微積分 第7版 課件 后續(xù)內(nèi)容（上）-二元微分學(xué)

后續(xù)內(nèi)容（上）

二元函數(shù)微分學(xué)一、二元函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)二、二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)三、二元函數(shù)的全微分四、二元函數(shù)的極值1本章思維導(dǎo)圖引導(dǎo)案例

元，問兩種型號的鋼筆的產(chǎn)量各為多少時(shí)，企業(yè)利潤最大？分析：此題討論兩種型號的筆的產(chǎn)量為多少時(shí)，利潤最大，屬二元函數(shù)的最優(yōu)化問題，應(yīng)先根據(jù)問題建立二元函數(shù)關(guān)系，再考慮二元函數(shù)求極值問題．

4一

二元函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)本節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)010203掌握二元函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算規(guī)則理解二元函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)定義了解二元函數(shù)的概念能熟練計(jì)算二元函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)04一、二元函數(shù)已知變量x,y及z,當(dāng)變量x,y相互毫無聯(lián)系地在某個(gè)二元有序?qū)崝?shù)數(shù)組的非空集合D內(nèi)任取一組數(shù)值時(shí),若變量z符合對應(yīng)規(guī)則f的取值恒為唯一確定的實(shí)數(shù)值與之對應(yīng),則稱對應(yīng)規(guī)則f表示變量z為x,y的二元函數(shù),記作z=f(x,y)61.二元函數(shù)定義其中變量x,y稱為自變量,自變量x,y的取值范圍D稱為二元函數(shù)定義域二元函數(shù)z也稱為因變量,二元函數(shù)z的取值范圍稱為二元函數(shù)值域,記作G對應(yīng)規(guī)則f也稱為對應(yīng)關(guān)系或函數(shù)關(guān)系72.二元函數(shù)的表達(dá)式二元函數(shù)表達(dá)式主要有兩種:一種是z=f(x,y),稱為二元顯函數(shù)另一種是由方程式F(x,y,z)=0確定變量z為x,y的二元函數(shù),稱為二元隱函數(shù)83.二元函數(shù)的極限已知二元函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)附近有定義,當(dāng)點(diǎn)(x,y)無限接近于點(diǎn)(x0,y0)即(x,y)→(x0,y0)時(shí)若二元函數(shù)f(x,y)無限接近于常數(shù)A,則稱當(dāng)(x,y)→(x0,y0)時(shí)二元函數(shù)f(x,y)的極限為A,記作

94.二元函數(shù)的連續(xù)性已知二元函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處及其附近有定義,若有關(guān)系式

則稱二元函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處連續(xù).105.二元連續(xù)函數(shù)若二元函數(shù)f(x,y)在區(qū)域E上每一點(diǎn)處都連續(xù),則稱二元函數(shù)f(x,y)在區(qū)域E上連續(xù),并稱二元函數(shù)f(x,y)為區(qū)域E上的二元連續(xù)函數(shù)對于二元函數(shù),若同時(shí)考慮兩個(gè)自變量都在變化,則它的變化比較復(fù)雜,不便于討論,于是分別討論只有一個(gè)自變量變化而引起的二元函數(shù)變化情況11二、二元函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)1.定義后.1已知二元函數(shù)z=f(x,y),若自變量x變化而自變量y不變化,這時(shí)所給二元函數(shù)化為自變量為x的一元函數(shù),其對自變量x的一階導(dǎo)數(shù)稱為二元函數(shù)z=f(x,y)對自變量x的一階偏導(dǎo)數(shù),記作

12若自變量y變化而自變量x不變化,這時(shí)所給二元函數(shù)化為自變量為y的一元函數(shù),其對自變量y的一階導(dǎo)數(shù)稱為二元函數(shù)z=f(x,y)對自變量y的一階偏導(dǎo)數(shù),記作

