新教材2023版高中數(shù)學(xué)第2章平面解析幾何初步2.2直線的方程2.2.4直線的方向向量與法向量課件湘教版選擇性必修第一冊(cè)

2．2.4直線的方向向量與法向量新知初探?課前預(yù)習(xí)題型探究?課堂解透最新課程標(biāo)準(zhǔn)(1)掌握直線l的方向向量與直線l的法向量的概念．(2)會(huì)求已知直線的方向向量與法向量．(3)會(huì)利用直線的方向向量與法向量解決相關(guān)問題．新知初探?課前預(yù)習(xí)教

材

要

點(diǎn)要點(diǎn)一直線l的方向向量與直線l平行的非零向量v都稱為直線l的方向向量?.斜率為k的直線的方向向量為________的非零實(shí)數(shù)倍．要點(diǎn)二直線l的法向量與方程式為Ax＋By＋C＝0的直線l垂直的非零向量n＝________稱為直線l的一個(gè)法向量?.(1，k)(A，B)批注?直線l的方向向量v→并不唯一，λv→的所有的非零實(shí)數(shù)倍都是方向向量．

批注?直線的一般式方程Ax＋By＋C＝0的一次項(xiàng)系數(shù)組成的向量(A，B)是直線的一個(gè)法向量．基

礎(chǔ)

自

測(cè)1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)零向量不能作為直線的方向向量和平面的法向量．(

)(2)若v是直線l的方向向量，則λv(λ∈R)也是直線l的方向向量．(

)(3)若n為直線l的一個(gè)法向量，則λn(λ≠0)也是直線l的一個(gè)法向量．(

)(4)向量(x0，y0)與(y0，－x0)是相互垂直的．(

)√√√×2．直線3x－2y－1＝0的一個(gè)方向向量為(

)A．(2，－3)B．(2，3)C．(－3，2)D．(3，2)答案：B

3．直線3x－4y＋5＝0的一個(gè)法向量是(

)A．(3，4)B．(3，－4)C．(4，3)D．(4，－3)答案：B

4．已知直線l的方向向量為(1，5)，則直線l的法向量為(

)A．(5，1)B．(－1，5)C．(5，－1)D．(－5，－1)答案：C解析：因?yàn)橹本€l的方向向量為(1，5)，所以直線l的法向量可以是(－5，1)或(5，－1)．5．若一條直線的斜率為k，則它的一個(gè)方向向量是________，一個(gè)法向量是________．(1，k)(k，－1)解析：因?yàn)橹本€的斜率為k，所以它的一個(gè)方向向量為(1，k)，設(shè)一個(gè)法向量為(x，y)，則(x，y)·(1，k)＝x＋ky＝0，不妨取x＝k，y＝－1，則它的一個(gè)法向量是(k，－1)．題型探究?課堂解透題型1求直線的方向向量和法向量例1

(1)求直線2x－3y＋5＝0的一個(gè)方向向量和法向量；

(2)求過點(diǎn)A(2，3)和點(diǎn)B(0,－2)的直線的一個(gè)方向向量和法向量．

方法歸納熟練掌握直線的斜截式(或一般式)方程對(duì)應(yīng)的方向向量的坐標(biāo)特征．不同形式的直線方程，可以先將方程化為斜截式或一般式，然后直接寫出它的一個(gè)方向向量．直線l：y＝kx＋b的一個(gè)方向向量為v＝(1，k)；直線l：Ax＋By＋C＝0的一個(gè)方向向量為v＝(B，－A)．

答案：BC解析：直線l的斜率為k＝tan135°＝－1，所以直線l的全體方向向量為λ(1，－1)，(λ≠0，λ∈R)檢驗(yàn)可知B、C為直線l的方向向量．(2)若直線l經(jīng)過點(diǎn)A(－1，4)，B(3，2)，則直線的一個(gè)法向量n為(

)A．n＝(1，－2)B．n＝(4，－2)C．n＝(4，2)D．n＝(1，2)答案：D

題型2直線方向向量的應(yīng)用例2

(1)經(jīng)過A(0，2)，B(－1，0)兩點(diǎn)的直線的方向向量為(1，k)，求k的值；(2)如果直線過點(diǎn)P(1，－4)，且直線的方向向量是a＝(3，9)，求直線的方程．

方法歸納已知直線的方向向量求直線方程時(shí)，可用待定系數(shù)法求得：(1)若已知直線的一個(gè)方向向量為v＝(1，k)，則可設(shè)直線l的方程為y＝kx＋b；(2)若已知直線的一個(gè)方向向量為v＝(B，－A)，則可設(shè)直線l的方程為Ax＋By＋C＝0.

答案：B

(2)平行于向量(2，－3)且經(jīng)過點(diǎn)B(1，－2)的直線方程為_______________．3x＋2y＋1＝0解析：

由條件可設(shè)直線的方程為3x＋2y＋C＝0，把點(diǎn)B(1，－2)代入得C＝1，所以所求直線方程為3x＋2y＋1＝0.題型3直線法向量的應(yīng)用例3

(1)已知兩條直線l1：ax－2y－3＝0，l2：4x＋6y－3＝0，若l1的一個(gè)法向量恰為l2的一個(gè)方向向量，則a＝____；3解析：因?yàn)橹本€l1：ax－2y－3＝0的一個(gè)法向量恰為l2：4x＋6y－3＝0的一個(gè)方向向量，所以l1⊥l2，所以a×4＋(－2)×6＝0，解得：a＝3.(2)如果直線過點(diǎn)D(6，－1)，且直線的法向量是b＝(4，－3)，求直線的方程．答案：4x－3y－27＝0

方法歸納已知直線的法向量求直線方程的方法待定系數(shù)法：若已知直線的一個(gè)法向量為n＝(A，B)，則可設(shè)直線l的方程為Ax＋By＋C＝0.

答案：D

(2)垂直于向量(3，－5)且經(jīng)過點(diǎn)A(1，2)的直線方程為

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