-1戶屋-捕

=歙一%打郃一討*做—您?十當(dāng)a一裁下一工"郃一鼠五一您一依―您敷一或

爐柢一怎、餅一爐斗富一加|,

故由已知慎一才一講一工溝號一您還學(xué)

斗—深士~泳—2,

當(dāng)且僅當(dāng)工=丁，k=’丁，工=飛9時等號成立.

因此笈一甥1/一3*廿*一詞工的最小值為

(W..1

由題設(shè)知f-:￥,解得您鎮(zhèn);一$或您黃一】

【考點(diǎn)】不等式的證明，一般形式的柯西不等式

【解析】【分析】⑴由己知利用柯西不等式，得到京一心7癥T工廠T彝Tir斐冥，即可求出最

小值；⑵由已知利用柯西不等式，得到c部一ir伸-弱可得最小值為

◎+#(w?X

由題設(shè)列式史厚，即可證明結(jié)論.

試卷分析部分

1.試卷總體分布分析

總分：160分

客觀題（占比）60(37.5%)

分值分布

主觀題（占比）100(62.5%)

客觀題（占比）12(52.2%)

題量分布

主觀題（占比）11(47.8%)

2.試卷題量分布分析

大題題型題目量（占比）分值（占比）

選擇題：本題共12小題，每小

12(52.2%)60(37.5%)

題5分，共60分。

填空題:本題共4小題,每小題

4(17.4%)20(12.5%)

5分，共20分.

解答題，共70分，第17~21題

為必考題，每個試題考生都必

5(21.7%)60(37.5%)

須作答。第22、23題為選考題，

考生根據(jù)要求作答：

選考題：共10分，請考生在第2(8.7%)20(12.5%)

22、23題中任選一題作答。如

果多做，則按所做的第一題計

分。

3.試卷難度結(jié)構(gòu)分析

序號難易度占比

1容易17.4%

2普通73.9%

3困難8.7%

4.試卷知識點(diǎn)分析

序號知識點(diǎn)（認(rèn)知水平）分值（占比）對應(yīng)題號

1交集及其運(yùn)算5(2.1%)1

復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除

25(2.1%)2

運(yùn)算

集合中元素個數(shù)的最

35(2.1%)3

值

4二項(xiàng)式定理的應(yīng)用5(2.1%)4

5等比數(shù)列的通項(xiàng)公式5(2.1%)5

利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上

617(7.1%)6,