微積分 第7版 課件 第二章 導數(shù)與微分

第二章導數(shù)與微分第一節(jié)導數(shù)的概念第二節(jié)導數(shù)基本運算法則第三節(jié)導數(shù)基本公式第四節(jié)復合函數(shù)導數(shù)運算法則第五節(jié)隱函數(shù)的導數(shù)第六節(jié)高階導數(shù)第七節(jié)微分1本章思維導圖引導案例---邊際分析問題

討論：日產量為100公斤是不是最好的日產量？分析：100公斤是不是最好的日產量，取決于是不是使每天的利潤最大，通常該問題的解決可以用計算利潤函數(shù)的最值法來判斷。這里我們用一個簡單的方法—邊際分析的方法解決此問題。第一節(jié)

導數(shù)的概念本節(jié)學習目標010203能利用導數(shù)定義計算某些極限理解導數(shù)的概念及幾何意義了解導數(shù)的物理意義04能利用導數(shù)定義計算某些基本初等函數(shù)的導數(shù)例1平面曲線的切線已知函數(shù)曲線y=f(x),它經過點M0(x0,y0),取函數(shù)曲線y=f(x)上的另外一點M(x0+Δx,y0+Δy),作割線M0M6

當Δx→0時,動點M沿著函數(shù)曲線y=f(x)無限接近于固定點M0,從而使得割線M0M的位置也隨著變動,若割線M0M的極限位置存在,則稱此極限位置M0T為函數(shù)曲線y=f(x)上點M0(x0,y0)處的切線7

8例2直線運動的瞬時速度

在物體作直線運動時,它距出發(fā)點走過的路程s是經過時間t的函數(shù)s=s(t),稱為運動方程.物體在時刻t=t0距出發(fā)點走過的路程為s(t0),在時刻t=t0+Δt距出發(fā)點走過的路程為s(t0+Δt),從而在時刻t0到t0+Δt這一段時間間隔Δt內,所走過的路程為Δs=s(t0+Δt)-s(t0)其平均速度為

9

10一、導數(shù)的定義1.定義2.1已知函數(shù)y=f(x)在點x0處及其左右有定義,自變量x在點x0處有了改變量Δx≠0,相應函數(shù)改變量為Δy=f(x0+Δx)-f(x0).

還可以記作11導數(shù)的定義

同時存在且相等比值的左極限與右極限分別稱為函數(shù)y=f(x)在點x0處的左導數(shù)值與右導數(shù)值,于是有下面的定理.12定理2.1函數(shù)y=f(x)在點x0處可導等價于

同時存在且相等.13

當函數(shù)f(x)的定義域為閉區(qū)間[a,b]時,只要函數(shù)f(x)在左端點a處的右導數(shù)值存在,就認為函數(shù)f(x)在左端點a處可導只要函數(shù)f(x)在右端點b處的左導數(shù)值存在,就認為函數(shù)f(x)在右端點b處可導.根據(jù)導數(shù)值的定義,在例1中,函數(shù)曲線y=f(x)上點M0(x0,y0)處的切線斜率k=f'(x0)這給出了導數(shù)值的幾何意義.14

v=s'(t0)152.求導方法導數(shù)值的定義已經給出了求導數(shù)值f'(x0)的具體方法:當自變量改變量Δx趨于零時,計算函數(shù)改變量f(x0+Δx)-f(x0)與自變量改變量Δx之比值的極限.在計算這個比值的極限過程中,變量為自變量改變量Δx.根據(jù)§1.3定理1.3,這個比值的極限值與變量記號無關,因此自變量改變量的記號不僅可以表示為Δx,也可以表示為3Δx或-Δx,甚至可以表示為h或x,當然這個比值的分母必須與作為分子的函數(shù)改變量表達式中的自變量改變量記號完全一致16而且自變量改變量一定趨于零.于是有