132.二元函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算方法由此可知:求二元函數(shù)z=f(x,y)對自變量x的一階偏導(dǎo)數(shù)時(shí),把自變量y暫時(shí)看作常量,對自變量x求導(dǎo)數(shù)求二元函數(shù)z=f(x,y)對自變量y的一階偏導(dǎo)數(shù)時(shí),把自變量x暫時(shí)看作常量,對自變量y求導(dǎo)數(shù)顯然,只需運(yùn)用一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)基本運(yùn)算法則、導(dǎo)數(shù)基本公式及復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則,就可以得到結(jié)果14例1求二元函數(shù)z=xy的一階偏導(dǎo)數(shù).解:求二元函數(shù)z對自變量x的一階偏導(dǎo)數(shù)時(shí),把自變量y暫時(shí)看作常量,于是z'x=(xy)'x=y(x)'x=y求二元函數(shù)z對自變量y的一階偏導(dǎo)數(shù)時(shí),把自變量x暫時(shí)看作常量,于是z'y=(xy)'y=x(y)'y=x15例2求二元函數(shù)z=x3+3x2y-y3的一階偏導(dǎo)數(shù)解:z'x=3x2+6xyz'y=3x2-3y216例3求二元函數(shù)z=xy的一階偏導(dǎo)數(shù)解:求二元函數(shù)z對自變量x的一階偏導(dǎo)數(shù)時(shí),把自變量y暫時(shí)看作常量,因而二元函數(shù)z=xy化為自變量為x的一元函數(shù),它屬于冪函數(shù),于是z'x=yxy-1求二元函數(shù)z對自變量y的一階偏導(dǎo)數(shù)時(shí),把自變量x暫時(shí)看作常量,因而二元函數(shù)z=xy

化為自變量為y的一元函數(shù),它屬于指數(shù)函數(shù)于是z'y=xylnx17例4

根據(jù)一元復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則,于是

18例5求二元函數(shù)z=e3x+2y的一階偏導(dǎo)數(shù)解:z'x=e3x+2y(3x+2y)'x=3e3x+2yz'y=e3x+2y(3x+2y)'y=2e3x+2y19例6求二元函數(shù)z=esinxcosy的一階偏導(dǎo)數(shù)解:z'x=esinx(sinx)'xcosy=esinxcosxcosyz'y=-esinxsiny203.求一階偏導(dǎo)數(shù)值若求二元函數(shù)z=f(x,y)在定義域上點(diǎn)(x0,y0)處的一階偏導(dǎo)數(shù)值f'x(x0,y0),f'y(x0,y0)則首先求出一階偏導(dǎo)數(shù)fx'(x,y),fy'(x,y)然后在一階偏導(dǎo)數(shù)f'x(x,y),f'y(x,y)的表達(dá)式中,自變量x,y分別用數(shù)x0,y0代入所得到的數(shù)值就是所求一階偏導(dǎo)數(shù)值,f'x(x0,y0),f'y(x0,y0)21例7

解:計(jì)算一階偏導(dǎo)數(shù)

在一階偏導(dǎo)數(shù)f'x(x,y)的表達(dá)式中,自變量x用數(shù)1代入、自變量y用數(shù)2代入,得到所求一階偏導(dǎo)數(shù)值

224.求二元隱函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)最后考慮二元隱函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù).已知方程式F(x,y,z)=0確定變量z為x,y的二元函數(shù)z=z(x,y)如何求二元函數(shù)z對自變量x,y的一階偏導(dǎo)數(shù)z'x,z'y?23二元函數(shù)與一元函數(shù)的情形類似,具體作法是:方程式F(x,y,z)=0等號兩端皆對自變量x或y求一階偏導(dǎo)數(shù),然后將含一階偏導(dǎo)數(shù)z'x或z'y的項(xiàng)都移到等號的左端,而將不含一階偏導(dǎo)數(shù)z'x或z'y的項(xiàng)都移到等號的右端經(jīng)過代數(shù)恒等變形,就得到一階偏導(dǎo)數(shù)z'x或z'y的表達(dá)式,這個(gè)表達(dá)式中允許出現(xiàn)二元函數(shù)z的記號在二元隱函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)運(yùn)算過程中,要注意應(yīng)用一元復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則.24例8

解:方程式xsinz=y-z等號兩端皆對自變量y求一階偏導(dǎo)數(shù),有

即有

25得到

因而一階偏導(dǎo)數(shù)

