微積分 第七版 課件 2.6 高階導(dǎo)數(shù)

第六節(jié)

高階導(dǎo)數(shù)本節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)0102能熟練計(jì)算函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)理解高階導(dǎo)數(shù)定義一、高階導(dǎo)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為自變量的函數(shù),還可以考慮它對(duì)自變量求導(dǎo)數(shù).1.二階導(dǎo)數(shù)定義2.2函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)再對(duì)自變量x求導(dǎo)數(shù),所得到的導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)y=f(x)的二階導(dǎo)數(shù),記作f″(x)=(f'(x))'還可以記作

同時(shí)稱導(dǎo)數(shù)f'(x)為函數(shù)y=f(x)的一階導(dǎo)數(shù).32.高階導(dǎo)數(shù)類似地,函數(shù)y=f(x)的n-1階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)y=f(x)的n階導(dǎo)數(shù),記作f(n)(x)=(f(n-1)(x))'

(n=2,3,…)還可以記作

函數(shù)存在n階導(dǎo)數(shù)也稱為n階可導(dǎo),正整數(shù)n稱為導(dǎo)數(shù)的階數(shù),二階與二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)43.二階導(dǎo)數(shù)求法顯然,求高階導(dǎo)數(shù)只需反復(fù)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)基本運(yùn)算法則、導(dǎo)數(shù)基本公式及復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則,并不需要新的方法.已知函數(shù),若求其二階導(dǎo)數(shù),必須先求出一階導(dǎo)數(shù),一階導(dǎo)數(shù)表達(dá)式再對(duì)自變量求一階導(dǎo)數(shù),就得到二階導(dǎo)數(shù).5例1求函數(shù)y=(1+x2)arctanx的二階導(dǎo)數(shù).解:先計(jì)算一階導(dǎo)數(shù)

=2xarctanx+1所以二階導(dǎo)數(shù)

6例2

解:先計(jì)算一階導(dǎo)數(shù)

=-(1+x)-2所以二階導(dǎo)數(shù)y″=2(1+x)-3(1+x)'

7例3求函數(shù)y=ln(1+x2)的二階導(dǎo)數(shù).解:計(jì)算一階導(dǎo)數(shù)

所以二階導(dǎo)數(shù)

8例4求函數(shù)y=sinlnx的二階導(dǎo)數(shù).解:計(jì)算一階導(dǎo)數(shù)y'=coslnx·(lnx)'

所以二階導(dǎo)數(shù)

9例5

若函數(shù)y的n-2階導(dǎo)數(shù)y(n-2)=lncosx,則函數(shù)y的n階導(dǎo)數(shù)y(n)=

.

解:函數(shù)y的n-2階導(dǎo)數(shù)y(n-2)對(duì)自變量x求導(dǎo)數(shù),得到函數(shù)y的n-1階導(dǎo)數(shù)

=-tanx函數(shù)y的n-1階導(dǎo)數(shù)y(n-1)再對(duì)自變量x求導(dǎo)數(shù),就得到函數(shù)y的n階導(dǎo)數(shù)y(n)=-sec2x-sec2x函數(shù)在屬于定義域的點(diǎn)x0處的二階導(dǎo)數(shù)值為二階導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式中自變量x用數(shù)x0代入所得到的數(shù)值.10例6

(a)-2

(b)-1

(c)0 (d)211例6解:計(jì)算一階