=…17例3

18例3解:計算極限

=-3f'(x0)（a）19例4

解:計算極限

=2f'(x0)再從已知條件得到關系式2f'(x0)=4,因而導數(shù)值f'(x0)=22203.函數(shù)可導與連續(xù)的關系定理2.2如果函數(shù)y=f(x)在點x0處可導,則函數(shù)y=f(x)在點x0處連續(xù).證:由于函數(shù)y=f(x)在點x0處可導,因而有極限

當自變量改變量Δx趨于零時,考察函數(shù)改變量Δy的極限,有

根據(jù)§1.7定理1.7,所以函數(shù)y=f(x)在點x0處連續(xù).21

22由于此極限不存在,于是它在點x=0處不可導.再如分段函數(shù)f(x)=|x|在分界點x=0處顯然連續(xù);考慮左導數(shù)值

=-123函數(shù)可導與連續(xù)的關系而右導數(shù)值

盡管左導數(shù)值與右導數(shù)值都存在,但不相等,根據(jù)定理2.1,于是它在分界點x=0處不可導.綜合上面的討論得到:對于一元函數(shù),可導一定連續(xù),但連續(xù)不一定可導

=124

若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I(可以是開區(qū)間,也可以是閉區(qū)間或半開區(qū)間)上每一點x處都可導,則稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上可導,或稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上對自變量x可導,并稱函數(shù)y=f(x)為區(qū)間I上的可導函數(shù).這樣,對于區(qū)間I上每一點x,恒有一個導數(shù)值與之對應,于是得到一個新的函數(shù),這個新的函數(shù)稱為函數(shù)y=f(x)的導函數(shù),簡稱為導數(shù),也稱為函數(shù)y=f(x)對自變量x的導數(shù),記作25二、可導函數(shù)的定義

還可以記作

26應用求導數(shù)的具體方法,容易得到：

常量函數(shù)f(x)=c(c為常數(shù))的導數(shù)

說明常量的導數(shù)等于零,即(c)'=0

(c為常數(shù))

=027三、常用基本初等函數(shù)導數(shù)計算例5求函數(shù)f(x)=x2的導數(shù).

28例6

29考慮函數(shù)f(x),若已經求出導數(shù)f'(x),則導數(shù)f'(x)在屬于定義域的點x0處的函數(shù)值就是函數(shù)f(x)在點x0處的導數(shù)值,即說明在導數(shù)f'(x)的表達式中,自變量x用數(shù)x0代入就得到導數(shù)值f'(x0).值得注意的是:函數(shù)f(x)的導數(shù)f'(x)也可以用(f(x))'表示,它們的含義是一樣的,即f'(x)=(f(x))'30但是函數(shù)f(x)在點x0處的導數(shù)值f'(x0)卻不能用(f(x0))'表示,這是由于(f(x0))'代表函數(shù)值f(x0)即常數(shù)的導數(shù),當然等于零,因而它們的含義是不一樣的,即f'(x0)≠(f(x0))'3132本次課程結束第二節(jié)

導數(shù)基本運算法則本節(jié)學習目標010203能熟練利用運用四則法則進行導數(shù)計算掌握導數(shù)的四則運算法則了解函數(shù)導數(shù)與反函數(shù)導數(shù)的關系一、導數(shù)基本運算法則

盡管導數(shù)的定義給出了求導數(shù)的具體方法,但是若對每一個函數(shù)都直接根據(jù)定義求得導數(shù),則工作量是很大的.因此有必要給出導數(shù)基本運算法則,以簡化求導數(shù)的計算.下面給出導數(shù)基本運算法則:法則1如果函數(shù)u=u(x),v=v(x)都可導,則導數(shù)(u±v)'=u'±v'35證:對應于自變量改變量Δx≠0,函數(shù)u,v分別取得改變量Δu,Δv,從而函數(shù)y=u±v取得改變量Δy=[(u+Δu)±(v+Δv)]-(u±v)

=Δu±Δv36

即導數(shù)(u±v)'=u'±v'

=u'±v'37法則2如果函數(shù)u=u(x),v=v(x)都可導,則導數(shù)(uv)'=u'v+uv'證:對應于自變量改變量Δx≠0,函數(shù)u,v分別取得改變量Δu,Δv,從而函數(shù)y=uv取得改變量Δy=(u+Δu)(v+Δv)-uv=Δu·v+uΔv+ΔuΔv38