26本次課程結(jié)束27二

二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)本節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)010203掌握二元函數(shù)二階偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算規(guī)則理解二元函數(shù)二階偏導(dǎo)數(shù)定義能熟練計(jì)算二元函數(shù)二階偏導(dǎo)數(shù)一、二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)二元函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)仍為自變量的二元函數(shù),還可以考慮它們對自變量求一階偏導(dǎo)數(shù)1.定義后.2二元函數(shù)z=f(x,y)的一階偏導(dǎo)數(shù)f'x(x,y),f'y(x,y)再分別對自變量x,y求一階偏導(dǎo)數(shù),所得到的偏導(dǎo)數(shù)稱為二元函數(shù)z=f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù),共有四個(gè),分別記作29二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)

302.二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算方法已知二元函數(shù),若求其二階偏導(dǎo)數(shù),必須先求出一階偏導(dǎo)數(shù),一階偏導(dǎo)數(shù)表達(dá)式再對自變量求一階偏導(dǎo)數(shù),就得到二階偏導(dǎo)數(shù).31例1求二元函數(shù)z=x3y2-5xy4的二階偏導(dǎo)數(shù)解:計(jì)算一階偏導(dǎo)數(shù)z'x=3x2y2-5y4z'y=2x3y-20xy3所以二階偏導(dǎo)數(shù)32z″xx=(3x2y2-5y4)'x=6xy2z″xy=(3x2y2-5y4)'y=6x2y-20y3z″yx=(2x3y-20xy3)'x=6x2y-20y3z″yy=(2x3y-20xy3)'y=2x3-60xy2例2

解:計(jì)算一階偏導(dǎo)數(shù)

所以二階偏導(dǎo)數(shù)33

在例1與例2中都有關(guān)系式:z″xy=z″yx,這反映出在某種條件下計(jì)算二階偏導(dǎo)數(shù)的一種規(guī)律經(jīng)過深入的討論可以得到結(jié)論:如果二階偏導(dǎo)數(shù)z″xy與z″yx都連續(xù),則有關(guān)系式z″xy=z″yx下面所討論的二元函數(shù)都滿足這個(gè)結(jié)論的條件,因此只需計(jì)算三個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù).34例3求二元函數(shù)z=ex-y的二階偏導(dǎo)數(shù)解:計(jì)算一階偏導(dǎo)數(shù)z'x=ex-y(x-y)'x=ex-yz'y=ex-y(x-y)'y=-ex-y所以二階偏導(dǎo)數(shù)35

例4求二元函數(shù)z=ysinex的二階偏導(dǎo)數(shù)解:計(jì)算一階偏導(dǎo)數(shù)z'x=ycosex·(ex)'x=yexcosexz'y=sinex所以二階偏導(dǎo)數(shù)36

=yex(cosex-exsinex)z″xy=z″yx=excosexz″yy=0二元函數(shù)在定義域內(nèi)點(diǎn)(x0,y0)處的二階偏導(dǎo)數(shù)值為二階偏導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式中自變量x,y分別用數(shù)x0,y0代入所得到的數(shù)值.37例5

(a)-2 (b)2(c)-1 (d)138解:計(jì)算一階偏導(dǎo)數(shù)

再計(jì)算二階偏導(dǎo)數(shù)

于是得到二階偏導(dǎo)數(shù)值

此題答案為：(a)3940本次課程結(jié)束41三

二元函數(shù)的全微分本節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)010203掌握二元可微函數(shù)的全微分表達(dá)式了解二元函數(shù)的全微分定義能熟練計(jì)算二元函數(shù)的全微分一、二元函數(shù)的全微分1.定義后.3已知二元函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處及其附近有定義,且兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)值f'x(x0,y0),f'y(x0,y0)皆存在自變量x,y在點(diǎn)(x0,y0)處分別有了改變量Δx,Δy(Δx,Δy不同時(shí)為零),相應(yīng)二元函數(shù)改變量為Δz