=u'v+uv'+u'·0=u'v+uv'39法則3如果函數(shù)u=u(x),v=v(x)都可導,且函數(shù)v≠0,則導數(shù)

40于是導數(shù)

41法則1可以推廣：

它對于m個函數(shù)的代數(shù)和也是適用的如果有限個函數(shù)u1=u1(x),u2=u2(x),…,um=um(x)都可導,則導數(shù)(u1+u2+…+um)'=u'1+u'2+…+u'm42二、運算法則推廣法則2可以推廣,它對于m個函數(shù)的積也是適用的如果有限個函數(shù)u1=u1(x),u2=u2(x),…,um=um(x)都可導,則導數(shù)(u1u2…um)'=u'1u2…um+u1u'2…um+…+u1u2…u'm特別地,如果函數(shù)u=u(x),v=v(x)及w=w(x)都可導,根據(jù)導數(shù)基本運算法則2的推論,則導數(shù)(uvw)'=u'vw+uv'w+uvw'43考慮特殊情況下的法則2:如果函數(shù)v=v(x)可導,k為常數(shù),則導數(shù)(kv)'=(k)'v+kv'=0+kv'=kv'說明常系數(shù)可以提到導數(shù)記號外面.44考慮特殊情況下的法則3:如果函數(shù)v=v(x)可導,且函數(shù)v≠0,則導數(shù)

45三、函數(shù)導數(shù)與反函數(shù)導數(shù)的關系為了推導導數(shù)基本公式的需要,下面給出函數(shù)導數(shù)與反函數(shù)導數(shù)的關系.定理2.3

46證:由于函數(shù)x=f-1(y)在開區(qū)間J內單調,說明變量x與y一一對應;又由于函數(shù)x=f-1(y)在開區(qū)間J內可導,當然連續(xù)這樣,函數(shù)x=f-1(y)的反函數(shù)y=f(x)也在對應區(qū)間內單調連續(xù).于是當變量x有了改變量Δx≠0時,變量y的改變量Δy≠0,且當Δx→0時,也有Δy→0.所以導數(shù)

47總結：綜合上面的討論,得到導數(shù)基本運算法則:法則1

(u±v)'=u'±v'法則2

(uv)'=u'v+uv'

48導數(shù)基本運算法則推論推論1

(u1+u2+…+um)'=u'1+u'2+…+u'm推論2

(u1u2…um)'=u'1u2…um+u1u'2…um+…+u1u2…u'm推論3

(kv)'=kv'

(k為常數(shù))

4950本次課程結束第三節(jié)

導數(shù)基本公式本節(jié)學習目標010203能熟練利用運用四則則進行導數(shù)計算掌握基本初等函數(shù)的導數(shù)公式了解導數(shù)的經濟意義一、導數(shù)基本公式基本初等函數(shù)的導數(shù)構成導數(shù)基本公式1.常量函數(shù)y=c

(c為常數(shù))在§2.1中已經得到導數(shù)y'=0532.正整數(shù)指數(shù)冪函數(shù)y=xn(n為正整數(shù))

=nxn-1可以證明:對于任意常數(shù)α,冪函數(shù)y=xα的導數(shù)y'=αxα-154例1(x2)'=2x

=(x-1)'=-x-2

55例2求函數(shù)y=x4+7x3-x+10的導數(shù).解:y'=(x4)'+7(x3)'-(x)'+(10)'=4x3+21x2-1+0=4x3+21x2-156例3

573.指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,a≠1)

58令u=aΔx-1,即Δx=loga(1+u);當Δx→0時,u→0

=axlna特別地,若a=e,則得到指數(shù)函數(shù)y=ex的導數(shù)y'=ex59例4(2x)'=2xln2(3x)'=3xln3(10x)'=10xln10應注意的是:要正確區(qū)分冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù),冪函數(shù)的特征是底在變而指數(shù)不變,指數(shù)函數(shù)的特征是底不變而指數(shù)在變,不能把指數(shù)函數(shù)誤認為冪函數(shù),如函數(shù)2x是指數(shù)函數(shù)而不是冪函數(shù),因此不能應用冪函數(shù)導數(shù)基本公式求其導數(shù),即導數(shù)(2x)'≠x2x-1.60例5求函數(shù)y=xe-ex+ee的導數(shù).解:注意到函數(shù)y的表達式中第3項ee為常數(shù)項,其導數(shù)等于零,所以導數(shù)y'=exe-1-ex+0=exe-1-ex61例6求函數(shù)y=x2ex的導數(shù).解:y'=(x2)'ex+x2(ex)'=2xex+x2ex=(2x+x2)ex624.對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,a≠1)對數(shù)函數(shù)y=logax的反函數(shù)為指數(shù)函數(shù)x=ay(a>1,a≠1),根據(jù)§2.2定理2.3,得到導數(shù)

特別地,若a=e,則得到對數(shù)函數(shù)y=lnx的導數(shù)

63例7

64例8

65例9求函數(shù)y=xexlnx的導數(shù).解:y'=(x)'exlnx+x(ex)'lnx+xex(lnx)'

=exlnx+xexlnx+ex=ex(lnx+xlnx+1)665.三角函數(shù)(1)y=sinx

=cosx67(2)y=cosx

=-sinx68(3)y=tanx

=sec2x69(4)y=cotx

=-csc2x70例10求函數(shù)y=exsinx的導數(shù).解:y'=(ex)'sinx+ex(sinx)'=exsinx+excosx=ex(sinx+cosx)71例11

72例12求函數(shù)y=tanx+cotx的導數(shù).解:y'=sec2x-csc2x=(1+tan2x)-(1+cot2x)=tan2x-cot2x736.反三角函數(shù)(1)y=arcsinx

74(2)y=arccosx

75(3)y=arctanx

76(4)y=arccotx

77例13求函數(shù)y=arcsinx-arccosx的導數(shù).

78例14求函數(shù)y=x-arctanx的導數(shù)

79例15

80對于經濟學中的函數(shù)而言,因變量對自變量的導數(shù),統(tǒng)稱為“邊際”.即：

邊際收益就是總收益

對銷量

的導數(shù)。邊際收益函數(shù)為二、導數(shù)的經濟意義

經濟領域中的“邊際（函數(shù)）”就等于數(shù)學上的“求導”，這是導數(shù)的經濟意義。邊際成本就是總成本

對產量

的導數(shù),邊際成本函數(shù)為邊際利潤就是總利潤L對銷量的導數(shù)。邊際利潤為

生產第單位產品，總成本增加(實際上是近似的)的數(shù)量線性總成本函數(shù)

這說明,產量為任何水平時,每增加單位產品,總成本都增加6.如:由于邊際成本

總成本函數(shù)

例1:由于邊際成本

即邊際成本是的函數(shù),說明在不同的產量水平上,每增加單位產品,總成本的增加額將是不同的.三、導數(shù)基本公式總結綜合上面的討論,得到導數(shù)基本公式:公式1

(c)'=0

(c為常數(shù))公式2

(xα)'=αxα-1

(α為常數(shù))公式3

(ax)'=axlna

(a>0,a≠1)公式4

(ex)'=ex

83導數(shù)基本公式總結

公式7

(sinx)'=cosx公式8

(cosx)'=-sinx公式9

(tanx)'=sec2x公式10

(cotx)'=-csc2x84導數(shù)基本公式總結

8586本次課程結束第四節(jié)

復合函數(shù)導數(shù)運算法則本節(jié)學習目標010203能熟練進行復合函數(shù)求導計算掌握復合函數(shù)導數(shù)運算法則理解推廣的導數(shù)基本公式一、復合函數(shù)導數(shù)運算法則已知函數(shù)y=f(u)對變量u可導,函數(shù)u=u(x)對變量x可導,考慮復合函數(shù)y=f(u(x))對自變量x的導數(shù)