43并稱自變量改變量Δx,Δy的正比例函數(shù)的和

f'x(x0,y0)Δx+f'y(x0,y0)Δy

為二元函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處的全微分值,記作

442.二元函數(shù)的全微分與改變量Δz關(guān)系

自然提出問題:在什么條件下,二元函數(shù)一定可微?453.二元函數(shù)可微定理如果二元函數(shù)z=f(x,y)的兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)f'x(x,y),f'y(x,y)皆在點(diǎn)(x0,y0)處連續(xù),則二元函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處可微.定理后.1464.二元可微函數(shù)若二元函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域E(可以是開區(qū)域,也可以是閉區(qū)域或半開區(qū)域)上每一點(diǎn)(x,y)處都可微,則稱二元函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域E上可微并稱二元函數(shù)z=f(x,y)為區(qū)域E上的二元可微函數(shù)二元可微函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域E上任意點(diǎn)(x,y)處的全微分值稱為二元可微函數(shù)z=f(x,y)的全微分,記作dz=f'x(x,y)Δx+f'y(x,y)Δy47根據(jù)§2.7給出的結(jié)論:自變量微分等于自變量改變量,因此對于自變量x,y,有dx=Δx,dy=Δy于是得到二元可微函數(shù)z=f(x,y)的全微分表達(dá)式為dz=f'x(x,y)dx+f'y(x,y)dy48二、求二元函數(shù)全微分方法求二元可微函數(shù)的全微分并不需要新的方法：應(yīng)該先求出二元可微函數(shù)的兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù),再將這兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)分別乘以相應(yīng)自變量的微分,然后相加,就得到二元可微函數(shù)的全微分49例1求二元函數(shù)z=ln(x3+y3)的全微分解:計(jì)算一階偏導(dǎo)數(shù)

50所以全微分

51例2求二元函數(shù)z=sinxy2的全微分解:計(jì)算一階偏導(dǎo)數(shù)z'x=cosxy2·(xy2)'x=y2cosxy2z'y=cosxy2·(xy2)'y=2xycosxy52所以全微分dz=y2cosxy2dx+2xycosxy2dy=ycosxy2·(ydx+2xdy)53例3方程式z2-2yez=x2確定變量z為x,y的二元函數(shù),求全微分dz解:方程式z2-2yez=x2等號兩端皆對自變量x求一階偏導(dǎo)數(shù),有2zz'x-2yezz'x=2x即有(z-yez)z'x=x得到一階偏導(dǎo)數(shù)

54方程式z2-2yez=x2等號兩端皆對自變量y求一階偏導(dǎo)數(shù),有2zz'y-2(ez+yezz'y)=0即有(z-yez)z'y=ez得到一階偏導(dǎo)數(shù)

55所以全微分

二元可微函數(shù)在定義域內(nèi)點(diǎn)(x0,y0)處的全微分值為全微分的表達(dá)式中自變量x,y分別用數(shù)x0,y0代入所得到的數(shù)值.56例4二元函數(shù)z=xey的全微分dz=(

).(a)ey(dx+ydy) (b)ey(dx+xdy)(c)ey(ydx+dy) (d)ey(xdx+dy)解:計(jì)算一階偏導(dǎo)數(shù)z'x=eyz'y=xey因而全微分dz=eydx+xeydy

b5758本次課程結(jié)束59四

二元函數(shù)的極值本節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)010203掌握二元函數(shù)極值的判定定理理解二元函數(shù)的極值定義能熟練計(jì)算二元函數(shù)的極值一、二元函數(shù)的極值