為避免混淆,規(guī)定復合函數(shù)y=f(u(x))對自變量x的導數(shù)記作y'或(f(u(x)))',

復合函數(shù)y=f(u(x))對中間變量u的導數(shù)記作y'u或f'(u(x)),中間變量u=u(x)對自變量x的導數(shù)記作u'或u'(x)891.復合函數(shù)導數(shù)運算法則復合函數(shù)導數(shù)運算法則如果函數(shù)u=u(x)在點x處可導,函數(shù)y=f(u)在對應點u處可導,則復合函數(shù)y=f(u(x))在點x處可導,且導數(shù)y'=f'(u(x))u'(x)90證:對應于自變量改變量Δx≠0,中間變量u取得改變量Δu,復合函數(shù)y取得改變量Δy.

91復合函數(shù)導數(shù)運算法則

=f'(u(x))u'(x)所以導數(shù)92復合函數(shù)導數(shù)運算法則這個法則還可以表示為

它說明:復合函數(shù)對自變量的導數(shù)等于復合函數(shù)對中間變量的導數(shù)乘以中間變量對自變量的導數(shù).93二、導數(shù)基本公式推廣對于導數(shù)基本公式,應用復合函數(shù)導數(shù)運算法則,得到推廣的導數(shù)基本公式:公式1

(c)'=0

(c為常數(shù))公式2

(uα)'=αuα-1u'

(α為常數(shù))公式3

(au)'=aulna·u'

(a>0,a≠1)公式4

(eu)'=euu'

94導數(shù)基本公式推廣

公式7

(sinu)'=cosu·u'公式8

(cosu)'=-sinu·u'公式9

(tanu)'=sec2u·u'公式10

(cotu)'=-csc2u·u'95導數(shù)基本公式推廣

96三、復合函數(shù)導數(shù)計算步驟在求復合函數(shù)y的導數(shù)時,首先如§1.1那樣引進中間變量u,將復合函數(shù)y分解為基本初等函數(shù)y=f(u)與函數(shù)u=u(x),然后根據(jù)復合函數(shù)導數(shù)運算法則計算導數(shù)y',其步驟如下:步驟1計算導數(shù)f'(u)的表達式,并表示為自變量x的函數(shù),得到f'(u(x)).在這個過程中,并不急于計算導數(shù)u'(x)的表達式,僅在導數(shù)y'的表達式中將因式u'(x)乘在因式f'(u(x))的后面;97步驟2計算導數(shù)u'(x)的表達式:若函數(shù)u(x)為基本初等函數(shù)或簡單函數(shù),則立即求出導數(shù)u'(x)的表達式,因而得到導數(shù)y'的表達式;若函數(shù)u(x)仍為復合函數(shù),則繼續(xù)分解復合函數(shù)u=u(x),并重復上述步驟,直至最終得到導數(shù)y'的表達式.

這樣就將復合函數(shù)的導數(shù)運算歸結為基本初等函數(shù)或簡單函數(shù)的導數(shù)運算,從而得到結果.在上述計算復合函數(shù)導數(shù)的兩個步驟中,關鍵是第一個步驟.98例1求函數(shù)y=(3x+2)10的導數(shù).解:將復合函數(shù)y=(3x+2)10分解為y=u10與u=3x+2根據(jù)復合函數(shù)導數(shù)運算法則,得到復合函數(shù)y對自變量x的導數(shù)y'=(u10)'u(3x+2)'=10u9(3x+2)'=10(3x+2)9(3x+2)'=30(3x+2)999例2

100例3

101例4求函數(shù)y=e-x的導數(shù).解:y'=e-x(-x)'=-e-x102例5求函數(shù)y=log2(1+x2)的導數(shù).

103例6求函數(shù)y=lnlnx的導數(shù).

104例7求函數(shù)y=sinx3的導數(shù).解:y'=cosx3·(x3)'=3x2cosx3105例8求函數(shù)y=sin3x的導數(shù).解:y'=3sin2x(sinx)'=3sin2xcosx106例9

107例10

108在例1至例10中,由于復合函數(shù)只需經過一次分解就達到分解的要求,從而一次應用復合函數(shù)導數(shù)運算法則就得到結果.若復合函數(shù)需兩次甚至多次分解才能達到分解的要求,則兩次甚至多次應用復合函數(shù)導數(shù)運算法則才能得到結果.109例11

在計算兩個函數(shù)之和、差、積、商的導數(shù)時,若其中至少有一個為復合函數(shù),則首先應用導數(shù)基本運算法則,然后應用復合函數(shù)導數(shù)運算法則得到結果.110例12

111例13

根據(jù)導數(shù)基本運算法則、導數(shù)基本公式及復合函數(shù)導數(shù)運算法則,求初等函數(shù)的導數(shù)問題已經得到解決.在導數(shù)運算中,應該注意化簡導數(shù)表達式.112例14求函數(shù)y=ex(sin3x-3cos3x)的導數(shù).解:y'=ex(sin3x-3cos3x)+ex[cos3x·(3x)'+3sin3x·(3x)']=ex(sin3x-3cos3x)+ex(3cos3x+9sin3x)=10exsin3x113必須特別強調的是:在復合函數(shù)導數(shù)運算中,導數(shù)記號“'”在不同位置表示對不同變量求導數(shù),不可混淆.如導數(shù)f'(sinx)表示復合函數(shù)f(sinx)對中間變量u=sinx求導數(shù),而導數(shù)(f(sinx))'表示復合函數(shù)f(sinx)對自變量x求導數(shù),根據(jù)復合函數(shù)導數(shù)運算法則,它們之間的關系為(f(sinx))'=f'(sinx)(sinx)'=f'(sinx)cosx114例15已知函數(shù)f(x)可導,若函數(shù)y=sinf(x),則導數(shù)y'=

.

解:根據(jù)復合函數(shù)導數(shù)運算法則,得到導數(shù)y'=cosf(x)·f'(x)=f'(x)cosf(x)115若求初等函數(shù)f(x)在屬于定義域的點x0處的導數(shù)值f'(x0),不必直接根據(jù)導數(shù)值的定義去計算相應比值的極限,而是根據(jù)§2.1給出的關系式計算導數(shù)值f'(x0).即首先求出導數(shù)f'(x),然后在導數(shù)f'(x)的表達式中,自變量x用數(shù)x0代入所得到的數(shù)值就是所求導數(shù)值f'(x0).116例16已知函數(shù)f(x)=xex,求導數(shù)值f'(0).解:計算導數(shù)f'(x)=ex+xex=(1+x)ex在導數(shù)f'(x)的表達式中,自變量x用數(shù)0代入,得到所求導數(shù)值f'(0)=1117四、分段函數(shù)的一階導數(shù)若求分段函數(shù)在分段區(qū)間內的一階導數(shù),則根據(jù)導數(shù)基本運算法則、導數(shù)基本公式及復合函數(shù)導數(shù)運算法則求得.如考慮分段函數(shù)

當x<0時,有

118分段函數(shù)的一階導數(shù)當x>0時,有

于是得到一階導數(shù)

119120本次課程結束第五節(jié)

隱函數(shù)的導數(shù)本節(jié)學習目標0102能熟練計算隱函數(shù)的導數(shù)理解隱函數(shù)求導方法一、隱函數(shù)求導方法已知方程式F(x,y)=0確定變量y為x的函數(shù)y=y(x),如何求函數(shù)y對自變量x的導數(shù)y'?具體做法是:

方程式F(x,y)=0等號兩端皆對自變量x求導數(shù),然后將含導數(shù)y'的項都移到等號的左端,而將不含導數(shù)y'的項都移到等號的右端,經過代數(shù)恒等變形,就得到導數(shù)y'的表達式,這個表達式中允許出現(xiàn)函數(shù)y的記號.在隱函數(shù)導數(shù)運算過程中,要注意應用復合函數(shù)導數(shù)運算法則.123若方程式F(x,y)=0分別確定幾個函數(shù)y=y1(x),y=y2(x),…,則由上述方法求得的導數(shù)y'分別代表這幾個函數(shù)的導數(shù),它們用一個表達式表示,其中出現(xiàn)的函數(shù)y的記號分別代表這幾個函數(shù).