已知二元函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處及其附近有定義,對于點(diǎn)(x0,y0)附近很小范圍內(nèi)任意點(diǎn)(x,y)≠(x0,y0),若恒有f(x0,y0)>f(x,y),則稱二元函數(shù)值f(x0,y0)為二元函數(shù)f(x,y)的極大值,點(diǎn)(x0,y0)為二元函數(shù)f(x,y)的極大值點(diǎn)若恒有f(x0,y0)<f(x,y),則稱二元函數(shù)值f(x0,y0)為二元函數(shù)f(x,y)的極小值,點(diǎn)(x0,y0)為二元函數(shù)f(x,y)的極小值點(diǎn)極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn).611.定義2.二元函數(shù)的駐點(diǎn)若二元函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處的一階偏導(dǎo)數(shù)值fx'(x0,y0)=0,且fy'(x0,y0)=0,則稱點(diǎn)(x0,y0)為二元函數(shù)f(x,y)的駐點(diǎn).定義后.4623.二元函數(shù)的駐點(diǎn)與極值點(diǎn)關(guān)系駐點(diǎn)在什么情況下一定是極值點(diǎn),又在什么情況下一定不是極值點(diǎn)?經(jīng)過深入的討論可以得到結(jié)論:對于二元可微函數(shù),極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn),但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)63定理后.2已知點(diǎn)(x0,y0)為二元可微函數(shù)f(x,y)的駐點(diǎn),且二階偏導(dǎo)數(shù)f″xx(x,y),f″xy(x,y),f″yy(x,y)皆在駐點(diǎn)(x0,y0)處及其附近連續(xù),引進(jìn)記號A=f″xx(x0,y0),B=f″xy(x0,y0),C=f″yy(x0,y0),那么:(1)如果關(guān)系式B2-AC<0且有A<0,則駐點(diǎn)(x0,y0)為二元可微函數(shù)f(x,y)的極大值點(diǎn);64(2)如果關(guān)系式B2-AC<0且有A>0,則駐點(diǎn)(x0,y0)為二元可微函數(shù)f(x,y)的極小值點(diǎn);(3)如果關(guān)系式B2-AC>0,則駐點(diǎn)(x0,y0)不是二元可微函數(shù)f(x,y)的極值點(diǎn).二、求二元函數(shù)極值的步驟綜合上面的討論,求二元可微函數(shù)f(x,y)的極值的步驟如下:步驟1確定二元函數(shù)f(x,y)的定義域D;步驟2計(jì)算一階偏導(dǎo)數(shù)f'x(x,y),f'y(x,y);步驟3令一階偏導(dǎo)數(shù)f'x(x,y)=0,且f'y(x,y)=0,若此方程組無解,則二元函數(shù)f(x,y)無駐點(diǎn),當(dāng)然無極值.否則求出二元函數(shù)f(x,y)的全部駐點(diǎn),并轉(zhuǎn)入步驟4;65步驟4計(jì)算二階偏導(dǎo)數(shù)f″xx(x,y),f″xy(x,y),f″yy(x,y),得到在駐點(diǎn)處的二階偏導(dǎo)數(shù)值A(chǔ),B,C,根據(jù)定理6.2判斷駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn),計(jì)算極值點(diǎn)處的二元函數(shù)值即為極值.66例1二元函數(shù)f(x,y)=3x+2y-xy-6的駐點(diǎn)為點(diǎn)

解:二元函數(shù)定義域?yàn)檎麄€(gè)xy平面,計(jì)算一階偏導(dǎo)數(shù)f'x(x,y)=3-yf'y(x,y)=2-x令一階偏導(dǎo)數(shù)

67即有方程組

解此方程組,得到根為

因而二元函數(shù)f(x,y)=3x+2y-xy-6的駐點(diǎn)為點(diǎn)(2,3)68例2求二元函數(shù)f(x,y)=4(x-y)-x2-y2的極值解:二元函數(shù)定義域D為整個(gè)xy平面,計(jì)算一階偏導(dǎo)數(shù)f'x(x,y)=4-2xf'y(x,y)=-4-2y令一階偏導(dǎo)數(shù)

得到駐點(diǎn)(2,-2).69再計(jì)算二階偏導(dǎo)數(shù)f″xx(x,y)=-2f″xy(x,y)=0f″yy(x,y)=-2它們都是常數(shù)70當(dāng)然,在駐點(diǎn)(2,-2)處也不例外,有二階偏導(dǎo)數(shù)值A(chǔ)=f″xx(2,-2)=-2B=f″xy(2,-2)=0C=f″yy(2,-2)=-2由于關(guān)系式B2-AC=02-(-2)×(-2)=-4<0且有A=-2<0根據(jù)定理后.2,所以駐點(diǎn)(2,-2)為極大值點(diǎn),極大值為