在隱函數(shù)導數(shù)運算的過程中,必須非常明確變量y為自變量x的函數(shù).下面討論經常用到的幾個變量對自變量x的導數(shù):考慮變量xy對自變量x的導數(shù),根據(jù)§2.2導數(shù)基本運算法則2,有(xy)'=y+xy'124考慮變量y2,ey及l(fā)ny對自變量x的導數(shù),注意到變量y2,ey及l(fā)ny分別為變量y的函數(shù),變量y又為自變量x的函數(shù),因而變量y2,ey及l(fā)ny分別為自變量x的復合函數(shù),中間變量為變量y,根據(jù)§2.4復合函數(shù)導數(shù)運算法則,有(y2)'=2yy'(ey)'=eyy'

至于其他有關變量對自變量x的導數(shù),根據(jù)導數(shù)基本運算法則、導數(shù)基本公式及復合函數(shù)導數(shù)運算法則,容易得到結果.如(y3)'=3y2y',(siny)'=cosy·y'等.125例1

方程式x2+3xy+y2=1確定變量y為x的函數(shù),求導數(shù)y'.解:方程式x2+3xy+y2=1等號兩端皆對自變量x求導數(shù),有2x+3(y+xy')+2yy'=0即有3xy'+2yy'=-(2x+3y)得到(3x+2y)y'=-(2x+3y)所以導數(shù)

126例2方程式y(tǒng)=x3+xey確定變量y為x的函數(shù),求導數(shù)y'.解:方程式y(tǒng)=x3+xey等號兩端皆對自變量x求導數(shù),有y'=3x2+(ey+xeyy')即有y'-xeyy'=3x2+ey得到(1-xey)y'=3x2+ey所以導數(shù)

127例3方程式y(tǒng)=xlny確定變量y為x的函數(shù),求導數(shù)y'.解:方程式y(tǒng)=xlny等號兩端皆對自變量x求導數(shù),有

即有

得到

所以導數(shù)

128二、求隱函數(shù)y=y(x)在其平面曲線上點(x0,y0)處的導數(shù)值首先，求出導數(shù)y'；其次，在導數(shù)y'的表達式中,自變量x用數(shù)x0代入；則因變量y用數(shù)y0代入所得到的數(shù)值就是所求導數(shù)值129例4方程式y(tǒng)sinx+ey-x=1確定變量y為x的函數(shù),則導數(shù)值解:方程式y(tǒng)sinx+ey-x=1等號兩端皆對自變量x求導數(shù),有(y'sinx+ycosx)+eyy'-1=0即有y'sinx+eyy'=1-ycosx=

130得到(sinx+ey)y'=1-ycosx因而導數(shù)

在導數(shù)y'的表達式中,自變量x用數(shù)0代入、因變量y用數(shù)0代入,得到所求導數(shù)值=1131132本次課程結束第六節(jié)

高階導數(shù)本節(jié)學習目標0102能熟練計算函數(shù)的二階導數(shù)理解高階導數(shù)定義一、高階導數(shù)函數(shù)的導數(shù)仍為自變量的函數(shù),還可以考慮它對自變量求導數(shù).1.二階導數(shù)定義2.2函數(shù)y=f(x)的導數(shù)f'(x)再對自變量x求導數(shù),所得到的導數(shù)稱為函數(shù)y=f(x)的二階導數(shù),記作f″(x)=(f'(x))'還可以記作

同時稱導數(shù)f'(x)為函數(shù)y=f(x)的一階導數(shù).1352.高階導數(shù)類似地,函數(shù)y=f(x)的n-1階導數(shù)的導數(shù)稱為函數(shù)y=f(x)的n階導數(shù),記作f(n)(x)=(f(n-1)(x))'

(n=2,3,…)還可以記作

函數(shù)存在n階導數(shù)也稱為n階可導,正整數(shù)n稱為導數(shù)的階數(shù),二階與二階以上的導數(shù)統(tǒng)稱為高階導數(shù)1363.二階導數(shù)求法顯然,求高階導數(shù)只需反復應用導數(shù)基本運算法則、導數(shù)基本公式及復合函數(shù)導數(shù)運算法則,并不需要新的方法.已知函數(shù),若求其二階導數(shù),必須先求出一階導數(shù),一階導數(shù)表達式再對自變量求一階導數(shù),就得到二階導數(shù).137例1求函數(shù)y=(1+x2)arctanx的二階導數(shù).解:先計算一階導數(shù)

=2xarctanx+1所以二階導數(shù)

138例2

解:先計算一階導數(shù)

=-(1+x)-2所以二階導數(shù)y″=2(1+x)-3(1+x)'

139例3求函數(shù)y=ln(1+x2)的二階導數(shù).解:計算一階導數(shù)

所以二階導數(shù)

140例4求函數(shù)y=sinlnx的二階導數(shù).解:計算一階導數(shù)y'=coslnx·(lnx)'

所以二階導數(shù)

141例5

若函數(shù)y的n-2階導數(shù)y(n-2)=lncosx,則函數(shù)y的n階導數(shù)y(n)=

.

解:函數(shù)y的n-2階導數(shù)y(n-2)對自變量x求導數(shù),得到函數(shù)y的n-1階導數(shù)

=-tanx函數(shù)y的n-1階導數(shù)y(n-1)再對自變量x求導數(shù),就得到函數(shù)y的n階導數(shù)y(n)=-sec2x-sec2x函數(shù)在屬于定義域的點x0處的二階導數(shù)值為二階導數(shù)的表達式中自變量x用數(shù)x0代入所得到的數(shù)值.142例6

(a)-2

(b)-1

(c)0 (d)2143例6解:計算一階導數(shù)

于是二階導數(shù)

因而得到所求二階導數(shù)值f″(0)=2(d)144145本次課程結束第七節(jié)

微

分本節(jié)學習目標0102能熟練計算函數(shù)的微分了解微分的作用掌握微分的概念03例1正方形面積改變量的近似值在實際問題中,有時還需要研究函數(shù)改變量的近似值.已知正方形邊長為x=x0,對應于邊長x的改變量Δx>0,面積y取得改變量

=2x0Δx+(Δx)2148當邊長改變量的絕對值|Δx|很小時,面積改變量Δy與邊長改變量Δx的正比例函數(shù)2x0Δx之差Δy-2x0Δx=(Δx)2的絕對值就更小.即當Δx→0時,存在邊長改變量Δx的正比例函數(shù)2x0Δx,使得差Δy-2x0Δx=(Δx)2為無窮小量,且是比Δx較高階無窮小量.149于是可以把正比例函數(shù)2x0Δx作為面積改變量Δy的近似值,即Δy≈2x0Δx

(|Δx|很小)其中自變量改變量Δx的系數(shù)2x0恰好就是函數(shù)y=x2在點x0處的一階導數(shù)值容易看出:可以用劃斜線的兩塊矩形面積的和2x0Δx近似代替正方形面積改變量Δy,誤差為劃交叉斜線的小正方形面積(Δx)2150一、微分1.定義2.3已知函數(shù)y=f(x)在點x0處及其左右有定義,自變量x在點x0處有了改變量Δx≠0,若函數(shù)y=f(x)在點x0處可導,則稱自變量改變量Δx的正比例函數(shù)f'(x0)Δx為函數(shù)y=f(x)在點x0處的微分值,記作可以證明:當Δx→0時,相應函數(shù)改變量Δy與微分值f'(x0)Δx之差Δy-f'(x0)Δx為無窮小量,且是比Δx較高階無窮小量,此時稱函數(shù)y=f(x)在點x0處可微.151若函數(shù)y=f(x)在點x0處可微,當自變量改變量的絕對值|Δx|很小時,則函數(shù)y=f(x)在點x0處的改變量Δy近似等于在點x0處